Последовательности и прогрессии · урок 23 из 25 · практикум

Практикум:
проценты, вклады
и кредиты

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-088

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 23/25, единица R04.10 «Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-087 — суммы первых n членов прогрессий; следующий ALG9U-089 — сходимость, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (простые и сложные проценты) 3 · 7 (последовательные изменения) 2 · 9 (кредит равными платежами) 2 · 11 (равномерное уменьшение долга) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Калькулятор разрешён (ФРП: «с использованием калькулятора, цифровых технологий»), но множители 1,1², 1,2² ученики считают устно.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать сложные проценты

видеть в них геометрическую прогрессию: $S_{n} = S_{0} k^{n}$ (ПР-27)

Решать обратные задачи

находить процент, начальную сумму, число лет (ПР-29)

Рассчитывать кредит

равные платежи и равномерное уменьшение долга (ПР-27, ПР-29)

Оформлять задачу ОГЭ

текстовая задача на проценты с полным решением (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-27 (ФРП дословно): «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий)».
ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…»; ПР-16: «Использовать уравнения… для составления математической модели реальной ситуации… интерпретировать полученные результаты». Вид деятельности ФРП: «Решать задачи на проценты, банковские вклады и кредитование».

разминка · R04.8 · R04.9

Разминка · устно

Проценты и множители

10 %

от

250

найдите

25

200

увеличить на

15 %

получится

230

«

+ 8 %

»

на что умножить?

1, 08

«

- 20 %

»

на что умножить?

0, 8

1, 1^{2}

вычислите

1, 21

1000 \cdot 1, 1^{2}

вычислите

1210

100

:

+ 20 %

, потом

- 20 %

получится

96

1 + 1, 1 + 1, 21

сумма прогрессии

3, 31

R04.10 · R04.6

Сводка · простые и сложные проценты

Вклад $S_{0}$ под $p %$ годовых: две прогрессии

Простые проценты

S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p n}{100})

арифметическая: $d = S_{0} \cdot \frac{p}{100}$

Сложные (капитализация)

S_{n} = S_{0} k^{n}, k = 1 + \frac{p}{100}

геометрическая: $q = k$

3 мин · теория
Простые проценты: каждый год прибавляется одна и та же сумма S₀ · p/100 — арифметическая прогрессия (R04.6). Сложные: проценты начисляются на сумму вместе с прошлыми процентами — каждый год умножаем на k, это геометрическая прогрессия со знаменателем k.
График: 10 000 руб. под 10 %. Простые: 10 000, 11 000, …, 15 000. Сложные: 10 000, 11 000, 12 100, 13 310, 14 641, 16 105,10 (10 000 · 1,1⁵ = 16 105,1). Первый год одинаков, дальше сложные обгоняют.
Вопрос классу: почему через 1 год суммы равны? (Проценты ещё не начислялись на проценты: n = 1 в обеих формулах даёт S₀(1 + p/100).)
На этом уроке «под p % годовых с капитализацией» = сложные проценты; если сказано «проценты не капитализируются» — простые.

R04.10

Образец → сам · сложные проценты

Сколько будет на вкладе?

Образец

$50000$ руб. под $8 %$ годовых с капитализацией на $3$ года

$k = 1, 08$ $1 + \frac{8}{100}$

$S_{3} = 50000 \cdot 1, 0 8^{3}$ $S_{0} k^{n}$

$1, 0 8^{3} = 1, 259712$ калькулятор

$S_{3} = 62985, 6$ руб. $\approx 62985$ р. $60$ к.

Сам

база $20000$ руб. под $10 %$ с капитализацией на $2$ года $24200$ руб.
база $20000$ руб. под $10 %$ простых на $3$ года $26000$ руб.
повыш.Цену $40000$ руб. дважды снижали на $25 %$ . Какой она стала? $22500$ руб.

R04.10

Образец → сам · обратная задача

Найдите процент или начальную сумму

Образец

Вклад $40000$ руб. за $2$ года с капитализацией вырос до $48400$ руб. Какой процент годовых?

$40000 k^{2} = 48400$ $S_{0} k^{2} = S_{2}$

$k^{2} = 1, 21, k = 1, 1$ $k > 0$

$p = 10 %$ $k = 1 + \frac{p}{100}$

Сам

база $50000 \to 72000$ руб. за $2$ года. Процент годовых? $20 %$
базаЦена выросла на $25 %$ . На сколько процентов её снизить, чтобы вернуть прежнюю? на $20 %$
повыш.Сколько положить под $6 %$ с капитализацией, чтобы через $2$ года было $112360$ руб.? $100000$ руб.

R04.10

Сводка · последовательные изменения

Изменения в процентах не складываются — множители перемножаются

+ p % : \times (1 + \frac{p}{100})

- p % : \times (1 - \frac{p}{100})

«

A

больше

B

на

p %

»:

p = \frac{A - B}{B} \cdot 100

— база

B

Изменения	Множитель	Итог
$+ 20 %$ , затем $- 20 %$	$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$	$- 4 %$
$+ 10 %$ дважды	$1, 1^{2} = 1, 21$	$+ 21 %$
$- 25 %$ , затем вернуть	$0, 75 \cdot k = 1$	$+ 33 \frac{1}{3} %$

R04.10

Образец → сам · последовательные изменения

Найдите итоговое изменение или неизвестный процент

Образец

Акции подорожали на $p %$ , затем подешевели на $p %$ и стали на $4 %$ дешевле исходного. Найдите $p$ .

$(1 + \frac{p}{100}) (1 - \frac{p}{100}) = 0, 96$ множители

$1 - \frac{p ^{2}}{10 000} = 0, 96$ разность квадратов

$p^{2} = 400, p = 20$ $p > 0$

Сам

базаЦена дважды выросла на $10 %$ . На сколько процентов всего? на $21 %$
базаЗарплата выросла на $20 %$ , потом снизилась на $10 %$ . Итог? выросла на $8 %$
повыш.После двух повышений на одно и то же число процентов цена выросла с $2500$ до $3600$ руб. Найдите это число. $20 %$

R04.10 · R04.9

Сводка · кредит равными платежами

Долг $S$ , ставка $p %$ : раз в год долг $\times k$ , затем платёж $X$

$1$ год: $S k - X$

$2$ год: $(S k - X) k - X$

$n$ лет: $S k^{n} - X (k^{n - 1} + \dots + k + 1) = 0$

S k^{n} = X \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}

в скобке — сумма геометрической прогрессии

b_{1} = 1, q = k

2 мин · теория
Схема (как в задачах ЕГЭ и олимпиад, но доступна в 9 классе): в конце каждого года банк увеличивает долг в k раз, затем клиент вносит платёж X. Через n лет долг равен нулю.
Раскрываем скобки: (Sk − X)k − X = Sk² − X(k + 1); после n лет Sk^n − X(k^(n−1) + … + 1). Сумма n членов геометрической прогрессии с b₁ = 1, q = k равна (k^n − 1)/(k − 1) — формула прошлого урока (ALG9U-087).
Для n = 2: Sk² = X(k + 1). Пример к сл. 10: S = 2 100 000, k = 1,1: 2 541 000 = 2,1X, X = 1 210 000.
Рисунок схематичный: долг растёт за год (фиолетовый), платёж — скачок вниз (розовый).

R04.10

Образец → сам · равные платежи

Найдите ежегодный платёж

Образец

Кредит $2100000$ руб. под $10 %$ на $2$ года, два равных платежа $X$

$2100000 \cdot 1, 1 = 2310000$ $S k$

$(2310000 - X) \cdot 1, 1 = X$ 2-й год

$2541000 = 2, 1 X$ $S k^{2} = X (k + 1)$

$X = 1210000$ руб. переплата $320000$

Сам

база $1100000$ руб. под $20 %$ на $2$ года. Платёж? $720000$ руб.
повыш. $3310000$ руб. под $10 %$ на $3$ года. Платёж? $1331000$ руб.
повыш.Под $20 %$ на $2$ года, платежи по $1440000$ руб. Какой был кредит? $2200000$ руб.

R04.10 · R04.9

Сводка · долг уменьшается равномерно

Платёж = часть долга + проценты на остаток

Долг: $S, \frac{n - 1}{n} S, \dots, \frac{1}{n} S$ арифм. прогрессия

Проценты в $i$ -й год: $r \cdot (долг перед ним)$ , $r = \frac{p}{100}$

Переплата = r S \cdot \frac{n + 1}{2}

сумма

n

членов арифметической прогрессии:

\frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n

R04.10

Образец → сам · равномерное уменьшение долга

Найдите платежи и переплату

Образец

$600000$ руб. под $10 %$ на $3$ года, долг уменьшается на $200000$ ежегодно

$60 + 200 = 260$ тыс. 1-й платёж

$40 + 200 = 240, 20 + 200 = 220$ 2-й, 3-й

$60 + 40 + 20 = 120$ тыс. переплата

Сам · долг убывает равномерно

база $900000$ руб. под $20 %$ на $3$ года. Первый платёж? $480000$ руб.
базаТот же кредит. Переплата? $360000$ руб.
повыш. $1200000$ руб. на $6$ месяцев под $2 %$ в месяц. Переплата? $84000$ руб.

R04.10

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в задачах на проценты

Проценты сложили

$+ 20 %$ , затем $- 20 %$ — цена не изменилась

$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ : на $4 %$ дешевле

второй процент — от новой цены

Сложные как простые

$3$ года по $10 %$ с капитализацией: $+ 30 %$

$1, 1^{3} = 1, 331$ : $+ 33, 1 %$

проценты начисляются и на проценты

Проценты на весь кредит

$600$ тыс. под $10 %$ на $3$ года, долг убывает: переплата $3 \cdot 60 = 180$ тыс.

$60 + 40 + 20 = 120$ тыс.

проценты — на остаток долга

R04.10

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Кредит $1050000$ руб. под $10 %$ на $2$ года, два равных платежа

$1050000 \cdot 1, 21 = 1270500$

$X = 1270500 : 2 = 635250$ руб.

Ошибка: первый платёж уменьшил долг, на него проценты 2-го года не начисляются

$1270500 = 2, 1 X$ , $X = 605000$ руб.

Задача 2. Цена $500 \to 400 \to 500$ руб. На сколько процентов снизилась и выросла?

Снизилась на $\frac{100}{500} = 20 %$

Выросла на $\frac{100}{500} = 20 %$

Ошибка: рост считают от $400$ — новой базы

$\frac{100}{400} = 25 %$

R04.10

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$15 %$ от $840$ $126$
Цену $2400$ руб. повысили на $15 %$ $2760$ руб.
После скидки $30 %$ товар стоит $1890$ руб. Цена до скидки? $2700$ руб.

$10000$ руб. под $5 %$ с капитализацией, $2$ года $11025$ руб.
$10000$ руб. под $5 %$ простых, $4$ года $12000$ руб.
Сколько процентов $80$ составляет от $64$ ? $125 %$

R04.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи и кредиты

повыш.Цена дважды выросла на $10 %$ и стала $6050$ руб. Какой была? $5000$ руб.
повыш.Вклад под $20 %$ с капитализацией. Через сколько полных лет он впервые станет больше чем вдвое? $4$ года
повыш.Кредит $550000$ руб. под $20 %$ на $2$ года, два равных платежа. Платёж? $360000$ руб.
повыш. $1000000$ руб. под $10 %$ на $4$ года, долг убывает равномерно. Переплата? $250000$ руб.
повыш. $a$ больше $b$ на $25 %$ . На сколько процентов $b$ меньше $a$ ? на $20 %$

R04.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовая задача на проценты — с полным решением

Цена холодильника дважды снижалась на одно и то же число процентов: с $20000$ до $16200$ руб. На сколько процентов каждый раз? на $10 %$
Первый сплав содержит $10 %$ меди, второй — $40 %$ . Масса второго на $3$ кг больше первого. Из них получили сплав с $30 %$ меди. Найдите его массу. $9$ кг
Банк начисляет $10 %$ годовых с капитализацией. Через какое наименьшее число лет вклад станет больше чем вдвое? $8$ лет

1:

(1 - r)^{2} = 0, 81

2: масса меди до и после — одна

3:

1, 1^{n} > 2

— перебор

R04.10 · R04.9

Задача из жизни

Ежегодный взнос $100000$ руб. на вклад под $10 %$

практикаВзнос — в начале каждого года. Сколько будет на вкладе через $3$ года? $364100$ руб.
практикаСколько из этого — проценты банка? $64100$ руб.
повыш.Запишите сумму через $n$ лет и найдите её при $n = 5$ $671561$ руб.

R04.10

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаЦену $12000$ руб. повысили на $15 %$ $13800$ руб.
база $20000$ руб. под $10 %$ с капитализацией, $3$ года $26620$ руб.
базаЦена снизилась на $20 %$ , затем выросла на $25 %$ . Как изменилась? не изменилась
повыш.Кредит $630000$ руб. под $10 %$ на $2$ года, два равных платежа. Платёж? $363000$ руб.

Вариант 2

базаЦену $16000$ руб. снизили на $15 %$ $13600$ руб.
база $30000$ руб. под $10 %$ с капитализацией, $2$ года $36300$ руб.
базаЦена выросла на $10 %$ , затем ещё на $20 %$ . На сколько процентов всего? на $32 %$
повыш.Кредит $1650000$ руб. под $20 %$ на $2$ года, два равных платежа. Платёж? $1080000$ руб.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какая прогрессия у простых процентов, какая у сложных?
Почему $+ 20 %$ и $- 20 %$ не компенсируют друг друга?
На какой долг начисляются проценты по кредиту?

Домашнее задание

$80000$ руб. под $5 %$ с капитализацией на $3$ года
Кредит $1320000$ руб. под $20 %$ на $2$ года, два равных платежа. Найдите платёж и переплату.
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-088 · Практикум: Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 23/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.10 «Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты» → 2, 4–20 · опора R04.6, R04.8, R04.9 → 3, 4, 9, 11, 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-27 (вычисления по формулам n-го члена и суммы прогрессий) → 4, 5, 9–12, 18 · ПР-29 (задачи из реальной жизни, с калькулятором) → 5–19 · ПР-15, ПР-16 (текстовые задачи, математическая модель) → 8, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	сходимость и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — ALG9U-089; экономическая задача ЕГЭ (кредиты со сложными схемами платежей) — 10–11 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:проценты, вкладыи кредиты

Сегодня вы научитесь

Считать сложные проценты

Решать обратные задачи

Рассчитывать кредит

Оформлять задачу ОГЭ

Проценты и множители

Вклад S0​ под p% годовых: две прогрессии

Простые проценты

Сложные (капитализация)

Сколько будет на вкладе?

Образец

Сам

Найдите процент или начальную сумму

Образец

Сам

Изменения в процентах не складываются — множители перемножаются

Найдите итоговое изменение или неизвестный процент

Образец

Сам

Долг S, ставка p%: раз в год долг ×k, затем платёж X

Найдите ежегодный платёж

Образец

Сам

Платёж = часть долга + проценты на остаток

Найдите платежи и переплату

Образец

Сам · долг убывает равномерно

Три ошибки в задачах на проценты

Проценты сложили

Сложные как простые

Проценты на весь кредит

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Кредит 1050000 руб. под 10% на 2 года, два равных платежа

Задача 2. Цена 500→400→500 руб. На сколько процентов снизилась и выросла?

Решите и проверьте

Обратные задачи и кредиты

Текстовая задача на проценты — с полным решением

Ежегодный взнос 100000 руб. на вклад под 10%

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-088 · Практикум: Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты

Практикум:
проценты, вклады
и кредиты

Вклад $S_{0}$ под $p %$ годовых: две прогрессии

Долг $S$ , ставка $p %$ : раз в год долг $\times k$ , затем платёж $X$

Задача 1. Кредит $1050000$ руб. под $10 %$ на $2$ года, два равных платежа

Задача 2. Цена $500 \to 400 \to 500$ руб. На сколько процентов снизилась и выросла?

Ежегодный взнос $100000$ руб. на вклад под $10 %$