Повторение · урок 7 из 34 · обобщение

Повторение:
алгебраические
дроби

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-109

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 7/34, единица R06.1, часть «Алгебраические выражения (преобразование алгебраических выражений, допустимые значения)». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-108 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-110 — продолжение повторения по R06.1.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (допустимые значения) 2 · 6 (разложение на множители) 2 · 8 (действия с дробями) 2 · 12 (типичные ошибки) 2 · 17 (дробь и график) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ 20 (сл. 16) 2 · ОГЭ 22 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить допустимые значения

знаменатель $\neq = 0$ , под корнем $\geq 0$ ; ответ — промежутками

Раскладывать на множители

формулы сокращённого умножения, трёхчлен $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ (ПР-5)

Преобразовывать дроби

сокращать, складывать, умножать, делить; значение при условии

Видеть дробь на графике

выколотая точка и параметр — линия ОГЭ 22 (ПР-17, ПР-18)

1 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители». ПР-17: «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции…». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: область определения…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Оперировать понятиями: степень с целым показателем, арифметический квадратный корень, многочлен, алгебраическая дробь, тождество… преобразовывать целые, дробно-рациональные выражения… находить допустимые значения переменных для дробно-рациональных выражений, корней».
Отдельного предметного результата «алгебраическая дробь» в списке результатов 9 класса нет: это материал 8 класса, повторяемый по строке R06.

разминка · 8 класс

Разминка · устно

Множители, корни, простые дроби

x^{2} - 9

разложите

(x - 3) (x + 3)

a^{2} - 6 a + 9

разложите

(a - 3)^{2}

x^{3} - 8

разложите

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

\frac{3}{x} + \frac{2}{x}

упростите

\frac{5}{x}

\frac{12 x ^{3}}{4 x}

сократите

3 x^{2}

\frac{a}{b} : \frac{a ^{2}}{b}

упростите

\frac{1}{a}

\frac{5}{x + 4}

когда не имеет смысла?

x = - 4

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Разность квадратов. 2) Квадрат разности: a² − 2 · 3 · a + 9. 3) Разность кубов: (x − 2)(x² + 2x + 4) — во второй скобке «неполный квадрат», он не раскладывается.
4) По Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6. 5) Знаменатели равны — складываем числители. 6) 12 : 4 = 3, x³ : x = x² (x ≠ 0).
7) a/b · b/a² = 1/a (a ≠ 0, b ≠ 0). 8) Знаменатель x + 4 = 0 при x = −4.
Карточки 1–4 — к разложению (сл. 6–7), 5–7 — к действиям (сл. 8–10), 8 — к допустимым значениям (сл. 4–5).

R06.1

Сводка · допустимые значения

Где выражение имеет смысл

\frac{A}{B} : B \neq = 0

A : A \geq 0

\frac{C}{A} : A > 0

Условия выписывают до преобразований и хранят до ответа

2 мин · теория
Допустимые значения переменных (область определения выражения) — все значения, при которых каждое действие выполнимо: нет деления на нуль, под корнем чётной степени — неотрицательное число.
Пример: x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3 (точка −3 закрашена: при x = −3 корень равен 0, деления на нуль нет); x² − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2 (выколотые точки). Ответ: [−3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).
Вопрос классу: почему для C/√A нужно A > 0, а не A ≥ 0? (Корень стоит в знаменателе — нуль недопустим.)
Сокращение дроби расширяет множество допустимых значений: (x² − 4)/(x − 2) и x + 2 — разные выражения при x = 2 (к сл. 12, 17).

R06.1

Образец → сам · допустимые значения

Найдите допустимые значения переменной

Образец

$\frac{5 - x}{x ^{2} - x - 6}$

$5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5$ под корнем $\geq 0$

$x^{2} - x - 6 \neq = 0$ знаменатель

$x \neq = 3, x \neq = - 2$ Виета: $3 + (- 2) = 1$ , $3 \cdot (- 2) = - 6$

$(- \infty; - 2) \cup (- 2; 3) \cup (3; 5]$

Сам

база $\frac{x}{x ^{2} - 16}$ $x \neq = \pm 4$
база $x + 2 + \frac{1}{x}$ $[- 2; 0) \cup (0; + \infty)$
повыш. $\frac{1}{9 - x ^{2}}$ $(- 3; 3)$

R06.1 · ПР-5

Сводка · разложение на множители

Без разложения дробь не сократить

Общий множитель, группировка

$ab - 3 a + 2 b - 6 = (a + 2) (b - 3)$

Квадраты

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$

Кубы

$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$

Квадратный трёхчлен

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ $D \geq 0$

Порядок: вынести общий множитель → формула → трёхчлен по корням → группировка

R06.1 · ПР-5

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь

Образец

$\frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x ^{2} - 9}$

$D = 49, x_{1} = 3, x_{2} = - \frac{1}{2}$ корни

$2 x^{2} - 5 x - 3 = (x - 3) (2 x + 1)$ по корням

$\frac{( x - 3 ) ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ разность квадратов

$= \frac{2 x + 1}{x + 3}$ $x \neq = \pm 3$

Сам

база $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16}$ $\frac{x}{x + 4}$
база $\frac{a ^{3} - 8}{a ^{2} + 2 a + 4}$ $a - 2$
повыш. $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{3 x ^{2} - 5 x - 2}$ $\frac{x - 3}{3 x + 1}$

R06.1

Схема · действия с дробями

Четыре действия — один порядок работы

Действие	Правило	Пример
сложение, вычитание	общий знаменатель из множителей	$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )}$
умножение	сначала сократить, потом перемножить	$\frac{x ^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} = x - 1$
деление	умножить на обратную дробь	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
смена знака	$b - a = - (a - b)$	$\frac{3}{a - b} + \frac{1}{b - a} = \frac{2}{a - b}$

Разложить → выписать ограничения → действия → сократить → ответ с ограничениями

R06.1

Образец → сам · сумма и разность дробей

Упростите выражение

Образец

$\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ общий знаменатель

$= \frac{x + 2 - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$ доп. множитель $x + 2$

$= \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$ привели подобные

$= \frac{1}{x + 2}$ $x \neq = \pm 2$

Сам

база $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $1$
база $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}$ $\frac{x - 1}{x ( x + 1 )}$
повыш. $\frac{1}{x ^{2} - x} - \frac{1}{x ^{2} + x}$ $\frac{2}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$

R06.1

Образец → сам · упрощение и значение

Сначала упростите, потом подставляйте

Образец · при $a = 2, 7$

$(\frac{a}{a - 3} - \frac{a}{a + 3}) : \frac{a}{a ^{2} - 9}$

$\frac{a ( a + 3 ) - a ( a - 3 )}{a ^{2} - 9} = \frac{6 a}{a ^{2} - 9}$ скобка

$\frac{6 a}{a ^{2} - 9} \cdot \frac{a ^{2} - 9}{a}$ на обратную

$= 6$ $a \neq = 0, a \neq = \pm 3$

$2, 7$ — допустимо, ответ $6$

Сам

база $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} \cdot \frac{y}{x + y}$ при $x = 0, 5$ , $y = - 2$ $5$
база $\frac{a ^{2} - 4}{a} : \frac{a + 2}{a ^{2}}$ при $a = - 3$ $15$
повыш. $\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y} - \frac{2 x y}{x ^{2} - y ^{2}}$ при $x = 7, 5$ , $y = 2, 5$ $0, 5$

R06.1

Образец → сам · значение при условии

Найдите значение, не находя $x$

Образец

$x + \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

$(x + \frac{1}{x})^{2} = 16$ возвели в квадрат

$x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 16$ $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 14$

Сам

база $x - \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $11$
база $\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{a + 2 b}{a - b}$ $2, 5$
повыш. $x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ $18$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сокращают слагаемые

$\frac{x + 3}{x} = 3$

$\frac{x + 3}{x} = 1 + \frac{3}{x}$

сокращают только множители

Теряют ограничение

$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$

$= x + 1, x \neq = 1$

«при всех $x$ » неверно: при $x = 1$ дробь не определена

Знак перед дробью

$\frac{3}{x - 2} - \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3 - x + 1}{x - 2}$

$= \frac{3 - x - 1}{x - 2} = - 1$

минус относится ко всему числителю

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите

$\frac{2}{a - 3} + \frac{a + 3}{3 - a} = \frac{2 + a + 3}{a - 3} = \frac{a + 5}{a - 3}$

Ошибка: $3 - a = - (a - 3)$ , перед второй дробью — минус

$= \frac{2 - a - 3}{a - 3} = - \frac{a + 1}{a - 3}$

Задача 2. Значение при $x = - 3$

$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}$

$= \frac{- 6}{- 3} = 2$

Ошибка: при $x = - 3$ знаменатель $9 - 9 = 0$

Выражение не имеет смысла: $x \neq = 0, x \neq = - 3$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Сократите, упростите, найдите

$\frac{15 a ^{2} b}{25 a b ^{3}}$ $\frac{3 a}{5 b ^{2}}$
$\frac{x ^{2} - 49}{x + 7}$ $x - 7$
$\frac{3}{x} - \frac{2}{x ^{2}}$ $\frac{3 x - 2}{x ^{2}}$

$\frac{a ^{2} - 1}{a} \cdot \frac{a ^{2}}{a + 1}$ $a (a - 1)$
Допустимые значения $\frac{x + 1}{x ^{2} - 3 x}$ $x \neq = 0; 3$
$\frac{m ^{2} - n ^{2}}{m - n}$ при $m = 1, 7$ , $n = - 0, 7$ $1$

R06.1 · ПР-5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Кубы, группировка, цепочки дробей

повыш.Сократите $\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1}$ $\frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}$
повыш.Упростите $\frac{x ^{4} - 16}{x ^{2} + 4} \cdot \frac{1}{x - 2}$ $x + 2$
повыш.Упростите $\frac{1}{a ( a + 1 )} + \frac{1}{( a + 1 ) ( a + 2 )}$ $\frac{2}{a ( a + 2 )}$
повыш.Сократите $\frac{ab - 3 a + 2 b - 6}{b ^{2} - 9}$ $\frac{a + 2}{b + 3}$
повыш. $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ . Найдите $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$ $\frac{13}{6}$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Часть 2: полное решение с обоснованием

20Найдите значение $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a + b}$ при $a = 4 + 3$ , $b = 4 - 3$ $23$
20Сократите дробь $\frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{x ^{2} + x - 2}$ $(x - 2) (x + 1)$
20Известно, что $x - \frac{4}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{16}{x ^{2}}$ $17$

1: упростить до

a - b

2: биквадратный — замена

t = x^{2}

3:

2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} = 8

R06.1 · ПР-17, ПР-18

Сводка · дробь и график

Сокращение оставляет выколотую точку

y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

y = x + 2, x \neq = 2

Прямая без точки

(2; 4)

: при

x = 2

функция не определена

y = m

не пересекает график только при

m = 4

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график и найдите параметр

22Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 6 x + 5}{x - 1}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с ним общих точек? $m = - 4$
22При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ? $k = 1; k = 2$

2 мин · практика
1) x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) ⇒ y = x − 5 при x ≠ 1; выколотая точка (1; 1 − 5) = (1; −4). Прямая y = m пересекает y = x − 5 в точке x = m + 5; общих точек нет при m + 5 = 1, т. е. m = −4. Чертёж точный: через (0; −5) и (5; 0).
2) График — прямая y = x + 2 без точки (2; 4) (сл. 17). kx = x + 2 ⇔ (k − 1)x = 2. При k = 1 решений нет (прямые параллельны). При k ≠ 1 x = 2/(k − 1); общей точки нет, если x = 2: k − 1 = 1, k = 2 (прямая y = 2x проходит через выколотую точку). Ответ: k = 1 или k = 2.
Критерии ОГЭ 22 (2 балла): график построен верно, с выколотой точкой, и верно найдены все значения параметра. Типичная потеря — не учтён случай k = 1 или выколотая точка не отмечена.

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · средняя скорость

На дачу — $60$ км/ч, обратно — $40$ км/ч

практикаНайдите среднюю скорость за весь путь $48$ км/ч
практикаПочему не $50$ км/ч? медленно ехали дольше
повыш.С какой скоростью ехать обратно, чтобы средняя была $72$ км/ч? $90$ км/ч

v_{ср} = \frac{2 S}{\frac{S}{v _{1}} + \frac{S}{v _{2}}}

v_{ср} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

S

сократилось: ответ не зависит от расстояния

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаСократите $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 5 x}$ $\frac{x - 5}{x}$
базаУпростите $\frac{1}{x - 3} - \frac{6}{x ^{2} - 9}$ $\frac{1}{x + 3}$
базаДопустимые значения $\frac{x}{x - 4}$ $[0; 4) \cup (4; + \infty)$
повыш. $x + \frac{1}{x} = 5$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $23$

Вариант 2

базаСократите $\frac{x ^{2} - 36}{x ^{2} - 6 x}$ $\frac{x + 6}{x}$
базаУпростите $\frac{1}{x + 2} + \frac{4}{x ^{2} - 4}$ $\frac{1}{x - 2}$
базаДопустимые значения $\frac{x + 1}{x}$ $[- 1; 0) \cup (0; + \infty)$
повыш. $x - \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда выписывают ограничения на переменную и зачем их хранить?
Почему нельзя сократить $\frac{x + 3}{x}$ на $x$ ?
Откуда на графике дробной функции выколотая точка?

Домашнее задание

Сократите $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{x ^{2} - 4}$
Упростите $(\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) : \frac{x}{x ^{2} - 1}$
Постройте $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ ; при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с ним общих точек?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-109 · Обобщение и систематизация: алгебраические дроби

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 7/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (часть «Алгебраические выражения: преобразование, допустимые значения»; «Функции: построение, свойства») → 2, 4–21 · опора 8 кл. → 3 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 12, 17) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9–11, 13–16, 18–21)
Результаты	ПР-5 (разложение трёхчлена на множители) → 3, 6, 7, 15, 16 · ПР-17, ПР-18 (функция, график, область определения) → 17, 18 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	дробно-рациональные уравнения, текстовые задачи, свойства функций — следующие уроки R06 (ALG9U-110 и далее)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:алгебраическиедроби

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить допустимые значения

Раскладывать на множители

Преобразовывать дроби

Видеть дробь на графике

Множители, корни, простые дроби

Где выражение имеет смысл

Найдите допустимые значения переменной

Образец

Сам

Без разложения дробь не сократить

Общий множитель, группировка

Квадраты

Кубы

Квадратный трёхчлен

Сократите дробь

Образец

Сам

Четыре действия — один порядок работы

Упростите выражение

Образец

Сам

Сначала упростите, потом подставляйте

Образец · при a=2,7

Сам

Найдите значение, не находя x

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Сокращают слагаемые

Теряют ограничение

Знак перед дробью

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите

Задача 2. Значение при x=−3

Сократите, упростите, найдите

Кубы, группировка, цепочки дробей

Часть 2: полное решение с обоснованием

Сокращение оставляет выколотую точку

Постройте график и найдите параметр

На дачу — 60 км/ч, обратно — 40 км/ч

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-109 · Обобщение и систематизация: алгебраические дроби

Повторение:
алгебраические
дроби

Образец · при $a = 2, 7$

Найдите значение, не находя $x$

Задача 2. Значение при $x = - 3$

На дачу — $60$ км/ч, обратно — $40$ км/ч