Повторение · урок 2 из 34 · обобщение

Повторение:
проценты, отношения,
смеси и сплавы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-104

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 2/34, единица R06.1 — блок «Числа и вычисления»: проценты, отношения, пропорции; округление, приближение, оценка; текстовые задачи. Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-103 — первый урок повторения (действительные числа и вычисления); следующий ALG9U-105 — продолжение повторения.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: три задачи на проценты) 2 · 6 (последовательные изменения) 2 · 8 (отношения и пропорции) 2 · 10 (смеси и сплавы) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Проценты через множитель

прямые и обратные задачи, последовательные изменения, сложные проценты (ПР-15, ПР-16)

Отношения и пропорции

делить в данном отношении, различать прямую и обратную пропорциональность (ПР-15)

Смеси и сплавы

составлять уравнение по массе вещества — линия 21 ОГЭ (ПР-15, ПР-16)

Прикидка и округление

оценивать результат до точного счёта и округлять ответ по смыслу (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-15 (ФРП дословно): «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать практические задачи, содержащие проценты, доли, части…», «Решать текстовые задачи с помощью введения переменных, составлять уравнения… системы уравнений… по условию задачи».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Проценты, части, округление

15%

от

80

вычислите

12

0, 3

это сколько процентов?

30%

20%

числа равны

14

найдите число

70

увеличить на

8%

умножить на …

1, 08

уменьшить на

35%

умножить на …

0, 65

40

в отношении

3 : 5

разделите

15

и

25

6 : x = 9 : 12

найдите

x

8

3, 1415

округлите до сотых

3, 14

R06.1

Сводка · три задачи на проценты

Процент — сотая часть; $p %$ — это множитель $\frac{p}{100}$

Что ищем	Формула	Пример
$p %$ от числа $b$	$b \cdot \frac{p}{100}$	$12%$ от $250$ : $250 \cdot 0, 12 = 30$
число $b$ по его части $a = p %$	$a : \frac{p}{100}$	$12%$ числа — $30$ : $30 : 0, 12 = 250$
сколько % $a$ от $b$	$\frac{a}{b} \cdot 100%$	$30$ от $250$ : $\frac{30}{250} = 12%$
на сколько % изменилось $A \to B$	$\frac{B - A}{A} \cdot 100%$	$250 \to 280$ : $\frac{30}{250} = 12%$

R06.1

Образец → сам · на сколько процентов

Изменение в процентах и обратная задача

Образец

Цена выросла с $1250$ до $1450$ руб. На сколько процентов?

$1450 - 1250 = 200$ изменение

$\frac{200}{1250} = 0, 16$ делим на «было»

на $16%$ $0, 16 = 16%$

Сам

базаЦена упала с $800$ до $680$ руб. На сколько процентов? на $15%$
базаПосле скидки $15%$ цена $680$ руб. Какой была цена? $800$ руб.
повыш. $A$ на $25%$ больше $B$ . На сколько процентов $B$ меньше $A$ ? на $20%$

R06.1

Сводка · последовательные изменения

Множители перемножаются, проценты не складываются

A \cdot (1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{q}{100})

A_{n} = A (1 + \frac{p}{100})^{n}

Сложные проценты: каждый раз процент берётся от нового значения

R06.1 · опора R04

Образец → сам · сложные проценты

Несколько изменений подряд

Образец

Вклад $50000$ руб. под $8%$ годовых, проценты добавляются к вкладу. Сколько будет через $2$ года?

множитель $1, 08$ $+ 8%$ в год

$50000 \cdot 1, 0 8^{2}$ два года подряд

$50000 \cdot 1, 1664 = 58320$ руб.

Сам

базаЦену дважды повысили на $10%$ . На сколько процентов всего? на $21%$
базаЦену снизили на $30%$ , затем повысили на $30%$ . Итог? снизилась на $9%$
повыш.Цену дважды снизили на одно и то же число процентов: с $2500$ до $1600$ руб. На сколько процентов каждый раз? на $20%$

R06.1

Сводка · отношения и пропорции

Отношение $a : b$ — это части; пропорция — равенство отношений

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a d = b c

Прямая пропорциональность:

y = k x

— во сколько раз больше

x

, во столько раз больше

y

Обратная:

y = \frac{k}{x}

— во сколько раз больше

x

, во столько раз меньше

y

R06.1

Образец → сам · отношения и пропорции

Части, пропорция, обратная пропорциональность

Образец

Периметр треугольника $72$ см, стороны относятся как $3 : 4 : 5$ . Найдите стороны.

$3 x + 4 x + 5 x = 72$ $x$ — одна часть

$12 x = 72, x = 6$

$18, 24, 30$ см проверка: сумма $72$

Сам

база $120$ тетрадей разделили между классами в отношении $5 : 7$ . Сколько каждому? $50$ и $70$
база $6$ рабочих делают работу за $10$ дней. За сколько дней сделают $4$ рабочих? за $15$ дней
повыш.Числа относятся как $2 : 5$ , их разность $36$ . Найдите числа. $24$ и $60$

R06.1

Сводка · смеси и сплавы

Считайте массу чистого вещества — она складывается

m_{в - ва} = c \cdot m_{смеси}

При смешивании массы вещества и массы смесей складываются

Добавили воду или высушили — масса сухого вещества не меняется

2 мин · теория
Концентрация c — доля вещества (в долях или процентах). Модель задачи: таблица «смесь — масса — концентрация — масса вещества» по строкам, уравнение — по столбцу «масса вещества».
На рисунке пример сл. 11: 3 · 0,2 = 0,6 кг; 2 · 0,45 = 0,9 кг; всего 1,5 кг вещества в 5 кг смеси — 30 %. Высота тёмной части пропорциональна массе вещества (масштаб условный).
Средняя концентрация — не среднее арифметическое 20 % и 45 % (это было бы 32,5 %), а взвешенное по массам.

R06.1

Образец → сам · смеси и растворы

Уравнение по массе вещества

Образец

Смешали $3$ кг $20%$ -го и $2$ кг $45%$ -го раствора соли. Концентрация смеси?

$0, 2 \cdot 3 + 0, 45 \cdot 2 = 1, 5$ кг соль

$3 + 2 = 5$ кг раствор

$\frac{1 , 5}{5} = 0, 3 = 30%$

Сам

базаК $4$ кг $15%$ -го раствора добавили $1$ кг воды. Концентрация? $12%$
повыш.Сколько взять $10%$ -го и $30%$ -го раствора, чтобы получить $10$ кг $25%$ -го? $2, 5$ кг и $7, 5$ кг
повыш.Свежие грибы содержат $90%$ воды, сушёные — $12%$ . Сколько сушёных получится из $22$ кг свежих? $2, 5$ кг

R06.1 · ПР-3

Образец → сам · прикидка и округление

Сначала оцените, потом считайте точно

Образец

Куртка за $5990$ руб. со скидкой $35%$ . Сколько платить?

$\approx 6000 \cdot 0, 65 = 3900$ прикидка

$5990 \cdot 0, 65 = 3893, 5$ точно

$3893, 5 \approx 3900$ ✓ сверили

Сам

база $18%$ от $357$ — округлите до целых $64$
базаХватит ли $1000$ руб. на $4$ пачки по $279$ руб. со скидкой $12%$ ? да: $982, 08$ руб.
повыш.В городе $248000$ жителей, за год стало на $3, 7%$ больше. Округлите до тысяч. $257000$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Проценты складывают

$+ 20%$ , затем $- 20%$ : «цена не изменилась»

$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ : на $4%$ меньше

второй процент — от новой цены

Не та база

$A$ больше $B$ на $25%$ ⇒ « $B$ меньше $A$ на $25%$ »

$\frac{25}{125} = 20%$

делим на то, с чем сравниваем

Среднее концентраций

$1$ кг $10%$ + $3$ кг $30%$ ⇒ « $20%$ »

$\frac{0 , 1 + 0 , 9}{4} = 25%$

складываем массы вещества

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. В $5$ кг сплава $40%$ меди. Добавили $3$ кг меди. Сколько % меди теперь?

$0, 4 \cdot 5 = 2$ кг; $2 + 3 = 5$ кг меди

$\frac{5}{5} = 100%$

Ошибка: масса сплава стала $5 + 3 = 8$ кг

$\frac{5}{8} = 62, 5%$

2. Зарплату повысили на $15%$ , она стала $46000$ руб. Какой она была?

$46000 \cdot 0, 85 = 39100$ руб.

Ошибка: $15%$ — от старой зарплаты, а не от новой

$46000 : 1, 15 = 40000$ руб.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Проценты и пропорции

$35%$ от $240$ $84$
Число, $12%$ которого равны $30$ $250$
Сколько процентов $18$ от $72$ ? $25%$

$3200$ руб. $+ 15%$ $3680$ руб.
$84$ в отношении $3 : 4$ $36$ и $48$
$x : 15 = 4 : 6$ $10$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Множители, смеси, отношения

повыш. $200000$ руб. под $10%$ годовых с капитализацией на $3$ года. Итог? $266200$ руб.
повыш.Цену повысили на $25%$ . На сколько процентов её снизить, чтобы вернуть прежнюю? на $20%$
повыш.Смешали $30%$ -й и $60%$ -й растворы, получили $600$ г $50%$ -го. Сколько граммов $30%$ -го? $200$ г
повыш.Цену снизили на $20%$ , затем повысили на $p %$ — стала на $4%$ больше исходной. Найдите $p$ . $30$
повыш. $a : b = 3 : 4$ , а $(a + 5) : (b + 5) = 4 : 5$ . Найдите $a$ и $b$ . $15$ и $20$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Два сосуда — система уравнений

В двух сосудах $40$ кг и $10$ кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, получится $62%$ -й раствор. Если слить равные массы — $65%$ -й. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде?

$x, y$ — концентрации (доли) в 1-м и 2-м сосудах

$40 x + 10 y = 0, 62 \cdot 50 = 31$ слили всё

$\frac{x + y}{2} = 0, 65 \Rightarrow x + y = 1, 3$ равные массы

$40 x + 13 - 10 x = 31, x = 0, 6, y = 0, 7$

$40 \cdot 0, 6 = 24$ кг. Ответ: $24$ кг

Сам:

20

кг и

30

кг; вместе —

46%

, поровну —

45%

. Сколько кислоты во втором?

15

кг

3 мин · практика
Ученики составляют систему сами (1,5 мин), затем открываем шаги решения; задание «Сам» — 1,5 мин.
Почему при равных массах концентрация — среднее арифметическое: m·x + m·y = 2m · c ⇒ c = (x + y)/2.
Проверка: 40 · 0,6 + 10 · 0,7 = 24 + 7 = 31 = 0,62 · 50 ✓; (0,6 + 0,7)/2 = 0,65 ✓.
Сам: 20x + 30y = 0,46 · 50 = 23; x + y = 0,9 ⇒ 20x + 27 − 30x = 23 ⇒ x = 0,4, y = 0,5; во втором 30 · 0,5 = 15 кг.
На ОГЭ задание 21 — 2 балла: нужны обозначения, уравнения с пояснением, решение и ответ на вопрос задачи (не концентрация, а масса кислоты).

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · какой вклад выгоднее

$100000$ руб. на $3$ года: А — $9%$ с капитализацией, Б — $9, 5%$ без неё

практикаСколько будет в А через $3$ года? $\approx 129503$ руб.
практикаСколько будет в Б? $128500$ руб.
повыш.Через сколько лет вклад А превысит $150000$ руб.? через $5$ лет

Ставка ниже, но к 3-му году А обгоняет Б: проценты на проценты

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $18%$ от $450$ $81$
базаПосле скидки $25%$ цена $1260$ руб. Цена до скидки? $1680$ руб.
базаСмешали $2$ кг $40%$ -го и $3$ кг $15%$ -го раствора. Концентрация? $25%$
повыш.Цену дважды повысили на одно и то же число процентов: с $1000$ до $1210$ руб. На сколько? на $10%$

Вариант 2

база $24%$ от $350$ $84$
базаПосле повышения на $20%$ цена $1560$ руб. Прежняя цена? $1300$ руб.
базаСмешали $4$ кг $35%$ -го и $1$ кг $10%$ -го раствора. Концентрация? $30%$
повыш.Цену дважды снизили на одно и то же число процентов: с $2000$ до $1620$ руб. На сколько? на $10%$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

На что делить, когда ищем «на сколько процентов»?
Почему $+ 20%$ и $- 20%$ не дают $0$ ?
Какая величина сохраняется при добавлении воды?

Домашнее задание

Число увеличили на $50%$ , затем уменьшили на $50%$ . Как оно изменилось?
Сколько воды добавить к $3$ кг $20%$ -го раствора, чтобы получить $15%$ -й?
Фрукты содержат $80%$ воды, сушёные — $25%$ . Сколько сушёных из $45$ кг свежих?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-104 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 2/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (проценты, отношения, пропорции; округление, приближение, оценка; текстовые задачи) → 2–20 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-15 (текстовые задачи алгебраическим способом) → 5, 7, 9, 11, 14–17, 19 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 7, 11, 17, 18 · ПР-3 (округление, прикидка) → 3, 12, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	действительные числа и вычисления — ALG9U-103; задачи на движение и работу, выражения и функции — следующие уроки R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:проценты, отношения,смеси и сплавы

Сегодня вы повторите и научитесь

Проценты через множитель

Отношения и пропорции

Смеси и сплавы

Прикидка и округление

Проценты, части, округление

Процент — сотая часть; p% — это множитель 100p​

Изменение в процентах и обратная задача

Образец

Сам

Множители перемножаются, проценты не складываются

Несколько изменений подряд

Образец

Сам

Отношение a:b — это части; пропорция — равенство отношений

Части, пропорция, обратная пропорциональность

Образец

Сам

Считайте массу чистого вещества — она складывается

Уравнение по массе вещества

Образец

Сам

Сначала оцените, потом считайте точно

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Проценты складывают

Не та база

Среднее концентраций

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. В 5 кг сплава 40% меди. Добавили 3 кг меди. Сколько % меди теперь?

2. Зарплату повысили на 15%, она стала 46000 руб. Какой она была?

Проценты и пропорции

Множители, смеси, отношения

Два сосуда — система уравнений

100000 руб. на 3 года: А — 9% с капитализацией, Б — 9,5% без неё

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-104 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
проценты, отношения,
смеси и сплавы

Процент — сотая часть; $p %$ — это множитель $\frac{p}{100}$

Отношение $a : b$ — это части; пропорция — равенство отношений

1. В $5$ кг сплава $40%$ меди. Добавили $3$ кг меди. Сколько % меди теперь?

2. Зарплату повысили на $15%$ , она стала $46000$ руб. Какой она была?

$100000$ руб. на $3$ года: А — $9%$ с капитализацией, Б — $9, 5%$ без неё