Последовательности · урок 17 из 25 · практикум

Практикум:
монотонные
последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-082

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 17/25, единица R04.4 «Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность». Тип урока — П (практикум). Теория темы — ALG9U-069; прошлый урок ALG9U-081 — практикум по ограниченности; следующий ALG9U-083 — практикум по способам задания последовательности.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка определений) 2,5 · 5 (выбор способа) 2,5 · 8 (функция и последовательность) 2,5 · 12 (типичные ошибки) 2,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 4 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать монотонность

знаком разности, отношением, через свойства функций (ПР-30)

Выбирать способ по формуле

дробь, степень, сумма функций, рекуррентная формула (ПР-26, ПР-30)

Находить наибольший и наименьший член

где последовательность меняет направление (ПР-28, ПР-30)

Решать задачи с параметром и ОГЭ

при каких $p$ монотонна; сколько членов больше числа (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-30 (ФРП дословно): «Распознавать и приводить примеры конечных и бесконечных последовательностей, ограниченных последовательностей, монотонно возрастающих (убывающих) последовательностей». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами…». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни».
Вид деятельности ФРП по строке: «Определять виды последовательностей: ограниченная последовательность, монотонно возрастающая (убывающая) последовательность».

разминка · R04.1–R04.4

Разминка · устно

Члены, соседи, знаки

a_{n} = 3 n - 2

найдите

a_{5}

13

a_{n} = \frac{12}{n}

a_{4} - a_{3}

- 1

a_{n} = n^{2}

запишите

a_{n + 1}

n^{2} + 2 n + 1

a_{n} = \frac{n}{n + 1}

запишите

a_{n + 1}

\frac{n + 1}{n + 2}

\frac{- 5}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

знак при

n \in N

«−»

1, 4, 9, 16, \dots

возрастает?

да

2, 2, 3, 3, \dots

возрастающая?

нет

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n

a_{1}, a_{2}, a_{3}

- 1; 2; - 3

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 15 − 2 = 13. 2) 3 − 4 = −1 (член уменьшился). 3) (n + 1)² = n² + 2n + 1 — главный навык урока: заменить n на n + 1 везде. 4) (n + 1)/(n + 2).
5) Знаменатель положителен при натуральных n, числитель −5 — дробь отрицательна. 6) Да: n² растёт при n ≥ 1. 7) Нет, a₂ = a₁ — это неубывающая. 8) −1; 2; −3 — то вверх, то вниз: немонотонна.
Карточки 3–5 — к способу «знак разности» (сл. 6), 7 — к различию строгой и нестрогой монотонности (сл. 4), 8 — к доказательству немонотонности контрпримером.

R04.4

Сводка · определения

Монотонность — сравнение соседних членов при всех $n$

Последовательность	при всех $n$
возрастающая	$a_{n + 1} > a_{n}$
убывающая	$a_{n + 1} < a_{n}$
неубывающая	$a_{n + 1} \geq a_{n}$
невозрастающая	$a_{n + 1} \leq a_{n}$

Не монотонна — достаточно одного подъёма и одного спуска

2,5 мин · теория
Повторение определений ALG9U-069. Возрастающие и убывающие называют монотонными; неубывающие и невозрастающие — монотонными в широком смысле. Постоянная последовательность — и неубывающая, и невозрастающая.
График: члены — точки (n; aₙ), не соединяем. aₙ = (4n − 1)/(n + 2): 1; 1,75; 2,2; 2,5; … — вверх; bₙ = 8/n: 8; 4; 2,67; 2; … — вниз.
Вопрос классу: «Достаточно ли проверить a₁ < a₂ < a₃, чтобы сказать “возрастает”?» (Нет — нужно при всех n; контрпример — на сл. 12.)

R04.4

Схема · выбор способа

Посмотрите на формулу — и выберите способ

Вид формулы	Способ	Пример
дробь, многочлен от $n$	знак разности $a_{n + 1} - a_{n}$	$\frac{2 n + 1}{n + 3}$
степени $q^{n}$ , все $a_{n} > 0$	отношение $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ сравнить с $1$	$\frac{n}{3 ^{n}}$
$\frac{kn + l}{n + m}$	выделить целую часть	$\frac{2 n + 7}{n + 1} = 2 + \frac{5}{n + 1}$
сумма известных функций	$f (x)$ монотонна на $[1; + \infty)$	$n + 3 - \frac{2}{n}$
рекуррентная $a_{n + 1} = a_{n} + d_{n}$	знак добавки $d_{n}$	$a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{n}$

R04.4

Образец → сам · знак разности

Докажите, что последовательность монотонна

Образец

$a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$

$a_{n + 1} = \frac{2 n + 3}{n + 4}$ $n \to n + 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{( 2 n + 3 ) ( n + 3 ) - ( 2 n + 1 ) ( n + 4 )}{( n + 3 ) ( n + 4 )}$

$= \frac{5}{( n + 3 ) ( n + 4 )} > 0$ при всех $n$

возрастает

Сам

база $a_{n} = \frac{4 n - 1}{n + 2}$ возрастает
база $b_{n} = \frac{5 - 2 n}{n + 1}$ убывает
повыш. $c_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1}$ убывает

R04.4

Образец → сам · отношение

Степени удобнее сравнивать делением

Образец

$a_{n} = \frac{n}{3 ^{n}}$

$a_{n} > 0$ отношение можно

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 1}{3 ^{n + 1}} \cdot \frac{3 ^{n}}{n} = \frac{n + 1}{3 n}$

$\frac{n + 1}{3 n} < 1 \Leftrightarrow n + 1 < 3 n$ верно при $n \geq 1$

убывает

Сам

база $a_{n} = \frac{5 ^{n}}{n + 1}$ возрастает
повыш. $b_{n} = \frac{n}{2 ^{n}}$ невозрастающая: $b_{1} = b_{2}$
повыш. $c_{n} = \frac{2 ^{n}}{n ^{2}}$ не монотонна; наименьший $c_{3} = \frac{8}{9}$

R04.4

Сводка · функция и последовательность

$f$ монотонна на $[1; + \infty)$ ⇒ $a_{n} = f (n)$ тоже

↑ + ↑ = ↑ c \cdot ↑ (c < 0) = ↓

Обратное неверно:

(n - 1, 4)^{2}

возрастает, а функция

(x - 1, 4)^{2}

на

[1; + \infty)

— нет

a_{n} = n^{2} + bn + c

возрастает

\Leftrightarrow

a_{2} > a_{1}

\Leftrightarrow

вершина

< 1, 5

2,5 мин · теория
Если f возрастает на [1; +∞), то из n + 1 > n следует f(n + 1) > f(n). Сумма возрастающих — возрастающая; умножение на отрицательное число меняет направление; 1/f для положительной возрастающей f — убывает.
Обратное неверно: на графике f(x) = (x − 1,4)² убывает на [1; 1,4], но точки n = 1, 2, 3 идут вверх: 0,16; 0,36; 2,56. Последовательность «не видит» значений между целыми.
Для n² + bn + c: разность aₙ₊₁ − aₙ = 2n + 1 + b — возрастает по n, поэтому достаточно a₂ − a₁ = 3 + b > 0 ⇔ b > −3 ⇔ вершина −b/2 < 1,5. Вершина 1,5 — середина между 1 и 2.

R04.4

Образец → сам · через функцию

Сумма монотонных и наименьший член

Образец

$a_{n} = n + 3 - \frac{2}{n}$

$x + 3$ возрастает корень

$- \frac{2}{x}$ возрастает на $[1; + \infty)$ $\frac{2}{x}$ убывает

сумма возрастающих возрастает

$a_{n}$ возрастает: $0; 5 - 1; \dots$

Сам

база $b_{n} = 7 - 2 n + 1$ убывает
база $c_{n} = 3 n - \frac{10}{n + 1}$ возрастает
повыш. $d_{n} = n^{2} - 7 n + 3$ : наименьший член и с какого $n$ возрастает? $d_{3} = d_{4} = - 9$ ; с $n = 4$

R04.4 · ПР-30

Образец → сам · параметр

При каких $p$ последовательность возрастает (убывает)?

Образец

$a_{n} = n^{2} - p n$ возрастает?

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 1 - p$ разность

$2 n + 1 - p > 0$ при всех $n$ определение

наименьшая при $n = 1$ : $3 - p > 0$

$p < 3$ (при $p = 3$ : $a_{1} = a_{2}$ )

Сам

база $a_{n} = \frac{p n + 1}{n + 2}$ возрастает? $p > \frac{1}{2}$
повыш. $a_{n} = p n^{2} - 6 n$ возрастает? $p > 2$
повыш. $a_{n} = ∣ n - p ∣$ возрастает? $p < 1, 5$

3 мин · практика
Образец: разность (n + 1)² − p(n + 1) − n² + pn = 2n + 1 − p растёт с n, поэтому условие «при всех n» равносильно условию при n = 1. Граница p = 3: a₁ = a₂ = −2 — не возрастает (только неубывающая).
1) aₙ = p + (1 − 2p)/(n + 2): возрастает ⇔ 1 − 2p < 0 ⇔ p > 1/2. Граница p = 1/2: aₙ = 1/2 при всех n — постоянная. При p = 0 — убывает.
2) Разность p(2n + 1) − 6. При p = 0 это −6n — убывает; при p < 0 разность отрицательна. При p > 0 разность растёт с n, наименьшая при n = 1: 3p − 6 > 0 ⇔ p > 2. Граница p = 2: a₁ = a₂ = −4 — не возрастает. Ответ p > 2.
3) Если p ≤ 1, то aₙ = n − p — возрастает. Если p > 1, первые члены: a₁ = |1 − p|, a₂ = |2 − p|; нужно a₂ > a₁ ⇔ |2 − p| > |1 − p| ⇔ p < 1,5; при 1 < p < 1,5 дальше aₙ = n − p растёт. Граница p = 1,5: a₁ = a₂ = 0,5. Ответ p < 1,5. Проверено перебором.

R04.4 · опора R04.5

Образец → сам · рекуррентная формула

Формулы $n$ -го члена нет — смотрим на добавку

Образец

$a_{1} = 5, a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{n}$ из формулы

$- \frac{1}{n} < 0$ при всех $n$ знак

убывает: $5; 4; 3, 5; \dots$

Сам

база $a_{1} = - 3, a_{n + 1} = a_{n} + n^{2}$ возрастает
база $b_{1} = 10, b_{n + 1} = \frac{b _{n}}{2}$ убывает
повыш. $c_{1} = - 8, c_{n + 1} = \frac{c _{n}}{2}$ возрастает: $- 8; - 4; - 2$

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в выводах о монотонности

Проверили 4 члена

$10 n - n^{2}$ : $9, 16, 21, 24$ — «возрастает»

$a_{5} = 25, a_{6} = 24$ — не монотонна

неравенство нужно при всех $n$

Отношение при $a_{n} < 0$

$a_{n} = - 2^{n}$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 2 > 1$ — «возрастает»

$- 2; - 4; - 8$ — убывает

признак отношения — только при $a_{n} > 0$

Перенесли с функции

$n^{2} - 2, 8 n$ : вершина $1, 4 > 1$ — «не монотонна»

$a_{1} = - 1, 8 < a_{2} = - 1, 6$ — возрастает

для $n^{2} + bn + c$ важно: вершина $< 1, 5$

R04.4

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Исследуйте $a_{n} = \frac{2 n + 7}{n + 1}$

$a_{n + 1} = \frac{2 n + 9}{n + 1}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2}{n + 1} > 0$ — возрастает

Ошибка: $a_{n + 1} = \frac{2 n + 9}{n + 2}$ — $n + 1$ подставляют и в знаменатель

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{- 5}{( n + 1 ) ( n + 2 )} < 0$ — убывает

2. При каких $p$ возрастает $a_{n} = n^{2} + p n$ ?

Функция $x^{2} + p x$ возрастает на $[1; + \infty)$ , если вершина $- \frac{p}{2} \leq 1$ .

Ответ: $p \geq - 2$ .

Ошибка: условие только достаточное — потеряны $- 3 < p < - 2$

Верно: $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 1 + p$ ; при $n = 1$ : $3 + p > 0$ , $p > - 3$

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Возрастает, убывает или не монотонна?

$a_{n} = 5 n - 3$ возрастает
$a_{n} = \frac{7}{n}$ убывает
$a_{n} = (- 2)^{n}$ не монотонна

$a_{n} = 10 - n^{2}$ убывает
$a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ убывает
$a_{n} = n + 5$ возрастает

R04.4 · ПР-30

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Наибольший член, параметр, рекуррентная формула

повыш.Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 11 n + 20$ $- 10$
повыш. $a_{n} = \frac{n + 3}{2 n - 1}$ : вид и наибольший член убывает; $a_{1} = 4$
повыш.При каких $p$ убывает $a_{n} = \frac{n + p}{n + 1}$ ? $p > 1$
повыш.Наибольший член $a_{n} = n \cdot 0, 8^{n}$ $a_{4} = a_{5} = 1, 6384$
повыш. $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 2$ : монотонна? возрастает

2 мин · практика
1) Вершина 5,5: a₅ = 25 − 55 + 20 = −10, a₆ = 36 − 66 + 20 = −10. 2) aₙ = 1/2 + 3,5/(2n − 1) — убывает, наибольший a₁ = 4/1 = 4.
3) aₙ = 1 + (p − 1)/(n + 1): убывает ⇔ p − 1 > 0. Граница p = 1: aₙ = 1 — постоянная.
4) Отношение 0,8(n + 1)/n > 1 ⇔ n < 4, равно 1 при n = 4: a₁ < a₂ < a₃ < a₄ = a₅ > a₆ > … a₄ = 4 · 0,4096 = 1,6384 = 5 · 0,32768 = a₅.
5) aₙ₊₁ − aₙ = aₙ² − 3aₙ + 2 = (aₙ − 1)(aₙ − 2). a₁ = 3 > 2; если aₙ > 2, то разность > 0 и aₙ₊₁ > aₙ > 2 — по цепочке все члены > 2, разность всегда положительна: 3; 5; 17; 257. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R04.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Монотонность подсказывает, где искать ответ

$a_{n} = \frac{54}{n + 2}$ . Сколько членов больше $5$ ? $8$
$c_{n} = 3 n - 40$ . Сколько отрицательных членов? $13$
В первом ряду амфитеатра $20$ мест, в каждом следующем на $2$ больше. В каком ряду впервые больше $50$ мест? в $17$ -м
$a_{n} = n^{2} - 12 n + 30$ . Сколько отрицательных? $5$

Убывает — нужные члены идут подряд с начала

Возрастает — первый подходящий номер, дальше все подходят

4: отрицательные — между корнями

R04.4 · R04.5

Задача из жизни

В пруду $2000$ рыб. За год их число растёт на $10 %$ , затем вылавливают $m$ рыб

x_{1} = 2000, x_{n + 1} = 1, 1 x_{n} - m

практика $m = 150$ : найдите $x_{2}, x_{3}$ $2050; 2105$
практикаПри каком $m$ число рыб не меняется? $200$
повыш. $m = 250$ : возрастает или убывает? убывает

2 мин · практика
1) x₂ = 2200 − 150 = 2050, x₃ = 2255 − 150 = 2105.
2) xₙ₊₁ − xₙ = 0,1xₙ − m. Число не меняется при 0,1 · 2000 − m = 0, m = 200 (тогда все xₙ = 2000).
3) Разность 0,1xₙ − 250 < 0, пока xₙ < 2500; x₁ = 2000, и каждый следующий член меньше предыдущего — по цепочке все < 2500, убывает: 2000; 1950; 1895; 1834,5; … При m = 150 разность 0,1xₙ − 150 > 0 при xₙ > 1500 — возрастает.
График: точки (n; xₙ) при m = 150 (бирюзовые) и m = 250 (розовые), пунктир — уровень 2000. Модель упрощённая (дробные значения — среднее).

R04.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаДокажите, что $a_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 2}$ возрастает разность $\frac{7}{( n + 2 ) ( n + 3 )} > 0$
базаНаименьший член $c_{n} = n^{2} - 9 n + 1$ $c_{4} = c_{5} = - 19$
базаПри каких $p$ убывает $a_{n} = (p - 3) n + 5$ ? $p < 3$
повыш. $a_{1} = - 6, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{3}$ : вид? возрастает

Вариант 2

базаДокажите, что $a_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$ убывает разность $\frac{- 3}{( n + 1 ) ( n + 2 )} < 0$
базаНаименьший член $c_{n} = n^{2} - 7 n + 2$ $c_{3} = c_{4} = - 10$
базаПри каких $p$ возрастает $a_{n} = (p + 2) n - 1$ ? $p > - 2$
повыш. $a_{1} = 9, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{3}$ : вид? убывает

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) (3n + 2)(n + 2) − (3n − 1)(n + 3) = 3n² + 8n + 4 − 3n² − 8n + 3 = 7. 2) Вершина 4,5: c₄ = 16 − 36 + 1 = −19 = c₅. 3) Разность p − 3 < 0; при p = 3 постоянная. 4) −6; −2; −2/3 — все отрицательны, разность −2aₙ/3 > 0, возрастает.
В-2. 1) (2n + 7)(n + 1) − (2n + 5)(n + 2) = 2n² + 9n + 7 − 2n² − 9n − 10 = −3. 2) Вершина 3,5: c₃ = 9 − 21 + 2 = −10 = c₄. 3) Разность p + 2 > 0; при p = −2 постоянная. 4) 9; 3; 1 — все положительны, отношение 1/3 < 1, убывает.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как выбрать способ по виду формулы?
Когда нельзя сравнивать отношение с $1$ ?
Почему одного-двух сравнений мало?

Домашнее задание

Докажите, что $a_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1}$ возрастает
Наибольший член $a_{n} = n \cdot 0, 9^{n}$
* При каких $p$ убывает $a_{n} = p n^{2} + n$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-082 · Практикум: Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 17/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.4 «Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность» → 2, 4–19 · опора R04.1–R04.3 → 3 · R04.5 (рекуррентный способ) → 11, 17 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-30 (монотонно возрастающие (убывающие) последовательности) → 2–19 · ПР-26 (способы задания) → 5, 11, 17 · ПР-28 (точки на плоскости) → 4, 8, 17 · ПР-29 (задачи, в том числе из жизни) → 16, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	способы задания последовательности — ALG9U-083; арифметическая и геометрическая прогрессии — ALG9U-084; сходимость — ALG9U-089
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:монотонныепоследовательности

Сегодня вы научитесь

Доказывать монотонность

Выбирать способ по формуле

Находить наибольший и наименьший член

Решать задачи с параметром и ОГЭ

Члены, соседи, знаки

Монотонность — сравнение соседних членов при всех n

Посмотрите на формулу — и выберите способ

Докажите, что последовательность монотонна

Образец

Сам

Степени удобнее сравнивать делением

Образец

Сам

f монотонна на [1; +∞) ⇒ an​=f(n) тоже

Сумма монотонных и наименьший член

Образец

Сам

При каких p последовательность возрастает (убывает)?

Образец

Сам

Формулы n-го члена нет — смотрим на добавку

Образец

Сам

Три ошибки в выводах о монотонности

Проверили 4 члена

Отношение при an​<0

Перенесли с функции

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Исследуйте an​=n+12n+7​

2. При каких p возрастает an​=n2+pn?

Возрастает, убывает или не монотонна?

Наибольший член, параметр, рекуррентная формула

Монотонность подсказывает, где искать ответ

В пруду 2000 рыб. За год их число растёт на 10%, затем вылавливают m рыб

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-082 · Практикум: Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность

Практикум:
монотонные
последовательности

Монотонность — сравнение соседних членов при всех $n$

$f$ монотонна на $[1; + \infty)$ ⇒ $a_{n} = f (n)$ тоже

При каких $p$ последовательность возрастает (убывает)?

Формулы $n$ -го члена нет — смотрим на добавку

Отношение при $a_{n} < 0$

1. Исследуйте $a_{n} = \frac{2 n + 7}{n + 1}$

2. При каких $p$ возрастает $a_{n} = n^{2} + p n$ ?

В пруду $2000$ рыб. За год их число растёт на $10 %$ , затем вылавливают $m$ рыб