Последовательности и прогрессии · урок 25 из 25 · обобщение

Числовые
последовательности
и прогрессии

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-090

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 25/25, тип О (обобщение и систематизация), единицы R04.1–R04.13. Прошлый урок ALG9U-089 — практикум по бесконечно убывающей геометрической прогрессии; следующий ALG9U-091 — корень n-й степени (строка R05).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: последовательности) 3 · 5 (сводка: две прогрессии) 3 · 9 (бесконечная прогрессия, проценты) 2 · 12 (индукция) 1 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11, 13) 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ 12 и 14 (сл. 18) 2 · ОГЭ 21 (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; сводки не сокращать — урок обобщающий, они и есть опора к контрольной.

R04.1–R04.13

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать и задавать

монотонность, ограниченность, формула $n$ -го члена и рекуррентная формула (ПР-25, 26, 30)

Считать по формулам

$a_{n}$ , $b_{n}$ , $S_{n}$ — прямые и обратные задачи (ПР-27, 28)

Складывать бесконечно

сумма бесконечно убывающей прогрессии, периодические дроби (ПР-31)

Решать и доказывать

вклады и кредиты, задачи ОГЭ, метод математической индукции (ПР-29, 32)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами…». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости».
ПР-29: задачи из реальной жизни; ПР-30: конечные, бесконечные, ограниченные, монотонные последовательности; ПР-31: сходимость, сумма бесконечно убывающей прогрессии; ПР-32: метод математической индукции.
Урок обобщающий: каждый блок — короткая сводка и сразу задания. Предложите ученикам по ходу отмечать, какие задания вызвали трудность, — это план повторения к контрольной.

разминка · R04.5–R04.11

Разминка · устно

По вопросу на каждую формулу

a_{n} = n^{2} - 1

найдите

a_{5}

24

3; 7; 11; \dots

разность

d

4

2; 6; 18; \dots

найдите

b_{5}

162

a_{1} = 5, d = - 2

найдите

a_{4}

- 1

1 + 2 + \dots + 10

вычислите

55

x_{n + 1} = 2 x_{n} - 1

x_{1} = 3

, найдите

x_{3}

9

8 + 4 + 2 + \dots

сумма всех членов

16

1000

₽ под

10 %

слож. %, через 2 года

1210

₽

R04.1–R04.5 · R04.11

Сводка · последовательности

Как задать и что исследовать

Понятие	Признак	Пример
Способы задания	$a_{n} = f (n)$ или $a_{1}$ и $a_{n + 1} = g (a_{n})$	$a_{n} = 2 n + 1$ ; $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 2$
Возрастает	$a_{n + 1} - a_{n} > 0$ при всех $n$	$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$
Ограничена	$m \leq a_{n} \leq M$ при всех $n$	$\frac{1}{2} \leq \frac{n}{n + 1} < 1$
Сходится к $A$	$∣ a_{n} - A ∣$ сколь угодно мал при больших $n$	$\frac{n}{n + 1} \to 1$

3 мин · теория
Повторяем R04.1–R04.5: последовательность — функция натурального аргумента; конечная или бесконечная; формула n-го члена позволяет сразу найти любой член, рекуррентная — только по предыдущему. Описательный и табличный способы — устно: «последовательность простых чисел», таблица значений.
Монотонность проверяем знаком разности a_{n+1} − a_n (или отношением, если члены положительны). Для n/(n+1): разность 1/((n+1)(n+2)) > 0 — возрастает.
Сходимость (R04.11) — на уровне представления: члены неограниченно приближаются к числу A. Рисунок: точки (n; n/(n+1)) при n = 1…8 (масштаб 260 px на 1 по оси ординат) — это ПР-28, изображение членов точками.
Вопрос классу: ограничена ли возрастающая последовательность 2n + 1? (Снизу — числом 3, сверху — нет.)

R04.6–R04.9

Сводка · две прогрессии

Арифметическая и геометрическая — рядом

	Арифметическая	Геометрическая ( $b_{1} \neq = 0, q \neq = 0$ )
Определение	$a_{n + 1} = a_{n} + d$	$b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$
$n$ -й член	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$
Свойство	$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$	$b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}$
Сумма $S_{n}$	$\frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$	$\frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1$
Два члена	$a_{m} - a_{k} = (m - k) d$	$\frac{b _{m}}{b _{k}} = q^{m - k}$

3 мин · теория
Строки открываются по клику; на каждой спросить класс, прежде чем открыть: «Как найти n-й член геометрической? Почему показатель n − 1?» (от b₁ до b_n сделано n − 1 умножений на q).
Характеристическое свойство работает в обе стороны: последовательность — арифметическая прогрессия тогда и только тогда, когда каждый член (кроме крайних) — среднее арифметическое соседей. Для геометрической: b_n² = b_{n−1}b_{n+1} при ненулевых членах; знак b_n по этому равенству не определяется (ошибка на сл. 15).
Последняя строка — главный приём обратных задач: по двум членам находим d или q, не вычисляя первый член (образец сл. 7).
При q = 1 сумма S_n = n·b₁.

R04.3 · R04.4

Образец → сам · монотонность и ограниченность

Исследуйте последовательность

Образец

$a_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 2}$

$a_{n} = 3 - \frac{7}{n + 2}$ $3 n - 1 = 3 (n + 2) - 7$

$\frac{7}{n + 2}$ убывает $\Rightarrow a_{n}$ возрастает

$\frac{2}{3} \leq a_{n} < 3$ $a_{1} = 2/3$ — наименьший

Сам

база $a_{n} = 10 - 3 n$ убывает; $a_{n} \leq 7$ , снизу не ограничена
база $a_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$ убывает; $2 < a_{n} \leq 3, 5$
повыш. $a_{n} = n^{2} - 6 n$ не монотонна; $a_{n} \geq a_{3} = - 9$

R04.7 · R04.8

Образец → сам · по двум членам

Найдите прогрессию по двум её членам

Образец

Арифм. прогрессия: $a_{3} = 7$ , $a_{9} = 25$ . Каким по счёту членом является $52$ ?

$6 d = 25 - 7, d = 3$ $a_{9} - a_{3} = 6 d$

$a_{1} = 7 - 2 \cdot 3 = 1$ $a_{3} = a_{1} + 2 d$

$3 n - 2 = 52, n = 18$ $a_{n} = 1 + 3 (n - 1)$

Сам

базаГеом. прогрессия: $b_{2} = 6$ , $b_{5} = 162$ . Найдите $q$ и $b_{1}$ . $q = 3, b_{1} = 2$
базаКаким по счёту членом прогрессии $4; 11; 18; \dots$ является $95$ ? $14$ -м
повыш.Геом. прогрессия: $b_{1} = 3$ , $b_{5} = 48$ . Найдите $b_{3}$ . $12$

R04.9

Образец → сам · сумма первых n членов

Сначала число членов, потом сумма

Образец

Сумма всех двузначных чисел, кратных $7$

$14; 21; \dots; 98$ $a_{1} = 14, d = 7$

$n = \frac{98 - 14}{7} + 1 = 13$ число членов

$S_{13} = \frac{( 14 + 98 ) \cdot 13}{2} = 728$

Сам

базаАрифм.: $a_{1} = - 5$ , $d = 4$ . Найдите $S_{20}$ . $660$
базаГеом.: $b_{1} = 3$ , $q = 2$ . Найдите $S_{6}$ . $189$
повыш.Сколько первых членов прогрессии $- 15; - 12; - 9; \dots$ дают в сумме $0$ ? $11$

R04.10 · R04.11

Сводка · бесконечная прогрессия и проценты

Бесконечная сумма и проценты

Бесконечно убывающая

S = \frac{b _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

$∣ q ∣ \geq 1$ — суммы нет: члены не стремятся к $0$

Проценты

простые — арифм. прогрессия:

S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p n}{100})

сложные — геом. прогрессия:

S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

снижение на $p %$ — множитель $1 - \frac{p}{100}$

2 мин · теория
Вывод суммы (ALG9U-076): S_n = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q); при |q| < 1 qⁿ → 0, поэтому S_n → b₁/(1 − q). Рисунок: отрезок длины 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … (b₁ = 1/2, q = 1/2, S = 1).
Простые проценты начисляются на начальную сумму — каждый год прибавляется одно и то же: S₀ · p/100 (арифметическая прогрессия с d = S₀p/100). Сложные — на текущую сумму (капитализация): каждый год умножение на 1 + p/100 (геометрическая с q = 1 + p/100).
Кредит с равными платежами: долг после начисления процентов умножается на q, затем уменьшается на платёж x — образец на сл. 11.

R04.11

Образец → сам · бесконечно убывающая прогрессия

Периодическая дробь — это сумма прогрессии

Образец

Запишите $0, 2 (7)$ обыкновенной дробью

$0, 2 + 0, 07 + 0, 007 + \dots$ разложили

$\frac{0 , 07}{1 - 0 , 1} = \frac{7}{90}$ $b_{1} = 0, 07, q = 0, 1$

$\frac{2}{10} + \frac{7}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$

Сам

базаСумма $12 + 4 + \frac{4}{3} + \dots$ $18$
база $0, (36)$ обыкновенной дробью $\frac{4}{11}$
повыш.Сумма бесконечно убывающей прогрессии $12$ , сумма квадратов её членов $48$ . Найдите $b_{1}$ и $q$ . $b_{1} = 6, q = \frac{1}{2}$

R04.10

Образец → сам · вклады и кредиты

Каждый год — умножение на $q$

Образец

Вклад $200000$ ₽ под $8 %$ годовых с капитализацией. Сколько на счёте через 3 года?

$q = 1, 08$ геом. прогрессия

$200000 \cdot 1, 0 8^{3}$ $S_{0} q^{3}$

$= 251942, 4$ ₽

Сам

базаЦену $5000$ ₽ дважды снизили на $10 %$ . Новая цена? $4050$ ₽
база $50000$ ₽ под $6 %$ годовых (простые проценты). Сумма через 4 года? $62000$ ₽
повыш.Кредит $210000$ ₽ под $10 %$ годовых погашен двумя равными ежегодными платежами. Платёж? $121000$ ₽

R04.12 · R04.13

Сводка · метод математической индукции

Как доказать утверждение сразу для всех $n$

1. База

проверяем при $n = 1$

2. Шаг

из «верно при $n = k$ » выводим «верно при $n = k + 1$ »

3. Вывод

верно при всех натуральных $n$

R04.12 · R04.13 · ПР-32

Образец → сам · индукция

Докажите для всех натуральных $n$

Образец

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

$n = 1 : 1 = 1^{2}$ база

$1 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}$ предположение

$k^{2} + (2 k + 1) = (k + 1)^{2}$ шаг

верно при всех $n \in N$ вывод

Сам · ключевой шаг

база $2 + 4 + \dots + 2 n = n (n + 1)$ $k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$
повыш. $7^{n} - 1$ делится на $6$ $7^{k + 1} - 1 = 7 (7^{k} - 1) + 6$
повыш. $2^{n} \geq n + 1$ $2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} \geq 2 (k + 1) \geq k + 2$

3 мин · практика
Требование к записи: база, предположение, шаг с обоснованием, вывод. В шаге к сумме k членов прибавляем (k + 1)-й член: для образца это 2(k + 1) − 1 = 2k + 1.
1) База: 2 = 1 · 2. Шаг: k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) ✓.
2) База: 7 − 1 = 6. Шаг: 7^{k+1} − 1 = 7 · 7^k − 7 + 6 = 7(7^k − 1) + 6 — оба слагаемых делятся на 6.
3) Неравенство (R04.13, простейшие примеры). База: 2 ≥ 2. Шаг: 2^{k+1} = 2 · 2^k ≥ 2(k + 1) = 2k + 2 ≥ k + 2, так как k ≥ 1. Значит, 2^{k+1} ≥ (k + 1) + 1 ✓.
Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R04.8 · R04.9 · R04.11

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Показатель степени

$b_{1} = 2, q = 3$ : $b_{4} = 2 \cdot 3^{4} = 162$

$b_{4} = 2 \cdot 3^{3} = 54$

в формуле $q^{n - 1}$ : от $b_{1}$ до $b_{4}$ три шага

Сумма без условия

$1 + 2 + 4 + \dots =$ $\frac{1}{1 - 2} = - 1$

$q = 2$ , $∣ q ∣ \geq 1$ — суммы нет

формула $\frac{b _{1}}{1 - q}$ — только при $∣ q ∣ < 1$

Число членов

от $14$ до $98$ с шагом $7$ : $\frac{98 - 14}{7} = 12$ членов

$12 + 1 = 13$ членов

$n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1$

R04.7 · R04.9

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Геом. прогрессия: $b_{2} = 4$ , $b_{4} = 16$ . Найдите $b_{3}$ .

$b_{3}^{2} = b_{2} b_{4} = 64$

$b_{3} = 8$

Ошибка: потерян корень, $q^{2} = 4$ , $q = \pm 2$

$b_{3} = 8$ или $b_{3} = - 8$

Задача 2. Арифм. прогрессия: $a_{1} = 3$ , $d = - 2$ . Найдите $S_{10}$ .

$a_{10} = 3 + 10 \cdot (- 2) = - 17$

$S_{10} = \frac{( 3 - 17 ) \cdot 10}{2} = - 70$

Ошибка: $a_{10} = a_{1} + 9 d = - 15$

$S_{10} = \frac{( 3 - 15 ) \cdot 10}{2} = - 60$

R04.5 · R04.8 · R04.9 · R04.11

Задания с самопроверкой · база

Найдите — и назовите формулу

Арифм.: $a_{1} = 6, d = - 1, 5$ ; $a_{11}$ $- 9$
Геом.: $b_{1} = - 2, q = 3$ ; $b_{5}$ $- 162$
Арифм.: $a_{5} = 9, a_{7} = 15$ ; $a_{6}$ $12$

$S_{8}$ для $1; - 2; 4; \dots$ $- 85$
$27 - 9 + 3 - \dots$ (все члены) $20, 25$
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + n$ ; $a_{5}$ $11$

R04.7–R04.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свойства, суммы, бесконечная прогрессия

повыш.Между $2$ и $162$ вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. $6; 18; 54$ или $- 6; 18; - 54$
повыш.Сумма всех натуральных чисел до $100$ , дающих при делении на $4$ остаток $1$ . $1225$
повыш.При каких $x$ числа $x - 1$ , $x + 1$ , $2 x + 5$ — последовательные члены геометрической прогрессии? $2$ или $- 3$
повыш.Арифм.: $a_{1} + a_{5} = 14$ , $a_{2} a_{4} = 45$ . Найдите $a_{1}$ . $3$ или $11$
повыш.Сумма бесконечно убывающей прогрессии $16$ , двух первых членов — $12$ . Найдите $q$ . $\pm \frac{1}{2}$

R04.8 · R04.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12 и 14

Прогрессии в задачах первой части

линия 14В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, в каждом следующем — на 3 больше. Сколько всего мест? $414$
линия 14Масса радиоактивного вещества $640$ мг каждые 8 часов уменьшается вдвое. Через сколько часов она станет $20$ мг? $40$
линия 12 $S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$ . Найдите $S_{n}$ при $a_{1} = 7$ , $d = 4$ , $n = 10$ . $250$

1: какая прогрессия? Что ищем — член или сумму?

2:

q = \frac{1}{2}

, ищем номер

3: подставляйте по действиям

R04.9 · формат ОГЭ · ПР-29

Формат ОГЭ · линия 21 · задача из жизни

Турист прошёл в первый день 20 км, а в каждый следующий — на 2 км меньше. За сколько дней он пройдёт 108 км?

$a_{1} = 20, d = - 2$ арифм. прогрессия

$\frac{40 - 2 ( n - 1 )}{2} \cdot n = 108$ $S_{n}$

$n^{2} - 21 n + 108 = 0$ : $n = 9$ или $n = 12$

$a_{12} = - 2 < 0$ — не подходит отбор

Ответ: за 9 дней

R04.8 · R04.9 · R04.11

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАрифм.: $a_{1} = 4, d = 3$ . Найдите $a_{15}$ . $46$
базаГеом.: $b_{1} = 5, q = - 2$ . Найдите $S_{5}$ . $55$
база $0, (45)$ — обыкновенной дробью $\frac{5}{11}$
повыш.Арифм.: $a_{4} = 10, a_{10} = 28$ . Найдите $S_{12}$ . $210$

Вариант 2

базаАрифм.: $a_{1} = - 7, d = 2$ . Найдите $a_{20}$ . $31$
базаГеом.: $b_{1} = 2, q = - 3$ . Найдите $S_{4}$ . $- 40$
база $0, (81)$ — обыкновенной дробью $\frac{9}{11}$
повыш.Арифм.: $a_{3} = 4, a_{8} = 19$ . Найдите $S_{10}$ . $115$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
Когда у прогрессии есть сумма всех членов?
Из каких частей состоит доказательство по индукции?

Домашнее задание

Сумма трёхзначных чисел, кратных $9$
Докажите: $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$
$50000$ ₽ под $10 %$ годовых с капитализацией: сумма через 3 года
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-090 · Обобщение и систематизация по теме «Числовые последовательности и прогрессии»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 25/25 · тип О
Единицы → слайды	R04.1–R04.5 → 3, 4, 6, 16 · R04.6–R04.9 → 5, 7, 8, 14–20 · R04.10 → 9, 11 · R04.11 → 4, 9, 10, 14, 16, 17, 20 · R04.12, R04.13 → 12, 13, 21 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6–8, 10, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-25 → 5, 7 · ПР-26 → 3, 4, 16 · ПР-27 → 5, 7, 8, 15–20 · ПР-28 → 4, 19 · ПР-29 → 11, 18, 19 · ПР-30 → 4, 6 · ПР-31 → 9, 10, 17, 20 · ПР-32 → 12, 13 · кодификатора у курса нет
Вне урока	контрольная работа по R04 — по плану учителя; корень n-й степени — ALG9U-091 (R05)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Числовыепоследовательностии прогрессии

Сегодня вы научитесь

Распознавать и задавать

Считать по формулам

Складывать бесконечно

Решать и доказывать

По вопросу на каждую формулу

Как задать и что исследовать

Арифметическая и геометрическая — рядом

Исследуйте последовательность

Образец

Сам

Найдите прогрессию по двум её членам

Образец

Сам

Сначала число членов, потом сумма

Образец

Сам

Бесконечная сумма и проценты

Бесконечно убывающая

Проценты

Периодическая дробь — это сумма прогрессии

Образец

Сам

Каждый год — умножение на q

Образец

Сам

Как доказать утверждение сразу для всех n

1. База

2. Шаг

3. Вывод

Докажите для всех натуральных n

Образец

Сам · ключевой шаг

Три ошибки, которые стоят баллов

Показатель степени

Сумма без условия

Число членов

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Геом. прогрессия: b2​=4, b4​=16. Найдите b3​.

Задача 2. Арифм. прогрессия: a1​=3, d=−2. Найдите S10​.

Найдите — и назовите формулу

Свойства, суммы, бесконечная прогрессия

Прогрессии в задачах первой части

Турист прошёл в первый день 20 км, а в каждый следующий — на 2 км меньше. За сколько дней он пройдёт 108 км?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-090 · Обобщение и систематизация по теме «Числовые последовательности и прогрессии»

Числовые
последовательности
и прогрессии

Каждый год — умножение на $q$

Как доказать утверждение сразу для всех $n$

Докажите для всех натуральных $n$

Задача 1. Геом. прогрессия: $b_{2} = 4$ , $b_{4} = 16$ . Найдите $b_{3}$ .

Задача 2. Арифм. прогрессия: $a_{1} = 3$ , $d = - 2$ . Найдите $S_{10}$ .