Степень с рациональным показателем · урок 2 из 12

Свойства корня
n-й степени

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-092

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 2/12, единица R05.2 «Свойства корня n-й степени». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-091 — определение корня n-й степени; следующий ALG9U-093 — степень с рациональным показателем.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (корень из произведения и частного, доказательство) 3 · 6 (степень корня, корень из корня) 2 · 8 (основное свойство, чётный показатель и модуль) 2 · 10 (сводка свойств и приёмы) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11) 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 3 · повышенный (сл. 15) 3 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойства

корня из произведения, частного, степени и корня из корня (ПР-1, ПР-2)

Вычислять без калькулятора

$324 \cdot 39$ , $3729$ — по свойствам (ПР-1)

Не терять модуль

$n a^{n} = ∣ a ∣$ при чётном $n$ , $= a$ при нечётном (ПР-1)

Сравнивать корни

приводить к одному показателю: $3$ и $35$ (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени… применять свойства корня n-й степени, степени с рациональным показателем». ПР-2: «Использовать понятие множества действительных чисел при решении задач, проведении рассуждений и доказательств». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа… выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». Кодификатора у курса нет.
Вид деятельности ФРП по строке: «Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа, записанные с помощью корня n-й степени… Выполнять тождественные преобразования выражения, содержащего корень n-й степени».

разминка · R05.1

Разминка · устно

Корень n-й степени: вычислите

327

3

481

3

5 - 32

- 2

3 0, 008

0, 2

4 - 16

не существует

(35)^{3}

5

2^{6}

64

664

2

R05.2

Теорема · корень из произведения и частного

При $a \geq 0$ , $b \geq 0$ , $n \in N$ , $n \geq 2$

n ab = n a \cdot n b

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}, b > 0

При нечётном

n

— для любых

a

,

b

(

b \neq = 0

)

Доказательство (произведение)

Пусть $x = n a \cdot n b$ . Тогда $x \geq 0$ произведение неотрицательных чисел

$x^{n} = (n a)^{n} \cdot (n b)^{n} = ab$ степень произведения; определение корня

$x \geq 0$ и $x^{n} = ab$ $\Rightarrow$ $x = n ab$ определение арифметического корня

3 мин · теория
Доказательство ведёт учитель у доски по шагам; класс называет обоснование каждого шага. Схема одна для всех свойств урока: «предъявить неотрицательное число и проверить, что его n-я степень равна подкоренному выражению».
Частное — тот же приём: y = ⁿ√a / ⁿ√b ≥ 0, yⁿ = a/b ⇒ y = ⁿ√(a/b). Предложить сильным ученикам довести самостоятельно.
Нечётный n: корень определён для любого числа, ⁿ√(−a) = −ⁿ√a, поэтому знаки выносятся (³√(−8·27) = −6). Для чётного n при a < 0 или b < 0 правая часть не определена.
Читать формулу в обе стороны: слева направо — «извлечь корень из каждого множителя», справа налево — «перемножить под одним корнем».

R05.2

Образец → сам · произведение и частное

Вычислите

Образец

$324 \cdot 39$

$= 3 24 \cdot 9$ свойство справа налево

$= 3216$ $24 \cdot 9 = 216$

$= 6$ $6^{3} = 216, 6 \geq 0$

Сам

база $42 \cdot 48$ $2$
база $\frac{5 96}{5 3}$ $2$
повыш. $4 3^{8} \cdot 5^{4}$ $45$

R05.2

Теорема · степень корня и корень из корня

При $a \geq 0$ ; $n, k \in N$ , $n, k \geq 2$

(n a)^{k} = n a^{k}

k n a = nk a

Показатели корней перемножаются, а не складываются

Почему это верно

$(n a)^{k} = n a \cdot \dots \cdot n a = n a \cdot \dots \cdot a$ $k$ множителей; корень из произведения

$x = k n a \geq 0$ , $x^{nk} = (x^{k})^{n} = (n a)^{n} = a$ степень степени; дважды определение корня

$\Rightarrow x = nk a$ определение арифметического корня

R05.2

Образец → сам · корень из корня

Вычислите или упростите

Образец

$3729$

$= 2 \cdot 3 729$ корень из корня

$= 6 3^{6}$ $729 = 3^{6}$

$= 3$ проверка: $3729 = 9, 9 = 3$

Сам

база $46561$ $3$
база $(425)^{2}$ $5$
повыш. $322$ $2$

R05.2

Теорема · основное свойство корня

Показатели можно сокращать — но следите за знаком

nk a^{mk} = n a^{m}, a \geq 0

n a^{n} = ∣ a ∣

,

n

чётное

n a^{n} = a

,

n

нечётное

для любого $a$ ; $664 = 6 2^{6} = 2$

2 мин · теория
Основное свойство: ⁿᵏ√(a^{mk}) = ⁿ√(ᵏ√((aᵐ)ᵏ)) = ⁿ√(aᵐ) — корень из корня и определение. Пример: ¹²√(a⁸) = ³√(a²), a ≥ 0 (сократили на 4).
Чётный n: ⁿ√(aⁿ) — неотрицательное число, n-я степень которого равна aⁿ; таким числом является |a|, потому что |a|ⁿ = aⁿ. Нечётный n: aⁿ сохраняет знак a, ответ a.
Вопрос по графикам: при каких x значения ⁴√(x⁴) и x различаются? (при x < 0 — левая ветвь «отражается» вверх.) Масштаб: 45 px на единицу, графики точные на отрезке [−2,8; 2,8].

R05.2

Образец → сам · модуль и показатели

Упростите

Образец

$4 (2 - 5)^{4}$

$= 2 - 5$ показатель 4 чётный

$2 < 5$ $4 < 5$ , значит $2 - 5 < 0$

$= 5 - 2$ $∣ a ∣ = - a$ при $a < 0$

Сам

база $6 x^{6}$ при $x < 0$ $- x$
база $3 (1 - 3)^{3}$ $1 - 3$
повыш. $10 a^{4}$ , $a \geq 0$ $5 a^{2}$

3 мин · практика
Образец: проверка численно — 2 − √5 ≈ −0,236; ⁴√(0,236⁴) ≈ 0,236 = √5 − 2 ✓.
1) ⁶√(x⁶) = |x| = −x при x < 0 (например, x = −2: ⁶√64 = 2 = −(−2) ✓).
2) Показатель 3 нечётный — модуль не нужен: 1 − √3 (число отрицательное, и это верно: кубический корень из отрицательного числа отрицателен).
3) ¹⁰√(a⁴) = ^{5·2}√(a^{2·2}) = ⁵√(a²). Вопрос: что изменится без условия a ≥ 0? (¹⁰√(a⁴) = ⁵√(a²) верно и при a < 0, так как a⁴ = (a²)², a² ≥ 0 — хорошее обсуждение для сильных.)

R05.2

Сводка · свойства и приёмы

Пять свойств — три приёма

свойство	условие
$n ab = n a \cdot n b$	$a, b \geq 0$
$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$	$a \geq 0, b > 0$
$(n a)^{k} = n a^{k}$	$a \geq 0$
$k n a = nk a$	$a \geq 0$
$nk a^{mk} = n a^{m}$	$a \geq 0$

Вынести множитель

$354 = 3 27 \cdot 2 = 332$

Внести множитель

$243 = 4 16 \cdot 3 = 448$

Один показатель

$2 = 68, 33 = 69$

2 мин · теория
Таблицу записать в тетрадь. Для нечётных n первые два свойства верны при любых знаках (b ≠ 0); остальные мы применяем при a ≥ 0, а случай a < 0 с чётным показателем — через модуль (сл. 8).
Приёмы: вынести — найти в подкоренном числе множитель, являющийся n-й степенью; внести — возвести множитель (≥ 0) в n-ю степень; один показатель — основное свойство справа налево (НОК показателей).
Сравнение: ⁶√8 < ⁶√9, поэтому √2 < ³√3 (1,414 < 1,442). Корень n-й степени из большего неотрицательного числа больше — функция y = ⁿ√x возрастает.

R05.2

Образец → сам · вынесение множителя и сравнение

Сравните числа

Образец

$3$ и $35$

$3 = 6 3^{3} = 627$ основное свойство, $k = 3$

$35 = 6 5^{2} = 625$ $k = 2$

$27 > 25 \Rightarrow 3 > 35$ $6 x$ возрастает

Сам

базаВынесите множитель: $3250$ $532$
базаВнесите множитель: $243$ $448$
повыш.Сравните $33$ и $44$ $33 > 44$

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из суммы

$3 8 + 27 = 2 + 3 = 5$

$3 8 + 27 = 335 \approx 3, 27$

свойство — только для произведения и частного

Потерян модуль

$4 (- 3)^{4} = - 3$

$4 (- 3)^{4} = ∣ - 3∣ = 3$

чётный корень не бывает отрицательным

Свойство без условия

$4 - 2 \cdot 4 - 8 = 416 = 2$

выражение не имеет смысла

$4 - 2$ не существует; формула верна при $a, b \geq 0$

R05.2

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите при $x < 5$

$6 (x - 5)^{6} = x - 5$

Ошибка: показатель чётный — нужен модуль

$= ∣ x - 5∣ = 5 - x$ , так как $x - 5 < 0$

Задача 2. Вычислите

$364 + 42 \cdot 48$

$= 564 + 416 = 564 + 2$

Ошибка: показатели корней перемножают

$664 + 2 = 2 + 2 = 4$

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, применяя свойства корня

$3 0, 001 \cdot 216$ $0, 6$
$448 \cdot 427$ $6$
$\frac{3 250}{3 2}$ $5$

$3729$ $3$
$(6125)^{2}$ $5$
$5 3^{10} \cdot 2^{5}$ $18$

R05.2 · ПР-3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модуль, сопряжённые множители, сравнение

повыш.Упростите $4 (a - 2)^{4} + 3 (a - 2)^{3}$ при $a < 2$ $0$
повыш. $3 5 - 17 \cdot 3 5 + 17$ $2$
повыш.Сравните $45$ и $611$ $45 > 611$
повыш.Расположите по возрастанию: $2$ , $33$ , $66$ $66, 2, 33$
повыш.При каких $x$ верно $4 x^{4} = - x$ ? $x \leq 0$

R05.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

$\frac{3 54}{3 2}$ $3$
$3^{4} \cdot 7^{2}$ $63$
$39 \cdot 324$ $6$
$3 (5 - 3)^{3} + (5 - 3)^{2}$ $0$

В бланк — только число: 63

4: корень куба — без модуля, корень квадрата — с модулем

R05.2 · R05.1

Задача из жизни

Средний рост за $n$ лет — корень $n$ -й степени

практикаЦена за 3 года выросла в $1, 331$ раза. На сколько процентов в среднем росла за год? на $10 %$
практикаПодписчиков за 4 года стало в 16 раз больше. Во сколько раз их в среднем прибавлялось за год? в 2 раза
повыш.Объём куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилось ребро (до 0,01)? $\approx 1, 26$

R05.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $34 \cdot 316$ $4$
база $364$ $2$
базаУпростите $4 (x - 7)^{4}$ при $x < 7$ $7 - x$
повыш.Сравните $32$ и $43$ $32 < 43$

Вариант 2

база $45 \cdot 4125$ $5$
база $34096$ $4$
базаУпростите $6 (x + 2)^{6}$ при $x < - 2$ $- x - 2$
повыш.Сравните $3$ и $48$ $3 > 48$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем доказываются все свойства корня?
Когда в ответе появляется модуль?
Как сравнить корни разных степеней?

Домашнее задание

Вычислите $32 \cdot 332$
Упростите $6 (2 - 2)^{6}$
Расположите по возрастанию: $34$ , $3$ , $620$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_stepeni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-092 · Свойства корня n-й степени

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем», 12 ч · урок 2/12 · тип Н
Единицы → слайды	R05.2 «Свойства корня n-й степени» → 2, 4–19 · опора R05.1 → 3, 17 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9, 11, 13–19)
Результаты	ПР-1 (корень n-й степени, свойства корня) → 2–19 · ПР-2 (рассуждения и доказательства) → 4, 6, 8 · ПР-3 (сравнение и упорядочивание, прикидка) → 10, 11, 15, 17, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	степень с рациональным показателем — ALG9U-093; тождественные преобразования выражений с корнями (освобождение от иррациональности в знаменателе) — ALG9U-094
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства корняn-й степени

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойства

Вычислять без калькулятора

Не терять модуль

Сравнивать корни

Корень n-й степени: вычислите

При a≥0, b≥0, n∈N, n≥2

Доказательство (произведение)

Вычислите

Образец

Сам

При a≥0; n,k∈N, n,k≥2

Почему это верно

Вычислите или упростите

Образец

Сам

Показатели можно сокращать — но следите за знаком

Упростите

Образец

Сам

Пять свойств — три приёма

Вынести множитель

Внести множитель

Один показатель

Сравните числа

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Корень из суммы

Потерян модуль

Свойство без условия

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите при x<5

Задача 2. Вычислите

Вычислите, применяя свойства корня

Модуль, сопряжённые множители, сравнение

Найдите значение выражения

Средний рост за n лет — корень n-й степени

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-092 · Свойства корня n-й степени

Свойства корня
n-й степени

При $a \geq 0$ , $b \geq 0$ , $n \in N$ , $n \geq 2$

При $a \geq 0$ ; $n, k \in N$ , $n, k \geq 2$

Задача 1. Упростите при $x < 5$

Средний рост за $n$ лет — корень $n$ -й степени