Последовательности и прогрессии · урок 19 из 25 · практикум
Практикум:
Алгебра · 9 класс · углублённый уровеньALG9U-084
a n + 1 = a n + d
b n + 1 = b n ⋅ q
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) , итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 19/25, единица R04.6 «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Тип урока — П (практикум). Новый материал был на ALG9U-071; прошлый урок ALG9U-083 — практикум по способам задания последовательности; следующий ALG9U-085 — практикум по свойствам членов прогрессий.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка определений) 4 · 6 (схема распознавания) 2 · 9 (прогрессии из прогрессий) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Урок опирается на определения (шаг за шагом); формулы n-го члена и свойства членов — следующие практикумы. Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.
R04.6
Цели урока
Сегодня вы научитесь
Распознавать прогрессию при любом способе задания: перечнем, формулой, рекуррентно, описанием (ПР-25, ПР-26)
Находить d q шагами вперёд и назад по определению (ПР-27)
Доказывать по определению разность или отношение соседних членов — в общем виде (ПР-25)
Решать задачи с неизвестным в членах и из жизни, видеть рост на графике (ПР-28, ПР-29)
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов».
ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости» (сл. 4, 17). ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни» (сл. 16, 17).
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания» — главная цель практикума.
разминка · R04.5–R04.6
Разминка · устно
Шаг прогрессии — с одного взгляда
1 , 4 , 9 , 16
АП? ГП?
ни то, ни другое 7 , 7 , 7 , …
АП? ГП?
и АП, и ГП a n + 1 = a n − 3
что это?
АП, d = − 3 b 1 = 2 , b n + 1 = − b n
найдите b 4
− 2
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 7 − 3 = 11 − 7 = 4. 2) −6 : 2 = −3, 18 : (−6) = −3. 3) 5, 3, 1. 4) 0,5; 2; 8.
5) Разности 3, 5, 7 — не постоянны; отношения 4, 2,25 — тоже. Это квадраты. 6) d = 0 и q = 1 — единственный тип последовательностей, которые одновременно АП и ГП (при c ≠ 0).
7) Рекуррентная формула вида a(n+1) = a(n) + d — это и есть определение АП. 8) 2, −2, 2, −2: ГП с q = −1.
Карточки 5–6 — к схеме распознавания (сл. 6); 7–8 — к рекуррентным формулам (сл. 8).
R04.6
Сводка · определения
Шаг одинаков для всех n
Арифметическая прогрессия
a n + 1 = a n + d n
d = a n + 1 − a n
Геометрическая прогрессия
b 1 = 0 , q = 0 , b n + 1 = b n q
q = b n b n + 1
1 2 3
4 5 6
n
8
16
32
a n = 2 n − 1
b n = 2 n − 1
www.reknow.ru
Повторяем определения ALG9U-071. АП: каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. ГП: первый член не 0, каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0; поэтому все члены ГП не равны 0.
Ключевое слово — «при всех n»: d (или q) одно и то же для всех пар соседних членов. Найти d можно по любой паре соседних, а доказать, что это прогрессия, — только проверкой всех пар (общей выкладкой).
Рисунок (масштаб точный: 75 px на шаг n, 10 px на единицу): члены АП 1, 3, 5, 7, 9, 11 лежат на одной прямой — каждый шаг вправо даёт одинаковый подъём d = 2. Члены ГП 1, 2, 4, 8, 16, 32 — каждый шаг умножает высоту на q = 2, рост ускоряется.
Вопрос классу: как выглядят точки ГП при q = −2? (Скачут по разные стороны от оси n, по модулю растут.)
R04.6
Образец → сам · члены и шаг
Шаг вперёд — + d ⋅ q
Образец
АП: a 3 = 5 , a 4 = 2 a 1 a 6
d = a 4 − a 3 = − 3 по определению
a 2 = 5 + 3 = 8 , a 1 = 11 назад: a n = a n + 1 − d
a 5 = − 1 , a 6 = − 4 вперёд: + d
Сам
база ГП: b 2 = − 6 , b 3 = 12 b 1 b 5 b 1 = 3 , b 5 = 48 база АП: a 1 = 2 , 5 , a 2 = 1 , 7 a 5 − 0 , 7 повыш. АП: a 2 = 7 , a 5 = 16 d a 1 d = 3 , a 1 = 4
Образец 1 мин у доски (учитель), затем 2 мин самостоятельно. Вся прогрессия образца: 11, 8, 5, 2, −1, −4.
1) q = 12 : (−6) = −2; b₁ = b₂ : q = 3; 3, −6, 12, −24, 48 — b₅ = 48.
2) d = 1,7 − 2,5 = −0,8; 2,5; 1,7; 0,9; 0,1; −0,7.
3) От a₂ до a₅ — три шага: 3d = 16 − 7 = 9, d = 3, a₁ = 7 − 3 = 4 (4, 7, 10, 13, 16 ✓). Типичная ошибка: «четыре шага» (5 − 2 = 3, а не 4 — считаем промежутки, а не члены).
R04.5 · R04.6
Схема · АП, ГП или ни одна?
Способ проверки зависит от способа задания
Задана Как проверить Пример перечнем (конечная) все разности или все отношения соседних 2 , 5 , 8 , 12 12 − 8 = 3 формулой n a n + 1 − a n b n b n + 1 a n = 7 − 2 n d = − 2 рекуррентно вид a n + 1 = a n + d b n + 1 = b n q x 1 = 1 , x n + 1 = 2 x n + 1 описанием перевести в формулу числа, кратные 3 d = 3
Опровергнуть — хватит одной пары; доказать — нужна выкладка для всех n
Демонстрация по строкам. 1) Разности 3, 3, 4 — не постоянны; отношения 2,5; 1,6 — тоже. 2) a(n+1) − a(n) = (7 − 2n − 2) − (7 − 2n) = −2 при всех n. Вывод: любая формула вида a(n) = kn + m задаёт АП с d = k.
3) x: 1, 3, 7, 15 — разности 2, 4, 8, отношения 3; 7/3 — ни то, ни другое. Но x(n) + 1: 2, 4, 8, 16 — ГП (это приём сл. 8).
4) 3, 6, 9, … — a(n) = 3n. Вопрос классу: «степени двойки по возрастанию» — что это? (ГП, q = 2.)
R04.6
Образец → сам · по формуле n-го члена
Прогрессия ли это? Найдите d q
Образец
b n = 3 ⋅ 2 n + 1
b n = 0 n делить можно
b n b n + 1 = 3 ⋅ 2 n + 1 3 ⋅ 2 n + 2 = 2 не зависит от n
ГП: b 1 = 12 , q = 2 12 , 24 , 48 , …
Сам
база a n = 3 5 − 2 n АП, d = − 3 2 база c n = n ( n + 1 ) ни АП, ни ГП повыш. x n = 2 n − 1 ( − 3 ) n ГП, q = − 1 , 5
Образец: первый шаг — убедиться, что на b(n) можно делить (для ГП члены не равны 0).
1) a(n+1) − a(n) = (5 − 2n − 2)/3 − (5 − 2n)/3 = −2/3. Члены: 1, 1/3, −1/3, −1.
2) 2, 6, 12, 20: разности 4, 6, 8, отношения 3 и 2 — ни то, ни другое (в общем виде: c(n+1) − c(n) = 2n + 2 зависит от n).
3) x(n+1)/x(n) = (−3)^(n+1) · 2^(n−1) / ((−3)^n · 2^n) = −3/2. Члены: −3; 4,5; −6,75; 10,125. x₁ = −3, q = −1,5.
R04.5 · R04.6
Образец → сам · рекуррентная формула
Вспомогательная последовательность — прогрессия
Образец
x 1 = 1 , x n + 1 = 3 x n + 2 y n = x n + 1 x 5
y n + 1 = 3 x n + 3 = 3 y n подставили x n + 1
y 1 = 2 = 0 , q = 3 ГП по определению
y 5 = 162 , x 5 = 161 y 2 , 6 , 18 , 54 , 162
Сам
база b 1 = 5 , b n + 1 = − 2 b n b 4 ГП, q = − 2 b 4 = − 40 база a 1 = 3 , a n + 1 = a n + n нет: 3 , 4 , 6 , 9 повыш. x 1 = 2 , x n + 1 = 2 x n − 3 x n − 3 x 5 q = 2 x 5 = − 13
Образец: x: 1, 5, 17, 53, 161 — проверка прямым счётом ✓. Откуда «+1»: ищем число c, при котором x(n+1) + c = 3(x(n) + c), то есть 2c = 2, c = 1.
1) b(n+1) = b(n) · (−2), b₁ ≠ 0 — ГП: 5, −10, 20, −40.
2) Прибавляется n — каждый раз разное число: 3, 4, 6, 9, разности 1, 2, 3. Не АП (и не ГП: 4/3 ≠ 6/4).
3) y(n) = x(n) − 3: y(n+1) = 2x(n) − 6 = 2y(n), y₁ = −1 ≠ 0, q = 2; y₅ = −16, x₅ = −13. Проверка: 2, 1, −1, −5, −13 ✓.
R04.6
Сводка · прогрессии из прогрессий
Что получится, если преобразовать прогрессию?
( a n ) d a n + c d
k a n k d
a 2 n 2 d
2 a n 2 d
( b n ) q k b n k = 0 q
b n 2 q 2
b n 1 q 1
b 2 n q 2
Почему: 2 a n 2 a n + 1 = 2 a n + 1 − a n = 2 d n
Учитель доказывает 2–3 строки сам, остальные — устно с классом. (a(n) + c): разность (a(n+1) + c) − (a(n) + c) = d. (k·a(n)): разность k·d. a(2n): между a(2n) и a(2n+2) — два шага, разность 2d.
ГП: (b(n+1))² / (b(n))² = q²; (1/b(n+1)) : (1/b(n)) = 1/q — делить можно, так как q ≠ 0 и b(n) ≠ 0. b(2n): два шага — q².
Последняя строка связывает прогрессии: показатели степени идут арифметически — значения степени геометрически. Пример: a(n) = n, 2^n — 2, 4, 8, …
Для сильных: сумма двух АП — АП (разность d₁ + d₂); произведение двух ГП — ГП (знаменатель q₁q₂).
R04.6
Образец → сам · новые прогрессии
Докажите и найдите шаг новой прогрессии
Образец
( a n ) a 1 = 1 , d = 3 c n = 5 a n
c n > 0 делить можно
c n c n + 1 = 5 a n + 1 − a n = 5 3 свойство степеней
ГП: c 1 = 5 , q = 125 5 , 625 , …
Сам: какая это последовательность?
база ( b n ) q = − 2 b n 2 ГП, q = 4 база ( a n ) d = 4 a n + a n + 1 АП, d = 8 повыш. ( b n ) b 1 = 2 , q = 3 b n b n + 1 ГП, первый член 12 q = 9
Образец: a: 1, 4, 7; c: 5, 625, 78 125 — каждый раз ×125 ✓.
1) b(n+1)² / b(n)² = q² = 4. Знак пропадает: квадраты все положительны.
2) c(n) = a(n) + a(n+1): c(n+1) − c(n) = a(n+2) − a(n) = 2d = 8. Пример: a = 1, 5, 9, 13 → c = 6, 14, 22 ✓.
3) b: 2, 6, 18, 54; p = 12, 108, 972: p(n+1)/p(n) = b(n+2)/b(n) = q² = 9 ✓.
R04.6
Образец → сам · с неизвестным
При каких x
Образец: x , x + 3 , 4 x
x = 0 , x = − 3 члены ГП = 0
x x + 3 = x + 3 4 x отношения равны
( x + 3 ) 2 = 4 x 2 , x + 3 = ± 2 x
x = 3 x = − 1 3 , 6 , 12 − 1 , 2 , − 4
Сам
база x + 1 , 2 x + 1 , 4 x − 1 x = 2 d = 2 база x , x + 2 , x + 8 x = 1 q = 3 повыш. x , 6 , x − 5 x = 9 x = − 4
Образец: оба ответа проверяем подстановкой — q = 2 и q = −2. Ограничения x ≠ 0, x ≠ −3 нужны, чтобы делить; найденные корни им удовлетворяют.
1) Разности равны: (2x + 1) − (x + 1) = (4x − 1) − (2x + 1) ⇔ x = 2x − 2 ⇔ x = 2. Числа 3, 5, 7.
2) x ≠ 0, x ≠ −2; (x + 2)² = x(x + 8) ⇔ 4x + 4 = 8x ⇔ x = 1. Числа 1, 3, 9.
3) 6/x = (x − 5)/6 ⇔ x² − 5x − 36 = 0 ⇔ x = 9 или x = −4. Проверка: 9, 6, 4 (q = 2/3); −4, 6, −9 (q = −1,5) ✓. Это тот же приём, что в образце; на следующем уроке он станет свойством ГП.
R04.6
Осторожно · типичные ошибки
Три ошибки в определениях
Перепутан порядок
10 , 7 , 4 , … d = 3
d = a 2 − a 1 = − 3
из следующего вычитают предыдущий
Проверили начало
1 , 2 , 4 , 7 , … q = 2
4 7 = 2
шаг один и тот же при всех n
Ноль в ГП
0 , 0 , 0 , … с любым q
не ГП: нужно b 1 = 0
а это АП с d = 0
1) Убывающая АП имеет отрицательную разность: 7 − 10 = −3. Проверка знака: члены уменьшаются ⇒ d < 0.
2) 1, 2, 4, 7 — последовательность «прибавляем 1, 2, 3, …»: отношения 2, 2, 1,75. Три первых члена ничего не доказывают — нужна выкладка для всех n (сл. 6).
3) По определению у ГП b₁ ≠ 0 и q ≠ 0, поэтому ни один член не равен 0. Последовательность 0, 0, 0 — АП с d = 0, но не ГП.
R04.6
Найди ошибку
Ученик решил две задачи. Где ошибки?
Задача 1. x n = 3 ⋅ 2 n − 1
x n x n + 1 = 3 ⋅ 2 n − 1 3 ⋅ 2 n + 1 − 1 = 2
Ответ: ГП, q = 2
Ошибка: «сократили» разности — так нельзя
5 , 11 , 23 5 11 = 11 23
Задача 2. ГП: b 2 = 6 , b 4 = 24 b 3
q = 24 : 6 = 4
b 3 = 6 ⋅ 4 = 24
Ошибка: от b 2 b 4 q 2 = 4
q = ± 2 b 3 = 12 b 3 = − 12
Пары по минуте на задачу, затем ответы по клику.
1) В дроби (3·2^(n+1) − 1)/(3·2^n − 1) нельзя сокращать «по частям». Подстановка n = 1, 2, 3 даёт 5, 11, 23; отношения 2,2 и ≈2,09 — разные. Это не ГП (но x(n) + 1 = 3·2^n — ГП).
2) Признак ошибки уже в ответе: b₃ = b₄ = 24, значит, q = 1, а не 4. Верно: b₄ = b₂q², q² = 4, q = ±2. Две прогрессии: 3, 6, 12, 24 и −3, 6, −12, 24.
R04.6
Задания с самопроверкой · база
Найдите разность или знаменатель и нужный член
АП − 4 , − 1 , 2 , … d a 6 3 ; 11
ГП 81 , − 27 , 9 , … q b 5 − 3 1 ; 1
АП: a 4 = 10 , a 5 = 13 , 5 a 1 − 0 , 5
ГП: b 1 = 0 , 2 , q = 5 b 4 25
a n = 4 − 3 n d да, − 3 b n = 7 ⋅ 3 n b 1 q 21 ; 3
1) d = −1 − (−4) = 3; −4, −1, 2, 5, 8, 11. 2) q = −27/81 = −1/3; 81, −27, 9, −3, 1. 3) d = 3,5; a₁ = 10 − 3 · 3,5 = −0,5.
4) 0,2; 1; 5; 25. 5) a(n+1) − a(n) = −3 при всех n — АП. 6) b₁ = 21, b(n+1)/b(n) = 3 — ГП.
Попросить назвать, каким способом задана последовательность и как проверяли (схема сл. 6).
R04.6
Задания с самопроверкой · повышенный уровень
Шаги, доказательства, рекуррентные формулы
повыш. c n = n 2 − ( n − 1 ) 2 АП, d = 2 повыш. 2 , x , y , 54 x y 6 ; 18 повыш. a , 7 , b , 15 a + b 14 повыш. a , a + d , a + 2 d a = 0 d d = 0 повыш. x 1 = 1 , x n + 1 = 1 + x n x n x n 1 x 10 0 , 1
1) c(n) = n² − (n² − 2n + 1) = 2n − 1: 1, 3, 5, … — АП, d = 2. 2) От 2 до 54 — три шага: q³ = 27, q = 3: 2, 6, 18, 54.
3) От 7 до 15 — два шага: 2d = 8, d = 4; a = 3, b = 11, a + b = 14. (Короче: a + b = 7 − d + 7 + d = 14.)
4) (a + d)/a = (a + 2d)/(a + d) ⇒ (a + d)² = a(a + 2d) ⇒ d² = 0, d = 0: постоянная последовательность a, a, a.
5) x(n) > 0 при всех n; 1/x(n+1) = (1 + x(n))/x(n) = 1/x(n) + 1 — АП с d = 1, 1/x₁ = 1, 1/x₁₀ = 10, x₁₀ = 0,1. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.
R04.6 · формат ОГЭ
Формат ОГЭ · линия 14
Прогрессия в задаче — ответ одно число
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, в каждом следующем — на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду? 39
Каждые 20 минут число бактерий удваивается. В 9:00 их было 50. Сколько бактерий будет в 10:20? 800
Улитка за первую минуту проползла 30 см, а за каждую следующую — на 2 см меньше, чем за предыдущую. Сколько сантиметров она проползла за первые пять минут? 130
Сначала вопрос «какая прогрессия, чему равен шаг?», потом счёт.
1) АП: a₁ = 18, d = 3; a₈ = 18 + 7 · 3 = 39 (лишнее данное «12 рядов» — для проверки внимательности).
2) ГП: q = 2; с 9:00 до 10:20 — 80 мин = 4 удвоения: 50 · 2⁴ = 800. Типичная ошибка — считать 5 «членов» и ответить 1600.
3) АП: 30, 28, 26, 24, 22 — сумма 130 (можно по формуле суммы из ALG9U-074: (30 + 22) · 5 / 2).
R04.6 · ПР-28
Задача из жизни
Тренировка: в первый день — 1 км
План А: каждый день на 300 м больше, чем накануне. План Б: каждый день на 20 % больше.
практика Где АП, где ГП? Найдите d q А: d = 0 , 3 q = 1 , 2 практика Сколько км на 5-й день? 2 , 2 ≈ 2 , 07 повыш. С какого дня по плану Б больше? с 7-го
1 3 5 7
день
1
2
3
км
план А · АП
план Б · ГП
www.reknow.ru
1) А: 1; 1,3; 1,6; … — каждый день +0,3 км: АП, d = 0,3. Б: каждый день ×1,2: ГП, q = 1,2.
2) А: 1 + 4 · 0,3 = 2,2 км. Б: 1,2⁴ = 2,0736 ≈ 2,07 км.
3) Сравнение по дням (А / Б): 6-й — 2,5 / 2,488; 7-й — 2,8 / 2,986; 8-й — 3,1 / 3,583. С 7-го дня план Б требует больше и дальше отрывается — так ГП с q > 1 в итоге обгоняет любую возрастающую АП.
График точный (55 px на день, 75 px на 1 км): точки А на прямой, точки Б на «ускоряющейся» кривой; пунктир — 7-й день. Это и есть ПР-28: члены последовательности точками на плоскости.
R04.6
Самостоятельная работа · 4 минуты
Два варианта · 4 задания
Вариант 1
база АП 5 , 1 , − 3 , … d a 5 d = − 4 , a 5 = − 11 база ГП: b 2 = 6 , b 3 = − 18 b 1 − 2 база b n = 5 ⋅ 2 n b 1 q да; 10 ; 2 повыш. x , x + 4 , x + 16 x x = 2
Вариант 2
база АП − 7 , − 2 , 3 , … d a 5 d = 5 , a 5 = 13 база ГП: b 2 = − 10 , b 3 = 5 b 1 20 база b n = 3 ⋅ 4 n b 1 q да; 12 ; 4 повыш. x , x + 6 , x + 24 x x = 3
3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) d = −4: 5, 1, −3, −7, −11. 2) q = −18/6 = −3, b₁ = 6/(−3) = −2. 3) b(n+1)/b(n) = 2, b₁ = 10. 4) x ≠ 0, x ≠ −4; (x + 4)² = x(x + 16) ⇔ 8x + 16 = 16x ⇔ x = 2: 2, 6, 18.
В-2. 1) d = 5: −7, −2, 3, 8, 13. 2) q = 5/(−10) = −1/2, b₁ = −10 : (−1/2) = 20. 3) q = 4, b₁ = 12. 4) x ≠ 0, x ≠ −6; (x + 6)² = x(x + 24) ⇔ 12x + 36 = 24x ⇔ x = 3: 3, 9, 27.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
рефлексия · ДЗ
Итог урока
Проверьте себя и потренируйтесь
Ответьте одной фразой
Как доказать, что последовательность — АП? А опровергнуть? Почему в ГП нет нулевых членов? Что получится из АП, если взять 2 a n
Домашнее задание
x 1 = 3 , x n + 1 = 2 x n − 1 x n − 1 x 6 При каком x 2 x , x + 3 , x + 9
( a n ) d = 2 3 a n q Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm
Ответы ДЗ: 1) y(n) = x(n) − 1: y(n+1) = 2x(n) − 2 = 2y(n), y₁ = 2, q = 2; y₆ = 64, x₆ = 65 (3, 5, 9, 17, 33, 65 ✓). 2) (x + 3) − 2x = (x + 9) − (x + 3) ⇔ 3 − x = 6 ⇔ x = −3: −6, 0, 6. 3) 3^(a(n+1)) / 3^(a(n)) = 3² = 9.
Следующий урок ALG9U-085 — практикум по свойствам членов прогрессий: средний член АП — среднее арифметическое соседей, квадрат среднего члена ГП — произведение соседей (приём сл. 11 станет правилом).
Паспорт соответствия · скрытый слайд
ALG9U-084 · Практикум: Арифметическая и геометрическая прогрессии
Поле Значение ФРП «Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf Строка, урок R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 19/25 · тип П Единицы → слайды R04.6 «Арифметическая и геометрическая прогрессии» → 2–19 · опора R04.5 (способы задания) → 3, 6, 8 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 12) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13–19) Результаты ПР-25 (понятия АП и ГП) → 2–15 · ПР-26 (способы задания) → 6–8 · ПР-27 (вычисления членов) → 5, 14, 16, 18 · ПР-28 (точки на плоскости) → 4, 17 · ПР-29 (задачи из жизни) → 16, 17 · кодификатора у курса нет Вне урока свойства членов (среднее арифметическое и геометрическое) — ALG9U-085; формулы n-го члена — ALG9U-086; суммы — ALG9U-087 Проверки автопроверка: pending · методист: pending