Повторение · урок 4 из 34 · обобщение

Проценты,
отношения,
пропорции

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-106

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 4/34, единица R06.1 (часть «Числа и вычисления: проценты, отношения, пропорции» и «Текстовые задачи»). Тип урока — О (обобщение). Соседние уроки ALG9U-105 и ALG9U-107 — тоже обобщение по строке R06 (34 урока делят единицу R06.1 по темам: числа, текстовые задачи, выражения, функции); этот урок — проценты, отношения, пропорции, смеси.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: проценты) 3 · 7 (сложные проценты) 2 · 9 (отношения и пропорции) 2 · 12 (смеси и сплавы) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11, 13) 2 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задачу 2 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать проценты множителем

увеличение и уменьшение, обратная задача, сложные проценты (ПР-15, ПР-29)

Работать с отношениями

пропорция, деление в отношении, прямая и обратная пропорциональность (ПР-17)

Решать задачи на смеси

концентрация, сплавы, «высыхание» — через массу вещества (ПР-15)

Строить модель задачи ОГЭ

уравнение или система, полное оформление линии 21 (ПР-16)

1 мин · теория
ПР-15 (ФРП дословно): «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте».
ПР-17: «Оперировать понятиями: зависимость, функция, … прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность …». ПР-29: задачи с последовательностями из реальной жизни — сложные проценты = геометрическая прогрессия.
Вид деятельности ФРП по строке R06: «Решать практические задачи, содержащие проценты, доли, части … Решать текстовые задачи с помощью введения переменных …».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Проценты и части — в уме

15%

от

240

найдите

36

0, 4

это сколько процентов?

40%

25%

числа равны

30

найдите число

120

+ 12%

множитель

1, 12

3 : 5 = x : 20

x = ?

12

48

в отношении

1 : 3

части

12

и

36

30

г соли в

200

г

концентрация

15%

80 \to 100

на сколько процентов?

25%

R06.1

Сводка · проценты

Процент — сотая часть; изменение — умножение

Что найти	Как
$p %$ от числа $a$	$a \cdot \frac{p}{100}$
число по его $p %$ , равным $b$	$b : \frac{p}{100}$
сколько процентов $b$ от $a$	$\frac{b}{a} \cdot 100%$

3 мин · теория
Три базовые задачи на проценты — это одна формула b = a · p/100, в которой неизвестна одна из трёх величин. Вопрос классу: какая величина неизвестна в каждой строке таблицы?
Главная идея урока: увеличение на p % — умножение на (1 + p/100), уменьшение — на (1 − p/100). Пример: +15 % — ×1,15; −15 % — ×0,85; −100 % — ×0 (ничего не осталось); +100 % — ×2.
Процент всегда считается от «базы» — от того, с чем сравнивают (100 %). На рисунке база — полоса a.

R06.1

Образец → сам · процентное изменение

Изменения в процентах — цепочка множителей

Образец

Цена $2400$ ₽ выросла на $15%$ , затем снизилась на $15%$ . Какой она стала?

$2400 \cdot 1, 15 = 2760$ $+ 15%$ : $\times 1, 15$

$2760 \cdot 0, 85 = 2346$ ₽ $- 15%$ : $\times 0, 85$

$1, 15 \cdot 0, 85 = 0, 9775$ итог: $- 2, 25%$

Сам

базаТовар за $1500$ ₽ подорожал на $8%$ . Новая цена? $1620$ ₽
базаС зарплаты $40000$ ₽ удержали $13%$ . Сколько получено? $34800$ ₽
повыш.Цену снизили на $10%$ , затем ещё на $10%$ . На сколько процентов всего? на $19%$

R06.1

Образец → сам · обратная задача

Известен результат — найдите исходное

Образец

После скидки $20%$ куртка стоит $5760$ ₽. Какой была цена?

$x \cdot 0, 8 = 5760$ после скидки — $80%$

$x = 5760 : 0, 8 = 7200$ ₽ делим на множитель

$7200 - 1440 = 5760$ проверка: $20%$ — это $1440$

Сам

базаПосле повышения на $12%$ товар стоит $2240$ ₽. Прежняя цена? $2000$ ₽
базаИз $1250$ учеников $1100$ сдали зачёт. Сколько это процентов? $88%$
повыш. $a$ на $25%$ больше $b$ . На сколько процентов $b$ меньше $a$ ? на $20%$

R06.1 · ПР-29

Сводка · сложные проценты

Процент на процент — геометрическая прогрессия

A_{n} = A_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

Каждый раз — от новой суммы: знаменатель прогрессии

q = 1 + \frac{p}{100}

Разные проценты:

A_{0} (1 + \frac{p _{1}}{100}) (1 + \frac{p _{2}}{100}) \dots

R06.1 · ПР-29

Образец → сам · сложные проценты

Вклады, население, цены по годам

Образец

Вклад $50000$ ₽ под $8%$ годовых с капитализацией. Сколько будет через $2$ года?

$q = 1, 08$ $+ 8%$ в год

$50000 \cdot 1, 0 8^{2}$ два раза умножаем

$50000 \cdot 1, 1664 = 58320$ ₽ ответ

Сам

база $20000$ ₽ под $10%$ годовых на $3$ года $26620$ ₽
базаНаселение $80000$ уменьшается на $5%$ в год. Сколько через $2$ года? $72200$
повыш.За $2$ года цена выросла на $44%$ , каждый год — на одно и то же число процентов. На сколько? на $20%$

R06.1 · ПР-17

Сводка · отношения и пропорции

Пропорция, деление в отношении, пропорциональность

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a d = b c

Прямая: $y = k x$ — во сколько раз больше $x$ , во столько раз больше $y$

Обратная: $x y = k$ — во сколько раз больше $x$ , во столько раз меньше $y$

2 мин · теория
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних (b, d ≠ 0).
Деление в отношении m : n: всего m + n равных частей, одна часть — S/(m + n). На рисунке 2 : 3 — 5 равных частей (по 92 px).
Прямая пропорциональность: отношение y/x постоянно (цена — стоимость). Обратная: произведение xy постоянно (скорость — время на одном пути, число рабочих — срок). Вопрос классу: какая зависимость у «количество товара — цена за штуку» при фиксированной сумме? (обратная)

R06.1

Образец → сам · деление в отношении

Сначала найдите одну часть

Образец

Разделите $720$ в отношении $2 : 3 : 4$ .

$2 + 3 + 4 = 9$ частей всего частей

$720 : 9 = 80$ одна часть

$160; 240; 320$ $2 \cdot 80, 3 \cdot 80, 4 \cdot 80$

$160 + 240 + 320 = 720$ проверка

Сам

базаМедь и цинк в сплаве — $7 : 3$ , масса $450$ г. Сколько меди? $315$ г
базаУглы треугольника относятся как $2 : 3 : 7$ . Наибольший угол? $10 5^{\circ}$
повыш. $x : y = 3 : 4$ . Найдите $\frac{2 x + y}{x - y}$ . $- 10$

R06.1 · ПР-17

Образец → сам · пропорциональность

Прямая или обратная? Решите пропорцией

Образец

$6$ рабочих выполнят заказ за $15$ дней. За сколько дней его выполнят $9$ рабочих?

Обратная больше рабочих — меньше дней

$6 \cdot 15 = 9 \cdot x$ $x y = const$

$x = 90 : 9 = 10$ дней ответ

Сам

база $5$ кг яблок стоят $600$ ₽. Сколько стоят $7$ кг? $840$ ₽
базаПри $60$ км/ч путь занимает $4$ ч. Сколько при $80$ км/ч? $3$ ч
повыш.Цена упала на $20%$ . На сколько процентов больше товара можно купить на те же деньги? на $25%$

R06.1

Сводка · смеси и сплавы

Складываются массы, а не проценты

m_{в - ва} = c \cdot m

c = \frac{c _{1} m _{1} + c _{2} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}

Вода испаряется или доливается — масса вещества не меняется

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · смеси и сплавы

Уравнение по массе вещества

Образец

Сколько кг $10%$ -го раствора надо добавить к $4$ кг $30%$ -го, чтобы получить $18%$ -й?

$0, 3 \cdot 4 + 0, 1 x$ вещества в смеси

$= 0, 18 (4 + x)$ то же через итог

$1, 2 + 0, 1 x = 0, 72 + 0, 18 x$ раскрыли скобки

$0, 48 = 0, 08 x, x = 6$ кг ответ

Сам

базаСмешали $3$ кг $20%$ -го и $2$ кг $45%$ -го раствора. Концентрация? $30%$
базаСколько воды долить к $5$ кг $12%$ -го раствора, чтобы стало $8%$ ? $2, 5$ кг
повыш.Свежие грибы — $90%$ воды, сушёные — $12%$ . Сколько сушёных из $22$ кг свежих? $2, 5$ кг

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ловушки в задачах на проценты

« $+ 20%$ , потом $- 20%$ — та же цена»

$100 \to 120 \to 100$

$100 \cdot 1, 2 \cdot 0, 8 = 96$

второй процент — от новой цены

Проценты смесей усредняют

$1$ кг $10%$ + $3$ кг $50%$ → $30%$

$\frac{0 , 1 + 1 , 5}{4} = 40%$

складываются массы вещества

Не та база

$80$ меньше $100$ на $20%$ ⇒ $100$ больше $80$ на $20%$

$\frac{20}{80} = 25%$

база — то, с чем сравнивают

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $10000$ ₽ под $10%$ годовых с капитализацией. Сумма через $3$ года?

За год: $10000 \cdot 0, 1 = 1000$ ₽

За три года: $10000 + 3 \cdot 1000 = 13000$ ₽

Ошибка: проценты начисляются на новую сумму

$10000 \cdot 1, 1^{3} = 13310$ ₽

Задача 2. После скидки $15%$ товар стоит $1700$ ₽. Цена до скидки?

Скидку вернём: $+ 15%$

$1700 \cdot 1, 15 = 1955$ ₽

Ошибка: $1700$ — это $85%$ исходной цены

$1700 : 0, 85 = 2000$ ₽

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Проценты и отношения

$35%$ от $260$ $91$
Сколько процентов $18$ от $72$ ? $25%$
Число, $12%$ которого равны $54$ $450$

$840$ в отношении $5 : 7$ $350; 490$
$\frac{x}{12} = \frac{5}{8}$ $7, 5$
$3600$ ₽ подешевели на $15%$ $3060$ ₽

R06.1 · ПР-15

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Множители, концентрации, отношения

повыш.Цену подняли на $20%$ , затем снизили на $25%$ . Как изменилась цена? снизилась на $10%$
повыш.Сколько воды испарить из $20$ кг $6%$ -го раствора, чтобы он стал $8%$ -м? $5$ кг
повыш.Вклад за $2$ года вырос с $40000$ до $48400$ ₽. Годовая ставка? $10%$
повыш. $a : b = 3 : 5$ , $b - a = 14$ . Найдите $a + b$ . $56$
повыш.Арбуз $20$ кг — $99%$ воды. Подсох до $98%$ воды. Масса? $10$ кг

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовая задача — с полным решением

Первый сплав содержит $10%$ меди, второй — $40%$ . Масса второго на $3$ кг больше массы первого. Из них получили сплав с $30%$ меди. Найдите массу третьего сплава. $9$ кг
Смешав $30%$ -й и $60%$ -й растворы кислоты и добавив $10$ кг воды, получили $36%$ -й раствор. Если бы вместо воды добавили $10$ кг $50%$ -го раствора, получили бы $41%$ -й. Сколько кг $30%$ -го раствора использовали? $60$ кг

Таблица: масса · доля · вещество

1: одно неизвестное —

x

кг

2: система; вычтите уравнения

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни

Две акции: « $- 30%$ на второй товар» или « $- 10%$ на всё»?

практикаТовары $2000$ и $1200$ ₽ (скидка — на более дешёвый). Какая акция выгоднее? « $- 30%$ »: $360 > 320$
повыш.Дорогой товар — $2000$ ₽, дешёвый — $x$ ₽. При каких $x$ выгоднее « $- 30%$ »? $1000 < x \leq 2000$

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $18%$ от $450$ $81$
базаПосле повышения на $10%$ товар стоит $1430$ ₽. Прежняя цена? $1300$ ₽
база $600$ г сплава, медь и олово — $7 : 5$ . Сколько меди? $350$ г
повыш.Смешали $2$ кг $15%$ -го и $3$ кг $40%$ -го раствора. Концентрация? $30%$

Вариант 2

база $24%$ от $350$ $84$
базаПосле снижения на $20%$ товар стоит $2960$ ₽. Прежняя цена? $3700$ ₽
база $720$ г сплава, медь и цинк — $5 : 4$ . Сколько меди? $400$ г
повыш.Смешали $3$ кг $10%$ -го и $1$ кг $50%$ -го раствора. Концентрация? $20%$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $+ 20%$ и $- 20%$ не возвращают цену?
Что не меняется, когда вода испаряется?
Как разделить число в отношении $m : n$ ?

Домашнее задание

Цену дважды повысили на одно и то же число процентов: с $2500$ до $3025$ ₽. На сколько процентов?
Сплав $40%$ и сплав $15%$ никеля дали $200$ кг сплава с $30%$ никеля. Масса первого?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-106 · Обобщение: проценты, отношения, пропорции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 4/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Числа и вычисления (… проценты, отношения, пропорции …) Текстовые задачи …» → 2–21 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-15 (текстовые задачи алгебраическим способом) → 6, 13, 17, 18, 20 · ПР-16 (математическая модель реальной ситуации) → 18, 19 · ПР-17 (прямая и обратная пропорциональность) → 9–11 · ПР-29 (последовательности в задачах из жизни) → 7, 8 · кодификатора у курса нет
Вне урока	задачи на движение и работу, алгебраические выражения, функции — другие уроки строки R06 (ALG9U-103…136)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Проценты,отношения,пропорции

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать проценты множителем

Работать с отношениями

Решать задачи на смеси

Строить модель задачи ОГЭ

Проценты и части — в уме

Процент — сотая часть; изменение — умножение

Изменения в процентах — цепочка множителей

Образец

Сам

Известен результат — найдите исходное

Образец

Сам

Процент на процент — геометрическая прогрессия

Вклады, население, цены по годам

Образец

Сам

Пропорция, деление в отношении, пропорциональность

Сначала найдите одну часть

Образец

Сам

Прямая или обратная? Решите пропорцией

Образец

Сам

Складываются массы, а не проценты

Уравнение по массе вещества

Образец

Сам

Три ловушки в задачах на проценты

«+20%, потом −20% — та же цена»

Проценты смесей усредняют

Не та база

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. 10000 ₽ под 10% годовых с капитализацией. Сумма через 3 года?

Задача 2. После скидки 15% товар стоит 1700 ₽. Цена до скидки?

Проценты и отношения

Множители, концентрации, отношения

Текстовая задача — с полным решением

Две акции: «−30% на второй товар» или «−10% на всё»?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-106 · Обобщение: проценты, отношения, пропорции

Проценты,
отношения,
пропорции

« $+ 20%$ , потом $- 20%$ — та же цена»

Задача 1. $10000$ ₽ под $10%$ годовых с капитализацией. Сумма через $3$ года?

Задача 2. После скидки $15%$ товар стоит $1700$ ₽. Цена до скидки?

Две акции: « $- 30%$ на второй товар» или « $- 10%$ на всё»?