Степень с рациональным показателем · урок 10 из 12 · практикум

Практикум:
преобразования
выражений со степенью

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-100

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 10/12, единица R05.5 «Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-099 — практикум по преобразованиям выражений с корнем n-й степени; следующий ALG9U-101 — практикум «Корень n-й степени».
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка свойств) 3 · 7 (приём замены, формулы) 3 · 9 (ОДЗ и модуль) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11, 12) 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Графики на титуле: $y = x^{1/2}$ и $y = x^{3/2}$ пересекаются в точке $(1; 1)$ — при $a > 0$ степень $a^{r}$ определена для любого рационального $r$ .
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задача 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять свойства

умножать, делить, возводить в степень — действия с показателями (ПР-1)

Сокращать дроби

заменой $a^{\frac{1}{2}} = t$ и формулами сокращённого умножения (ПР-1)

Помнить про условия

$a > 0$ , знаменатель $\neq = 0$ , $t^{2} = ∣ t ∣$ (ПР-1, ПР-2)

Решать задачи ОГЭ

значение выражения, уравнение заменой, сравнение чисел (ПР-3, ПР-6)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор, применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем». ПР-2: «Использовать понятие множества действительных чисел…». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа…». ПР-6: «…уравнения, сводящиеся к ним».
Вид деятельности ФРП: «Выполнять тождественные преобразования выражения, содержащего корень n-й степени, степень с рациональным показателем».

разминка · R05.3 · R05.4

Разминка · устно

Степени и корни

1 6^{\frac{3}{4}}

вычислите

8

2 7^{- \frac{2}{3}}

вычислите

\frac{1}{9}

3 a^{2}

как степень

a^{\frac{2}{3}}

a^{- \frac{1}{4}}

через корень

\frac{1}{4 a}

a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}

упростите

a^{\frac{5}{6}}

(a^{\frac{2}{3}})^{3}

упростите

a^{2}

(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)

раскройте

x - 1

\frac{6}{3}

без корня в знаменателе

23

R05.3 · R05.5

Сводка · свойства степени

При $a > 0, b > 0$ и рациональных $p, q$

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

$m \in Z, n \in N, n \geq 2$

0^{r} = 0

при

r > 0

; при

a < 0

— не определена

Действие	Правило
умножение	$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
деление	$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$
степень степени	$(a^{p})^{q} = a^{pq}$
степень произведения	$(ab)^{p} = a^{p} b^{p}$
степень частного	$(\frac{a}{b})^{p} = \frac{a ^{p}}{b ^{p}}$

R05.5

Образец → сам · действия с показателями

Упростите выражение

Образец

$\frac{a ^{\frac{5}{6}} \cdot a ^{- \frac{1}{3}}}{( a ^{\frac{1}{8}} ) ^{2}}$

$a^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}}$ умножение: складываем

$(a^{\frac{1}{8}})^{2} = a^{\frac{1}{4}}$ степень степени

$a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}$ деление: вычитаем

Сам

база $\frac{x ^{\frac{3}{4}} \cdot x ^{\frac{1}{2}}}{x ^{\frac{1}{4}}}$ $x$
база $(a^{- \frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}})^{6} \cdot a^{2}$ $b^{3}$
повыш. $(\frac{a ^{\frac{3}{5}}}{b ^{\frac{2}{5}}})^{\frac{5}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}}$ $a$

R05.5 · ОГЭ 8

Образец → сам · значение выражения

Найдите значение — сначала к одному основанию

Образец

$\frac{( 2 ^{\frac{1}{3}} \cdot 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{6}}{6 ^{2}}$

$2^{2} \cdot 3^{3}$ степень произведения

$6^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2}$ разложили основание

$\frac{2 ^{2} \cdot 3 ^{3}}{2 ^{2} \cdot 3 ^{2}} = 3$ сократили

Сам

база $\frac{9 ^{0, 75} \cdot 3 ^{0, 5}}{2 7 ^{\frac{1}{3}}}$ $3$
база $1 6^{0, 25} \cdot 8^{- \frac{1}{3}} \cdot 4^{1, 5}$ $8$
повыш. $\frac{( a ^{\frac{2}{3}} ) ^{3} \cdot a ^{- 1}}{a ^{0, 5}}$ при $a = 0, 36$ $0, 6$

R05.5

Схема · приём замены

$a^{\frac{1}{2}} = x, b^{\frac{1}{2}} = y$ — и это обычная дробь

Формула	В степенях
$x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$	$a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$
$x^{2} \pm 2 x y + y^{2} = (x \pm y)^{2}$	$a \pm 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b = (a^{\frac{1}{2}} \pm b^{\frac{1}{2}})^{2}$
$x^{3} - y^{3}$	$a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) (a + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b)$
$u^{3} + v^{3}$ , $u = a^{\frac{1}{3}}$	$a + b = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

План: условия (

a > 0

, знаменатель

\neq = 0

) → замена → разложить → сократить → обратная замена

R05.5

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь

Образец

$\frac{a - 9 a ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{3}{4}} + 3 a ^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{a ^{\frac{1}{2}} ( a ^{\frac{1}{2}} - 9 )}{a ^{\frac{1}{2}} ( a ^{\frac{1}{4}} + 3 )}$ вынесли $a^{\frac{1}{2}}$

$a^{\frac{1}{2}} - 9 = (a^{\frac{1}{4}} - 3) (a^{\frac{1}{4}} + 3)$ $x^{2} - y^{2}$

$a^{\frac{1}{4}} - 3$ сократили, $a > 0$

Сам

база $\frac{x - 9}{x ^{\frac{1}{2}} + 3}$ $x^{\frac{1}{2}} - 3$
база $\frac{x - 4 x ^{\frac{1}{2}} + 4}{x ^{\frac{1}{2}} - 2}$ $x^{\frac{1}{2}} - 2$
повыш. $\frac{a + b}{a ^{\frac{1}{3}} + b ^{\frac{1}{3}}}$ $a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

R05.1 · R05.5

Сводка · условия и модуль

Степень с дробным показателем — только для $a \geq 0$

Область определения

$3 - 8 = - 2$ , а $(- 8)^{\frac{1}{3}}$ не определено

Корень из квадрата

$(x^{2})^{\frac{1}{2}} = x^{2} = ∣ x ∣$ , но $(x^{\frac{1}{2}})^{2} = x$ , $x \geq 0$

Сокращение

сокращаем на множитель $\neq = 0$ : в $\frac{x - 4}{x ^{\frac{1}{2}} - 2}$ условие $x \neq = 4$

3 мин · теория
Чертёж точный (python): y = ∛x на [−8; 8], 28 px на единицу по x, 60 px по y. Сплошная — y = x^(1/3) (только x ≥ 0), пунктир — продолжение y = ∛x при x < 0. Вопрос: какая часть графика пропадает, если записать x^(1/3) вместо ∛x? (левая.)
Корень из квадрата: свойство (a^p)^q = a^(pq) верно при a > 0. Для x = −3: (x²)^(1/2) = √9 = 3 = |x|, а не −3. Это понадобится на сл. 12.
Сокращение: ответ x^(1/2) + 2 верен при x ≥ 0, x ≠ 4. В ответе ОГЭ условие можно не писать, но при подстановке значения — проверять.

R05.4 · R05.5

Образец → сам · корни в степени

Запишите корни степенями и упростите ( $a, x > 0$ )

Образец

$\frac{3 a ^{2} \cdot a}{6 a}$

$\frac{a ^{\frac{2}{3}} \cdot a ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{6}}}$ корень → степень

$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{4 + 3 - 1}{6}$ общий знаменатель

$a^{1} = a$ ответ

Сам

база $a 3 a$ $a^{\frac{2}{3}} = 3 a^{2}$
база $\frac{4 x ^{3}}{x \cdot 4 x}$ $1$
повыш. $5 a^{2} 3 a$ $a^{\frac{7}{15}}$

R05.5

Образец → сам · несколько действий

Упростите выражение

Образец

$(\frac{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}} - \frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{2}}}$

$a^{\frac{1}{2}} = x, b^{\frac{1}{2}} = y$ замена

$\frac{( x + y ) ^{2} - ( x - y ) ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{4 x y}{x ^{2} - y ^{2}}$ к общему

$\frac{4 x y}{x ^{2} - y ^{2}} \cdot \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} = 4$ сократили

Сам

база $\frac{x ^{1, 5} - 1}{x ^{0, 5} - 1} - x^{0, 5}$ $x + 1$
база $\frac{x ^{\frac{1}{2}} + 1}{x + x ^{\frac{1}{2}} + 1} : \frac{1}{x ^{1, 5} - 1}$ $x - 1$
повыш. $\frac{a - 1}{a ^{\frac{3}{4}} + a ^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a ^{\frac{1}{2}} + a ^{\frac{1}{4}}}{a ^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}} + 1$ $a^{\frac{1}{2}}$

R05.5 · ПР-2

Образец → сам · полный квадрат и модуль

Упростите: под степенью $\frac{1}{2}$ — полный квадрат

Образец

$(a - 4 a^{\frac{1}{2}} + 4)^{\frac{1}{2}}$

$((a^{\frac{1}{2}} - 2)^{2})^{\frac{1}{2}}$ квадрат разности

$a^{\frac{1}{2}} - 2$ $t^{2} = ∣ t ∣$

$a \geq 4$ : $a^{\frac{1}{2}} - 2$ под модулем $\geq 0$

$0 \leq a < 4$ : $2 - a^{\frac{1}{2}}$ под модулем $< 0$

Сам

база $(x + 6 x^{\frac{1}{2}} + 9)^{\frac{1}{2}}$ $x^{\frac{1}{2}} + 3$
база $(a - 2 a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}}$ при $a = 0, 25$ $0, 5$
повыш. $(x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + 1)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ при $0 < x < 1$ $1$

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Показатели перемножили

$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}}$

$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}$

при умножении показатели складывают

Квадрат суммы

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^{2} = a + b$

$a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b$

удвоенное произведение не пропадает

Потеряли модуль

$(x^{2})^{\frac{1}{2}} = x$ при любом $x$

$(x^{2})^{\frac{1}{2}} = ∣ x ∣$

$(a^{p})^{q} = a^{pq}$ — только при $a > 0$

R05.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Вычислите

$\frac{4 ^{\frac{1}{2}} \cdot 4 ^{\frac{1}{3}}}{4 ^{\frac{1}{6}}} = \frac{4 ^{\frac{1}{6}}}{4 ^{\frac{1}{6}}} = 1$

Ошибка: показатели перемножили

$4^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = 4^{\frac{2}{3}} = 316 = 232$

Задача 2. Сократите

$\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}} =$

$= \frac{( a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}} ) ( a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}} )}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$

Ошибка: сократили не тот множитель

Верно: $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Упростите или вычислите ( $a, x > 0$ )

$a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}}$ $a$
$\frac{x ^{\frac{5}{6}}}{x ^{\frac{1}{3}}}$ $x^{\frac{1}{2}}$
$2 5^{1, 5} \cdot 12 5^{- \frac{1}{3}}$ $25$

$(a^{\frac{1}{2}} + 3) (a^{\frac{1}{2}} - 3)$ $a - 9$
$(x^{\frac{1}{2}} - 1)^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ $x + 1$
$\frac{a - 4}{a ^{\frac{1}{2}} - 2}$ $a^{\frac{1}{2}} + 2$

R05.5 · ПР-3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена, модуль, сравнение

повыш. $\frac{x ^{1, 5} + 8}{x ^{0, 5} + 2}$ $x - 2 x^{0, 5} + 4$
повыш. $\frac{a ^{\frac{1}{3}} - b ^{\frac{1}{3}}}{a ^{\frac{2}{3}} - b ^{\frac{2}{3}}}$ $\frac{1}{a ^{\frac{1}{3}} + b ^{\frac{1}{3}}}$
повыш. $\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}} - \frac{a ^{1, 5} - b ^{1, 5}}{a - b}$ $\frac{a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}$
повыш. $(a + 2 a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}} - (a - 2 a^{\frac{1}{2}} + 1)^{\frac{1}{2}}$ , $0 \leq a < 1$ $2 a^{\frac{1}{2}}$
повыш.Сравните $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{3}}$ $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}$

R05.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 8 и 20

Значение выражения и уравнение заменой

8 $\frac{( 2 ^{\frac{1}{2}} \cdot 5 ^{\frac{1}{3}} ) ^{6}}{1 0 ^{2}}$ $2$
8 $\frac{9 7 \cdot 18 7}{6 7}$ $1$
20Решите $x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ $64$
20 $\frac{x ^{1, 5} - 8}{x + 2 x ^{0, 5} + 4}$ при $x = 1, 44$ $- 0, 8$

1–2: к степеням одного основания

3:

t = x^{\frac{1}{3}} \geq 0

— корень

t = - 1

не подходит

4: сначала сократите, потом подставляйте

R05.5 · история математики

Задача из жизни

Третий закон Кеплера: $T = a^{\frac{3}{2}}$

$T$ — период обращения (годы), $a$ — радиус орбиты (а. е.)

практикаОрбита $a = 4$ а. е. Найдите $T$ . $8$ лет
практикаПериод $T = 27$ лет. Найдите $a$ . $9$ а. е.
повыш.Марс: $a \approx 1, 52$ а. е. Найдите $T$ (калькулятор). $\approx 1, 87$ года

R05.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $\frac{a ^{\frac{2}{3}} \cdot a ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{6}}}$ $a$
база $\frac{8 ^{\frac{2}{3}} \cdot 9 ^{0, 5}}{6}$ $2$
база $\frac{x - 16}{x ^{\frac{1}{2}} + 4}$ $x^{\frac{1}{2}} - 4$
повыш.Решите $x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} + 4 = 0$ $1; 256$

Вариант 2

база $\frac{b ^{\frac{3}{4}} \cdot b ^{\frac{1}{2}}}{b ^{\frac{1}{4}}}$ $b$
база $\frac{2 7 ^{\frac{2}{3}} \cdot 4 ^{0, 5}}{3}$ $6$
база $\frac{a - 25}{a ^{\frac{1}{2}} - 5}$ $a^{\frac{1}{2}} + 5$
повыш.Решите $x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{\frac{1}{3}} + 6 = 0$ $8; 27$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что делают с показателями при умножении и делении?
Какую замену взять для $a^{\frac{1}{4}}$ и $a^{\frac{3}{4}}$ ?
Почему у $x^{\frac{1}{3}} = - 1$ нет решений?

Домашнее задание

$\frac{a ^{1, 5} + b ^{1, 5}}{a ^{0, 5} + b ^{0, 5}} - a^{0, 5} b^{0, 5}$
Решите $x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 10 = 0$
Сравните $5^{\frac{1}{3}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-100 · Практикум: Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 10/12 · тип П
Единицы → слайды	R05.5 → 2, 4–20 · опора R05.3, R05.4 → 3, 4, 10 · R05.1 (область определения) → 9 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10–12, 14–20)
Результаты	ПР-1 (свойства степени с рациональным показателем) → 2–20 · ПР-2 (действительные числа, модуль) → 9, 12, 13 · ПР-3 (сравнение) → 16, 20 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 17, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	практикум по корню n-й степени — ALG9U-101; обобщение строки — ALG9U-102; степень с иррациональным показателем — 10–11 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:преобразованиявыражений со степенью

Сегодня вы научитесь

Применять свойства

Сокращать дроби

Помнить про условия

Решать задачи ОГЭ

Степени и корни

При a>0, b>0 и рациональных p, q

Упростите выражение

Образец

Сам

Найдите значение — сначала к одному основанию

Образец

Сам

a21​=x, b21​=y — и это обычная дробь

Сократите дробь

Образец

Сам

Степень с дробным показателем — только для a≥0

Область определения

Корень из квадрата

Сокращение

Запишите корни степенями и упростите (a, x>0)

Образец

Сам

Упростите выражение

Образец

Сам

Упростите: под степенью 21​ — полный квадрат

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Показатели перемножили

Квадрат суммы

Потеряли модуль

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Вычислите

Задача 2. Сократите

Упростите или вычислите (a, x>0)

Замена, модуль, сравнение

Значение выражения и уравнение заменой

Третий закон Кеплера: T=a23​

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-100 · Практикум: Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Практикум:
преобразования
выражений со степенью

При $a > 0, b > 0$ и рациональных $p, q$

$a^{\frac{1}{2}} = x, b^{\frac{1}{2}} = y$ — и это обычная дробь

Степень с дробным показателем — только для $a \geq 0$

Запишите корни степенями и упростите ( $a, x > 0$ )

Упростите: под степенью $\frac{1}{2}$ — полный квадрат

Упростите или вычислите ( $a, x > 0$ )

Третий закон Кеплера: $T = a^{\frac{3}{2}}$