Степень с рациональным показателем · урок 12 из 12 · обобщение

Обобщение:
корни и степени
с рациональным
показателем

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-102

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 12/12, единицы R05.1–R05.5. Тип урока — О (обобщение и систематизация). Прошлый урок ALG9U-101 — практикум «Корень n-й степени»; следующий ALG9U-103 — R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний».
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: корень n-й степени) 3 · 5 (сводка: свойства корня и степени) 3 · 6 (схема упрощения) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7–11) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ 8 (сл. 16) 1,5 · ОГЭ 20 (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 1,5 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать — это опора всей темы.

R05.1–R05.5

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему в систему

Вычислять

корни $n$ -й степени и степени $a^{\frac{m}{n}}$ — по определению и свойствам (ПР-1)

Сравнивать и оценивать

корни с разными показателями, корень — целыми числами (ПР-3)

Преобразовывать

выражения: модуль, общий показатель, замена переменной, формулы (ПР-1)

Решать задания ОГЭ

линия 8 и линия 20 — с полным оформлением (ПР-1, ПР-6)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор, применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем».
ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». ПР-6 — уравнения, сводящиеся к квадратным (замена t = x^(1/4), сл. 17).
Урок обобщающий: новых понятий нет, задача — увидеть, что все приёмы темы сводятся к нескольким свойствам и одной схеме (сл. 6).

разминка · R05.1–R05.3

Разминка · устно

Корни и степени — в уме

3 - 125

вычислите

- 5

481

вычислите

3

1 6^{\frac{3}{4}}

вычислите

8

2 7^{- \frac{1}{3}}

вычислите

\frac{1}{3}

52 \cdot 516

вычислите

2

4 (- 3)^{4}

вычислите

3

a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}

одной степенью

a^{\frac{5}{6}}

6 - 64

имеет смысл?

нет

R05.1 · R05.2

Сводка · корень n-й степени

$n a$ — число, $n$ -я степень которого равна $a$

b^{n} = a \Rightarrow b

— корень

n

-й степени из

a

$n$ нечётное

корень есть из любого $a$ , он один; $n - a = - n a$ , $n a^{n} = a$

$n$ чётное

$a \geq 0$ ; арифметический корень $n a \geq 0$ ; $n a^{n} = ∣ a ∣$

3 мин · теория
Корни уравнения xⁿ = a — абсциссы точек пересечения графика y = xⁿ с прямой y = a. На рисунке a = 2 (масштаб 72 px на единицу): ∛2 ≈ 1,26 — одна точка; ⁴√2 ≈ 1,19 — две точки ±⁴√2.
n нечётное: y = xⁿ возрастает на всей оси, каждое значение принимает ровно один раз — корень один при любом a. n чётное: при a > 0 два корня ±ⁿ√a, при a = 0 один, при a < 0 нет; знаком ⁿ√a обозначают неотрицательный (арифметический) корень.
Вопрос классу: почему ⁴√(x⁴) = |x|, а не x? (Корень чётной степени неотрицателен; при x = −3 получаем 3.)

R05.2 · R05.3

Сводка · свойства корня и степени

Мост между записями: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ , $a > 0$

Корень ( $a \geq 0, b \geq 0$ )	Степень ( $a > 0, b > 0$ , $r, s$ — рациональные)
$n ab = n a \cdot n b$	$(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$
$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}, b > 0$	$(\frac{a}{b})^{r} = \frac{a ^{r}}{b ^{r}}$
$(n a)^{k} = n a^{k}$	$(a^{r})^{s} = a^{rs}$
$n k a = nk a$	$a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}, a^{r} : a^{s} = a^{r - s}$
$nk a^{mk} = n a^{m}$	$a^{\frac{mk}{nk}} = a^{\frac{m}{n}}$ — дробь можно сокращать

3 мин · теория
Строки — одно и то же свойство на двух языках: перепишите корень степенью — и правило слева превращается в правило справа. Пример: ⁿ√(ᵏ√a) = (a^(1/k))^(1/n) = a^(1/(nk)).
Условия важны: для корня допускаются a ≥ 0 (при нечётном n свойства верны и для любых a), для степени с дробным показателем основание строго положительно (сл. 12, ошибка 3).
Последняя строка — «основное свойство корня»: показатели корня и степени можно сокращать на общий множитель при a ≥ 0. При a < 0 и чётном nk нужен модуль: ⁴√((−2)²) = √2, а не √(−2).
Вопрос классу: какое свойство позволяет сравнивать корни с разными показателями? (последнее — приведение к общему показателю, сл. 8).

R05.4 · R05.5

Схема · как упрощать выражение

Пять шагов — для корней и степеней

Шаг	Приём	Пример
1. Знаки	чётный корень из степени — модуль	$4 x^{4} = ∣ x ∣$
2. Один язык	корни → степени	$3 a \cdot a = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}$
3. Одно основание	числа — степени простых	$8^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{- \frac{1}{2}} = 2^{2} \cdot 2^{- 1} = 2$
4. Замена	$t = a^{\frac{1}{n}}$ — получаем многочлен	$t = a^{\frac{1}{2}} : a - 1 = t^{2} - 1$
5. Формулы	разность квадратов, кубов; сопряжённое	$\frac{a - 1}{a ^{\frac{1}{2}} - 1} = a^{\frac{1}{2}} + 1$

R05.2 · R05.3

Образец → сам · вычисление

Найдите значение выражения

Образец

$\frac{9 ^{\frac{3}{4}} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{2 7 ^{\frac{2}{3}}}$

$9^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}, 2 7^{\frac{2}{3}} = 3^{2}$ одно основание

$3^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2} = 3^{0}$ $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$

$= 1$ ответ

Сам

база $354 \cdot 34$ $6$
база $2 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 2}$ $5$
повыш. $\frac{4 48 \cdot 4 12}{4 9}$ $22$

R05.2 · ПР-3

Образец → сам · сравнение и оценка

Сравните числа — приведите к общему показателю

Образец

Сравните $33$ и $2$

$33 = 6 3^{2} = 69$ НОК $(3, 2) = 6$

$2 = 6 2^{3} = 68$ то же свойство

$9 > 8 \Rightarrow 33 > 2$ больше подкоренное — больше корень

Сам

базаСравните $45$ и $3$ $45 < 3$
базаМежду какими целыми числами $350$ ? $3$ и $4$
повыш.Расположите по возрастанию: $2$ , $33$ , $610$ $2, 33, 610$

R05.4

Образец → сам · корень из степени

Упростите: сначала определите знак

Образец

$4 (1 - 3)^{4} + 3 (1 - 3)^{3}$

$∣1 - 3 ∣ + (1 - 3)$ $n = 4$ — модуль, $n = 3$ — нет

$1 - 3 < 0$ $3 > 1$

$(3 - 1) + (1 - 3) = 0$ ответ

Сам

база $6 (2 - 5)^{6}$ $5 - 2$
база $4 x^{4}$ при $x < 0$ $- x$
повыш. $4 (a - 3)^{4} + 5 (a - 5)^{5}$ при $a < 3$ $- 2$

R05.5

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь с помощью замены ( $a, b, x > 0$ )

Образец

$\frac{a - 8}{a ^{\frac{2}{3}} + 2 a ^{\frac{1}{3}} + 4}$

$t = a^{\frac{1}{3}}, a = t^{3}$ замена

$\frac{t ^{3} - 8}{t ^{2} + 2 t + 4} = \frac{( t - 2 ) ( t ^{2} + 2 t + 4 )}{t ^{2} + 2 t + 4}$ разность кубов

$t - 2 = a^{\frac{1}{3}} - 2$ $t^{2} + 2 t + 4 > 0$

Сам

база $\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}$ $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$
база $\frac{x ^{\frac{1}{2}} - 2 x ^{\frac{1}{4}}}{x ^{\frac{1}{4}} - 2}$ $x^{\frac{1}{4}}$
повыш. $\frac{a + b}{a ^{\frac{2}{3}} - a ^{\frac{1}{3}} b ^{\frac{1}{3}} + b ^{\frac{2}{3}}}$ $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$

R05.5

Образец → сам · значение при условии

Найдите значение, не находя $x$ ( $x > 0$ , $a > 0$ )

Образец

$x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ . Найдите $x + x^{- 1}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}})^{2} = 9$ возведём в квадрат

$x + 2 + x^{- 1} = 9$ $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = 1$

$x + x^{- 1} = 7$ ответ

Сам

база $a^{\frac{1}{3}} - a^{- \frac{1}{3}} = 2$ . Найдите $a^{\frac{2}{3}} + a^{- \frac{2}{3}}$ . $6$
база $x + x^{- 1} = 7$ . Найдите $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}$ . $3$
повыш. $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ . Найдите $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}}$ . $18$

R05.1–R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли модуль

$4 (- 2)^{4} = - 2$

$4 (- 2)^{4} = ∣ - 2∣ = 2$

корень чётной степени неотрицателен

Корень из суммы

$3 8 + 27 = 2 + 3 = 5$

$335 \approx 3, 27$

свойство есть только для произведения и частного

Отрицательное основание

$(- 8)^{\frac{1}{3}} = - 2$

$3 - 8 = - 2$ , а $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ не определена

$a^{\frac{m}{n}}$ определена при $a > 0$

R05.3–R05.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите ( $a > 0$ )

$(a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{23}{12}}$

Ошибка: степень в степень — показатели умножают

$a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a$

Задача 2. Избавьтесь от корня в знаменателе

$\frac{1}{3 2} = \frac{3 2}{3 2 \cdot 3 2} = \frac{3 2}{2}$

Ошибка: $32 \cdot 32 = 34 \neq = 2$

$\frac{3 4}{3 2 \cdot 3 4} = \frac{3 4}{2}$

R05.1–R05.3

Задания с самопроверкой · база

Вычислите или упростите ( $a > 0$ )

$3 0, 008$ $0, 2$
$3 2^{\frac{3}{5}}$ $8$
$(\frac{1}{16})^{- \frac{3}{4}}$ $8$

$324 \cdot 39$ $6$
$\frac{5 96}{5 3}$ $2$
$\frac{a ^{\frac{3}{4}} \cdot a ^{\frac{5}{4}}}{a}$ $a$

R05.2 · R05.4 · R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Иррациональность, сравнение, модуль, замена

повыш.Избавьтесь от иррациональности: $\frac{6}{3 9}$ $233$
повыш.Сравните $37$ и $412$ $37 > 412$
повыш.Вычислите $4 17 - 122$ $2 - 1$
повыш.Упростите $\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{3}} - b ^{\frac{1}{3}}} - a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$ ( $a, b > 0$ , $a \neq = b$ ) $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$
повыш.При каких $a$ верно $4 (a - 2)^{4} = 2 - a$ ? $a \leq 2$

R05.2 · R05.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения — ответ одно число

$\frac{3 25 \cdot 3 40}{3 8}$ $5$
$2^{\frac{3}{4}} \cdot 8^{\frac{5}{12}}$ $4$
$\frac{a ^{\frac{7}{3}} \cdot a ^{\frac{5}{6}}}{a ^{\frac{1}{6}}}$ при $a = 2$ $8$

1: сначала перемножьте под одним корнем

2:

8 = 2^{3}

— одно основание

3: упростите, потом подставляйте

R05.5 · ПР-6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Полное решение: упростите, решите уравнение

Найдите значение $\frac{x - y}{x ^{\frac{1}{2}} - y ^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + y - 2 x ^{\frac{1}{2}} y ^{\frac{1}{2}}}{x ^{\frac{1}{2}} - y ^{\frac{1}{2}}}$ при $x = 7$ , $y = 16$ $8$
Решите уравнение $x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ $64$
Решите уравнение $x - 3 4 x + 2 = 0$ $1; 16$

1:

u = x^{\frac{1}{2}}, v = y^{\frac{1}{2}}

— сначала упростите

2:

t = x^{\frac{1}{3}} > 0

— отбор корней

3:

t = 4 x \geq 0

2 мин · практика
1) u = √x, v = √y (u ≠ v): (u² − v²)/(u − v) − (u − v)²/(u − v) = (u + v) − (u − v) = 2v = 2√y = 2 · 4 = 8. Значение x не нужно — это и есть смысл упрощения. Проверено подстановкой.
2) Степень с дробным показателем определена при x > 0 (сл. 12), поэтому t = x^(1/3) > 0: t² − 3t − 4 = 0, t = 4 или t = −1 (не подходит). x = 4³ = 64. Проверка: 16 − 12 − 4 = 0 ✓.
3) t = ⁴√x ≥ 0: t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2 → x = 1 или x = 16. Проверка: 1 − 3 + 2 = 0 ✓; 4 − 6 + 2 = 0 ✓.
Линия 20 — 2 балла: нужны замена, отбор корней по условию t ≥ 0 и обратная замена. Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R05.3 · применение

Задача из жизни

Закон Клайбера: обмен веществ $P = 70 m^{\frac{3}{4}}$ ккал/сут

практикаСобака $16$ кг: найдите $P$ $560$ ккал
практикаЧеловек $81$ кг: найдите $P$ $1890$ ккал
повыш.Во сколько раз у собаки больше $P$ на $1$ кг массы? в $1, 5$ раза

1,5 мин · практика
Закон Клайбера (биология): суточный основной обмен млекопитающих приблизительно пропорционален m^(3/4); коэффициент 70 ккал/сут — оценка для теплокровных.
1) 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 8; P = 70 · 8 = 560. 2) 81^(3/4) = 3³ = 27; P = 70 · 27 = 1890.
3) P/m = 70 · m^(−1/4): у собаки 70/2 = 35, у человека 70/3 ≈ 23,3 ккал на 1 кг; отношение (81/16)^(1/4) = 3/2 = 1,5. Вывод: мелкие животные тратят больше энергии на 1 кг массы.
График построен по формуле (масштаб: 4 px на 1 кг, 0,12 px на 1 ккал).

R05.1–R05.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $2 7^{\frac{2}{3}} \cdot 8 1^{- \frac{1}{4}}$ $3$
база $316 \cdot 34$ $4$
базаСравните $32$ и $43$ $32 < 43$
повыш.Сократите $\frac{a ^{\frac{3}{2}} - 8}{a ^{\frac{1}{2}} - 2}$ $a + 2 a^{\frac{1}{2}} + 4$

Вариант 2

база $6 4^{\frac{2}{3}} \cdot 1 6^{- \frac{1}{4}}$ $8$
база $48 \cdot 42$ $2$
базаСравните $3$ и $35$ $3 > 35$
повыш.Сократите $\frac{b ^{\frac{3}{2}} + 27}{b ^{\frac{1}{2}} + 3}$ $b - 3 b^{\frac{1}{2}} + 9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда $n a^{n} = ∣ a ∣$ , а когда $= a$ ?
Почему в $a^{\frac{m}{n}}$ основание $a > 0$ ?
Как сравнить корни с разными показателями?

Домашнее задание

$4 (5 - 3)^{4} - 3 (5 - 3)^{3}$
Решите уравнение $x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} + 6 = 0$
$x - x^{- 1} = 3$ . Найдите $x^{2} + x^{- 2}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-102 · Обобщение и систематизация по теме «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 12/12 · тип О
Единицы → слайды	R05.1 → 3, 4, 14 · R05.2 → 5, 7, 8, 15, 16 · R05.3 → 5, 7, 13, 14, 16, 18 · R05.4 → 6, 9, 12, 15 · R05.5 → 6, 10, 11, 13, 15, 17, 19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 7–11, 13–20)
Результаты	ПР-1 (корень n-й степени, степень с рациональным показателем, свойства) → 2–17, 19 · ПР-3 (сравнение, оценка) → 8, 15, 19 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	иррациональные уравнения и показательная функция — 10–11 класс; итоговое повторение — R06, ALG9U-103 и далее
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение:корни и степенис рациональнымпоказателем

Сегодня вы соберёте тему в систему

Вычислять

Сравнивать и оценивать

Преобразовывать

Решать задания ОГЭ

Корни и степени — в уме

na​ — число, n-я степень которого равна a

n нечётное

n чётное

Мост между записями: anm​=nam​, a>0

Пять шагов — для корней и степеней

Найдите значение выражения

Образец

Сам

Сравните числа — приведите к общему показателю

Образец

Сам

Упростите: сначала определите знак

Образец

Сам

Сократите дробь с помощью замены (a,b,x>0)

Образец

Сам

Найдите значение, не находя x (x>0, a>0)

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли модуль

Корень из суммы

Отрицательное основание

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите (a>0)

Задача 2. Избавьтесь от корня в знаменателе

Вычислите или упростите (a>0)

Иррациональность, сравнение, модуль, замена

Найдите значение выражения — ответ одно число

Полное решение: упростите, решите уравнение

Закон Клайбера: обмен веществ P=70m43​ ккал/сут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-102 · Обобщение и систематизация по теме «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем»

Обобщение:
корни и степени
с рациональным
показателем

$n a$ — число, $n$ -я степень которого равна $a$

$n$ нечётное

$n$ чётное

Мост между записями: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ , $a > 0$

Сократите дробь с помощью замены ( $a, b, x > 0$ )

Найдите значение, не находя $x$ ( $x > 0$ , $a > 0$ )

Задача 1. Упростите ( $a > 0$ )

Вычислите или упростите ( $a > 0$ )

Закон Клайбера: обмен веществ $P = 70 m^{\frac{3}{4}}$ ккал/сут