Последовательности · урок 18 из 25 · практикум

Практикум:
способы задания
последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-083

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 18/25, единица R04.5 «Способы задания последовательности: описательный, табличный, с помощью формулы n-го члена, рекуррентный». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-082 — практикум по монотонным последовательностям; следующий ALG9U-084 — практикум по арифметической и геометрической прогрессиям. Новый материал по этой единице был на ALG9U-070 — сегодня новые типы задач, сложнее.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: четыре способа) 3 · 5 (что извлечь из формулы) 2 · 8 (рекуррентная вперёд и назад) 2 · 10 (переход между способами) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Читать формулу $n$ -го члена

находить номер члена, наибольший и наименьший член (ПР-25, ПР-28)

Работать с рекуррентной

считать вперёд и назад, искать постоянные и периодические (ПР-26)

Переходить между способами

от рекуррентной к формуле и обратно, по первым членам (ПР-26)

Решать задачи из жизни

описание или таблица → формула → ответ (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-26 (ФРП дословно): «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Анализировать формулу n-го члена последовательности или рекуррентную формулу и вычислять члены последовательностей, заданных этими формулами. Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько ее членов».

разминка · R04.1–R04.5

Разминка · устно

Вычислите член или найдите правило

a_{n} = 3 n - 4

a_{10} = ?

26

a_{n} = \frac{12}{n}

a_{3} = ?

4

a_{n} = (- 1)^{n}

a_{2026} = ?

1

a_{n} = n^{2}

a_{n + 1} = ?

(n + 1)^{2}

a_{1} = 5

,

a_{n + 1} = a_{n} - 2

a_{3} = ?

1

b_{1} = 2, b_{n + 1} = 3 b_{n}

b_{3} = ?

18

1, 3, 5, 7, \dots

формула

a_{n}

2 n - 1

a_{n} = 2 n + 5

a_{n + 1} - a_{n} = ?

2

R04.5

Сводка · четыре способа

Одна последовательность $2, 7, 12, 17, \dots$ — четыре записи

Способ	Запись	Как найти $a_{10}$
Описательный	натуральные числа с остатком $2$ при делении на $5$ , по возрастанию	выписать $10$ членов или перейти к формуле
Табличный	$n$ : $1, 2, 3, 4$ $a_{n}$ : $2, 7, 12, 17$	в таблице его нет — нужно правило
Формула $n$ -го члена	$a_{n} = 5 n - 3$	сразу: $a_{10} = 47$
Рекуррентный	$a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 5$	$9$ шагов от $a_{1}$

3 мин · теория
Сводка ALG9U-070: описательный — словесное правило; табличный — конечное число членов (данные наблюдений); формула n-го члена a_n = f(n) — любой член сразу; рекуррентный — первый член (или несколько) и правило перехода к следующему.
Проверка, что все записи об одном: 5n − 3 при n = 1, 2, 3, 4 даёт 2, 7, 12, 17; 5(n + 1) − 3 − (5n − 3) = 5 — правило «+5». Остаток: 47 = 5·9 + 2 ✓.
Вопрос классу: какой способ удобнее найти a₁₀₀₀? (формула: 4997). Какой — для данных измерений? (таблица).

R04.5 · ПР-28

Сводка · что даёт формула

$a_{n} = n^{2} - 7 n + 14$ : график — точки $(n; a_{n})$

Номер числа $A$ : решить

f (n) = A

, оставить

n \in N

Наибольший / наименьший член: проверить натуральные

n

рядом с вершиной

Монотонность: знак разности

a_{n + 1} - a_{n}

2 мин · теория
Члены: 8, 4, 2, 2, 4, 8, 14. Точки лежат на параболе y = x² − 7x + 14 (пунктир), но берутся только при x = 1, 2, 3, … — точки не соединяем.
Вершина параболы x = 3,5 — не натуральное. Ближайшие номера 3 и 4: a₃ = 9 − 21 + 14 = 2, a₄ = 16 − 28 + 14 = 2. Наименьший член 2 (у двух номеров), а не 1,75 = f(3,5).
Монотонность: a_{n+1} − a_n = 2n − 6: отрицательна при n < 3 — убывает до a₃, затем возрастает (a₄ = a₃). Последовательность ограничена снизу числом 2.
Масштаб чертежа: 58 px на 1 по n, 24 px на 1 по aₙ.

R04.5

Образец → сам · наибольший член

Исследуйте последовательность по формуле

Образец

Наибольший член $a_{n} = - 2 n^{2} + 13 n + 1$

$x_{0} = \frac{13}{4} = 3, 25$ вершина параболы

$a_{3} = - 18 + 39 + 1 = 22$ ближайшие $n = 3$

$a_{4} = - 32 + 52 + 1 = 21$ и $n = 4$

Наибольший член $a_{3} = 22$ $22 > 21$

Сам

базаНаименьший член $a_{n} = n^{2} - 10 n + 30$ $a_{5} = 5$
базаСколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 12 n + 32$ ? $3$
повыш.Сколько членов $a_{n} = \frac{n + 12}{n}$ — целые числа? $6$

R04.5

Образец → сам · номер члена

Последовательность $a_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$

Образец

Является ли $2, 8$ её членом? Каков номер?

$\frac{3 n + 2}{n + 1} = 2, 8$ приравняли

$3 n + 2 = 2, 8 n + 2, 8$ $n + 1 \neq = 0$

$0, 2 n = 0, 8, n = 4$ $4 \in N$

Да, $a_{4} = \frac{14}{5} = 2, 8$ проверка

Сам

базаЯвляется ли $2, 9$ её членом? да, $a_{9}$
базаЯвляется ли $3$ её членом? нет
повыш.С какого номера все члены больше $2, 99$ ? с $n = 100$

R04.5

Сводка · рекуррентная формула

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ : вперёд и назад

Вперёд: в правило подставляем $n = 1, 2, 3, \dots$

Назад: $a_{n} = \frac{a _{n + 1} + 2}{3}$

Постоянная: $a_{1} = 3 a_{1} - 2$ , то есть $a_{1} = 1$

2 мин · теория
Демонстрация учителя. Вперёд: 2 → 3·2 − 2 = 4 → 3·4 − 2 = 10 → 3·10 − 2 = 28. Назад: обратные действия в обратном порядке — сначала +2, потом делим на 3: (28 + 2) : 3 = 10 ✓.
Постоянная последовательность: если a₂ = a₁, то и все члены равны. Уравнение a = 3a − 2 даёт a = 1: последовательность 1, 1, 1, … (проверка: 3·1 − 2 = 1).
Если правило задаёт член через два предыдущих (Фибоначчи), назад тоже можно: aₙ = a_{n+2} − a_{n+1}. Периодичность (повторение членов) — сл. 16, задание 3.

R04.5

Образец → сам · рекуррентная назад

Найдите первый член или особое значение

Образец

$a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ , $a_{4} = 11$ . Найдите $a_{1}$ .

$a_{n} = \frac{a _{n + 1} + 3}{2}$ выразили назад

$a_{3} = 7, a_{2} = 5$ $\frac{11 + 3}{2}$ , $\frac{7 + 3}{2}$

$a_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ ещё шаг

$4 \to 5 \to 7 \to 11$ проверка

Сам

база $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ , $a_{3} = 17$ . Найдите $a_{1}$ . $1$
база $b_{n + 1} = b_{n} + n$ , $b_{5} = 20$ . Найдите $b_{1}$ . $10$
повыш.При каких $a_{1}$ последовательность $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 6$ постоянна? $3$ или $- 2$

R04.5

Сводка · переход между способами

Формула ⇄ рекуррентная ⇄ первые члены

Переход	Как	Пример
формула → рекуррентная	выразить $a_{n + 1}$ через $a_{n}$	$a_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 1$ : $a_{1} = 5, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$
рекуррентная → формула	выписать члены, угадать, проверить подстановкой в правило	$a_{1} = 5, a_{n + 1} = a_{n} + 4$ : $a_{n} = 4 n + 1$
первые члены → формула	сравнить с $n, n^{2}, 2^{n}, (- 1)^{n}$ ; проверить на всех данных	$- 1, 4, - 9, 16$ : $a_{n} = (- 1)^{n} n^{2}$

Угаданная формула — гипотеза. Строго её доказывают методом математической индукции (урок 12 строки).

2 мин · теория
Строка 1 (демонстрация): 2ⁿ = (aₙ + 1)/3; a_{n+1} = 3·2^{n+1} − 1 = 2·3·2ⁿ − 1 = 2(aₙ + 1) − 1 = 2aₙ + 1; a₁ = 6 − 1 = 5. Члены 5, 11, 23, 47 — по обеим записям ✓.
Строка 2: 5, 9, 13, …; проверка в правило: 4(n + 1) + 1 = (4n + 1) + 4 ✓, и a₁ = 5 ✓.
Строка 3: модули — квадраты, знак «−» на нечётных местах. По первым членам формула определяется не единственно — ищем простейшую и проверяем на всех данных.
Индукция — ALG9U-077: проверили при n = 1 и показали, что из верности для n следует верность для n + 1.

R04.5

Образец → сам · от рекуррентной к формуле

Найдите формулу $n$ -го члена

Образец

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 3$

$1, 6, 13, 22, 33$ выписали члены

$= n^{2} + 2 n - 2$ $4, 9, 16, \dots$ минус $3$

$(n + 1)^{2} + 2 (n + 1) - 2 =$ подставили $n + 1$

$= (n^{2} + 2 n - 2) + 2 n + 3$ правило верно

Сам

база $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 5$ $a_{n} = 5 n - 2$
база $b_{1} = 3, b_{n + 1} = 2 b_{n} - 1$ $b_{n} = 2^{n} + 1$
повыш. $c_{1} = 1,$ $c_{n + 1} = c_{n} + 3 n^{2} + 3 n + 1$ $c_{n} = n^{3}$

R04.5

Образец → сам · по первым членам

Найдите закономерность и запишите формулу

Образец

$\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{9}{8}, \frac{17}{16}, \dots$

знаменатель $2^{n}$ $2, 4, 8, 16$

числитель $2^{n} + 1$ на $1$ больше

$a_{n} = \frac{2 ^{n} + 1}{2 ^{n}} = 1 + \frac{1}{2 ^{n}}$ формула

$a_{3} = \frac{9}{8}$ ✓ проверка

Сам

база $1, - 4, 9, - 16, 25, \dots$ $(- 1)^{n + 1} n^{2}$
база $\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \dots$ $\frac{n + 1}{2 n + 1}$
повыш. $0, 2, 0, 2, 0, \dots$ $1 + (- 1)^{n}$

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

$+ 1$ к значению, а не к номеру

$a_{n} = \frac{n}{n + 2}$

$a_{n + 1} = \frac{n}{n + 2} + 1$

$a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 3}$

$n$ заменяем на $n + 1$ везде

Формула не проверена

$1, 3, 5, 9$ : « $a_{n} = 2 n - 1$ »

$a_{4} = 7 \neq = 9$ — формула не подходит

проверяем на всех данных членах

Номер не натуральный

$50$ — член $4 n + 3$ ? $n = 11, 75 \approx 12$ , да

$n \in / N$ — нет

номер не округляют

R04.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} - n$ . Найдите $a_{4}$ .

$a_{2} = 2 \cdot 3 - 2 = 4$

$a_{3} = 2 \cdot 4 - 3 = 5, a_{4} = 2 \cdot 5 - 4 = 6$

Ошибка: для $a_{2}$ в правило ставят $n = 1$

$a_{2} = 5, a_{3} = 8, a_{4} = 13$

2. Задайте рекуррентно $a_{n} = 2^{n} + 3$ .

$a_{1} = 5$

$2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}$ , значит, $a_{n + 1} = 2 a_{n}$

Ошибка: $2 a_{n} = 2^{n + 1} + 6 \neq = a_{n + 1}$

$a_{1} = 5, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$

R04.5

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, найдите формулу, номер

$a_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{n}$ . Найдите $a_{5}$ . $5, 2$
$a_{1} = - 2, a_{n + 1} = a_{n} + 3$ . Найдите $a_{6}$ . $13$
$b_{1} = 2, b_{n + 1} = - 3 b_{n}$ . Найдите $b_{4}$ . $- 54$

Формула $n$ -го члена: $4, 7, 10, 13, \dots$ $3 n + 1$
Является ли $85$ членом $a_{n} = 6 n + 1$ ? да, $a_{14}$
Сколько положительных членов у $a_{n} = 50 - 4 n$ ? $12$

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Формула, рекуррентная, период

повыш.Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 15 n + 40$ $- 16$
повыш.Задайте рекуррентно $a_{n} = 5 \cdot 3^{n} - 2$ $a_{1} = 13, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$
повыш. $x_{1} = 2, x_{n + 1} = \frac{x _{n} - 1}{x _{n}}$ . Найдите $x_{50}$ . $\frac{1}{2}$
повыш.При каких $a_{1}$ последовательность $a_{n + 1} = \frac{6}{a _{n} + 1}$ постоянна? $2$ или $- 3$
повыш. $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 3^{n}$ . Найдите формулу $a_{n}$ . $\frac{3 ^{n} + 1}{2}$

R04.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Описание → правило → нужный член

В первом ряду кинозала $24$ места, в каждом следующем на $2$ больше. Сколько мест в $15$ -м ряду? $52$
Камень падает: за первую секунду пролетел $5$ м, за каждую следующую — на $10$ м больше. Сколько метров за $6$ -ю секунду? $55$
В колонии $5$ бактерий. Каждый час их число утраивается, затем $4$ забирают на анализ. Сколько бактерий через $3$ часа? $83$

Запишите

a_{1}

и правило

Есть формула — сразу нужный член

Нет — считайте шаги, не теряя номер

R04.5 · ПР-28 · ПР-29

Задача из жизни

Высота рассады по неделям (таблица наблюдений)

неделя $n$	$1$	$2$	$3$	$4$
$h_{n}$ , см	$12$	$15$	$18$	$21$

практикаЗадайте $h_{n}$ формулой $h_{n} = 3 n + 9$
практикаЗадайте $h_{n}$ рекуррентно $h_{1} = 12, h_{n + 1} = h_{n} + 3$
повыш.На какой неделе высота впервые превысит $50$ см? на $14$ -й

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $a_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ . Найдите $a_{4}$ . $40$
база $a_{1} = 4, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 5$ . Найдите $a_{4}$ . $- 3$
базаФормула $n$ -го члена: $5, 9, 13, 17, \dots$ $4 n + 1$
повыш.Является ли $2, 9$ членом $a_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 1}$ ? да, $a_{19}$

Вариант 2

база $a_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ . Найдите $a_{3}$ . $27$
база $a_{1} = 5, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 8$ . Найдите $a_{4}$ . $31$
базаФормула $n$ -го члена: $7, 12, 17, 22, \dots$ $5 n + 2$
повыш.Является ли $3, 8$ членом $a_{n} = \frac{4 n - 1}{n + 1}$ ? да, $a_{24}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой способ даёт любой член сразу?
Как идти по рекуррентной формуле назад?
Почему угаданную формулу нужно проверить?

Домашнее задание

Наибольший член $a_{n} = - n^{2} + 13 n - 20$
Задайте рекуррентно $a_{n} = 4 \cdot 2^{n} + 1$
Формула $n$ -го члена: $a_{1} = 0, a_{n + 1} = a_{n} + 4 n$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-083 · Практикум: Способы задания последовательности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 18/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.5 «Способы задания последовательности: описательный, табличный, с помощью формулы n-го члена, рекуррентный» → 2, 4–20 · опора R04.1–R04.4 → 3, 5, 7 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-26 (задавать разными способами) → 2, 4, 8–12, 14–20 · ПР-25 (понятие последовательности) → 3–7, 15 · ПР-28 (точки на плоскости) → 5, 18 · ПР-29 (задачи из жизни) → 17, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	арифметическая и геометрическая прогрессии — ALG9U-084; доказательство формул индукцией — ALG9U-077
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:способы заданияпоследовательности

Сегодня вы научитесь

Читать формулу n-го члена

Работать с рекуррентной

Переходить между способами

Решать задачи из жизни

Вычислите член или найдите правило

Одна последовательность 2, 7, 12, 17, … — четыре записи

an​=n2−7n+14: график — точки (n; an​)

Исследуйте последовательность по формуле

Образец

Сам

Последовательность an​=n+13n+2​

Образец

Сам

a1​=2, an+1​=3an​−2: вперёд и назад

Найдите первый член или особое значение

Образец

Сам

Формула ⇄ рекуррентная ⇄ первые члены

Найдите формулу n-го члена

Образец

Сам

Найдите закономерность и запишите формулу

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

+1 к значению, а не к номеру

Формула не проверена

Номер не натуральный

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. a1​=3, an+1​=2an​−n. Найдите a4​.

2. Задайте рекуррентно an​=2n+3.

Вычислите, найдите формулу, номер

Формула, рекуррентная, период

Описание → правило → нужный член

Высота рассады по неделям (таблица наблюдений)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-083 · Практикум: Способы задания последовательности

Практикум:
способы задания
последовательности

Читать формулу $n$ -го члена

Одна последовательность $2, 7, 12, 17, \dots$ — четыре записи

$a_{n} = n^{2} - 7 n + 14$ : график — точки $(n; a_{n})$

Последовательность $a_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ : вперёд и назад

Найдите формулу $n$ -го члена

$+ 1$ к значению, а не к номеру

1. $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} - n$ . Найдите $a_{4}$ .

2. Задайте рекуррентно $a_{n} = 2^{n} + 3$ .