Степень с рациональным показателем · урок 3 из 12

Степень
с рациональным
показателем
и её свойства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-093

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 3/12, единица R05.3. Тип урока — Н. Прошлые уроки: ALG9U-091 (корень n-й степени), ALG9U-092 (свойства корня n-й степени); следующие: ALG9U-094 (преобразования выражений с корнями), ALG9U-095 (преобразования выражений со степенями).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (идея: «заполняем промежутки») 2 · 5 (определение) 2 · 6 (почему a > 0) 1,5 · 9 (свойства) 2 · 10 (доказательство свойства) 2 · 13 (сравнение степеней) 1,5. Теорию показывать полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образец → сам (сл. 7, 8, 11, 12, 14) 3 + 1,5 + 3 + 3 + 3 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задачу 3 сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать запись $a^{\frac{m}{n}}$

определение и переход «степень ⇄ корень» (ПР-1)

Вычислять степени

$8^{\frac{2}{3}}$ , $8 1^{- 0, 75}$ — устно и с калькулятором (ПР-1)

Применять свойства

умножение, деление, возведение в степень (ПР-1)

Сравнивать и оценивать

степени и корни разных порядков (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор, применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем».
ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». Кодификатора у курса нет.

разминка · R05.1–R05.2

Разминка · устно

Корни и степени с целым показателем

3 - 27

вычислите

- 3

481

вычислите

3

532

вычислите

2

32 \cdot 332

вычислите

4

6 2 7^{2}

вычислите

3

2^{- 3}

вычислите

\frac{1}{8}

a^{5} \cdot a^{- 2}

упростите

a^{3}

(x^{- 2})^{3}

упростите

x^{- 6}

R05.3

Идея

Что такое $2^{\frac{1}{2}}$ ? Сохраним свойство $(a^{r})^{s} = a^{rs}$

$(2^{\frac{1}{2}})^{2} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{1} = 2$

$2^{\frac{1}{2}}$ — положительное число, квадрат которого равен $2$

$2^{\frac{1}{2}} = 2, 5^{\frac{1}{3}} = 35$

$(7^{\frac{2}{3}})^{3} = 7^{2} \Rightarrow 7^{\frac{2}{3}} = 3 7^{2}$

Между целыми показателями появляются новые точки:

2^{- \frac{1}{2}}, 2^{\frac{1}{2}}, 2^{\frac{3}{2}}

R05.3

Определение

Степень с рациональным показателем

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

$a > 0$ , $m$ — целое, $n$ — натуральное, $n \geq 2$

$0^{r} = 0$ при $r > 0$ ; $0^{r}$ при $r \leq 0$ не определено

$a^{\frac{1}{n}} = n a$ : $8 1^{\frac{1}{4}} = 3$

$a^{\frac{m}{n}} = (n a)^{m}$ : $8^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$

$a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a ^{\frac{m}{n}}}$ : $4^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

2 мин · теория
Записать определение в рамку. Дробь m/n можно брать и несократимой, и сократимой — значение не изменится (сл. 6). Десятичный показатель переводим в дробь: 0,75 = 3/4, 1,5 = 3/2.
Второй вид a^(m/n) = (ⁿ√a)^m удобнее для вычислений: сначала корень, потом степень — числа меньше. 8^(2/3) = ∛64 = 4 или (∛8)² = 4.
История: дробные показатели впервые встречаются у Николая Орема (XIV в.); современную запись a^(m/n) и отрицательные показатели широко использовал И. Ньютон (письмо 1676 г.).

R05.3

Почему основание положительно

Значение не должно зависеть от записи дроби

$a > 0$ — всё согласовано

$\frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}$

$nk a^{mk} = n a^{m}$ свойство корня

$8^{\frac{2}{6}} = 664 = 2 = 8^{\frac{1}{3}}$

$a < 0$ — противоречие

$(- 8)^{\frac{1}{3}} = ? 3 - 8 = - 2$

$(- 8)^{\frac{2}{6}} = ? 6 (- 8)^{2} = 2$

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ , а значения разные

3 - 8 = - 2

существует, а выражение

(- 8)^{\frac{1}{3}}

не определено

R05.3

Образец → сам · по определению

Вычислите

Образец

$8 1^{- \frac{3}{4}}$

$= \frac{1}{8 1 ^{\frac{3}{4}}}$ отрицательный показатель

$= \frac{1}{( 4 81 ) ^{3}}$ определение

$= \frac{1}{3 ^{3}} = \frac{1}{27}$ $481 = 3$

Сам

база $2 7^{\frac{2}{3}}$ $9$
база $3 2^{0, 6}$ $8$
база $(\frac{1}{125})^{- \frac{1}{3}}$ $5$
повыш. $0, 001 6^{- 0, 25}$ $5$

R05.3

Образец → сам · степень ⇄ корень

Перейдите к другой записи ( $a, b, x, y, c > 0$ )

Образец

$5 a^{3} = a^{\frac{3}{5}}$ корень → степень

$\frac{1}{3 x ^{2}} = x^{- \frac{2}{3}}$ дробь → минус

$b^{- 0, 25} = b^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{4 b}$ степень → корень

Сам

база $7 c^{4}$ $c^{\frac{4}{7}}$
база $\frac{1}{y}$ $y^{- \frac{1}{2}}$
база $x^{1, 5}$ $x^{3}$
повыш. $6 a^{4}$ $a^{\frac{2}{3}} = 3 a^{2}$

R05.3

Свойства степени

Для $a > 0$ , $b > 0$ и рациональных $r$ , $s$ — как для целых

№	Свойство	Пример
1	$a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}$	$2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{1} = 2$
2	$a^{r} : a^{s} = a^{r - s}$	$9^{1, 5} : 9^{0, 5} = 9^{1} = 9$
3	$(a^{r})^{s} = a^{rs}$	$(5^{\frac{2}{3}})^{3} = 5^{2} = 25$
4	$(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$	$2^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} = 1 6^{\frac{1}{2}} = 4$
5	$(\frac{a}{b})^{r} = \frac{a ^{r}}{b ^{r}}$	$\frac{5 4 ^{\frac{1}{3}}}{2 ^{\frac{1}{3}}} = 2 7^{\frac{1}{3}} = 3$

R05.3

Доказательство свойства 1

$a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$ , $a > 0$

$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = n q a^{m q}$ определение; $n x = nk x^{k}$ при $k = q$

$a^{\frac{p}{q}} = q a^{p} = n q a^{p n}$ то же, $k = n$

$a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = n q a^{m q} \cdot a^{p n}$ произведение корней одной степени

$= n q a^{m q + p n}$ свойство степени с целым показателем

$= a^{\frac{m q + p n}{n q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$ определение; сложение дробей ∎

R05.3

Образец → сам · по свойствам

Найдите значение выражения

Образец

$\frac{3 ^{1, 2} \cdot 3 ^{0, 5}}{3 ^{- 0, 3}}$

$= 3^{1, 2 + 0, 5} : 3^{- 0, 3}$ свойство 1

$= 3^{1, 7 - (- 0, 3)}$ свойство 2

$= 3^{2} = 9$

Сам

база $5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{4}{3}}$ $25$
база $(1 6^{0, 3})^{\frac{5}{3}}$ $4$
база $\frac{1 2 ^{1, 5}}{3 ^{1, 5}}$ $8$
повыш. $2^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 2 7^{\frac{1}{3}}$ $6$

R05.3

Образец → сам · выражения с переменными

Упростите ( $a, b, x > 0$ )

Образец

$\frac{a ^{\frac{1}{2}} \cdot a ^{\frac{1}{3}}}{a ^{\frac{1}{6}}}$

$= a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}}$ свойства 1, 2

$= a^{\frac{3 + 2 - 1}{6}} = a^{\frac{4}{6}}$ общий знаменатель

$= a^{\frac{2}{3}}$ $= 3 a^{2}$

Сам

база $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{8}{3}}$ $x^{2}$
база $\frac{b ^{0, 7} \cdot b ^{- 0, 2}}{b ^{1, 5}}$ $\frac{1}{b}$
повыш. $(a^{\frac{1}{4}} b^{- \frac{1}{2}})^{4} \cdot b^{2}$ $a$
повыш. $\frac{x ^{\frac{4}{3}} \cdot 3 x ^{2}}{x}$ $x$

R05.3

Сравнение степеней

Основание больше или меньше $1$ ?

$a > 1$ , $r < s$ $\Rightarrow$ $a^{r} < a^{s}$

$2^{\frac{1}{2}} < 2^{\frac{3}{2}}$

$0 < a < 1$ , $r < s$ $\Rightarrow$ $a^{r} > a^{s}$

$0, 5^{\frac{1}{2}} > 0, 5^{\frac{3}{2}}$

$0 < a < b$ , $r > 0$ $\Rightarrow$ $a^{r} < b^{r}$

приём: возвести оба числа в одну натуральную степень

R05.3

Образец → сам · сравнение и оценка

Сравните, оцените, упорядочьте

Образец: $2^{\frac{2}{3}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$

оба $> 0$ → в 6-ю степень НОК(3; 2)

$(2^{\frac{2}{3}})^{6} = 2^{4} = 16$

$(3^{\frac{1}{2}})^{6} = 3^{3} = 27$

$16 < 27 \Rightarrow 2^{\frac{2}{3}} < 3^{\frac{1}{2}}$

Сам

база $5^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{2}{3}}$ $5^{\frac{1}{2}} > 3^{\frac{2}{3}}$
база $0, 3^{\frac{2}{5}}$ и $0, 3^{\frac{1}{3}}$ $0, 3^{\frac{2}{5}} < 0, 3^{\frac{1}{3}}$
базаМежду какими целыми числами $2 0^{\frac{1}{3}}$ ? $2$ и $3$
повыш.По возрастанию: $4^{\frac{1}{3}}$ , $2^{0, 6}$ , $8^{\frac{1}{4}}$ $2^{0, 6} < 4^{\frac{1}{3}} < 8^{\frac{1}{4}}$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
показатель — не множитель	$8^{\frac{2}{3}} = 8 \cdot \frac{2}{3}$	$8^{\frac{2}{3}} = 364 = 4$
при умножении показатели складывают	$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}}$	$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}$
минус в показателе — не знак числа	$1 6^{- \frac{1}{2}} = - 4$	$1 6^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$
основание должно быть $> 0$	$(- 27)^{\frac{1}{3}} = - 3$	не определено; $3 - 27 = - 3$

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $2 7^{- \frac{2}{3}}$

$= - 3 2 7^{2} = - 9$

$= \frac{1}{( 3 27 ) ^{2}}$

$= \frac{1}{9}$

б) $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$

$= x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}} = x^{\frac{17}{12}}$

$= x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}}$

$= x^{\frac{1}{2}} = x$

в) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

$= 8^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 8$

$= (4 \cdot 2)^{\frac{1}{2}}$

$= 8 = 22$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отрицательный показатель превратили в знак «минус». Верно: 27^(−2/3) = 1/(∛27)² = 1/9.
б) При возведении степени в степень показатели перемножают: 2/3 · 3/4 = 1/2, x^(1/2) = √x.
в) Основания перемножили и показатели сложили одновременно. Свойство 4: a^r b^r = (ab)^r, показатель тот же: (8)^(1/2) = √8 = 2√2 ≈ 2,83, а не 8. Проверка: 4^(1/2) = 2, 2^(1/2) ≈ 1,41, произведение ≈ 2,83.

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Вычислите или упростите ( $a > 0$ )

$6 4^{\frac{1}{3}}$ $4$
$4 9^{- 0, 5}$ $\frac{1}{7}$
$8^{\frac{4}{3}}$ $16$

$3^{0, 4} \cdot 3^{1, 6}$ $9$
$\frac{1 0 ^{1, 3}}{1 0 ^{- 0, 7}}$ $100$
$(a^{\frac{2}{5}})^{5} \cdot a^{- 1}$ $a$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Вычислите $(\frac{1}{27})^{- \frac{2}{3}} \cdot 8 1^{- \frac{1}{4}}$ $3$
повыш.Вычислите $\frac{2 ^{\frac{1}{3}} \cdot 6 ^{\frac{2}{3}}}{3 ^{- \frac{1}{3}}}$ $6$
повыш.Сократите дробь $\frac{a - b}{a ^{\frac{1}{2}} + b ^{\frac{1}{2}}}$ , где $a, b > 0$ $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$
повыш.Найдите $x > 0$ , если $x^{\frac{2}{3}} = 9$ $x = 27$

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения — ответ одно число

$\frac{7 ^{\frac{5}{6}} \cdot 7 ^{\frac{2}{3}}}{7 ^{\frac{1}{2}}}$ $7$
$\frac{3 2 \cdot 2 ^{\frac{5}{3}}}{2 ^{- 1}}$ $8$
$(1 6^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{- 0, 5}$ $1$

Всё к одному основанию → сложить и вычесть показатели → в бланк только число.

R05.3 · применение

Задача из жизни

Третий закон Кеплера: $T = a^{\frac{3}{2}}$

$T$ — период обращения (годы), $a$ — радиус орбиты (а. е., у Земли $a = 1$ )

Астероид: $a = 4$ а. е. Найдите $T$ . $8$ лет
Марс: $a \approx 1, 52$ а. е. Найдите $T$ (калькулятор). $\approx 1, 9$ года
Сатурн: $T \approx 29, 5$ года. Найдите $a$ . $\approx 9, 5$ а. е.

2 мин · практика
Закон (Кеплер, 1619): квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей орбит; в годах и астрономических единицах T² = a³, т. е. T = a^(3/2). Орбиты на рисунке условно круговые.
1) 4^(3/2) = (√4)³ = 8 лет. 2) 1,52^1,5 ≈ 1,874 ≈ 1,9 года (табличное значение для Марса — 1,88 года). 3) a = T^(2/3) = 29,5^(2/3) ≈ 9,55 ≈ 9,5 а. е. (табличное — 9,58).
Калькулятор: клавиша x^y (или ^), показатель вводить как 1.5 или (2/3). Это навык ФРП «находить степень … используя при необходимости калькулятор».

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой ( $a, b > 0$ )

Вариант 1

$12 5^{\frac{2}{3}}$ $25$
$1 6^{- 0, 75}$ $\frac{1}{8}$
$\frac{a ^{\frac{3}{4}} \cdot a ^{\frac{1}{4}}}{a ^{- 1}}$ $a^{2}$
Сравните $2^{\frac{1}{3}}$ и $3^{\frac{1}{4}}$ $2^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{1}{4}}$

Вариант 2

$3 2^{\frac{3}{5}}$ $8$
$2 7^{- \frac{4}{3}}$ $\frac{1}{81}$
$\frac{b ^{\frac{2}{3}} \cdot b ^{\frac{4}{3}}}{b ^{- 1}}$ $b^{3}$
Сравните $3^{\frac{1}{3}}$ и $5^{\frac{1}{4}}$ $3^{\frac{1}{3}} < 5^{\frac{1}{4}}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что означает запись $a^{\frac{m}{n}}$ и почему $a > 0$ ?
Какое свойство чаще всего путают?
Как сравнить $2^{\frac{1}{3}}$ и $3^{\frac{1}{4}}$ ?

Домашнее задание

$2 7^{- \frac{1}{3}} + 1 6^{0, 75}$ ; $\frac{x ^{\frac{2}{5}} \cdot x ^{\frac{3}{5}}}{x ^{\frac{1}{2}}}$ ; сравните $5^{\frac{1}{3}}$ и $2^{\frac{1}{2}}$
* Найдите $x > 0$ : $x^{\frac{3}{4}} = 8$ ; докажите свойство 3
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-093 · Степень с рациональным показателем и ее свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 3/12 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Степень с рациональным показателем и ее свойства» → 2, 4–22 · опора R05.1–R05.2 → 3, 6, 10 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 7, 8, 11, 12, 14–22)
Результаты	ПР-1 (степень с рациональным показателем, калькулятор, свойства) → 2, 4–12, 15–22 · ПР-3 (сравнение, упорядочивание, оценка) → 13, 14, 20, 21 · кодификатора у курса нет
Вне урока	тождественные преобразования выражений с корнями — ALG9U-094; со степенями (вынесение множителя, разложение, сокращение дробей) — ALG9U-095; показательная функция — 10–11 класс
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Степеньс рациональнымпоказателеми её свойства

Сегодня вы научитесь

Понимать запись anm​

Вычислять степени

Применять свойства

Сравнивать и оценивать

Корни и степени с целым показателем

Что такое 221​? Сохраним свойство (ar)s=ars

Степень с рациональным показателем

Значение не должно зависеть от записи дроби

a>0 — всё согласовано

a<0 — противоречие

Вычислите

Образец

Сам

Перейдите к другой записи (a,b,x,y,c>0)

Образец

Сам

Для a>0, b>0 и рациональных r, s — как для целых

anm​⋅aqp​=anm​+qp​, a>0

Найдите значение выражения

Образец

Сам

Упростите (a,b,x>0)

Образец

Сам

Основание больше или меньше 1?

Сравните, оцените, упорядочьте

Образец: 232​ и 321​

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 27−32​

б) (x32​)43​

в) 421​⋅221​

Вычислите или упростите (a>0)

Подумайте и решите

Найдите значение выражения — ответ одно число

Третий закон Кеплера: T=a23​

Два варианта — решите свой (a,b>0)

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-093 · Степень с рациональным показателем и ее свойства

Степень
с рациональным
показателем
и её свойства

Понимать запись $a^{\frac{m}{n}}$

Что такое $2^{\frac{1}{2}}$ ? Сохраним свойство $(a^{r})^{s} = a^{rs}$

$a > 0$ — всё согласовано

$a < 0$ — противоречие

Перейдите к другой записи ( $a, b, x, y, c > 0$ )

Для $a > 0$ , $b > 0$ и рациональных $r$ , $s$ — как для целых

$a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$ , $a > 0$

Упростите ( $a, b, x > 0$ )

Основание больше или меньше $1$ ?

Образец: $2^{\frac{2}{3}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$

а) $2 7^{- \frac{2}{3}}$

б) $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$

в) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Вычислите или упростите ( $a > 0$ )

Третий закон Кеплера: $T = a^{\frac{3}{2}}$

Два варианта — решите свой ( $a, b > 0$ )