Последовательности · урок 20 из 25 · практикум

Практикум:
свойства членов
прогрессий

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-085

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 20/25, единица R04.7 «Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-084 — арифметическая и геометрическая прогрессии (распознавание, d и q); следующий ALG9U-086 — формулы n-го члена.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (характеристические свойства) 3 · 7 (равноудалённые члены, член через член) 3 · 10 (три числа в прогрессии) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 1,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 1,5 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Формула $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ на уроке используется как известная с прошлого урока (по определению: $n - 1$ раз прибавили $d$ ); её систематическая отработка — ALG9U-086.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить член по соседям

среднее арифметическое в АП, среднее геометрическое в ГП (ПР-25, ПР-27)

Проверять, что это прогрессия

«при каком $x$ числа образуют прогрессию» (ПР-25)

Работать с равноудалёнными членами

$a_{m} + a_{n} = a_{k} + a_{l}$ , $b_{m} b_{n} = b_{k} b_{l}$ (ПР-27)

Решать задачи части 2

три числа в прогрессии, связь АП и ГП, задачи из жизни (ПР-29, ПР-15)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания» — характеристическое свойство и есть такой признак.

разминка · R04.6

Разминка · устно

Прогрессии: вспомним главное

3, 7, 11, \dots

разность

d

4

2, - 6, 18, \dots

знаменатель

q

- 3

5, 10, 20, \dots

АП или ГП?

ГП

7, 7, 7, \dots

АП или ГП?

обе

a_{1} = 2, d = 3

a_{5}

14

b_{1} = 3, q = 2

b_{4}

24

\frac{4 + 10}{2}

вычислите

7

4 \cdot 9

вычислите

6

R04.7

Сводка · характеристические свойства

Каждый член — «среднее» своих соседей

Арифметическая

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}

Геометрическая

b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}

при $b_{n} > 0$ : $b_{n} = b_{n - 1} b_{n + 1}$

Верно и обратное: свойство для всех

n \geq 2

— значит, это прогрессия

3 мин · теория
Доказательство (АП): $a_{n} - a_{n - 1} = d = a_{n + 1} - a_{n}$ , отсюда $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ . ГП: $\frac{b _{n}}{b _{n - 1}} = q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ , отсюда $b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}$ .
Обратное: если для всех $n \geq 2$ выполнено $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ , то разности соседних членов равны — АП. Для ГП обратное верно только для последовательности без нулей (в ГП $b_{1} \neq = 0$ , $q \neq = 0$ ): у чисел 4, 0, 0 равенство $0^{2} = 4 \cdot 0$ есть, а ГП нет.
Чертёж: высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, — среднее геометрическое отрезков гипотенузы (8 кл., геометрия): $h^{2} = 4 \cdot 9$ , $h = 6$ . Масштаб 30 px на 1: 4 → 120 px, 9 → 270 px, высота 180 px. Отсюда и название «геометрическая» прогрессия.
Вопрос классу: почему при $b_{n} < 0$ корень брать нельзя? (Корень неотрицателен; тогда $b_{n} = - b_{n - 1} b_{n + 1}$ .)

R04.7

Образец → сам · свойство АП

При каком $x$ числа образуют арифметическую прогрессию?

Образец

$x - 1, 2 x, 4 x - 3$

$2 \cdot 2 x = (x - 1) + (4 x - 3)$ $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$

$4 x = 5 x - 4, x = 4$ линейное

$3, 8, 13$ проверка: $d = 5$

Сам

базаАП: $a_{4} = 8, a_{6} = 20$ . Найдите $a_{5}$ . $14$
база $x + 2, 3 x, 4 x + 1$ $x = 3$ : $5, 9, 13$
повыш. $x^{2}, 3 x + 2, 2 x + 7$ $x = 1$ или $x = 3$

R04.7

Образец → сам · свойство ГП

Среднее геометрическое: не забудьте про знак

Образец

При каком $x$ числа $x, x + 4, x + 12$ — ГП?

$(x + 4)^{2} = x (x + 12)$ $b_{2}^{2} = b_{1} b_{3}$

$x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 12 x$ раскрыли

$x = 4$ : $4, 8, 16$ нет нулей, $q = 2$

Сам

базаПоложительные $4, x, 25$ — ГП. Найдите $x$ . $10$
базаГП: $b_{5} = 4, b_{7} = 9$ . Найдите $b_{6}$ . $6$ или $- 6$
повыш. $x - 1, x + 1, 2 x + 5$ — ГП $x = 2$ или $x = - 3$

R04.7

Сводка · равноудалённые члены

Важна сумма номеров

Если

m + n = k + l

, то

a_{m} + a_{n} = a_{k} + a_{l}

b_{m} \cdot b_{n} = b_{k} \cdot b_{l}

Член через любой другой

$a_{n} = a_{k} + (n - k) d, b_{n} = b_{k} q^{n - k}$

3 мин · теория
Доказательство: $a_{m} + a_{n} = 2 a_{1} + (m + n - 2) d$ — зависит только от суммы номеров $m + n$ . Для ГП: $b_{m} b_{n} = b_{1}^{2} q^{m + n - 2}$ .
Частный случай $k = l$ : $a_{m} + a_{n} = 2 a_{k}$ при $m + n = 2 k$ — член посередине равен среднему арифметическому равноудалённых от него (сл. 4 — частный случай с соседями). Для ГП: $b_{k}^{2} = b_{m} b_{n}$ .
Член через член: от $a_{k}$ до $a_{n}$ ровно $n - k$ шагов по $d$ ; например, $a_{9} = a_{4} + 5 d$ . Делим разность членов на разность номеров: $d = \frac{a _{n} - a _{k}}{n - k}$ .
Вопрос классу: верно ли $a_{2} + a_{3} = a_{5}$ ? (Нет: $2 + 3 \neq = 5 + 0$ , «нулевого» члена нет; верно $a_{2} + a_{3} = a_{1} + a_{4}$ .)

R04.7

Образец → сам · равноудалённые члены

Найдите, не зная $a_{1}$ и $d$

Образец

АП: $a_{3} + a_{9} = 20$ . Найдите $a_{6}$ и $a_{1} + a_{11}$ .

$3 + 9 = 6 + 6$ сумма номеров

$2 a_{6} = 20, a_{6} = 10$ свойство

$1 + 11 = 3 + 9$ : $a_{1} + a_{11} = 20$

Сам

базаАП: $a_{2} + a_{14} = 36$ . Найдите $a_{8}$ . $18$
базаГП, $b_{n} > 0$ : $b_{2} b_{8} = 49$ . Найдите $b_{5}$ . $7$
повыш.АП: $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = 40$ . Найдите $a_{6}$ . $8$

R04.7

Образец → сам · член через другой член

Два члена известны — найдите остальные

Образец

АП: $a_{4} = 11, a_{9} = 26$ . Найдите $a_{20}$ .

$a_{9} = a_{4} + 5 d$ $9 - 4 = 5$ шагов

$26 = 11 + 5 d, d = 3$

$a_{20} = a_{9} + 11 d = 59$ $20 - 9 = 11$

Сам

базаАП: $a_{3} = 7, a_{8} = - 8$ . Найдите $d$ и $a_{1}$ . $d = - 3, a_{1} = 13$
базаГП: $b_{2} = 6, b_{5} = 162$ . Найдите $q$ и $b_{1}$ . $q = 3, b_{1} = 2$
повыш.ГП: $b_{3} = 12, b_{5} = 48$ . Найдите $b_{6}$ . $96$ или $- 96$

R04.7

Сводка · три числа в прогрессии

Обозначайте через средний член

Арифметическая

a - d, a, a + d

сумма $= 3 a$ $d$ сокращается

$2, 5, 8$ : $a = 5, d = 3$

сумма квадратов $= 3 a^{2} + 2 d^{2}$

Геометрическая

\frac{b}{q}, b, b q

произведение $= b^{3}$ $q$ сокращается

$4, 8, 16$ : $b = 8, q = 2$

сумма $= b (\frac{1}{q} + 1 + q)$

R04.7 · ПР-15

Образец → сам · три числа

Найдите числа

Образец

Три числа — АП, их сумма $15$ , произведение $80$ .

$3 a = 15, a = 5$ $a - d, a, a + d$

$(5 - d) \cdot 5 \cdot (5 + d) = 80$

$25 - d^{2} = 16, d = \pm 3$

$2, 5, 8$ или $8, 5, 2$

Сам

базаГП: произведение трёх чисел $216$ , сумма $21$ . $3, 6, 12$ или $12, 6, 3$
повыш.АП: сумма трёх чисел $12$ , сумма их квадратов $66$ . $1, 4, 7$ или $7, 4, 1$
повыш.Стороны прямоугольного треугольника образуют АП. Найдите их отношение. $3 : 4 : 5$

R04.7 · ПР-15

Образец → сам · АП и ГП вместе

Одни числа — две прогрессии

Образец

$a, b, c$ — АП с суммой $15$ ; $a + 1, b + 3, c + 9$ — ГП.

$b = 5$ ; $a = 5 - d, c = 5 + d$

$(6 - d) (14 + d) = 8^{2}$ свойство ГП

$d^{2} + 8 d - 20 = 0$ : $d = 2$ или $- 10$

$3, 5, 7$ или $15, 5, - 5$

Сам

повыш. $2, a, b$ — ГП, а $a, b, 12$ — АП. Найдите $a$ и $b$ . $4; 8$ или $- 3; 4, 5$
повыш.Корни $x_{1} < x_{2}$ уравнения $x^{2} - 15 x + m = 0$ и число $12$ в порядке $x_{1}, x_{2}, 12$ — АП. Найдите $m$ . $m = 54$

R04.7

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли знак

ГП: $b_{5} = 4, b_{7} = 9$ $\Rightarrow b_{6} = 6$

$b_{6} = \pm 6$

$q$ может быть отрицательным: $4, - 6, 9$

Сложили номера

АП: $a_{3} + a_{5} = a_{8}$

$a_{3} + a_{5} = a_{1} + a_{7} = 2 a_{4}$

суммы номеров слева и справа равны

Нули в ГП

$0^{2} = 4 \cdot 0$ , значит $4, 0, 0$ — ГП

не ГП: нулей в ГП нет

обратное свойство — только без нулей

R04.7

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. ГП: $b_{2} = 2, b_{6} = 32$ . Найдите $b_{4}$ .

$2 + 6 = 4 + 4$

$b_{4}^{2} = b_{2} b_{6} = 64$

$b_{4} = 8$ или $b_{4} = - 8$

Ошибка: $b_{4} = b_{2} q^{2} > 0$ — знак как у $b_{2}$

Ответ: $b_{4} = 8$

Задача 2. АП: $a_{4} = 10, a_{10} = 22$ . Найдите $a_{7}$ и $a_{1}$ .

$a_{7} = \frac{10 + 22}{2} = 16$

$d = \frac{22 - 10}{10 - 4} = 2$

$a_{1} = a_{4} - 4 d = 2$

Ошибка: от $a_{1}$ до $a_{4}$ три шага: $a_{1} = a_{4} - 3 d$

Ответ: $a_{7} = 16, a_{1} = 4$

R04.7

Задания с самопроверкой · база

Примените свойства

АП: $a_{6} = 11, a_{8} = 17$ . $a_{7}$ ? $14$
ГП, $b_{n} > 0$ : $b_{9} = 3, b_{11} = 12$ . $b_{10}$ ? $6$
АП: $a_{2} + a_{10} = 24$ . $a_{6}$ ? $12$

ГП, $b_{n} > 0$ : $b_{1} b_{7} = 64$ . $b_{4}$ ? $8$
$x, 7, 2 x + 2$ — АП. $x$ ? $4$
АП: $a_{5} = 9, a_{9} = 1$ . $d$ ? $- 2$

R04.7 · ПР-15

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свойства в задачах посложнее

повыш.АП: $a_{3} + a_{8} + a_{13} = 45$ . Найдите $a_{8}$ . $15$
повыш.ГП: $b_{2} b_{3} b_{4} = - 27$ . Найдите $b_{3}$ . $- 3$
повыш.При каких $x$ числа $x, x + 6, 4 x$ — ГП? $6$ или $- 2$
повыш.Три числа — АП, сумма $18$ , произведение крайних $20$ . Найдите числа. $2, 6, 10$ или $10, 6, 2$
повыш.ГП: $b_{4} - b_{2} = 24$ , $b_{2} + b_{3} = 6$ . Найдите $q$ и $b_{1}$ . $q = 5, b_{1} = 0, 2$

R04.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 14 и 21

Прогрессия в условии — найдите её

линия 14В амфитеатре в каждом ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В 3-м ряду $24$ места, в 7-м — $36$ . Сколько мест в 5-м ряду? В 1-м? $30$ ; $18$
линия 14Тело за 1-ю секунду падения проходит $4, 9$ м, за каждую следующую — на $9, 8$ м больше. Сколько метров за 6-ю секунду? $53, 9$
линия 21Три числа с суммой $26$ образуют ГП. Если к ним прибавить $1, 6, 3$ , получится АП. Найдите числа. $2, 6, 18$ или $18, 6, 2$

R04.7 · ПР-29

Задача из жизни

Бактерии каждый час умножаются в одно и то же число раз

практикаВ 9:00 было $400$ бактерий, в 11:00 — $3600$ . Сколько их было в 10:00? $1200$
практикаСколько будет в 12:00? $10800$
повыш.Температура в шахте растёт равномерно: на глубине $100$ м — $1 3^{\circ}$ , на $300$ м — $1 9^{\circ}$ . На $200$ м? $1 6^{\circ}$

R04.7

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП: $a_{4} = 7, a_{6} = 15$ . Найдите $a_{5}$ . $11$
базаГП, $b_{n} > 0$ : $b_{3} = 2, b_{5} = 50$ . Найдите $b_{4}$ . $10$
базаАП: $a_{2} + a_{12} = 30$ . Найдите $a_{7}$ . $15$
повыш.При каких $x$ числа $x + 4, 2 x + 5, 5 x$ — ГП? $5$ или $- 5$

Вариант 2

базаАП: $a_{7} = - 3, a_{9} = 13$ . Найдите $a_{8}$ . $5$
базаГП, $b_{n} > 0$ : $b_{2} = 3, b_{4} = 48$ . Найдите $b_{3}$ . $12$
базаАП: $a_{3} + a_{15} = - 16$ . Найдите $a_{9}$ . $- 8$
повыш.При каких $x$ числа $x - 3, 2 x - 4, 5 x - 4$ — ГП? $4$ или $- 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Каким «средним» соседей является член АП? член ГП?
Когда $a_{m} + a_{n} = a_{k} + a_{l}$ ?
Когда знак $b_{n}$ по свойству ГП не определён?

Домашнее задание

ГП: $b_{4} = - 3, b_{6} = - 27$ . Найдите $b_{5}$ .
Три числа — АП, сумма $21$ , произведение $231$ . Найдите их.
Корни $x_{1} < x_{2}$ уравнения $x^{2} - 12 x + m = 0$ и число $12$ в порядке $x_{1}, x_{2}, 12$ — АП. Найдите $m$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-085 · Практикум: Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 20/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.7 «Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий» → 2, 4–20 · опора R04.6 → 3 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-25 (понятия АП и ГП) → 2–6, 13 · ПР-27 (вычисления по формулам n-го члена) → 7–9, 14–16, 19 · ПР-15 (текстовые задачи) → 11, 12, 17 · ПР-29 (задачи из жизни) → 17, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	формулы n-го члена — ALG9U-086; суммы первых n членов — ALG9U-087; проценты и вклады — R04.10
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:свойства членовпрогрессий

Сегодня вы научитесь

Находить член по соседям

Проверять, что это прогрессия

Работать с равноудалёнными членами

Решать задачи части 2

Прогрессии: вспомним главное

Каждый член — «среднее» своих соседей

Арифметическая

Геометрическая

При каком x числа образуют арифметическую прогрессию?

Образец

Сам

Среднее геометрическое: не забудьте про знак

Образец

Сам

Важна сумма номеров

Член через любой другой

Найдите, не зная a1​ и d

Образец

Сам

Два члена известны — найдите остальные

Образец

Сам

Обозначайте через средний член

Арифметическая

Геометрическая

Найдите числа

Образец

Сам

Одни числа — две прогрессии

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли знак

Сложили номера

Нули в ГП

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. ГП: b2​=2, b6​=32. Найдите b4​.

Задача 2. АП: a4​=10, a10​=22. Найдите a7​ и a1​.

Примените свойства

Свойства в задачах посложнее

Прогрессия в условии — найдите её

Бактерии каждый час умножаются в одно и то же число раз

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-085 · Практикум: Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий

Практикум:
свойства членов
прогрессий

При каком $x$ числа образуют арифметическую прогрессию?

Найдите, не зная $a_{1}$ и $d$

Задача 1. ГП: $b_{2} = 2, b_{6} = 32$ . Найдите $b_{4}$ .

Задача 2. АП: $a_{4} = 10, a_{10} = 22$ . Найдите $a_{7}$ и $a_{1}$ .