Степень с рациональным показателем · урок 5 из 12

Преобразования выражений со степенью с рациональным показателем

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-095

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 5/12, единица R05.5. Тип урока — Н. Прошлые уроки: ALG9U-093 (степень с рациональным показателем и её свойства), ALG9U-094 (преобразования выражений с корнем n-й степени); следующий ALG9U-096 — практикум по корню n-й степени.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка свойств) 3 · 5 (схема: замена переменной) 3 · 8 (ФСУ со степенями) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 11, 12) 2 + 1,5 + 2 + 2 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ линия 8 (сл. 17) 2 · ОГЭ линия 20 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Во всех заданиях буквы обозначают положительные числа, при которых знаменатели не равны нулю (это сказано на сл. 4 — напоминать при каждом сокращении).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять свойства степени

умножать, делить, возводить в степень при дробных показателях (ПР-1)

Делать замену

$t = a^{\frac{1}{2}}$ , $t = a^{\frac{1}{3}}$ — и видеть многочлен (ПР-1)

Раскладывать и сокращать

формулы сокращённого умножения со степенями (ПР-1)

Вычислять при условии

значение выражения без нахождения переменной (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор, применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем».
ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа… выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений» — задача из жизни (сл. 19), вычисления (сл. 7, 17).
Вид деятельности ФРП: «Выполнять тождественные преобразования выражения, содержащего корень n-й степени, степень с рациональным показателем».

разминка · R05.3

Разминка · устно

Степени и формулы — в уме

8^{\frac{1}{3}}

вычислите

2

1 6^{\frac{3}{4}}

вычислите

8

2 7^{- \frac{2}{3}}

вычислите

\frac{1}{9}

4 a^{3}

как степень

a^{\frac{3}{4}}

a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}

упростите

a^{\frac{5}{6}}

(a^{\frac{2}{3}})^{3}

упростите

a^{2}

x^{2} - 9

разложите

(x - 3) (x + 3)

t^{3} + 8

разложите

(t + 2) (t^{2} - 2 t + 4)

R05.3 · R05.5

Сводка · свойства степени

При $a > 0$ , $b > 0$ и рациональных $p$ , $q$

свойство	пример
$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$	$a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} = a$
$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$	$a^{\frac{5}{6}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}}$
$(a^{p})^{q} = a^{pq}$	$(a^{\frac{3}{4}})^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{2}}$
$(ab)^{p} = a^{p} b^{p}$	$(8 a^{3})^{\frac{1}{3}} = 2 a$
$(\frac{a}{b})^{p} = \frac{a ^{p}}{b ^{p}}$	$(\frac{a}{b})^{- p} = (\frac{b}{a})^{p}$

Во всех задачах урока буквы — положительные числа, знаменатели

\neq = 0

.

a = (a^{\frac{1}{2}})^{2} = (a^{\frac{1}{3}})^{3}

— так «прячется» квадрат или куб.

R05.5

Схема · замена переменной

Степень заменяем буквой — получаем многочлен

R05.5

Образец → сам · свойства степени

Упростите

Образец

$\frac{a ^{\frac{3}{4}} \cdot a ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{4}}}$

$= \frac{a ^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}}}{a ^{\frac{1}{4}}} = \frac{a ^{\frac{5}{4}}}{a ^{\frac{1}{4}}}$ показатели складываем

$= a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} = a^{1}$ при делении вычитаем

$= a$ проверка: $a = 16$ : $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$

Сам

база $\frac{b ^{\frac{5}{6}}}{b ^{\frac{1}{3}}}$ $b^{\frac{1}{2}}$
база $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ $x$
повыш. $(16 a^{4})^{\frac{3}{4}}$ $8 a^{3}$

R05.5

Образец → сам · числовые выражения

Вычислите, приведя к одному основанию

Образец

$\frac{2 ^{\frac{1}{3}} \cdot 2 ^{\frac{1}{4}}}{2 ^{- \frac{5}{12}}}$

$= 2^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12}}$ минус на минус — плюс

$= 2^{\frac{12}{12}} = 2^{1}$ общий знаменатель 12

$= 2$

Сам

база $5^{\frac{2}{3}} \cdot 2 5^{\frac{1}{6}}$ $5$
база $1 6^{\frac{3}{4}} - 2 7^{\frac{2}{3}}$ $- 1$
повыш. $\frac{( 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{3} \cdot 3 ^{\frac{1}{4}}}{3 ^{- \frac{1}{4}}}$ $9$

R05.5

Сводка · формулы со степенями

Формулы сокращённого умножения при $a > 0$ , $b > 0$

Общий множитель

$a - 3 a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}} - 3)$

Разность квадратов

$a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Квадрат суммы

$a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b = (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^{2}$

Сумма кубов

$a + b = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

R05.5

Образец → сам · разложение на множители

Разложите на множители

Образец

$x - 4 x^{\frac{1}{2}} + 4$

$t = x^{\frac{1}{2}}$ : $t^{2} - 4 t + 4$ замена

$= (t - 2)^{2}$ квадрат разности

$= (x^{\frac{1}{2}} - 2)^{2}$ обратная замена

Сам

база $a^{\frac{3}{2}} - a$ $a (a^{\frac{1}{2}} - 1)$
база $x - 9$ $(x^{\frac{1}{2}} - 3) (x^{\frac{1}{2}} + 3)$
повыш. $a^{\frac{2}{3}} - 2 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$ $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^{2}$

R05.5

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь

Образец

$\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}$

$= \frac{( a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}} ) ( a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}} )}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}$

$= a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$ сократили на $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} > 0$

Сам

база $\frac{x - 4}{x ^{\frac{1}{2}} - 2}$ $x^{\frac{1}{2}} + 2$
база $\frac{a ^{\frac{1}{2}} - a}{1 - a ^{\frac{1}{2}}}$ $a^{\frac{1}{2}}$
повыш. $\frac{a + 8}{a ^{\frac{2}{3}} - 2 a ^{\frac{1}{3}} + 4}$ $a^{\frac{1}{3}} + 2$

R05.5

Образец → сам · комбинированное выражение

Упростите выражение

Образец $u = a^{\frac{1}{2}}, v = b^{\frac{1}{2}}$

$(\frac{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}} - \frac{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}) : \frac{4 a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{2}}}{a - b}$

$\frac{( u + v ) ^{2} - ( u - v ) ^{2}}{u ^{2} - v ^{2}} = \frac{4 uv}{u ^{2} - v ^{2}}$

$\frac{4 uv}{u ^{2} - v ^{2}} \cdot \frac{u ^{2} - v ^{2}}{4 uv} = 1$ $a - b = u^{2} - v^{2}$

Сам

повыш. $\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} - b ^{\frac{1}{2}}} - \frac{a + 2 a ^{\frac{1}{2}} b ^{\frac{1}{2}} + b}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}$ $0$
повыш. $\frac{a ^{\frac{3}{2}} + b ^{\frac{3}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}} + a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}$ $a + b$
база $\frac{x - 9}{x ^{\frac{1}{2}} + 3} - x^{\frac{1}{2}}$ $- 3$

R05.5

Образец → сам · значение при условии

Найдите значение, не находя $x$ ( $x > 0$ )

Образец

$x + x^{- 1} = 7$ . $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = ?$

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}})^{2} = x + 2 + x^{- 1}$ $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = 1$

$= 7 + 2 = 9$

$x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ сумма положительна

Сам

база $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = 2$ . $x + x^{- 1} = ?$ $6$
повыш. $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 4$ . $x + x^{- 1} = ?$ $14$
повыш. $x^{\frac{1}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} = 3$ . $x + x^{- 1} = ?$ $18$

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Перемножили показатели

$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}}$

$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}$

при умножении показатели складывают

Потеряли удвоенное

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^{2} = a + b$

$a + 2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} + b$

квадрат суммы — три слагаемых

Сократили слагаемое

$\frac{a ^{\frac{1}{2}} + a}{a ^{\frac{1}{2}}} = a$

$\frac{a ^{\frac{1}{2}} ( 1 + a ^{\frac{1}{2}} )}{a ^{\frac{1}{2}}} = 1 + a^{\frac{1}{2}}$

сокращают только множители

R05.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сократите дробь

$\frac{x - 4 x ^{\frac{1}{2}} + 4}{x ^{\frac{1}{2}} - 2} = \frac{( x ^{\frac{1}{2}} - 2 ) ( x ^{\frac{1}{2}} + 2 )}{x ^{\frac{1}{2}} - 2}$

$= x^{\frac{1}{2}} + 2$

Ошибка: $x - 4 x^{\frac{1}{2}} + 4 = (x^{\frac{1}{2}} - 2)^{2}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - 2$

Задача 2. Вычислите

$\frac{( 2 ^{\frac{1}{2}} ) ^{3} \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{8 ^{\frac{1}{3}}} = \frac{2 ^{\frac{7}{2}} \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 ^{4}}{2} = 8$

Ошибка: $(2^{\frac{1}{2}})^{3} = 2^{\frac{3}{2}}$ — показатели умножают

$\frac{2 ^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Упростите или вычислите

$\frac{x ^{\frac{5}{6}} \cdot x ^{\frac{1}{3}}}{x ^{\frac{1}{6}}}$ $x$
$(a^{- \frac{1}{4}})^{- 8}$ $a^{2}$
$4 9^{\frac{1}{2}} + 8^{\frac{2}{3}}$ $11$

$\frac{a - 25}{a ^{\frac{1}{2}} + 5}$ $a^{\frac{1}{2}} - 5$
$\frac{m - m ^{\frac{1}{2}}}{m ^{\frac{1}{2}}}$ $m^{\frac{1}{2}} - 1$
$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ $x - 1$

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сократите дробь $\frac{a + 27}{a ^{\frac{2}{3}} - 3 a ^{\frac{1}{3}} + 9}$ $a^{\frac{1}{3}} + 3$
повыш.Упростите $\frac{x ^{\frac{3}{2}} - 1}{x - 1} \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 1) - x^{\frac{1}{2}}$ $x + 1$
повыш.Вычислите $(\frac{1}{16})^{- 0, 75} + 8 1^{0, 25} \cdot 2 7^{- \frac{1}{3}}$ $9$
повыш. $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 3$ , $a > 0$ . Найдите $a + a^{- 1}$ . $11$

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения — ответ одно число

$\frac{( x ^{\frac{1}{2}} ) ^{6}}{x ^{2}}$ при $x = 7$ $7$
$\frac{3 ^{\frac{1}{3}} \cdot 9 ^{\frac{1}{3}}}{3 ^{- 1}}$ $9$
$\frac{( 4 a ) ^{\frac{3}{2}}}{a ^{\frac{1}{2}} \cdot a}$ при $a = 0, 7$ $8$

Сначала упростите — и данное число часто не понадобится.

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Полное решение: найдите значение выражения

$\frac{a - 4 b}{a ^{\frac{1}{2}} - 2 b ^{\frac{1}{2}}} - b^{\frac{1}{2}}$ , если $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = 5$

$a - 4 b = (a^{\frac{1}{2}} - 2 b^{\frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}})$

$\frac{a - 4 b}{a ^{\frac{1}{2}} - 2 b ^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}}$ $a \neq = 4 b$

$a^{\frac{1}{2}} + 2 b^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = 5$

Сам

$\frac{x - 9 y}{x ^{\frac{1}{2}} + 3 y ^{\frac{1}{2}}} + 2 y^{\frac{1}{2}}$ , если $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} = 6$ $6$

R05.5 · история

Задача из жизни

Третий закон Кеплера: $T = a^{\frac{3}{2}}$

$T$ — период обращения (годы), $a$ — радиус орбиты (а. е.; Земля: $a = 1$ )

практика $a = 4$ . Найдите $T$ . $8$ лет
практика $T = 27$ лет. Найдите $a$ . $9$ а. е.
повыш. $a$ увеличили в $4$ раза. Во сколько раз вырос $T$ ? в $8$ раз

R05.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $\frac{a ^{\frac{3}{4}} \cdot a ^{\frac{1}{4}}}{a ^{\frac{1}{2}}}$ $a^{\frac{1}{2}}$
база $2 7^{\frac{2}{3}} - 1 6^{\frac{1}{4}}$ $7$
база $\frac{x - 16}{x ^{\frac{1}{2}} - 4}$ $x^{\frac{1}{2}} + 4$
повыш. $\frac{a + 1}{a ^{\frac{2}{3}} - a ^{\frac{1}{3}} + 1}$ $a^{\frac{1}{3}} + 1$

Вариант 2

база $\frac{b ^{\frac{2}{3}} \cdot b ^{\frac{5}{6}}}{b ^{\frac{1}{2}}}$ $b$
база $3 2^{\frac{3}{5}} + 8^{- \frac{1}{3}}$ $8, 5$
база $\frac{y - 36}{y ^{\frac{1}{2}} + 6}$ $y^{\frac{1}{2}} - 6$
повыш. $\frac{a - 8}{a ^{\frac{2}{3}} + 2 a ^{\frac{1}{3}} + 4}$ $a^{\frac{1}{3}} - 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какую замену сделать, если в выражении есть $a^{\frac{1}{3}}$ и $a^{\frac{2}{3}}$ ?
Как разложить $a - b$ двумя способами?
Почему все буквы считаем положительными?

Домашнее задание

Сократите $\frac{a - 49}{a ^{\frac{1}{2}} - 7}$ и $\frac{x + 64}{x ^{\frac{1}{3}} + 4}$
$x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 5$ . Найдите $x + x^{- 1}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-095 · Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 5/12 · тип Н
Единицы → слайды	R05.5 → 2, 4–21 · опора R05.3 → 3, 4 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9–12, 14–21)
Результаты	ПР-1 (степень с рациональным показателем, её свойства) → 2–18, 20, 21 · ПР-3 (вычисления, прикидка) → 7, 17, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	практикумы по корню n-й степени и его свойствам — ALG9U-096, ALG9U-097; иррациональные уравнения — не включены; замена $t = a^{\frac{1}{6}}$ — только упоминание
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразования выражений со степенью с рациональным показателем

Сегодня вы научитесь

Применять свойства степени

Делать замену

Раскладывать и сокращать

Вычислять при условии

Степени и формулы — в уме

При a>0, b>0 и рациональных p, q

Степень заменяем буквой — получаем многочлен

Упростите

Образец

Сам

Вычислите, приведя к одному основанию

Образец

Сам

Формулы сокращённого умножения при a>0, b>0

Общий множитель

Разность квадратов

Квадрат суммы

Сумма кубов

Разложите на множители

Образец

Сам

Сократите дробь

Образец

Сам

Упростите выражение

Образец u=a21​, v=b21​

Сам

Найдите значение, не находя x (x>0)

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Перемножили показатели

Потеряли удвоенное

Сократили слагаемое

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сократите дробь

Задача 2. Вычислите

Упростите или вычислите

Подумайте и решите

Найдите значение выражения — ответ одно число

Полное решение: найдите значение выражения

Сам

Третий закон Кеплера: T=a23​

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-095 · Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем

При $a > 0$ , $b > 0$ и рациональных $p$ , $q$

Формулы сокращённого умножения при $a > 0$ , $b > 0$

Образец $u = a^{\frac{1}{2}}, v = b^{\frac{1}{2}}$

Найдите значение, не находя $x$ ( $x > 0$ )

Третий закон Кеплера: $T = a^{\frac{3}{2}}$