Повторение · урок 1 из 34 · обобщение

Повторение:
числа
и вычисления

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-103

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 1/34, единица R06.1, тема урока — первая часть единицы: «Числа и вычисления» (запись, сравнение, действия с действительными числами, числовая прямая; проценты, отношения, пропорции; округление, приближение, оценка). Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-102 — обобщение по степени с рациональным показателем; следующий ALG9U-104 — продолжение повторения по R06.1.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (множества чисел) 3 · 6 (приёмы сравнения и оценки) 2 · 9 (действия с корнями) 2 · 11 (проценты и пропорции) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Различать множества чисел

$N, Z, Q, R$ ; периодическую дробь — в обыкновенную (ПР-2)

Сравнивать и оценивать

числа с корнями, место числа на прямой, округление и прикидка (ПР-3)

Преобразовывать корни

$a^{2} = ∣ a ∣$ , сопряжённое, «корень из полного квадрата» (ПР-1, ПР-2)

Считать проценты

последовательные изменения, смеси и сплавы, вклады (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-2 (ФРП дословно): «Использовать понятие множества действительных чисел при решении задач, проведении рассуждений и доказательств». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений».
ПР-1 — свойства корня n-й степени (опора прошлого урока). ПР-15, ПР-16 — текстовые задачи и модели реальных ситуаций (проценты).
Вид деятельности ФРП по строке: «Выполнять действия, сравнивать и упорядочивать числа, представлять числа на координатной прямой, округлять числа; выполнять прикидку и оценку результата вычислений. Решать практические задачи, содержащие проценты, доли, части…».

разминка · R05

Разминка · устно

Корни, степени, дроби, проценты

3 - 27

вычислите

- 3

1 6^{\frac{3}{4}}

вычислите

8

2 \cdot 18

вычислите

6

0, 49

вычислите

0, 7

\frac{3}{8}

десятичной дробью

0, 375

2, 5 \cdot 1 0^{- 2}

без степени

0, 025

15 %

от

80

найдите

12

∣3 - π ∣

без модуля

π - 3

R06.1

Сводка · множества чисел

Каждому действительному числу — точка прямой

Q = {\frac{m}{n} : m \in Z, n \in N}

Рациональное — конечная или периодическая дробь:

\frac{2}{3} = 0, (6)

Иррациональное — бесконечная непериодическая:

2, π

R

= рациональные

\cup

иррациональные

3 мин · теория
Натуральные ⊂ целые ⊂ рациональные ⊂ действительные. Иррациональные — часть ℝ вне ℚ. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой и обратно.
Вопрос классу: какие обыкновенные дроби дают конечную десятичную? (Несократимые, знаменатель которых раскладывается только на 2 и 5: 3/8 = 0,375; 2/3 — нет.)
Вопрос: почему √2 иррационально? Кратко (доказательство 8 кл.): если √2 = m/n несократимая, то m² = 2n², m чётно, m = 2k, n² = 2k², n чётно — противоречие с несократимостью.
Сумма рационального и иррационального — иррациональна; сумма двух иррациональных может быть рациональной: (1 + √2) + (1 − √2) = 2 (к сл. 16, задание 4).

R06.1

Образец → сам · периодическая дробь

Запишите в виде обыкновенной дроби

Образец

$0, (36)$

$x = 0, 3636 \dots$ обозначили

$100 x = 36, 3636 \dots$ период из 2 цифр

$99 x = 36$ вычли: «хвосты» равны

$x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$ проверка: $4 : 11 = 0, 3636 \dots$

Сам

база $0, (7)$ $\frac{7}{9}$
база $1, (18)$ $\frac{13}{11}$
повыш. $0, 2 (3)$ $\frac{7}{30}$

R06.1 · ПР-3

Схема · сравнение и оценка

Как сравнить числа с корнями

Приём	Когда	Пример
внести множитель под корень	$a b$ и $c d$	$32 = 18$
возвести в квадрат	оба числа $\geq 0$	$a > b \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}$
сравнить с промежуточным	есть число «между»	$8 < 3 < 10$
сопряжённое	разности корней	$a - b = \frac{a - b}{a + b}$
оценка между целыми	место на прямой	$n^{2} < a < (n + 1)^{2}$ $\Rightarrow n < a < n + 1$

R06.1 · ПР-3

Образец → сам · сравнение чисел

Сравните числа

Образец

$7 + 3$ и $25$

$10 + 221$ и $20$ оба $> 0$ , в квадрат

$221$ и $10$ вычли $10$

$84 < 100$ снова в квадрат

$7 + 3 < 25$ прикидка: $4, 38 < 4, 47$

Сам

база $32$ и $23$ $32 > 23$
повыш. $33$ и $2$ $33 > 2$
повыш. $11 - 10$ и $10 - 3$ первое меньше

R06.1 · ПР-3

Образец → сам · числовая прямая

Оцените число по его месту на прямой

Образец · какое число наибольшее: $a^{2}, - a, \frac{1}{a}, a + 2$ ?

$1 < a^{2} < 4, 1 < - a < 2$ $- 2 < a < - 1$

$\frac{1}{a} < 0, 0 < a + 2 < 1$ оценки

$a^{2} = (- a) (- a) > - a$ так как $- a > 1$

Ответ: $a^{2}$

Сам

базаМежду какими соседними целыми лежит $57$ ? $7$ и $8$
базаСколько целых чисел между $- 10$ и $30$ ? $9$
повыш.Между какими соседними целыми лежит $5 - 17$ ? $0$ и $1$

R06.1 · опора R05

Сводка · действия с корнями

Пять формул для вычислений с корнями

Произведение и частное

$ab = a b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ $a \geq 0, b > 0$

Корень из квадрата

$a^{2} = ∣ a ∣$ для любого $a$

Сопряжённые множители

$(a - b) (a + b) = a - b$

Полный квадрат под корнем

$a \pm 2 ab + b = (a \pm b)^{2}$

Внести множитель:

a b = a^{2} b

только при

a \geq 0

; иначе

a b = - a^{2} b

R06.1 · ПР-1

Образец → сам · преобразования с корнями

Вычислите

Образец

$7 - 43$

$7 - 43 = 4 - 43 + 3$ $4 + 3 = 7$

$= (2 - 3)^{2}$ полный квадрат

$(2 - 3)^{2} = ∣2 - 3 ∣$ $a^{2} = ∣ a ∣$

$= 2 - 3$ $2 = 4 > 3$

Сам

база $(11 - 3) (11 + 3)$ $2$
база $\frac{4}{5 - 1}$ без корня в знаменателе $5 + 1$
повыш. $(3 - 2)^{2} + (3 - 1)^{2}$ $1$

R06.1 · ПР-15

Сводка · проценты и пропорции

Процент — сотая часть; всё решает «база»

$p %$ от числа

$a \cdot \frac{p}{100}$

Увеличить / уменьшить на $p %$

$a (1 \pm \frac{p}{100})$ множитель

$n$ раз подряд на $p %$

$a (1 + \frac{p}{100})^{n}$ сложные проценты

На сколько % $A$ больше $B$

$\frac{A - B}{B} \cdot 100 %$ база — $B$

Пропорция:

a : b = c : d \Leftrightarrow a d = b c

; в смесях сохраняется масса «чистого» вещества

R06.1 · ПР-15, ПР-16

Образец → сам · проценты

Последовательные изменения и смеси

Образец

Цену подняли на $25 %$ , затем снизили на $20 %$ . Как изменилась цена?

$x \to 1, 25 x$ множитель $1 + 0, 25$

$1, 25 x \to 0, 8 \cdot 1, 25 x$ множитель $1 - 0, 2$

$0, 8 \cdot 1, 25 = 1$ перемножили

Не изменилась

Сам

базаЦену снизили на $10 %$ , затем ещё на $10 %$ . На сколько процентов всего? на $19 %$
база $A$ на $25 %$ больше $B$ . На сколько процентов $B$ меньше $A$ ? на $20 %$
повыш. $12$ кг сплава содержат $45 %$ меди. Сколько кг меди добавить, чтобы её стало $60 %$ ? $4, 5$ кг

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из квадрата

$(1 - 2)^{2} = 1 - 2$

$= ∣1 - 2 ∣ = 2 - 1$

корень не бывает отрицательным: $1 - 2 < 0$

Проценты складывают

$+ 20 %$ , затем $- 20 %$ : «цена та же»

$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ : на $4 %$ ниже

второй процент берут от новой цены

Квадрат у отрицательных

$9 < 10$ , значит $- 3 < - 10$

$- 3 > - 10$

в квадрат — только неотрицательные; умножение на $- 1$ меняет знак

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Вычислите

$(3 - 11)^{2} + 11$

$= 3 - 11 + 11 = 3$

Ошибка: $3 = 9 < 11$ , модуль раскрыт неверно

$= 11 - 3 + 11 = 211 - 3$

Задача 2. В обыкновенную дробь

$0, 1 (6)$

$100 x = 16, (6)$ , $99 x = 16$ , $x = \frac{16}{99}$

Ошибка: есть предпериод — вычитать $10 x = 1, (6)$ , а не $x$

$100 x - 10 x = 15$ , $x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, округлите, переведите

$(\frac{3}{4} - \frac{2}{5}) : \frac{7}{10}$ $0, 5$
$\frac{( 2 3 ) ^{2}}{6}$ $2$
$4, 5 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 2 \cdot 1 0^{5}$ $900$

$π$ до тысячных $3, 142$
$0, (45)$ — дробью $\frac{m}{n}$ $\frac{5}{11}$
$1200$ р. со скидкой $15 %$ $1020$ р.

R06.1 · ПР-2, ПР-3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Корни, сравнение, проценты

повыш.Вычислите $11 + 62$ $3 + 2$
повыш.Сравните $5 + 6$ и $3 + 8$ первое больше
повыш.Вычислите $\frac{1}{3 + 2} + \frac{1}{3 - 2}$ $23$
повыш.Рационально ли число $(3 - 1)^{2} + 23$ ? да, $4$
повыш.Число увеличили на $20 %$ , потом ещё на $30 %$ . На сколько процентов всего? на $56 %$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 20 и 21

Часть 2: полное решение с обоснованием

20Найдите значение $(a - 6)^{2} + (a - 10)^{2}$ при $6 \leq a \leq 10$ $4$
20Вычислите $19 - 83 + 3$ $4$
21Свежие фрукты содержат $80 %$ воды, высушенные — $28 %$ . Сколько свежих фруктов нужно для $45$ кг высушенных? $162$ кг

1: знаки под модулями — из условия

2:

19 = 16 + 3

3: сухое вещество не меняется

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни

Вклад $100000$ р. под $8 %$ годовых с капитализацией

практикаСколько будет на вкладе через $2$ года? $116640$ р.
практикаНа сколько процентов выросла сумма за $2$ года? на $16, 64 %$
повыш.Через сколько полных лет сумма впервые превысит $150000$ р.? через $6$ лет

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $0, (54)$ — обыкновенной дробью $\frac{6}{11}$
базаСравните $27$ и $33$ $27 > 33$
базаЦену подняли на $10 %$ , затем снизили на $10 %$ . Как изменилась цена? снизилась на $1 %$
повыш.Вычислите $9 - 45$ $5 - 2$

Вариант 2

база $0, (27)$ — обыкновенной дробью $\frac{3}{11}$
базаСравните $35$ и $211$ $35 > 211$
базаЧисло увеличили на $50 %$ , затем уменьшили на $50 %$ . Как изменилось число? уменьшилось на $25 %$
повыш.Вычислите $8 - 27$ $7 - 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем рациональное число отличается от иррационального в десятичной записи?
Когда можно сравнивать квадраты чисел?
Почему $+ 20 %$ и $- 20 %$ не возвращают цену?

Домашнее задание

$2, 1 (3)$ — обыкновенной дробью
Сравните $3 + 5$ и $4$
Вычислите $12 - 63$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-103 · Обобщение и систематизация: числа и вычисления

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 1/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (часть «Числа и вычисления») → 2, 4–20 · опора R05 → 3, 9 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-2 (множество действительных чисел) → 2, 4, 5, 14, 16, 19 · ПР-3 (сравнение, округление, прикидка, оценка) → 6–8, 13, 15, 16, 19 · ПР-1 (свойства корня) → 3, 9, 10, 17 · ПР-15, ПР-16 (текстовые задачи, модели) → 11, 12, 17, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	текстовые задачи на движение и работу, преобразования алгебраических выражений, функции — следующие уроки R06 (ALG9U-104 и далее)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:числаи вычисления

Сегодня вы повторите и научитесь

Различать множества чисел

Сравнивать и оценивать

Преобразовывать корни

Считать проценты

Корни, степени, дроби, проценты

Каждому действительному числу — точка прямой

Запишите в виде обыкновенной дроби

Образец

Сам

Как сравнить числа с корнями

Сравните числа

Образец

Сам

Оцените число по его месту на прямой

Образец · какое число наибольшее: a2, −a, a1​, a+2?

Сам

Пять формул для вычислений с корнями

Произведение и частное

Корень из квадрата

Сопряжённые множители

Полный квадрат под корнем

Вычислите

Образец

Сам

Процент — сотая часть; всё решает «база»

p% от числа

Увеличить / уменьшить на p%

n раз подряд на p%

На сколько % A больше B

Последовательные изменения и смеси

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из квадрата

Проценты складывают

Квадрат у отрицательных

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Вычислите

Задача 2. В обыкновенную дробь

Вычислите, округлите, переведите

Корни, сравнение, проценты

Часть 2: полное решение с обоснованием

Вклад 100000 р. под 8% годовых с капитализацией

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-103 · Обобщение и систематизация: числа и вычисления

Повторение:
числа
и вычисления

Образец · какое число наибольшее: $a^{2}, - a, \frac{1}{a}, a + 2$ ?

$p %$ от числа

Увеличить / уменьшить на $p %$

$n$ раз подряд на $p %$

На сколько % $A$ больше $B$

Вклад $100000$ р. под $8 %$ годовых с капитализацией