Степень с рациональным показателем · урок 11 из 12 · практикум

Практикум:
корень $n$ -й степени

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-101

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 11/12, единица R05.1 «Корень n-й степени». Тип урока — П. Это второй практикум по теме (первый — ALG9U-096: вычисление корней, xⁿ = a, корень из числовой степени, сравнение). Сегодня — новые типы: переменная под корнем, вложенные корни, уравнения с корнем и замена, оценка до десятых, параметр.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка) 3 · 7 (уравнения с корнем) 2 · 10 (оценка) 2 · 12 (графический метод) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 13) 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 3 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Упрощать с переменной

$n f^{n}$ при условиях на $x$ , вложенные корни вида $4 17 - 122$ (ПР-1)

Решать уравнения

с корнем $n$ -й степени и заменой $t = n x$ ; формат ОГЭ, линия 20 (ПР-1, ПР-6)

Оценивать и сравнивать

корень с точностью до десятых, суммы корней с числом (ПР-3)

Исследовать

число корней уравнения с параметром, графический метод (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени… применять свойства корня n-й степени». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа… выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». ПР-6: уравнения, сводящиеся к квадратным. ПР-14: исследование уравнений, в том числе графически.
Вид деятельности ФРП: «Оценивать значение корня n-й степени… целыми числами и десятичными дробями» — сл. 10–11.

разминка · R05.1–R05.3

Разминка · устно

Корни и степени

3 - 0, 001

вычислите

- 0, 1

5243

вычислите

3

(7 - 5)^{7}

вычислите

- 5

8^{\frac{2}{3}}

вычислите

4

x^{3} = - 64

корни

- 4

x^{4} = - 1

корни

нет

4 (- 3)^{4}

вычислите

3

6 x^{6}

упростите

∣ x ∣

R05.1

Сводка · корень n-й степени

Всё решает чётность показателя

	$n$ чётное	$n$ нечётное
$n a$ существует	при $a \geq 0$ , и $n a \geq 0$	при любом $a$
$n a^{n}$	$∣ a ∣$	$a$
$n f = g$	$f = g^{n}$ и $g \geq 0$	$f = g^{n}$
$x^{n} = a$	$\pm n a$ при $a > 0$	$n a$

R05.1

Образец → сам · переменная под корнем

Упростите при данном условии

Образец

$4 (x - 2)^{4} + 6 (x - 5)^{6}$ при $2 \leq x \leq 5$

$= ∣ x - 2∣ + ∣ x - 5∣$ $n$ чётное

$x - 2 \geq 0, x - 5 \leq 0$ знаки

$= (x - 2) + (5 - x) = 3$ раскрыли модули

Сам

база $4 a^{4} + 3 a^{3}$ , $a < 0$ $0$
база $6 (3 - x)^{6}$ , $x > 3$ $x - 3$
повыш. $4 (x - 1)^{4} - 4 (x + 3)^{4}$ , $x < - 3$ $4$

R05.1

Образец → сам · полная степень под корнем

Увидьте под корнем степень двучлена

Образец

$4 17 - 122$

$(2 - 1)^{2} = 3 - 22$ квадрат разности

$(3 - 22)^{2} = 17 - 122$ ещё раз

$4 (2 - 1)^{4} = ∣ 2 - 1∣$ $n = 4$

$= 2 - 1$ $2 > 1$

Сам

база $7 - 43$ $2 - 3$
повыш. $4 28 - 163$ $3 - 1$
повыш. $3 7 + 52$ $1 + 2$

R05.1

Сводка · уравнения с корнем n-й степени

Возвести в степень — и проверить условие

n

нечётное:

n f = g ⟺ f = g^{n}

n

чётное:

n f = g ⟺ {f = g^{n}, g \geq 0

Два корня

x

и

4 x

в одном уравнении — замена

t = 4 x \geq 0

, тогда

x = t^{2}

Почему $f \geq 0$ не пишем

$f = g^{n}$ при чётном $n$ — уже неотрицательно

Почему нужно $g \geq 0$

$416 = 2$ , но $(- 2)^{4} = 16$ тоже — посторонний корень

R05.1 · ПР-6

Образец → сам · уравнение с корнем

Решите уравнение

Образец

$3 x^{3} - 19 = x - 1$

$x^{3} - 19 = (x - 1)^{3}$ $n = 3$ нечётное

$x^{3} - 19 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ куб разности

$x^{2} - x - 6 = 0$ разделили на $3$

$x = 3; - 2$ $38 = 2, 3 - 27 = - 3$ ✓

Сам

база $3 2 x - 1 = - 3$ $- 13$
база $4 x^{2} + 65 = 3$ $\pm 4$
повыш. $4 2 x^{2} - 1 = x$ $1$

R05.1 · ПР-6

Образец → сам · замена переменной

Сведите к квадратному уравнению

Образец

$x - 3 4 x + 2 = 0$

$t = 4 x, t \geq 0, x = t^{2}$ замена

$t^{2} - 3 t + 2 = 0 : t = 1; 2$ Виета

$4 x = 1$ или $4 x = 2$ оба $t \geq 0$

$x = 1; 16$ $x = t^{4}$

Сам

база $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ $- 8; 27$
база $x + 4 x - 6 = 0$ $16$
повыш. $3 x + \frac{8}{3 x} = 6$ $8; 64$

R05.1 · ПР-3

Сводка · оценка и сравнение

Больше подкоренное число — больше корень

0 \leq a < b ⟺ n a < n b

Оценка до десятых

найдите соседние десятые $p$ и $q$ : $p^{n} < A < q^{n}$ , тогда $p < n A < q$

Разные показатели

возведите оба положительных числа в степень НОК показателей

Сумма корней

оцените каждый корень сверху (или снизу) и сложите оценки

R05.1 · ПР-3

Образец → сам · оценка до десятых

Оцените и сравните без калькулятора

Образец

Между какими десятыми лежит $330$ ?

$27 < 30 < 64$ : $3 < 330 < 4$ целые

$3, 1^{3} = 29, 791 < 30$ пробуем $3, 1$

$3, 2^{3} = 32, 768 > 30$ и $3, 2$

$3, 1 < 330 < 3, 2$ калькулятор: $3, 107$

Сам

базаМежду какими десятыми $450$ ? $2, 6$ и $2, 7$
базаСравните $420$ и $39$ $420 > 39$
повыш.Сравните $2 + 33$ и $3$ $2 + 33 < 3$

R05.1 · ПР-14

Сводка · графический метод

Сколько корней у уравнения $3 x = x$ ?

Число корней = число общих точек графиков левой и правой частей

$x = x^{3}$ куб обеих частей

$x (x - 1) (x + 1) = 0$ разложили

три корня: $- 1; 0; 1$ совпало с рисунком

Параметр:

x^{n} = c

— сколько корней, решает знак

c

и чётность

n

R05.1 · ПР-14

Образец → сам · параметр

Число корней уравнения с параметром

Образец

При каких $a$ уравнение $(x^{2} - a)^{4} = 16$ имеет ровно два корня?

$x^{2} - a = \pm 2$ $416 = 2$

$x^{2} = a + 2$ или $x^{2} = a - 2$ $a - 2 < a + 2$

$a + 2 > 0, a - 2 < 0$ 2 корня + 0

$- 2 < a < 2$ $a = \pm 2$ проверить

Сам

базаПри каких $a$ уравнение $4 x = a - 3$ имеет корень? $a \geq 3$
повыш.Сколько корней у уравнения $3 x = \frac{x}{4}$ ? три: $- 8; 0; 8$
повыш.При каких $a$ уравнение $(x^{2} - 1)^{4} = a$ имеет ровно четыре корня? $0 < a < 1$

3 мин · практика
Образец, граничные значения: a = 2 — x² = 4 или x² = 0: корни ±2 и 0, их три; a = −2 — x² = 0 или x² = −4: один корень. При a > 2 — четыре корня, при a < −2 — нет. Ответ: −2 < a < 2. Проверено численно (numpy) при a = −3; −2; −1; 0; 1,9; 2; 3.
1) Левая часть ≥ 0, поэтому нужно a − 3 ≥ 0; тогда x = (a − 3)⁴ — корень есть. Ответ a ≥ 3.
2) Куб: x = x³/64 ⇔ x(x² − 64) = 0: x = 0; ±8. Проверка x = −8: ∛(−8) = −2 = −8/4 ✓.
3) a < 0 — нет корней; a = 0 — x = ±1 (2 корня); a > 0: x² = 1 + ⁴√a (2 корня) и x² = 1 − ⁴√a: 2 корня при 0 < a < 1, один (x = 0) при a = 1, нет при a > 1. Ровно четыре — при 0 < a < 1. Проверено численно.

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли модуль

$4 (x - 3)^{4} = x - 3$

$4 (x - 3)^{4} = ∣ x - 3∣$

при $x < 3$ слева число $\geq 0$ , справа $< 0$

Нет условия $g \geq 0$

$4 x^{2} + 12 = - x$ : $x = \pm 2$

$- x \geq 0$ : только $x = - 2$

при $x = 2$ : $416 = 2 \neq = - 2$

Замена без ограничения

$x - 4 x - 2 = 0$ : $t = 2; - 1 \Rightarrow x = 16; 1$

$t = 4 x \geq 0$ : только $x = 16$

$4 x = - 1$ решений не имеет

R05.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите при $1 < x < 2$

$4 (1 - x)^{4} + 3 (x - 2)^{3}$

$= (1 - x) + (x - 2) = - 1$

Ошибка: $4 (1 - x)^{4} = ∣1 - x ∣ = x - 1$

Верно: $(x - 1) + (x - 2) = 2 x - 3$

Задача 2. Решите уравнение

$3 x^{3} + 7 = x + 1$

$x^{3} + 7 = x^{3} + 1$ , $7 = 1$ — корней нет

Ошибка: $(x + 1)^{3} \neq = x^{3} + 1$

$3 x^{2} + 3 x - 6 = 0$ : $x = 1; - 2$

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, упростите, решите

$3 - 3 \frac{3}{8}$ $- 1, 5$
$4 (3 - 2)^{4}$ $2 - 3$
$3 2 x + 5 = 3$ $11$

$4 x^{2} + 15 = 2$ $\pm 1$
$310$ : между десятыми $2, 1$ и $2, 2$
$3 x^{2} - 3 3 x + 2 = 0$ $1; 8$

R05.1 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модуль, вложенный корень, параметр

повыш.Упростите $6 (x + 1)^{6} - 3 (x + 1)^{3}$ при $x < - 1$ $- 2 x - 2$
повыш.Упростите $9 + 45$ $2 + 5$
повыш.Решите $3 x^{3} + 3 x^{2} - 7 = x + 1$ $- \frac{8}{3}$
повыш.Расположите по возрастанию: $34, 46, 615$ $46, 615, 34$
повыш.При каких $a$ оба корня уравнения $(x - a)^{4} = 16$ положительны? $a > 2$

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — с полной записью решения

$(2 x - 3)^{4} - 5 (2 x - 3)^{2} + 4 = 0$ $0, 5; 1; 2; 2, 5$
$x^{8} = (5 x - 6)^{4}$ $- 6; 1; 2; 3$
$(x - 2)^{6} - 9 (x - 2)^{3} + 8 = 0$ $3; 4$

1:

t = (2 x - 3)^{2} \geq 0

2:

A^{4} = B^{4} ⟺ A = \pm B

3:

t = (x - 2)^{3}

, затем корень 3-й степени

R05.1 · калькулятор

Задача из жизни

Ноты фортепиано: шаг в полутон — умножение на $122$

практикаЛя — $440$ Гц. Какая частота через $12$ полутонов? $880$ Гц
практикаНайдите частоту ля-диеза (на полутон выше) $\approx 466$ Гц
повыш.Ми — через $7$ полутонов от ля. Её частота? $\approx 659$ Гц

2 мин · практика
Равномерно темперированный строй: октава (12 полутонов) удваивает частоту, все полутоны равны, значит, шаг q удовлетворяет q¹² = 2, q = ¹²√2 ≈ 1,0595 (калькулятор).
1) 440 · (¹²√2)¹² = 440 · 2 = 880 Гц. 2) 440 · 1,0595 ≈ 466,2 Гц. 3) 440 · 2^(7/12) ≈ 440 · 1,4983 ≈ 659,3 Гц. Интересно: 2^(7/12) ≈ 1,498 ≈ 3/2 — поэтому квинта звучит «чисто».
На рисунке октава ля–ля: 8 белых и 5 чёрных клавиш, 12 полутонов. Фиолетовая точка — ля-диез (по клику). Связь с историей математики (вид деятельности ФРП): строй предложен в XVI–XVII вв., расчёт — через корень 12-й степени.

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $3 - 0, 064 + 481$ $2, 6$
базаРешите $3 3 x - 1 = 2$ $3$
базаУпростите $4 (x - 4)^{4}$ при $x < 4$ $4 - x$
повыш.Решите $x - 5 4 x + 4 = 0$ $1; 256$

Вариант 2

база $4 0, 0625 - 3 - 8$ $2, 5$
базаРешите $3 5 - 2 x = - 1$ $3$
базаУпростите $6 (x + 2)^{6}$ при $x < - 2$ $- x - 2$
повыш.Решите $x - 4 4 x + 3 = 0$ $1; 81$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда $n a^{n} = ∣ a ∣$ , а когда $a$ ?
Какое условие нужно в $4 f = g$ ?
Почему при замене $t = 4 x$ пишут $t \geq 0$ ?

Домашнее задание

Упростите $4 97 - 563$
Решите $3 x^{3} - 9 x^{2} + 1 = x - 3$
При каких $a$ уравнение $(x^{2} - a)^{4} = 1$ имеет ровно три корня?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-101 · Практикум: Корень n-й степени

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 11/12 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Корень n-й степени» → 2, 4–21 · опора R05.1–R05.3 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-1 (корень n-й степени, калькулятор) → 2–9, 14–21 · ПР-3 (оценка, сравнение) → 10, 11, 16, 17 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 8, 9, 18 · ПР-14 (исследование уравнений, графически) → 12, 13, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	обобщение по строке R05 — ALG9U-102; первый практикум по корню n-й степени — ALG9U-096
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:корень n-й степени

Сегодня вы научитесь

Упрощать с переменной

Решать уравнения

Оценивать и сравнивать

Исследовать

Корни и степени

Всё решает чётность показателя

Упростите при данном условии

Образец

Сам

Увидьте под корнем степень двучлена

Образец

Сам

Возвести в степень — и проверить условие

Почему f≥0 не пишем

Почему нужно g≥0

Решите уравнение

Образец

Сам

Сведите к квадратному уравнению

Образец

Сам

Больше подкоренное число — больше корень

Оценка до десятых

Разные показатели

Сумма корней

Оцените и сравните без калькулятора

Образец

Сам

Сколько корней у уравнения 3x​=x?

Число корней уравнения с параметром

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли модуль

Нет условия g≥0

Замена без ограничения

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите при 1<x<2

Задача 2. Решите уравнение

Вычислите, упростите, решите

Модуль, вложенный корень, параметр

Решите уравнение — с полной записью решения

Ноты фортепиано: шаг в полутон — умножение на 122​

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-101 · Практикум: Корень n-й степени

Практикум:
корень $n$ -й степени

Почему $f \geq 0$ не пишем

Почему нужно $g \geq 0$

Сколько корней у уравнения $3 x = x$ ?

Нет условия $g \geq 0$

Задача 1. Упростите при $1 < x < 2$

Ноты фортепиано: шаг в полутон — умножение на $122$