Степень с рациональным показателем · урок 7 из 12 · практикум

Практикум:
свойства корня
n-й степени

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-097

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 7/12, единица R05.2 «Свойства корня n-й степени». Тип урока — П (практикум). Свойства введены на уроке ALG9U-092; прошлый урок ALG9U-096 — практикум по корню n-й степени (разминка по нему); следующий ALG9U-098 — практикум по степени с рациональным показателем.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка свойств) 3 · 7 (вынесение и внесение множителя) 2 · 10 (сравнение корней разных степеней) 2 · 12 (корень чётной степени из степени) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 13) 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 3 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять свойства

корень из произведения, частного, степени и корня — в обе стороны (ПР-1)

Выносить множитель

и вносить его под знак корня, приводить подобные (ПР-1)

Сравнивать корни

разных степеней — через общий показатель (ПР-3)

Не терять модуль

$n a^{n}$ при чётном $n$ и выражения с переменной (ПР-1, ПР-2)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор, применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем».
ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». ПР-2: «Использовать понятие множества действительных чисел при решении задач, проведении рассуждений и доказательств» — рассуждения о знаке выражения под модулем.
Вид деятельности ФРП по строке: «Выполнять тождественные преобразования выражения, содержащего корень n-й степени…» — сегодня готовим к урокам ALG9U-094/099.

разминка · R05.1

Разминка · устно

Корни $n$ -й степени

3 - 125

вычислите

- 5

481

вычислите

3

5 0, 00032

вычислите

0, 2

3 \frac{8}{27}

вычислите

\frac{2}{3}

(67)^{6}

вычислите

7

4 (- 3)^{4}

вычислите

3

x^{3} = - 64

решите

- 4

x^{4} = 16

решите

\pm 2

R05.2

Сводка · свойства корня n-й степени

Пять свойств ( $n, k$ — натуральные, $n, k \geq 2$ )

№	Свойство	Условие
1	$n ab = n a \cdot n b$	$a \geq 0, b \geq 0$
2	$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$	$a \geq 0, b > 0$
3	$(n a)^{m} = n a^{m}$	$a \geq 0$ , $m$ — натуральное
4	$k n a = nk a$	$a \geq 0$
5	$nk a^{mk} = n a^{m}$	$a \geq 0$ (основное свойство)

Все свойства читаются в обе стороны: справа налево — умножение и деление корней

n

нечётное: 1–3 верны при любых знаках, например

3 - 8 \cdot 27 = - 2 \cdot 3

3 мин · теория
Доказательство свойства 1 (повторяем с ALG9U-092): число ⁿ√a · ⁿ√b неотрицательно и (ⁿ√a · ⁿ√b)ⁿ = (ⁿ√a)ⁿ · (ⁿ√b)ⁿ = ab, значит, по определению это арифметический корень ⁿ√(ab). Остальные — так же: проверяем знак и n-ю степень.
Свойство 4: (ⁿᵏ√a)ⁿᵏ = a, а (ᵏ√ⁿ√a)ⁿᵏ = ((ᵏ√ⁿ√a)ᵏ)ⁿ = (ⁿ√a)ⁿ = a; оба числа ≥ 0. Свойство 5 позволяет сокращать показатели корня и подкоренной степени на общий множитель k и, наоборот, приводить корни к общему показателю (сл. 10).
Вопрос классу: можно ли так же «разбить» корень из суммы? (Нет: ³√(8 + 27) ≠ 2 + 3 — ошибка на сл. 14.)

R05.2

Образец → сам · корень из произведения и частного

Вычислите

Образец

$4 16 \cdot 81 \cdot 0, 0001$

$= 416 \cdot 481 \cdot 4 0, 0001$ свойство 1

$= 2 \cdot 3 \cdot 0, 1$ $0, 1^{4} = 0, 0001$

$= 0, 6$ ответ

Сам

база $3 - 8 \cdot 125$ $- 10$
база $5 \frac{243}{32}$ $1, 5$
повыш. $3 2 \frac{10}{27}$ $\frac{4}{3}$

R05.2

Образец → сам · умножение и деление корней

Свойство справа налево: соберите под один корень

Образец

$325 \cdot 340$

$= 3 25 \cdot 40$ свойство 1 справа налево

$= 31000$ $25 \cdot 40 = 1000$

$= 10$ $1 0^{3} = 1000$

Сам

база $48 \cdot 4162$ $6$
база $\frac{5 96}{5 3}$ $2$
повыш. $3 9 + 17 \cdot 3 9 - 17$ $4$

R05.2

Сводка · вынесение и внесение множителя

Множитель-степень выходит из-под корня

n a^{n} b = a n b

a \geq 0, b \geq 0

Внесение:

243 = 4 2^{4} \cdot 3 = 448

Отрицательный множитель

$n$ чётное: минус остаётся снаружи $- 243 = - 448$

$n$ нечётное: вносится $- 233 = 3 - 24$

С переменной, $n$ чётное

$4 x^{4} y = ∣ x ∣ 4 y$ , $y \geq 0$

2 мин · теория
Вынесение — свойство 1 и определение: ⁿ√(aⁿb) = ⁿ√(aⁿ) · ⁿ√b = a · ⁿ√b при a ≥ 0. Ищем в подкоренном числе множитель — точную n-ю степень (для 54 и n = 3 это 27).
Внесение — то же справа налево: множитель возводят в n-ю степень. Под корень чётной степени вносится только неотрицательный множитель — знак «−» остаётся перед корнем. Для нечётного n: −2 · ³√3 = ³√(−8) · ³√3 = ³√(−24).
С переменной: ⁴√(x⁴) = |x| (сл. 12), поэтому ⁴√(x⁴y) = |x| · ⁴√y. Вопрос классу: чему равно ³√(x³y)? (x · ³√y — модуль не нужен.)

R05.2

Образец → сам · вынесение множителя

Упростите: вынесите множитель и приведите подобные

Образец

$316 + 354 - 3250$

$3 8 \cdot 2 + 3 27 \cdot 2 - 3 125 \cdot 2$ точные кубы

$= 232 + 332 - 532$ вынесение

$= 0$ $2 + 3 - 5 = 0$

Сам

база $432 + 4162$ $542$
базаВнесите множитель: $332$ $354$
повыш. $324 - 2381 + 3375$ $33$

R05.2

Образец → сам · корень из корня

Свойства 4 и 5: перемножьте показатели, сократите

Образец

$333$

$= 327$ внесение: $33 = 9 \cdot 3$

$= 627$ свойство 4

$= 6 3^{3} = 3$ свойство 5, $k = 3$

Сам

база $3729$ $3$
база $12 a^{8}$ , $a \geq 0$ $3 a^{2}$
повыш. $232 \cdot 64$ $2$

R05.2 · ПР-3

Сводка · сравнение корней разных степеней

Приведите корни к общему показателю

1. Общий показатель — НОК показателей: НОК

(2, 3) = 6

2. Свойство 5 справа налево:

n a = nk a^{k}

3. Сравните подкоренные: при

a > b \geq 0

n a > n b

2 мин · теория
Демонстрация учителя: √3 = ⁶√(3³) = ⁶√27, ³√5 = ⁶√(5²) = ⁶√25; 27 > 25, функция y = ⁶√x возрастает, значит √3 > ³√5. Проверка калькулятором: 1,732 > 1,710.
Почему не «сравнить 3 и 5»: показатели разные, подкоренные числа сравнивать нельзя (³√5 < √3, хотя 5 > 3). Монотонность (шаг 3) верна только при одинаковом показателе.
Другой способ — возвести оба числа в 6-ю степень: (√3)⁶ = 27, (³√5)⁶ = 25; при неотрицательных числах большее число имеет большую степень.

R05.2 · ПР-3

Образец → сам · сравнение корней

Сравните числа

Образец

$45$ и $33$

НОК $(4, 3) = 12$ общий показатель

$12 5^{3} = 12125, 12 3^{4} = 1281$ свойство 5

$125 > 81 : 45 > 33$ монотонность

Сам

база $2$ и $33$ $2 < 33$
база $32$ и $53$ $32 > 53$
повыш.По возрастанию: $3, 35, 626$ $35, 626, 3$

R05.2 · ПР-2

Сводка · корень из степени с тем же показателем

Чётный показатель — модуль, нечётный — само число

n

чётное:

n a^{n} = ∣ a ∣

n

нечётное:

n a^{n} = a

4 (1 - 2)^{4} = 2 - 1

3 (1 - 2)^{3} = 1 - 2

R05.2 · ПР-2

Образец → сам · переменная под корнем

Упростите выражение

Образец

$4 (x - 3)^{4} + 3 (x - 5)^{3}$ при $x < 3$

$= ∣ x - 3∣ + (x - 5)$ чётный и нечётный

$x - 3 < 0 : ∣ x - 3∣ = 3 - x$ модуль

$= 3 - x + x - 5 = - 2$ ответ

Сам

база $6 (2 - 5)^{6}$ $5 - 2$
база $4 16 x^{4}$ при $x < 0$ $- 2 x$
повыш. $4 (a - 2)^{4} + 4 (a - 6)^{4}$ при $2 \leq a \leq 6$ $4$

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из суммы

$3 8 + 27 = 2 + 3$

$3 8 + 27 = 335$

свойства — только для произведения и частного

Потеряли модуль

$4 x^{4} = x$

$4 x^{4} = ∣ x ∣$

при $x = - 2$ : $416 = 2$ , а не $- 2$

Минус под чётный корень

$- 243 = 448$

$- 243 = - 448$

слева число отрицательное, а $448 > 0$

R05.2

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сравните $2$ и $56$

Общий показатель $10$ :

$2 = 10 2^{5} = 1032$

$56 = 10 6 \cdot 2 = 1012$

$32 > 12$ , значит, $2 > 56$

Ошибка: $56 = 10 6^{2} = 1036$

$32 < 36$ : $2 < 56$

Задача 2. Вычислите

$4 (3 - 10)^{4} + 10$

$= 3 - 10 + 10$

$= 3$

Ошибка: $4 a^{4} = ∣ a ∣$ , а $3 - 10 < 0$

$= 10 - 3 + 10 = 210 - 3$

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, применяя свойства корня

$3 0, 008 \cdot 216$ $1, 2$
$43 \cdot 427$ $3$
$\frac{3 250}{3 2}$ $5$

$5 2^{10} \cdot 3^{5}$ $12$
$364$ $2$
$4 (- 7)^{4}$ $7$

R05.2 · ПР-3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Преобразуйте, сравните, упростите

повыш. $340 + 3135 - 3320$ $35$
повыш. $(39 - 33 + 1) (33 + 1)$ $4$
повыш.Сравните $37$ и $413$ $37 > 413$
повыш. $4 (a - 4)^{4} - 3 (a - 1)^{3}$ при $a < 4$ $5 - 2 a$
повыш. $3 2 + 5 \cdot 3 2 - 5$ $- 1$

R05.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 8 и 20

Корни $n$ -й степени в задачах экзамена

линия 8Найдите значение $\frac{3 12 \cdot 3 18}{3 27}$ $2$
линия 20Сократите дробь $\frac{4 a - 4 b}{a - b}$ $\frac{1}{4 a + 4 b}$
линия 20Решите уравнение $x^{6} = (5 x - 6)^{3}$ $2; 3$

1: соберите числитель под один корень

2:

a = (4 a)^{2}

— разность квадратов

3: извлеките кубический корень из обеих частей

3 мин · практика
1) ³√(12 · 18) = ³√216 = 6; 6 : 3 = 2.
2) a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b. √a − √b = (⁴√a − ⁴√b)(⁴√a + ⁴√b); сокращаем на ⁴√a − ⁴√b ≠ 0: 1 / (⁴√a + ⁴√b). На ОГЭ (2 балла) нужно записать разложение знаменателя.
3) x⁶ = (x²)³; кубический корень — нечётной степени, поэтому (x²)³ = (5x − 6)³ ⇔ x² = 5x − 6 (равносильно, ³√(t³) = t): x² − 5x + 6 = 0, x = 2 или x = 3. Проверка: 2⁶ = 64 = 4³ ✓; 3⁶ = 729 = 9³ ✓.
Если бы степени были чётные (x⁴ = (5x − 6)²), получилось бы x² = |5x − 6| — модуль, как на сл. 12. Задание 3 — в ДЗ, если не успеваете.

R05.2 · применение

Задача из жизни

Формат A0: площадь $1$ м², стороны относятся как $2 : 1$

практикаКороткая сторона A0, м $\frac{1}{4 2} \approx 0, 841$
практикаДлинная сторона A0, м $42 \approx 1, 189$
повыш.Длинная сторона A4, мм (A4 — четыре раза пополам) $\frac{4 2}{4} \approx 297$

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $3 0, 027 \cdot 64$ $1, 2$
база $42 \cdot 48$ $2$
база $354 - 316$ $32$
повыш.Сравните $5$ и $311$ $5 > 311$

Вариант 2

база $4 0, 0016 \cdot 81$ $0, 6$
база $34 \cdot 316$ $4$
база $448 - 43$ $43$
повыш.Сравните $3$ и $36$ $3 < 36$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда $n a^{n} = ∣ a ∣$ , а когда $= a$ ?
Как сравнить корни разных степеней?
Можно ли извлечь корень из суммы почленно?

Домашнее задание

$324 + 381 - 3192$
По возрастанию: $34, 2, 615$
$4 (x - 1)^{4} + 4 (x - 3)^{4}$ при $x > 3$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-097 · Практикум: Свойства корня n-й степени

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 7/12 · тип П
Единицы → слайды	R05.2 «Свойства корня n-й степени» → 2, 4–21 · опора R05.1 → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-1 (применять свойства корня n-й степени) → 2–9, 12–21 · ПР-3 (сравнивать и упорядочивать действительные числа) → 10, 11, 15, 17, 20 · ПР-2 (множество действительных чисел, рассуждения) → 12, 13 · кодификатора у курса нет
Вне урока	степень с рациональным показателем — ALG9U-098; тождественные преобразования с корнями (избавление от иррациональности в знаменателе) — ALG9U-094, ALG9U-099
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:свойства корняn-й степени

Сегодня вы научитесь

Применять свойства

Выносить множитель

Сравнивать корни

Не терять модуль

Корни n-й степени

Пять свойств (n, k — натуральные, n, k≥2)

Вычислите

Образец

Сам

Свойство справа налево: соберите под один корень

Образец

Сам

Множитель-степень выходит из-под корня

Отрицательный множитель

С переменной, n чётное

Упростите: вынесите множитель и приведите подобные

Образец

Сам

Свойства 4 и 5: перемножьте показатели, сократите

Образец

Сам

Приведите корни к общему показателю

Сравните числа

Образец

Сам

Чётный показатель — модуль, нечётный — само число

Упростите выражение

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из суммы

Потеряли модуль

Минус под чётный корень

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сравните 2​ и 56​

Задача 2. Вычислите

Вычислите, применяя свойства корня

Преобразуйте, сравните, упростите

Корни n-й степени в задачах экзамена

Формат A0: площадь 1 м², стороны относятся как 2​:1

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-097 · Практикум: Свойства корня n-й степени

Практикум:
свойства корня
n-й степени

Корни $n$ -й степени

Пять свойств ( $n, k$ — натуральные, $n, k \geq 2$ )

С переменной, $n$ чётное

Задача 1. Сравните $2$ и $56$

Корни $n$ -й степени в задачах экзамена

Формат A0: площадь $1$ м², стороны относятся как $2 : 1$