Последовательности и прогрессии · урок 22 из 25 · практикум

Практикум:
сумма первых $n$
членов прогрессий

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-087

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 22/25, единица R04.9 «Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий». Тип урока — П (практикум). Новый материал — урок ALG9U-074; прошлый урок ALG9U-086 — практикум по формулам n-го члена; следующий ALG9U-088 — проценты, вклады и кредиты.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка формул) 3 · 5 (что известно → какая формула) 2 · 9 (сумма АП как функция n) 2,5 · 12 (типичные ошибки) 2,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11) по 3 = 15 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2,5 · ОГЭ линия 14 (сл. 16) 2 · ОГЭ линия 21 (сл. 17) 2,5 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Практикум не повторяет задания урока 074: здесь суммы с условием, системы, свойство «равноудалённых» членов, наибольшая сумма, уравнения с суммой и текстовые задачи части 2.
Рисунок на титуле: столбики 1, 2, 4, 8 (ГП с q = 2) и их сумма столбиком справа: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2⁴ − 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 2 сл. 17 — в ДЗ; сводку не сокращать.

R04.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу суммы

по тому, что дано: $a_{1}$ , $a_{n}$ , $d$ , $b_{1}$ , $q$ или «средний» член (ПР-27)

Решать обратные задачи

по суммам найти $a_{1}$ , $d$ , $q$ или число членов $n$ (ПР-27)

Исследовать сумму

при каком $n$ сумма АП наибольшая, когда она станет отрицательной (ПР-27, ПР-6)

Решать задачи ОГЭ

текстовые задачи и уравнения с суммой прогрессии (ПР-29, ПР-15)

1 мин · теория
ПР-27 (ФРП дословно): «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…». ПР-6: квадратные уравнения и сводящиеся к ним — в обратных задачах.
Кодификатора у курса нет — цели только из результатов.

разминка · R04.8–R04.9

Разминка · устно

Члены, суммы, число членов

1 + 2 + \dots + 20

вычислите

210

a_{1} = 3, d = 2

a_{10}

= ?

21

a_{1} = 4, a_{7} = 16

S_{7}

= ?

70

12; 13; \dots; 40

сколько чисел?

29

1 + 2 + 4 + \dots + 32

вычислите

63

b_{1} = 5, q = 3

b_{3}

= ?

45

2^{10}

вычислите

1024

n (n + 1) = 56

n \in N

7

R04.9

Сводка · формулы суммы

Две прогрессии — четыре формулы и две связи

Арифметическая

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n

Геометрическая

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

q = 1 : S_{n} = n b_{1}

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

a_{k} + \dots + a_{m} = S_{m} - S_{k - 1}

a_{1} + a_{n} = a_{2} + a_{n - 1} = \dots

в арифметической прогрессии

3 мин · теория
Сводка формул урока ALG9U-074 — без повторного вывода. Вопрос классу: откуда первая формула АП? (Приём Гаусса: сумма записана дважды, в прямом и обратном порядке, n пар по a₁ + aₙ.) Откуда формула ГП? (qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁.)
Вторая форма АП — подстановка aₙ = a₁ + d(n − 1); нужна, когда последний член не известен.
Связи (по клику): aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2) верно для любой последовательности; сумма «с k-го по m-й» — S_m − S_{k−1}, а не S_m − S_k (сл. 12).
Свойство «равноудалённых» членов: a_k + a_{n+1−k} = a₁ + aₙ (сумма индексов одинакова: k + (n + 1 − k) = n + 1). Отсюда: Sₙ = (a_k + a_{n+1−k})/2 · n, а при нечётном n — Sₙ = n · a_{(n+1)/2} (средний член). Работает на сл. 7.

R04.9

Схема · что дано → какая формула

Сначала выпишите, что известно

Дано	Формула	Пример
$a_{1}, a_{n}, n$	$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n$	$a_{1} = 4, a_{7} = 16$ : $S_{7} = 70$
$a_{1}, d$ , но не $n$	$n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1$	$14; 21; \dots; 98$ : $n = 13$
два члена, сумма индексов $n + 1$	$S_{n} = \frac{a _{k} + a _{n + 1 - k}}{2} \cdot n$	$a_{3} + a_{9}$ → $S_{11}$
средний член, $n$ нечётное	$S_{n} = n \cdot a_{\frac{n + 1}{2}}$	$a_{5}$ → $S_{9} = 9 a_{5}$
$b_{1}, q$ ; суммы «кусков» ГП	$S_{2 n} = S_{n} (1 + q^{n})$	$\frac{S _{8}}{S _{4}} = 1 + q^{4}$

R04.9

Образец → сам · сумма с условием

Найдите сумму натуральных чисел

Образец

от $1$ до $100$ , не кратных $3$

$1 + \dots + 100 = 5050$ все числа

$3; 6; \dots; 99$ : $n = 33$ $\frac{99 - 3}{3} + 1$

$\frac{3 + 99}{2} \cdot 33 = 1683$ кратные $3$

$5050 - 1683 = 3367$ ответ

Сам

базаДвузначных, не кратных $5$ $3960$
базаТрёхзначных, оканчивающихся на $7$ $49680$
повыш.От $1$ до $100$ , кратных $2$ или $3$ $3417$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски (учитель): «не кратных» = «все» минус «кратные». Кратных 3 до 100: 3 · 1, …, 3 · 33 — 33 числа. Проверено перебором в python.
1) Все двузначные: (10 + 99)/2 · 90 = 4905; кратные 5: 10; 15; …; 95 — n = 18, (10 + 95)/2 · 18 = 945; 4905 − 945 = 3960.
2) 107; 117; …; 997: d = 10, n = (997 − 107)/10 + 1 = 90; (107 + 997)/2 · 90 = 552 · 90 = 49 680.
3) Кратные 2: 2550; кратные 3: 1683; кратные 6 посчитаны дважды: 6; …; 96 — 16 чисел, (6 + 96)/2 · 16 = 816. Ответ: 2550 + 1683 − 816 = 3417. Типичная ошибка — 4233 (не вычли кратные 6).

R04.9

Образец → сам · обратная задача АП

По суммам — первый член и разность

Образец

АП: $S_{5} = 40$ , $S_{10} = 155$ . Найдите $a_{1}$ и $d$ .

$5 a_{1} + 10 d = 40$ $\frac{2 a _{1} + 4 d}{2} \cdot 5$

$10 a_{1} + 45 d = 155$ $\frac{2 a _{1} + 9 d}{2} \cdot 10$

$25 d = 75, d = 3$ второе $-$ первое $\cdot 2$

$a_{1} = 8 - 2 d = 2$ из первого

Сам

базаАП: $a_{5} = 7$ . Найдите $S_{9}$ . $63$
базаАП: $a_{3} + a_{9} = 20$ . Найдите $S_{11}$ . $110$
повыш.АП: $S_{10} = 100$ , $S_{20} = 400$ . Найдите $S_{30}$ . $900$

3 мин · практика
Образец: из второго уравнения вычитаем удвоенное первое: 45d − 20d = 155 − 80. Проверка: АП 2; 5; 8; … — S₅ = (2 + 14)/2 · 5 = 40 ✓, S₁₀ = (2 + 29)/2 · 10 = 155 ✓.
1) n = 9 нечётное, средний член a₅: S₉ = 9 · 7 = 63 (a₁ + a₉ = 2a₅). Отдельно a₁ и d найти нельзя — и не нужно.
2) 3 + 9 = 1 + 11: a₁ + a₁₁ = 20, S₁₁ = 20/2 · 11 = 110.
3) 10a₁ + 45d = 100, 20a₁ + 190d = 400 ⇒ 100d = 200, d = 2, a₁ = 1: АП нечётных чисел, Sₙ = n², S₃₀ = 900. Другой путь: S₁₀, S₂₀ − S₁₀, S₃₀ − S₂₀ — тоже АП (100, 300, 500). Ошибка: «S₃₀ = 3 · S₁₀ = 300» или «S₃₀ = S₁₀ + S₂₀ = 500».

R04.9

Образец → сам · обратная задача ГП

Суммы «кусков» геометрической прогрессии

Образец

ГП: $b_{1} + b_{2} + b_{3} = 14$ , $b_{4} + b_{5} + b_{6} = 112$ . Найдите $S_{6}$ .

$q^{3} \cdot 14 = 112$ $b_{4} = b_{1} q^{3}, \dots$

$q^{3} = 8, q = 2$ куб — один корень

$S_{6} = 14 + 112 = 126$ $b_{1} = 2$

Сам

базаГП: $b_{3} = 12$ , $b_{5} = 48$ , $q > 0$ . Найдите $S_{5}$ . $93$
базаГП: $S_{8} : S_{4} = 17$ , $q > 0$ . Найдите $q$ . $2$
повыш.ГП: $b_{2} = 6$ , $S_{3} = 26$ . Найдите $b_{1}$ . $2$ или $18$

R04.9 · ПР-27

Сводка · сумма АП как функция номера

$S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n$ — точки параболы

АП $25; 21; 17; \dots$

$S_{n} = - 2 n^{2} + 27 n$

d < 0

: сумма растёт, пока члены положительны

a_{7} = 1 > 0

,

a_{8} = - 3

: наибольшая

S_{7} = 91

2,5 мин · теория
Раскрыли скобки во второй форме: Sₙ = (2a₁ + dn − d)/2 · n = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n — квадратичная функция без свободного члена (график проходит через начало координат), но берём только натуральные n — отдельные точки.
Пример: a₁ = 25, d = −4: Sₙ = −2n² + 27n. Вершина параболы n = 27/4 = 6,75, ближайшее натуральное — 7. Значения S₁…S₁₃: 25, 46, 63, 76, 85, 90, 91, 88, 81, 70, 55, 36, 13 (проверено в python). S₆ = 90 < S₇ = 91 > S₈ = 88.
Удобнее без параболы: пока aₙ > 0, каждый новый член увеличивает сумму; первый отрицательный — уменьшает. aₙ = 29 − 4n > 0 ⇔ n ≤ 7. Если какой-то член равен 0, наибольшая сумма достигается при двух соседних n (образец на сл. 10).
Масштаб рисунка: 40 px на единицу n, 3 px на единицу суммы; пунктир — парабола при всех n, точки — суммы.

R04.9 · ПР-27

Образец → сам · наибольшая сумма

При каком $n$ сумма АП наибольшая (наименьшая)?

Образец

АП $40; 37; 34; \dots$ : наибольшая $S_{n}$

$a_{n} = 43 - 3 n$ $a_{1} + d (n - 1)$

$43 - 3 n > 0 \Rightarrow n \leq 14$ $n < 14 \frac{1}{3}$

$S_{14} = \frac{40 + 1}{2} \cdot 14 = 287$ $a_{14} = 1$

Сам

базаАП $50; 46; 42; \dots$ : наибольшая $S_{n}$ $338$ при $n = 13$
повыш.АП $- 30; - 27; \dots$ : наименьшая $S_{n}$ $- 165$ при $n = 10$ и $n = 11$
повыш.АП $31; 28; \dots$ : при каком $n$ сумма впервые отрицательна? $n = 22$

3 мин · практика
Образец: a₁₄ = 1 > 0, a₁₅ = −2 < 0. Проверено перебором: максимум Sₙ = 287 при n = 14.
1) aₙ = 54 − 4n > 0 ⇔ n ≤ 13 (a₁₃ = 2, a₁₄ = −2). S₁₃ = (50 + 2)/2 · 13 = 338.
2) aₙ = 3n − 33 < 0 при n ≤ 10, a₁₁ = 0. S₁₀ = (−30 − 3)/2 · 10 = −165, S₁₁ = S₁₀ + 0 = −165. Ответ: −165 (при n = 10 и n = 11). Ошибка — назвать только одно n.
3) Sₙ = n(62 − 3(n − 1))/2 = n(65 − 3n)/2 < 0 ⇔ n > 65/3 ≈ 21,7 ⇒ n = 22. Проверка: S₂₁ = 21 · 2/2 = 21 > 0, S₂₂ = 22 · (−1)/2 = −11 < 0 ✓. Ошибка — ответ 11 (номер первого отрицательного члена, a₁₂ = −2): сумма отрицательна гораздо позже.

R04.9 · ПР-6

Образец → сам · уравнение с суммой

Слагаемые — члены прогрессии. Решите уравнение

Образец

$1 + 4 + 7 + \dots + x = 117$

$n = \frac{x - 1}{3} + 1 = \frac{x + 2}{3}$ число членов

$\frac{1 + x}{2} \cdot \frac{x + 2}{3} = 117$ $S_{n}$

$x^{2} + 3 x - 700 = 0$ $D = 5 3^{2}$

$x = 25$ $x = - 28$ — не член АП

Сам

база $2 + 6 + 10 + \dots + x = 200$ $38$
база $(x + 1) + (x + 4) + \dots + (x + 28) = 155$ $1$
повыш. $(x - 1) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 80$ $\pm 3$

3 мин · практика
Образец: (x + 1)(x + 2) = 702 ⇔ x² + 3x − 700 = 0; D = 9 + 2800 = 2809 = 53²; x = (−3 ± 53)/2: 25 и −28. Последний член больше первого (d = 3 > 0), а n = (x + 2)/3 должно быть натуральным: −28 не подходит. Проверка: 25 = 1 + 3 · 8, n = 9, (1 + 25)/2 · 9 = 117 ✓.
1) n = (x + 2)/4; (2 + x)/2 · (x + 2)/4 = (x + 2)²/8 = 200 ⇒ (x + 2)² = 1600 ⇒ x = 38 (x = −42 — не член АП). Проверка: n = 10, (2 + 38)/2 · 10 = 200 ✓.
2) Слагаемых (28 − 1)/3 + 1 = 10: 10x + (1 + 28)/2 · 10 = 10x + 145 = 155 ⇒ x = 1.
3) (x − 1)(1 + x + x² + x³) = x⁴ − 1 (числитель формулы суммы ГП с b₁ = 1, q = x). x⁴ = 81, x = ±3. Проверка x = −3: (−4)(1 − 3 + 9 − 27) = (−4)(−20) = 80 ✓. Ошибка — потерять x = −3.

R04.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Число членов без « $+ 1$ »

$5 + 8 + \dots + 59$ : $n = \frac{54}{3} = 18$

$n = 19$ : $S = 608$

$\frac{a _{n} - a _{1}}{d}$ — число шагов, а членов на один больше

Степень $n - 1$ в сумме ГП

$b_{1} = 3, q = 2$ : $S_{5} = 3 (2^{4} - 1) = 45$

$S_{5} = \frac{3 ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} = 93$

в сумме $q^{n}$ , в члене $b_{n}$ — $q^{n - 1}$

Сумма «из середины»

$a_{11} + \dots + a_{20}$ $= S_{20} - S_{11}$

$= S_{20} - S_{10}$

$S_{11}$ содержит $a_{11}$ — его бы вычли

2,5 мин · теория
1) 5; 8; …; 59: (59 − 5)/3 = 18 шагов, 19 членов (проверка: 5 + 3 · 18 = 59). Неверный ответ (5 + 59)/2 · 18 = 576; верно 608 (проверено сложением).
2) Перепутаны формулы: bₙ = b₁qⁿ⁻¹, но Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Проверка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93.
3) Члены с 11-го по 20-й: из первых 20 вычитаем первые 10. Общее правило: a_k + … + a_m = S_m − S_{k−1}. Вычитание S₁₁ теряет a₁₁ — получается сумма девяти членов.
Вопрос классу: как проверить себя в задаче 1? (Посчитать члены на малом примере: 5; 8; 11 — (11 − 5)/3 = 2, а членов 3.)

R04.9

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. АП $23; 19; 15; \dots$ — наибольшая сумма

$a_{n} = 23 - 4 n > 0$ , значит, $n \leq 5$

$S_{5} = \frac{23 + 7}{2} \cdot 5 = 75$

Ошибка: $a_{n} = 23 - 4 (n - 1) = 27 - 4 n$

$n \leq 6$ , $a_{6} = 3$ : $S_{6} = \frac{23 + 3}{2} \cdot 6 = 78$

Задача 2. ГП $1; - 2; 4; \dots$ — найдите $S_{6}$

$S_{6} = \frac{1 - ( - 2 ) ^{6}}{1 - 2} = \frac{- 63}{- 1} = 63$

Ошибка: $1 - q = 1 - (- 2) = 3$

$S_{6} = \frac{- 63}{3} = - 21$

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем ответы по клику.
1) Формула n-го члена записана без (n − 1): по ней a₁ было бы 19, а не 23. Верно: aₙ = 27 − 4n > 0 ⇔ n ≤ 6 (a₆ = 3, a₇ = −1). S₆ = 78 (проверено перебором: 23 + 19 + 15 + 11 + 7 + 3 = 78). Подсказка ученикам: подставьте n = 1 в свою формулу.
2) Минус у q потерян в знаменателе. Верно: S₆ = (1 − 64)/(1 + 2) = −21. Проверка сложением: 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 = −21. Признак ошибки: 63 = 1 + 2 + … + 32 — так было бы, только если бы все члены были положительны, а здесь есть отрицательные.

R04.9

Задания с самопроверкой · база

Найдите сумму

АП $6; 10; 14; \dots$ : $S_{12}$ $336$
Нечётные числа от $21$ до $59$ $800$
АП: $a_{1} = - 8$ , $a_{15} = 20$ : $S_{15}$ $90$

ГП $1; 3; 9; \dots$ : $S_{6}$ $364$
ГП $64; 32; 16; \dots$ : $S_{7}$ $127$
АП: $a_{4} + a_{7} = 30$ : $S_{10}$ $150$

R04.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи и необычные суммы

повыш.Сумма трёхзначных чисел, кратных $11$ $44550$
повыш. $S_{n} = 3 n^{2} - 5 n$ . Найдите $a_{20}$ . $112$
повыш.ГП с положительными членами: $b_{1} + b_{2} = 8$ , $b_{3} + b_{4} = 72$ . Найдите $S_{5}$ . $242$
повыш.Сколько членов АП $40; 37; 34; \dots$ дают в сумме $280$ ? $16$
повыш. $10 0^{2} - 9 9^{2} + 9 8^{2} - 9 7^{2} + \dots + 2^{2} - 1^{2}$ $5050$

2,5 мин · практика
1) 110; 121; …; 990: n = (990 − 110)/11 + 1 = 81; (110 + 990)/2 · 81 = 550 · 81 = 44 550.
2) a₂₀ = S₂₀ − S₁₉ = 1100 − 988 = 112 (или aₙ = 6n − 8, a₁ = S₁ = −2 ✓).
3) b₃ + b₄ = q²(b₁ + b₂): q² = 9, q = 3 (члены положительны); b₁ · 4 = 8, b₁ = 2. S₅ = 2(3⁵ − 1)/2 = 242 (2 + 6 + 18 + 54 + 162).
4) n(83 − 3n)/2 = 280 ⇔ 3n² − 83n + 560 = 0; D = 169; n = 16 или 70/6 (не натуральное). Проверка: a₁₆ = −5, (40 − 5)/2 · 16 = 280 ✓. В сумму вошли и отрицательные члены — это нормально.
5) Разность квадратов: (100 − 99)(100 + 99) + … = 199 + 195 + … + 3 — АП из 50 членов: (199 + 3)/2 · 50 = 5050 = 1 + 2 + … + 100. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R04.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14 · задачи из жизни

Прогрессия спрятана в условии

практикаВ первом ряду амфитеатра $18$ мест, в каждом следующем на $3$ больше. Сколько мест в $12$ рядах? $414$
практикаБрёвна сложены штабелем: в нижнем ряду $15$ , в каждом следующем на $1$ меньше, в верхнем $6$ . Сколько брёвен? $105$
практикаВ первый день новость узнали $5$ человек, в каждый следующий — в $3$ раза больше, чем накануне. Сколько человек узнало её за $6$ дней? $1820$

«на … больше» — АП

«в … раз больше» — ГП

вопрос «сколько всего» — сумма, а не член

R04.9 · формат ОГЭ · ПР-15

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовая задача — полное решение

повыш.Улитка за первую минуту проползла $30$ см, а за каждую следующую — на $2$ см меньше, чем за предыдущую. За сколько минут она проползёт $2, 1$ м? $10$ мин
повыш.Расстояние между сёлами $189$ км. Навстречу друг другу вышли два туриста. Первый проходит $10$ км в день. Второй в первый день прошёл $3$ км, а в каждый следующий — на $2$ км больше. Через сколько дней они встретятся? $9$ дней

Запишите: что —

a_{1}

,

d

,

n

Уравнение

S_{n} = \dots

— квадратное

Каждый корень проверьте по смыслу

2,5 мин · практика
1) 2,1 м = 210 см; a₁ = 30, d = −2: (60 − 2(n − 1))/2 · n = 210 ⇔ (31 − n)n = 210 ⇔ n² − 31n + 210 = 0; D = 961 − 840 = 121; n = 10 или n = 21. При n = 21 a₂₁ = 30 − 40 = −10 < 0 — улитка не ползёт «отрицательно» (уже a₁₆ = 0), корень не подходит. Ответ: 10 минут. Проверка: a₁₀ = 12, (30 + 12)/2 · 10 = 210 ✓.
2) За n дней первый прошёл 10n, второй (6 + 2(n − 1))/2 · n = n(n + 2). 10n + n² + 2n = 189 ⇔ n² + 12n − 189 = 0; D = 144 + 756 = 900; n = 9 или n = −21 (не подходит). Проверка: 90 + 9 · 11 = 189 ✓.
Критерии ОГЭ (2 балла): верно составлено уравнение, получен верный ответ, лишний корень отброшен с обоснованием. Если не успеваете — задача 2 в ДЗ.

R04.9

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП $3; 7; 11; \dots$ : найдите $S_{15}$ $465$
базаГП: $b_{1} = 4$ , $q = 3$ : найдите $S_{5}$ $484$
базаСумма двузначных, кратных $6$ $810$
повыш.АП $50; 47; \dots$ : наибольшая $S_{n}$ $442$

Вариант 2

базаАП $5; 11; 17; \dots$ : найдите $S_{12}$ $456$
базаГП: $b_{1} = 3$ , $q = - 2$ : найдите $S_{6}$ $- 63$
базаСумма двузначных, кратных $8$ $616$
повыш.АП $- 40; - 36; \dots$ : наименьшая $S_{n}$ $- 220$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти число членов АП по первому и последнему?
Когда сумма АП с $d < 0$ наибольшая?
Почему в задаче на время не всякий корень подходит?

Домашнее задание

Сумма натуральных чисел от $1$ до $150$ , не кратных $5$
ГП: $b_{1} + b_{3} = 20$ , $b_{2} + b_{4} = 40$ . Найдите $S_{6}$ .
Решите: $3 + 7 + 11 + \dots + x = 253$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-087 · Практикум: Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 22/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.9 «Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий» → 2, 4–19 · опора R04.8 → 3, 10, 13 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6–8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-27 (вычисления по формулам суммы) → 2–15, 18 · ПР-29 (задачи из реальной жизни) → 16, 17 · ПР-15 (текстовые задачи алгебраическим способом) → 17 · ПР-6 (квадратные уравнения) → 7, 8, 11, 15, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	проценты, вклады и кредиты — ALG9U-088; сумма бесконечно убывающей ГП — ALG9U-089
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:сумма первых nчленов прогрессий

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу суммы

Решать обратные задачи

Исследовать сумму

Решать задачи ОГЭ

Члены, суммы, число членов

Две прогрессии — четыре формулы и две связи

Арифметическая

Геометрическая

Сначала выпишите, что известно

Найдите сумму натуральных чисел

Образец

Сам

По суммам — первый член и разность

Образец

Сам

Суммы «кусков» геометрической прогрессии

Образец

Сам

Sn​=2d​n2+(a1​−2d​)n — точки параболы

При каком n сумма АП наибольшая (наименьшая)?

Образец

Сам

Слагаемые — члены прогрессии. Решите уравнение

Образец

Сам

Неверно → почему → верно

Число членов без «+1»

Степень n−1 в сумме ГП

Сумма «из середины»

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. АП 23; 19; 15; … — наибольшая сумма

Задача 2. ГП 1; −2; 4; … — найдите S6​

Найдите сумму

Обратные задачи и необычные суммы

Прогрессия спрятана в условии

Текстовая задача — полное решение

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-087 · Практикум: Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий

Практикум:
сумма первых $n$
членов прогрессий

$S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n$ — точки параболы

При каком $n$ сумма АП наибольшая (наименьшая)?

Число членов без « $+ 1$ »

Степень $n - 1$ в сумме ГП

Задача 1. АП $23; 19; 15; \dots$ — наибольшая сумма

Задача 2. ГП $1; - 2; 4; \dots$ — найдите $S_{6}$