Степень с рациональным показателем · урок 1 из 12

Корень
n-й степени

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG9U-091

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Алгебраические выражения: степень с рациональным показателем» (12 ч), урок 1/12, единица R05.1 «Корень n-й степени». Тип урока — Н (новый материал). Прошлый урок ALG9U-090 — обобщение по прогрессиям; разминка — по 8 классу (степени, квадратный корень). Следующий ALG9U-092 — свойства корня n-й степени.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение) 2 · 5 (схема: сколько корней) 3 · 6 (арифметический корень) 2 · 9 (корень из степени) 2 · 11 (оценка и сравнение) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 10, 12, 13) 2 + 3 + 2 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 3 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое $n a$

корень $n$ -й степени и арифметический корень, чётный и нечётный $n$ (ПР-1)

Извлекать корни

вычислять $n a$ , упрощать $n a^{n}$ , решать $x^{n} = a$ (ПР-1, ПР-6)

Оценивать корни

между какими целыми, с точностью до десятых, на калькуляторе (ПР-1, ПР-3)

Сравнивать корни

с одинаковыми и разными показателями (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: корень n-й степени, степень с рациональным показателем, находить корень n-й степени, степень с рациональным показателем, используя при необходимости калькулятор…». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений». ПР-6 — уравнения, сводящиеся к квадратным и простейшим (ОГЭ, сл. 17–18).
Вид деятельности ФРП: «Формулировать определения корня n-й степени… Применять операцию извлечения корня n-й степени, используя при необходимости калькулятор… Оценивать значение корня n-й степени… Сравнивать и упорядочивать…».

разминка · 8 класс

Разминка · устно

Степени и квадратные корни

2^{5}

вычислите

32

3^{4}

вычислите

81

(- 2)^{3}

вычислите

- 8

(- 3)^{4}

вычислите

81

0, 2^{3}

вычислите

0, 008

0, 49

вычислите

0, 7

x^{2} = 25

корни

\pm 5

(- 6)^{2}

вычислите

6

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2⁵ = 32. 2) 3⁴ = 81. 3) (−2)³ = −8: нечётная степень сохраняет знак. 4) (−3)⁴ = 81: чётная степень «съедает» минус — у 81 два «кандидата» в корни 4-й степени: 3 и −3.
5) 0,2³ = 0,008. 6) √0,49 = 0,7. 7) x = ±5: два корня, а √25 = 5 — одно число (арифметический корень). 8) √((−6)²) = √36 = 6 = |−6|.
Карточки 3–4 — к схеме «чётный/нечётный показатель» (сл. 5), 7 — к различию «корень» и «арифметический корень» (сл. 6), 8 — к формуле с модулем (сл. 9).

R05.1

Определение · корень n-й степени

Ребро куба объёмом $64$ : $a^{3} = 64$ , $a = 4$

Корнем $n$ -й степени из числа

a

(

n \in N

,

n \geq 2

) называют число,

n

-я степень которого равна

a

.

$4$ — корень $3$ -й степени из $64$ $4^{3} = 64$

$2$ и $- 2$ — корни $4$ -й степени из $16$ $(\pm 2)^{4} = 16$

$- 2$ — корень $5$ -й степени из $- 32$ $(- 2)^{5} = - 32$

корня $4$ -й степени из $- 16$ нет $x^{4} \geq 0$

2 мин · теория
Проблема: квадратный корень отвечает на вопрос «сторона квадрата по площади». Ребро куба по объёму — уже другая операция: ищем число, куб которого равен 64. Это 4.
Определение обобщает квадратный корень (n = 2). Вопрос классу: сколько корней 4-й степени из 16? (Два: 2 и −2.) Из −16? (Ни одного: чётная степень не бывает отрицательной.) Из −32 пятой степени? (−2.)
История: знак √ встречается у К. Рудольфа (1525), черту над подкоренным выражением добавил Р. Декарт (1637); показатель корня над знаком стали писать позже, в XVII–XVIII вв.

R05.1

Схема · сколько корней

Корни из $a$ — абсциссы точек пересечения $y = x^{n}$ и $y = a$

n

нечётное: при любом

a

ровно один корень

n

чётное:

a > 0

— два,

a = 0

— один,

a < 0

— нет

3 мин · теория
Графики построены по точкам (масштаб: y = x³ — 80 px на единицу по x, 20 px по y; y = x⁴ — 90 px и 20 px). Прямые: слева a = 5 и a = −3 (точки x = ∛5 ≈ 1,71 и x = −∛3 ≈ −1,44), справа a = 8 (точки ±⁴√8 ≈ ±1,68) и a = −2.
Нечётный n: функция y = xⁿ возрастает на всей прямой и принимает все значения — прямая y = a пересекает график ровно один раз. Чётный n: функция чётная, xⁿ ≥ 0 — при a > 0 две точки, симметричные относительно Oy (корни противоположны), при a = 0 — только x = 0, при a < 0 — ни одной.
Вопрос классу: сколько корней 6-й степени из 0,000001? (Два: ±0,1.) Кубических из −0,001? (Один: −0,1.)

R05.1

Определение · арифметический корень

Знак $n a$ — одно неотрицательное число

Арифметический корень $n$ -й степени из

a \geq 0

— неотрицательное число,

n

-я степень которого равна

a

.

n a \geq 0, (n a)^{n} = a

n

нечётное,

a < 0

:

n a = - n - a

, например

3 - 8 = - 2

$x^{n} = a$	$n$ нечётное	$n$ чётное
$a > 0$	$x = n a$	$x = \pm n a$
$a < 0$	$x = n a$	нет корней

R05.1

Образец → сам · вычисление корня

Вычислите

Образец

$3 - \frac{125}{8}$

$= - 3 \frac{125}{8}$ $n = 3$ нечётное

$(\frac{5}{2})^{3} = \frac{125}{8}$ подбор основания

$= - \frac{5}{2} = - 2, 5$ проверка: $(- 2, 5)^{3} = - 15, 625$

Сам

база $4 0, 0016$ $0, 2$
база $5 - 243$ $- 3$
повыш. $4 5 \frac{1}{16}$ $1, 5$

R05.1

Образец → сам · простейшее уравнение

Решите уравнение

Образец

$2 x^{4} - 162 = 0$

$x^{4} = 81$ выразили степень

$x = \pm 481$ $n$ чётное, $81 > 0$

$x = \pm 3$ проверка: $2 \cdot 81 - 162 = 0$

Сам

база $x^{4} = 7$ $\pm 47$
база $x^{6} = - 64$ нет корней
повыш. $(x - 1)^{4} = 16$ $- 1; 3$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} = a - 3$ имеет два корня? $a > 3$

R05.1

Свойство · корень из степени

Корень из степени: при чётном $n$ — модуль

n a^{n} = a

при нечётном

n

n a^{n} = ∣ a ∣

при чётном

n

3 (- 5)^{3} = - 5

, но

4 (- 5)^{4} = 5

Доказательство для чётного $n$

$∣ a ∣ \geq 0$ неотрицательно

$∣ a ∣^{n} = a^{n}$ $n$ чётное

$\Rightarrow n a^{n} = ∣ a ∣$ по определению

$n$ нечётное: $a^{n} = a^{n}$ $\Rightarrow n a^{n} = a$

R05.1

Образец → сам · корень из степени

Найдите значение выражения

Образец

$4 (2 - 7)^{4}$

$= 2 - 7$ $n = 4$ чётное

$2 - 7 < 0$ $4 < 7$ , $2 < 7$

$= 7 - 2$ модуль отрицательного

Сам

база $6 (- 2)^{6}$ $2$
база $(47)^{4} - (3 - 5)^{3}$ $12$
повыш. $4 (3 - 10)^{4} + 5 (3 - 10)^{5}$ $0$

R05.1 · ПР-3

Сводка · оценка и сравнение

Больше подкоренное число — больше корень

0 \leq a < b \Rightarrow n a < n b

Оценка:

k^{n} \leq a < (k + 1)^{n} \Rightarrow k \leq n a < k + 1

Разные показатели — в общую степень:

2

и

33

: в

6

-й степени

8 < 9

, значит,

2 < 33

2 мин · теория
Монотонность: если 0 ≤ a < b и ⁿ√a ≥ ⁿ√b, то, возведя в n-ю степень, получили бы a ≥ b — противоречие. При нечётном n то же верно для любых a < b (y = xⁿ возрастает).
Рисунок схематичный: числовые прямые в разных масштабах; 27 = 3³ и 64 = 4³, поэтому ∛50 лежит между 3 и 4 (≈ 3,68 — ближе к 4, хотя 50 ближе к середине: корень «растёт медленнее»).
Сравнение √2 и ∛3: обе части положительны, возводим в 6-ю степень (НОК показателей 2 и 3): (√2)⁶ = 8, (∛3)⁶ = 9.

R05.1 · ПР-3

Образец → сам · оценка корня

Оцените корень и сравните

Образец

Оцените $350$ до десятых

$27 < 50 < 64 \Rightarrow 3 < 350 < 4$ кубы

$3, 6^{3} = 46, 656$ , $3, 7^{3} = 50, 653$

$3, 6 < 350 < 3, 7$ калькулятор: $\approx 3, 684$

Сам

базаМежду какими целыми числами $450$ ? $2$ и $3$
базаМежду какими целыми числами $3 - 20$ ? $- 3$ и $- 2$
повыш.Сравните $32$ и $43$ $32 < 43$

R05.1

Образец → сам · когда корень имеет смысл

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Образец

$4 6 - 2 x$

$6 - 2 x \geq 0$ $n = 4$ чётное

$- 2 x \geq - 6$ перенесли $6$

$x \leq 3$ делим на $- 2$ , знак меняется

Сам

база $3 x - 5$ при любом $x$
повыш. $6 x^{2} - 9$ $x \leq - 3$ или $x \geq 3$
повыш. $4 - x^{2}$ только $x = 0$

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

«Два значения»

$416 = \pm 2$

$416 = 2$

арифметический корень $\geq 0$ ; $\pm 2$ — корни уравнения $x^{4} = 16$

«Из минуса нельзя»

$3 - 8$ не существует

$3 - 8 = - 2$

при нечётном $n$ корень из отрицательного есть: $(- 2)^{3} = - 8$

Потерян модуль

$4 (- 5)^{4} = - 5$

$4 (- 5)^{4} = ∣ - 5∣ = 5$

при чётном $n$ : $n a^{n} = ∣ a ∣$

R05.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите уравнение

$x^{4} = 625$

$x = 4625 = 5$

Ответ: $5$

Ошибка: $n$ чётное, $625 > 0$ — корней два

Ответ: $\pm 5$

Задача 2. Найдите значение

$6 (1 - 3)^{6} = 1 - 3$

Ответ: $1 - 3$

Ошибка: $1 - 3 < 0$ , а корень чётной степени $\geq 0$

$= 1 - 3 = 3 - 1$

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, решите, оцените

$3 - 64$ $- 4$
$4 0, 0081$ $0, 3$
$6 (- 7)^{6}$ $7$

$x^{3} = - 125$ $- 5$
$x^{4} = 81$ $\pm 3$
$3100$ между целыми $4$ и $5$

R05.1 · ПР-3 · ПР-6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Корни, уравнения, параметр

повыш. $3 - 3 \frac{3}{8}$ $- 1, 5$
повыш. $4 (5 - 3)^{4} - 3 (5 - 3)^{3}$ $6 - 25$
повыш.Сравните $35$ и $3$ $35 < 3$
повыш.Решите $x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0$ $- 1; 2$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{6} = a^{2} - 4$ имеет ровно один корень? $a = \pm 2$

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — помогает показатель степени

$x^{6} = (4 x - 3)^{3}$ $1; 3$
$(x^{2} - 4)^{4} = (3 x)^{4}$ $\pm 1; \pm 4$
$(x - 2)^{5} = 32 x^{5}$ $- 2$

нечётный

n

:

A^{n} = B^{n} \Leftrightarrow A = B

чётный

n

:

A^{n} = B^{n} \Leftrightarrow A = \pm B

x^{6} = (x^{2})^{3}

,

32 x^{5} = (2 x)^{5}

3 мин · практика
Почему верны правила: при нечётном n корень ⁿ√ единственный — извлекаем из обеих частей; при чётном ⁿ√(Aⁿ) = |A|, |A| = |B| ⇔ A = ±B.
1) (x²)³ = (4x − 3)³ ⇔ x² = 4x − 3 ⇔ x² − 4x + 3 = 0: 1 и 3 (a + b + c = 0). Проверка x = 3: 729 = 9³ ✓.
2) x² − 4 = 3x: x² − 3x − 4 = 0, корни 4 и −1; x² − 4 = −3x: x² + 3x − 4 = 0, корни −4 и 1. Ответ: −4; −1; 1; 4 (проверено подстановкой).
3) (x − 2)⁵ = (2x)⁵ ⇔ x − 2 = 2x ⇔ x = −2. Проверка: (−4)⁵ = −1024 = 32 · (−32) ✓.
На ОГЭ задание 20 — 2 балла: нужна запись перехода и обоснование. Типичная потеря: во 2) берут только A = B и теряют два корня; раскрывать 4-ю степень — долго и ошибочно.

R05.1 · калькулятор

Задача из жизни