Степень с рациональным показателем · урок 4 из 12

Преобразования
выражений
с корнем n-й степени

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-094

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 4/12, единица R05.4 «Тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-093 — степень с рациональным показателем; следующий ALG9U-095 — преобразования выражений со степенью с рациональным показателем.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка свойств) 2 · 5 (вынесение и внесение множителя) 2 · 7 (общий показатель) 2 · 9 (подобные корни, формулы сокращённого умножения) 1,5 · 12 (корень чётной степени и модуль) 1,5 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 11, 13) 3 + 3 + 3 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выносить и вносить множитель

$354 = 332$ , $253 = 596$ (ПР-1)

Приводить к общему показателю

умножать корни разных степеней и сравнивать их (ПР-1, ПР-3)

Сокращать и упрощать

подобные корни, дроби, иррациональность в знаменателе (ПР-1)

Не терять модуль

$4 a^{4} = ∣ a ∣$ — корень чётной степени не отрицателен (ПР-1, ПР-2)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор, применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем».
ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». ПР-2: «Использовать понятие множества действительных чисел при решении задач, проведении рассуждений и доказательств» — знак иррационального выражения под модулем.
Вид деятельности ФРП: «Выполнять тождественные преобразования выражения, содержащего корень n-й степени, степень с рациональным показателем».

разминка · R05.1–R05.3

Разминка · устно

Вычислите

3 - 125

- 5

481

3

3 0, 008

0, 2

8^{\frac{2}{3}}

4

32 \cdot 332

4

\frac{4 48}{4 3}

2

4 (- 7)^{4}

7

364

2

R05.4 · опора R05.2

Сводка · свойства корня

При $a \geq 0, b \geq 0$ свойства читаем в обе стороны

Свойство	Формула	Справа налево — приём
произведение	$n ab = n a \cdot n b$	вынести множитель, умножить корни
частное, $b > 0$	$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$	разделить корни
степень	$(n a)^{k} = n a^{k}$	возвести корень в степень
корень из корня	$n k a = nk a$	убрать «двухэтажный» корень
основное	$nk a^{mk} = n a^{m}$	сократить или привести к общему показателю

2 мин · теория
Свойства доказаны на уроке ALG9U-092; сегодня — их применение. Все формулы — при a ≥ 0, b ≥ 0 (для частного b > 0), n, k, m — натуральные, n ≥ 2.
Основное свойство: (ⁿ√(a^m))^(nk) = a^(mk), и оба корня неотрицательны — значит, ⁿᵏ√(a^(mk)) = ⁿ√(a^m). «Как у дроби: показатель корня и показатель степени можно умножить или сократить на одно число».
Вопрос классу: какое свойство применяли на разминке в карточке 8? (Корень из корня: √(∛64) = ⁶√64 = 2.)

R05.4

Новый материал · вынесение множителя

Множитель — из-под корня и обратно

n a^{n} b = a n b, a \geq 0, b \geq 0

$354 = 3 27 \cdot 2 = 332$ вынесли

$245 = 4 16 \cdot 5 = 480$ внесли

Чётная степень: минус остаётся снаружи —

- 243 = - 448

; нечётная:

- 233 = 3 - 24

R05.4

Образец → сам · вынесение и внесение множителя

Вынесите множитель из-под знака корня

Образец

$4 162 a^{5}, a \geq 0$

$162 a^{5} = 81 a^{4} \cdot 2 a$ выделили 4-ю степень

$4 81 a^{4} \cdot 4 2 a$ корень из произведения

$3 a 4 2 a$ $4 a^{4} = a$ , так как $a \geq 0$

Сам

базаВынесите: $3250$ $532$
базаВнесите: $253$ $596$
повыш.Внесите: $- 342$ $- 4162$

R05.4

Новый материал · общий показатель

Разные показатели — сначала к общему

n a^{m} = nk a^{mk}, a \geq 0

$68 = 6 2^{3} = 2$ сократили на 3

При

a < 0

нельзя:

6 (- 2)^{2} = 32

, а не

3 - 2

2 мин · теория
Общий показатель — НОК показателей (здесь НОК(2; 3) = 6). Показатель корня умножаем на k — и показатель степени под корнем умножаем на то же k: √3 = ⁶√(3³) = ⁶√27, ∛5 = ⁶√(5²) = ⁶√25.
Из двух корней одной степени больше тот, у которого больше подкоренное число (функция y = ⁿ√x возрастает). Проверка калькулятором: √3 ≈ 1,732, ∛5 ≈ 1,710 ✓.
Предупреждение: ⁶√((−2)²) = ⁶√4 = ∛2 > 0, а ∛(−2) < 0 — сокращать показатель можно только при неотрицательном основании.

R05.4

Образец → сам · общий показатель

Запишите одним корнем, сравните

Образец

$2 \cdot 33$

$НОК (2; 3) = 6$ общий показатель

$6 2^{3} \cdot 6 3^{2} = 68 \cdot 69$ основное свойство

$672$ корень из произведения

Сам

база $32 \cdot 42$ $12128$
база $\frac{3 9}{6 3}$ $627 = 3$
повыш.Сравните $33$ и $45$ $1281 < 12125$ : $33 < 45$

R05.4

Новый материал · подобные корни и формулы

Корень — как переменная: $3 x = t, x = t^{3}$

Подобные корни

одинаковые показатель и подкоренное выражение: $332 + 532 = 832$

Сначала — вынести множитель

$316 + 354 = 232 + 332 = 532$

a - b = (3 a - 3 b) (3 a^{2} + 3 ab + 3 b^{2})

a + b = (3 a + 3 b) (3 a^{2} - 3 ab + 3 b^{2})

a - b = (4 a - 4 b) (4 a + 4 b)

R05.4

Образец → сам · подобные корни и дроби

Упростите выражение, сократите дробь

Образец

$\frac{a - b}{3 a - 3 b}, a \neq = b$

$a - b = (3 a)^{3} - (3 b)^{3}$ разность кубов

$= (3 a - 3 b) (3 a^{2} + 3 ab + 3 b^{2})$

$3 a^{2} + 3 ab + 3 b^{2}$ сократили

Сам

база $2354 - 316 + 3250$ $932$
база $\frac{x - 9}{4 x - 3}$ $4 x + 3$
повыш. $\frac{x + 8}{3 x ^{2} - 2 3 x + 4}$ $3 x + 2$

R05.4

Образец → сам · иррациональность в знаменателе

Домножьте так, чтобы корень «извлёкся»

Образец

$\frac{10}{4 8}$

$8 \cdot 2 = 16 = 2^{4}$ множитель $42$

$\frac{10 4 2}{4 8 \cdot 4 2} = \frac{10 4 2}{4 16}$ дробь не изменилась

$\frac{10 4 2}{2} = 542$ $416 = 2$

Сам

база $\frac{4}{3 2}$ $234$
база $\frac{15}{5 9}$ $5527$
повыш. $\frac{1}{3 2 - 1}$ $34 + 32 + 1$

R05.4

Новый материал · корень из степени и модуль

$n a^{n}$ при любом $a$

$n$ чётное

n a^{n} = ∣ a ∣

$4 (- 3)^{4} = 481 = 3 = ∣ - 3∣$

$6 (1 - 3)^{6} = 3 - 1$

$n$ нечётное

n a^{n} = a

$3 (- 3)^{3} = 3 - 27 = - 3$

$5 (1 - 3)^{5} = 1 - 3$

R05.4

Образец → сам · модуль

Упростите, определив знак

Образец

$4 (2 - 5)^{4} + 3 (2 - 5)^{3}$

$5 > 2 \Rightarrow 2 - 5 < 0$ знак

$2 - 5 = 5 - 2$ $n = 4$ чётное

$(5 - 2) + (2 - 5) = 0$ $n = 3$ : без модуля

Сам

база $6 (3 - π)^{6}$ $π - 3$
база $4 16 x^{8} y^{4}$ при $y < 0$ $- 2 x^{2} y$
повыш. $4 (a - 3)^{4} + 4 (a - 5)^{4}$ при $3 \leq a \leq 5$ $2$

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из суммы

$3 8 + 27 = 2 + 3 = 5$

$335 \approx 3, 27$

свойство есть только для произведения и частного

Потерян модуль

$4 (1 - 2)^{4} = 1 - 2$

$= 2 - 1$

корень чётной степени не бывает отрицательным

Минус под корень

$- 243 = 448$

$- 243 = - 448$

вносим только неотрицательный множитель

R05.4

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите

$354 + 316 - 3128$

$= 332 + 232 - 832 = - 332$

Ошибка: $3128 = 3 64 \cdot 2 = 432$

Ответ: $332 + 232 - 432 = 32$

Задача 2. Сравните $34$ и $3$

$34 = 616$ , $3 = 69$

$16 > 9$ , значит, $34 > 3$

Ошибка: $3 = 6 3^{3} = 627$

$16 < 27$ : $34 < 3$

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Упростите

$33 \cdot 372$ $6$
$\frac{4 80}{4 5}$ $2$
$3128$ $432$

Внесите: $342$ $4162$
$627$ $3$
$324 + 381$ $533$

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Общий показатель, формулы, модуль

повыш.Запишите одним корнем и вынесите множитель: $39 \cdot 3$ $363$
повыш.Сократите $\frac{3 a ^{2} - 3 b ^{2}}{3 a + 3 b}$ $3 a - 3 b$
повыш.Освободитесь от иррациональности: $\frac{3}{3 4 + 3 2 + 1}$ $332 - 3$
повыш. $4 (3 - 2)^{4} - 3 (3 - 2)^{3}$ $4 - 23$
повыш. $4 x^{4} + 3 x^{3}$ при $x < 0$ $0$

R05.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 8 и 20

Найдите значение выражения

линия 8 $4 3^{8} \cdot 5^{4}$ $45$
линия 8 $\frac{3 40 \cdot 3 25}{3 8}$ $5$
линия 20Сократите дробь $\frac{x - 27}{3 x ^{2} + 3 3 x + 9}$ и найдите её значение при $x = 0, 008$ $- 2, 8$

8: краткий ответ, считаем устно

20: полное решение — замена

t = 3 x

, разность кубов, условие на знаменатель

R05.4 · применение

Задача из жизни

Октава — 12 полутонов, частота ×2. Полутон: × $122$

практикаВо сколько раз выше звук через 6 полутонов? Упростите. $2 \approx 1, 41$
практикаА через 4 полутона? $32 \approx 1, 26$
повыш.Ля — $440$ Гц. До — на 3 полутона выше. Частота? $44042 \approx 523$ Гц

2 мин · практика
Равномерно темперированный строй: 12 одинаковых шагов дают ×2, значит, один шаг q, q¹² = 2, q = ¹²√2 ≈ 1,0595.
1) (¹²√2)⁶ = ¹²√(2⁶) = √2 ≈ 1,414 (сократили показатель на 6). 2) ¹²√(2⁴) = ∛2 ≈ 1,260.
3) Ля → Ля → Си → До — 3 полутона (на клавиатуре: две белые клавиши и чёрная между ля и си). ¹²√(2³) = ∜2; 440 · ∜2 ≈ 440 · 1,1892 ≈ 523,25 Гц — это До второй октавы.
История (ФРП, «знакомиться с историей»): строй через ¹²√2 описан в XVI–XVII вв. (Чжу Цзайюй, С. Стевин), к нему пришла европейская музыка эпохи Баха.

R05.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $34 \cdot 354$ $6$
база $340 - 3135 + 3320$ $335$
базаБез корня в знаменателе: $\frac{6}{3 4}$ $332$
повыш. $4 (2 - 3)^{4} + 2$ $3$

Вариант 2

база $48 \cdot 4162$ $6$
база $324 + 3192 - 3375$ $33$
базаБез корня в знаменателе: $\frac{10}{3 25}$ $235$
повыш. $6 (3 - 2)^{6} + 3$ $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как перемножить корни разных степеней?
Когда нельзя вносить множитель «как есть»?
Откуда в $4 a^{4}$ берётся модуль?

Домашнее задание

$381 - 2324 + 3192$
Сравните $35$ и $47$
$\frac{4}{3 3 + 1}$ — без корня в знаменателе
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-094 · Тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 4/12 · тип Н
Единицы → слайды	R05.4 «Тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени» → 2, 4–21 · опора R05.1–R05.3 → 3, 4 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 10, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-1 (применять свойства корня n-й степени) → 2–21 · ПР-3 (сравнивать действительные числа) → 7, 8, 15, 21 · ПР-2 (действительные числа в рассуждениях: знак выражения) → 12, 13, 17, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	преобразования со степенью с рациональным показателем — ALG9U-095; практикумы — ALG9U-096…098
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразованиявыраженийс корнем n-й степени

Сегодня вы научитесь

Выносить и вносить множитель

Приводить к общему показателю

Сокращать и упрощать

Не терять модуль

Вычислите

При a≥0, b≥0 свойства читаем в обе стороны

Множитель — из-под корня и обратно

Вынесите множитель из-под знака корня

Образец

Сам

Разные показатели — сначала к общему

Запишите одним корнем, сравните

Образец

Сам

Корень — как переменная: 3x​=t, x=t3

Подобные корни

Сначала — вынести множитель

Упростите выражение, сократите дробь

Образец

Сам

Домножьте так, чтобы корень «извлёкся»

Образец

Сам

nan​ при любом a

n чётное

n нечётное

Упростите, определив знак

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из суммы

Потерян модуль

Минус под корень

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите

Задача 2. Сравните 34​ и 3​

Упростите

Общий показатель, формулы, модуль

Найдите значение выражения

Октава — 12 полутонов, частота ×2. Полутон: ×122​

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-094 · Тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени

Преобразования
выражений
с корнем n-й степени

При $a \geq 0, b \geq 0$ свойства читаем в обе стороны

Корень — как переменная: $3 x = t, x = t^{3}$

$n a^{n}$ при любом $a$

$n$ чётное

$n$ нечётное

Задача 2. Сравните $34$ и $3$

Октава — 12 полутонов, частота ×2. Полутон: × $122$