Последовательности · урок 21 из 25 · практикум

Практикум:
формулы n-го члена
прогрессий

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-086

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 21/25, единица R04.8 «Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-085 — свойства членов прогрессий; следующий ALG9U-087 — формулы суммы первых n членов.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка формул) 3 · 6 (член через любой другой) 2 · 8 (номер и знак члена) 2 · 11 (условия → система) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ линия 14 (сл. 17) 2 · ОГЭ часть 2 (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задачу сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить любой член

по $a_{1}$ и $d$ , по $b_{1}$ и $q$ — и через любой известный член (ПР-27)

Решать обратные задачи

по двум членам найти $d$ или $q$ , а по числу — его номер (ПР-27)

Работать со знаком члена

первый отрицательный член, число положительных членов (ПР-27, ПР-25)

Переводить условия в систему

и решать задачи из жизни в формате ОГЭ (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-27 (ФРП дословно): «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…». Кодификатора у курса нет.
Вид деятельности ФРП: «Решать задачи с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов» — суммы на следующем уроке.

разминка · R04.6, R04.7

Разминка · устно

Прогрессии и степени

3, 7, 11, \dots

d

= ?

4

2, - 6, 18, \dots

q

= ?

- 3

a_{5} = 8, a_{7} = 14

a_{6}

= ?

11

b_{4} = 4, b_{6} = 9

b_{5} > 0

= ?

6

2^{5}

вычислите

32

(- \frac{1}{2})^{4}

вычислите

\frac{1}{16}

5 + 9 \cdot 4

вычислите

41

3 \cdot 2^{4}

вычислите

48

R04.8

Сводка · формулы n-го члена

Любой член — через первый и шаг

Арифметическая

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

от $a_{1}$ до $a_{n}$ — ровно $n - 1$ шагов по $d$

Геометрическая

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

$b_{1} \neq = 0, q \neq = 0$ ; на $q$ умножаем $n - 1$ раз

3 мин · теория
Вывод (повторение): a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, …; номер на единицу больше числа прибавленных d. Аналогично b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², …, bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
График: члены АП лежат на прямой y = a₁ + (x − 1)d (угловой коэффициент d) — это линейная функция натурального аргумента. Члены ГП при q > 1, b₁ > 0 растут всё быстрее. Масштаб: 75 px на 1 по n, 19 px на 1 по значению; точки (1; 1), (2; 3), (3; 5), (4; 7), (5; 9) и (1; 1), (2; 2), (3; 4), (4; 8), (5; 16).
Вопрос классу: при каком q члены ГП чередуют знак? (q < 0.) При каком d АП убывает? (d < 0.)

R04.8

Образец → сам · прямое применение

Найдите указанный член прогрессии

Образец

АП: $a_{1} = - 7, d = 3$ . Найдите $a_{25}$ .

$a_{25} = a_{1} + 24 d$ $n - 1 = 24$

$= - 7 + 24 \cdot 3$ подстановка

$= 65$ проверка: шагов $24$ , не $25$

Сам

базаАП: $a_{1} = 12, d = - 2, 5$ ; $a_{17}$ $- 28$
базаГП: $b_{1} = - 2, q = 3$ ; $b_{5}$ $- 162$
повыш.ГП: $b_{1} = 64, q = - \frac{1}{2}$ ; $b_{7}$ $1$

R04.8

Сводка · член через любой другой

От $a_{k}$ до $a_{n}$ — ровно $n - k$ шагов

a_{n} = a_{k} + (n - k) d

b_{n} = b_{k} q^{n - k}

q^{2} = 4

— два значения:

q = \pm 2

R04.8

Образец → сам · обратная задача

По двум членам — вся прогрессия

Образец

АП: $a_{4} = 11, a_{10} = 29$ . Найдите $a_{20}$ .

$6 d = 29 - 11 = 18, d = 3$ $a_{10} = a_{4} + 6 d$

$a_{1} = 11 - 3 \cdot 3 = 2$ $a_{4} = a_{1} + 3 d$

$a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59$ формула $n$ -го члена

Сам

базаАП: $a_{3} = - 4, a_{8} = 6$ ; найдите $a_{1}, d$ $a_{1} = - 8, d = 2$
базаГП: $b_{2} = 6, b_{5} = 162$ ; найдите $b_{1}, q$ $b_{1} = 2, q = 3$
повыш.ГП: $b_{3} = 12, b_{5} = 48$ ; найдите $b_{1}, q$ $b_{1} = 3, q = \pm 2$

R04.8

Сводка · номер и знак члена

Номер члена — натуральное число

Вопрос	Что решаем	Что проверяем
Является ли $A$ членом АП?	$a_{1} + (n - 1) d = A$	$n \in N$
Является ли $B$ членом ГП?	$q^{n - 1} = \frac{B}{b _{1}}$	показатель — целый, $n \geq 1$
Первый отрицательный член АП	неравенство $a_{n} < 0$	наименьшее натуральное $n$
Сколько положительных членов	неравенство $a_{n} > 0$	все натуральные решения

R04.8

Образец → сам · номер члена

Есть ли число в прогрессии и под каким номером?

Образец

АП $3, 7, 11, \dots$ Является ли $155$ её членом?

$a_{n} = 3 + 4 (n - 1) = 4 n - 1$ $d = 4$

$4 n - 1 = 155, n = 39$ $39 \in N$

Да, $a_{39} = 155$ ответ

Сам

базаАП $2, 9, 16, \dots$ : номер числа $191$ $n = 28$
базаЕсть ли $100$ в АП $3, 7, 11, \dots$ ? нет ( $n = 25, 25$ )
повыш.ГП $2, 6, 18, \dots$ : номер числа $1458$ $n = 7$

R04.8

Образец → сам · знак члена

Первый отрицательный член и число положительных

Образец

АП: $a_{1} = 50, d = - 3, 5$ . Первый отрицательный член?

$50 - 3, 5 (n - 1) < 0$ $a_{n} < 0$

$n - 1 > 14 \frac{2}{7}, n \geq 16$ $n \in N$

$a_{16} = 50 - 52, 5 = - 2, 5$ $a_{15} = 1 > 0$

Сам

базаАП: $a_{1} = - 40, d = 2, 6$ . Первый положительный член? $a_{17} = 1, 6$
повыш.Сколько положительных членов в АП $87, 82, 77, \dots$ ? $18$
повыш.Сколько членов ГП $3, 6, 12, \dots$ меньше $1000$ ? $9$

R04.8

Сводка · условия → система

Каждое условие — уравнение с $a_{1}$ и $d$ (или $b_{1}$ и $q$ )

АП: вычитайте уравнения или берите среднее:

a_{k - m} + a_{k + m} = 2 a_{k}

ГП: делите уравнения —

b_{1}

сокращается, остаётся степень

q

Ответ проверяйте подстановкой в оба условия

Пример: $a_{3} + a_{5} = 22, a_{8} - a_{2} = 18$

$6 d = 18, d = 3$ $a_{8} - a_{2} = 6 d$

$2 a_{4} = 22, a_{4} = 11$ среднее

$a_{1} = 11 - 9 = 2$ $a_{4} = a_{1} + 3 d$

R04.8 · R04.7

Образец → сам · комбинированная задача

Два условия — две неизвестные

Образец

АП: $a_{1} + a_{5} = 14, a_{2} \cdot a_{4} = 45$ . Найдите $a_{1}$ и $d$ .

$2 a_{3} = 14, a_{3} = 7$ среднее

$(7 - d) (7 + d) = 45$ $a_{2}, a_{4}$ через $a_{3}$

$d^{2} = 4, d = \pm 2$ два случая

$a_{1} = 3, d = 2$ или $a_{1} = 11, d = - 2$

Сам

базаАП: $a_{5} = 2 a_{2}, a_{3} + a_{6} = 33$ ; найдите $a_{1}, d$ $a_{1} = 6, d = 3$
повыш.ГП: $b_{3} - b_{1} = 24, b_{5} - b_{1} = 624$ ; найдите $b_{1}, q$ $b_{1} = 1, q = \pm 5$
повыш.АП: $a_{1} = 3$ , $d \neq = 0$ ; $a_{1}, a_{3}, a_{11}$ — ГП. Найдите $d$ . $d = 4, 5$

R04.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

$n$ шагов вместо $n - 1$

$a_{1} = 5, d = 2$ : $a_{10} = 5 + 20 = 25$

$a_{10} = 5 + 9 \cdot 2 = 23$

от $a_{1}$ до $a_{10}$ — $9$ шагов

Степень на всё

$b_{1} = 2, q = 3$ : $b_{4} = 6^{3} = 216$

$b_{4} = 2 \cdot 3^{3} = 54$

в степень возводится только $q$

Потеряли $q < 0$

$q^{4} = 16$ : $q = 2$

$q = 2$ или $q = - 2$

чётная степень — два корня

R04.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. АП: $a_{1} = 20, d = - 3$ . Первый отрицательный член?

$20 - 3 n < 0, n > 6 \frac{2}{3}$

$n = 7, a_{7} = 20 - 21 = - 1$

Ошибка: $a_{n} = 20 - 3 (n - 1)$ , а не $20 - 3 n$

Верно: $n - 1 > 6 \frac{2}{3}$ , $n = 8, a_{8} = - 1$

2. ГП: $b_{2} = - 6, b_{4} = - 24$ . Найдите $b_{1}$ .

$q^{2} = 4, q = 2$

$b_{1} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Ошибка: потерян $q = - 2$

Ответ: $b_{1} = - 3$ или $b_{1} = 3$

R04.8

Задания с самопроверкой · база

Найдите член или шаг прогрессии

АП: $a_{1} = 4, d = 3$ ; $a_{10}$ $31$
ГП: $b_{1} = 5, q = 2$ ; $b_{6}$ $160$
АП $18, 14, 10, \dots$ ; $a_{12}$ $- 26$

ГП $81, - 27, 9, \dots$ ; $b_{6}$ $- \frac{1}{3}$
АП: $a_{1} = - 3, a_{9} = 21$ ; $d$ $3$
ГП: $b_{1} = 2, b_{4} = - 54$ ; $q$ $- 3$

R04.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Номер, знак и системы условий

повыш.АП: $a_{6} = 2 a_{3}, a_{1} + a_{4} = 15$ ; найдите $a_{10}$ $30$
повыш.Сколько отрицательных членов в АП $- 38; - 35, 5; \dots$ ? $16$
повыш.ГП с положительными членами: $b_{2} b_{6} = 64, b_{3} = 4$ ; найдите $b_{1}$ $1$
повыш.Между $2$ и $162$ вставьте три числа, чтобы получилась ГП $6, 18, 54$ или $- 6, 18, - 54$
повыш.АП $7, 12, 17, \dots$ : номер члена, ближайшего к $2026$ $405$

R04.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14 · задачи из жизни

Найдите прогрессию в условии

В амфитеатре 12 рядов. В первом 18 мест, в каждом следующем на 3 больше. Сколько мест в последнем ряду? $51$
Число бактерий удваивается каждые 20 минут. В начале их было 50. Сколько их станет через 2 часа? $3200$
Камень падает в шахту: за первую секунду $4, 9$ м, за каждую следующую на $9, 8$ м больше. За какую секунду он пролетит $53, 9$ м? за $6$ -ю

«на … больше» — АП, «в … раз» — ГП

Что здесь

n

? Считайте номер, а не промежутки

R04.8 · R04.7 · часть 2

Формат ОГЭ · часть 2 · полное решение

Из арифметической прогрессии — геометрическая

Три числа с суммой $21$ образуют АП. Если прибавить к ним соответственно $2$ , $3$ и $9$ , получится ГП. Найдите числа.

$a - d, a, a + d$ ; $3 a = 21, a = 7$ обозначения

$9 - d, 10, 16 + d$ — ГП прибавили

$(9 - d) (16 + d) = 100$ $b_{2}^{2} = b_{1} b_{3}$

$d^{2} + 7 d - 44 = 0$ : $d = 4$ или $d = - 11$

3, 7, 11

→

5, 10, 20

(

q = 2

)

18, 7, - 4

→

20, 10, 5

(

q = \frac{1}{2}

)

Запись: обозначения → система → проверка → ответ

R04.8

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП: $a_{1} = 6, d = - 4$ ; $a_{15}$ $- 50$
базаГП: $b_{1} = - 3, q = 2$ ; $b_{6}$ $- 96$
базаАП: $a_{4} = 10, a_{9} = 30$ ; $a_{1}, d$ $a_{1} = - 2, d = 4$
повыш.Первый отрицательный член АП $40; 37, 4; \dots$ $a_{17} = - 1, 6$

Вариант 2

базаАП: $a_{1} = - 8, d = 5$ ; $a_{13}$ $52$
базаГП: $b_{1} = 4, q = - 3$ ; $b_{5}$ $324$
базаГП: $b_{2} = 6, b_{5} = - 48$ ; $b_{1}, q$ $b_{1} = - 3, q = - 2$
повыш.Первый положительный член АП $- 50; - 47, 2; \dots$ $a_{19} = 0, 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в формуле $n - 1$ , а не $n$ ?
Когда у $q$ два значения?
Как понять, что число — не член прогрессии?

Домашнее задание

АП: $a_{7} = 21, a_{15} = - 11$ ; найдите $a_{1}$ и первый отрицательный член
ГП: $b_{2} + b_{3} = 36, b_{4} - b_{2} = 72$ ; найдите $b_{1}, q$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-086 · Практикум: Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 21/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.8 «Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий» → 2, 4–20 · опора R04.6, R04.7 → 3, 11, 12, 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-27 (вычисления по формулам n-го члена) → 2, 4–20 · ПР-25 (понятия прогрессий) → 3, 4, 8 · ПР-28 (точки на плоскости) → 4 · ПР-29 (задачи из жизни) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	формулы суммы первых n членов — ALG9U-087; проценты и вклады — ALG9U-088; бесконечно убывающая ГП — R04.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:формулы n-го членапрогрессий

Сегодня вы научитесь

Находить любой член

Решать обратные задачи

Работать со знаком члена

Переводить условия в систему

Прогрессии и степени

Любой член — через первый и шаг

Арифметическая

Геометрическая

Найдите указанный член прогрессии

Образец

Сам

От ak​ до an​ — ровно n−k шагов

По двум членам — вся прогрессия

Образец

Сам

Номер члена — натуральное число

Есть ли число в прогрессии и под каким номером?

Образец

Сам

Первый отрицательный член и число положительных

Образец

Сам

Каждое условие — уравнение с a1​ и d (или b1​ и q)

Пример: a3​+a5​=22, a8​−a2​=18

Два условия — две неизвестные

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

n шагов вместо n−1

Степень на всё

Потеряли q<0

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. АП: a1​=20, d=−3. Первый отрицательный член?

2. ГП: b2​=−6, b4​=−24. Найдите b1​.

Найдите член или шаг прогрессии

Номер, знак и системы условий

Найдите прогрессию в условии

Из арифметической прогрессии — геометрическая

Три числа с суммой 21 образуют АП. Если прибавить к ним соответственно 2, 3 и 9, получится ГП. Найдите числа.

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-086 · Практикум: Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий

Практикум:
формулы n-го члена
прогрессий

От $a_{k}$ до $a_{n}$ — ровно $n - k$ шагов

Каждое условие — уравнение с $a_{1}$ и $d$ (или $b_{1}$ и $q$ )

Пример: $a_{3} + a_{5} = 22, a_{8} - a_{2} = 18$

$n$ шагов вместо $n - 1$

Потеряли $q < 0$

1. АП: $a_{1} = 20, d = - 3$ . Первый отрицательный член?

2. ГП: $b_{2} = - 6, b_{4} = - 24$ . Найдите $b_{1}$ .

Три числа с суммой $21$ образуют АП. Если прибавить к ним соответственно $2$ , $3$ и $9$ , получится ГП. Найдите числа.