Последовательности · урок 15 из 25 · практикум

Практикум:
конечные и бесконечные
последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-080

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 15/25, единица R04.2 «Конечные и бесконечные последовательности». Тип урока — П (практикум). Новый материал по теме был на ALG9U-067; прошлый урок ALG9U-079 — практикум по понятию последовательности; следующий ALG9U-081 — практикум по ограниченной последовательности.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: конечная и бесконечная) 3 · 5 (схема: пять вопросов) 2 · 9 (конечна ли по условию) 2 · 11 (периодические) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 2,5 + 2,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.
Прогрессии к этому уроку уже пройдены (ALG9U-071–074): формулу числа членов можно связывать с формулой n-го члена арифметической прогрессии.

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Отличать и объяснять

конечная или бесконечная — в том числе, когда последовательность задана условием (ПР-30)

Считать члены

с шагом, с двумя условиями, с неравенством в натуральных $n$ (ПР-29)

Узнавать член

является ли число членом и каков его номер — уравнение $a_{n} = b$ (ПР-25)

Работать с периодом

далёкий член и сумма первых $N$ членов периодической последовательности (ПР-26)

1 мин · теория
ПР-30 (ФРП дословно): «Распознавать и приводить примеры конечных и бесконечных последовательностей, ограниченных последовательностей, монотонно возрастающих (убывающих) последовательностей» — сегодня первая часть.
ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни». ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным» (периодические задаём рекуррентно).
Вид деятельности ФРП по строке: «Осваивать и применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности» — просить учеников проговаривать ответ полной фразой («последовательность конечна, в ней 4 члена»).

разминка · R04.1

Разминка · устно

Номера, члены, количество

a_{n} = 3 n - 2

a_{10} = ?

28

a_{n} = n^{2} - 5 n

номер члена

14

7

7, 14, \dots, 98

сколько членов?

14

a_{n} = \frac{12}{n}

сколько целых членов?

6

a_{n} = (- 1)^{n}

a_{101} = ?

- 1

1, 2, 3, 1, 2, 3, \dots

a_{20} = ?

2

делители

30

сколько членов?

8

n^{2} < 20, n \in N

сколько таких

n

?

4

R04.2

Сводка · конечные и бесконечные

Конечность — это число членов, а не число разных значений

Конечная

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ — есть последний член, членов ровно $N$

Бесконечная

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ — за каждым членом следует ещё один

Формула

a_{n}

без условия

n \leq N

задаёт бесконечную последовательность

3 мин · теория
Последовательность — функция натурального аргумента. Конечная задана на {1, 2, …, N}, бесконечная — на всём ℕ. Сверху: делители 12 по возрастанию — 1, 2, 3, 4, 6, 12, шесть точек (n; aₙ), последний член a₆ = 12. Масштаб: 60 px на 1 по n, 12 px на 1 по aₙ.
Снизу: aₙ — остаток от деления n − 1 на 3, плюс 1: значений всего три, но членов бесконечно много — последовательность бесконечная (масштаб 50 px по n, 28 px по aₙ).
Точки не соединяем: номера только натуральные.
Вопрос классу: «чётные двузначные числа» — конечная? (Да, 45 членов.) «Чётные числа, большие 10» — ? (Бесконечная.)

R04.2

Схема · пять вопросов к последовательности

Каждый вопрос сводится к вычислению или к решению в натуральных $n$

Вопрос	Что делаем	Пример
От $p$ до $q$ с шагом $d$ — сколько членов?	$N = \frac{q - p}{d} + 1$	$5, 9, \dots, 201$ : $50$
Сколько членов с условием?	неравенство, $n \in N$	$a_{n} = 50 - 3 n > 0$ : $16$
Является ли $b$ членом?	уравнение $a_{n} = b$ , $n \in N$	$a_{n} = 4 n + 1$ , $63$ ? нет
Конечна ли, если задана условием?	ограничено ли $n$ сверху	$\frac{n + 7}{n + 1} \in Z$ : $n = 1; 2; 5$
Далёкий член периодической	остаток от деления на период $T$	$1, 0, - 1, 0, \dots$ ; $a_{50}$ : $0$

R04.2

Образец → сам · число членов

Сколько чисел удовлетворяет двум условиям?

Образец

Сколько трёхзначных чисел делятся на $6$ , но не делятся на $4$ ?

$102, \dots, 996$ : $\frac{996 - 102}{6} + 1 = 150$ кратные 6

$108, \dots, 996$ : $\frac{996 - 108}{12} + 1 = 75$ кратные 6 и 4 — это кратные 12

$150 - 75 = 75$ убираем лишние

Сам

база $13, 20, 27, \dots, 300$ — сколько членов? $42$
базаДвузначные числа с остатком $3$ при делении на $7$ $13$
повыш.Трёхзначные числа, кратные $5$ , но не кратные $15$ $120$

R04.2

Образец → сам · члены с условием

Решаем неравенство — оставляем натуральные $n$

Образец

Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 13 n + 30$ ?

$n^{2} - 13 n + 30 < 0$ условие

корни $3$ и $10$ $D = 49$

$3 < n < 10$ между корнями

$n = 4, \dots, 9$ : $6$ членов натуральные

Сам

базаСколько членов $a_{n} = 100 - 7 n$ положительны? $14$
базаСколько членов $a_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$ больше $2, 1$ ? $28$
повыш.Сколько членов $a_{n} = n^{2} - 20 n$ лежат в $[- 75; 0)$ ? $10$

R04.2

Образец → сам · является ли число членом

$b$ — член, если $a_{n} = b$ при натуральном $n$

Образец

$a_{n} = n^{2} + 3 n$ . Являются ли членами $108$ и $100$ ?

$n^{2} + 3 n - 108 = 0$ , $n = 9$ $D = 441$ ; $n = - 12$ — не номер

$108 = a_{9}$ — член ответ

$a_{8} = 88 < 100 < 108 = a_{9}$ члены растут

$100$ — не член между соседними

Сам

база $a_{n} = 5 n - 3$ . Член ли $147$ ? да, $a_{30}$
база $a_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$ . Член ли $2, 9$ ? да, $a_{48}$
повыш.Та же последовательность. Член ли $3$ ? нет: $3 n + 1 \neq = 3 n + 6$

R04.2

Сводка · последовательность, заданная условием

Натуральные $n$ по возрастанию: конечно ли их множество?

$\frac{n + 14}{n + 2}$ — целое число

$\frac{n + 14}{n + 2} = 1 + \frac{12}{n + 2}$ выделили целую часть

$n + 2 \in {3; 4; 6; 12}$ делитель 12, не меньше 3

$1, 2, 4, 10$ — конечная 4 члена

Конечная

условие ограничивает $n$ сверху: делитель числа, $n < C$ , неравенство с конечным промежутком

Бесконечная

$\frac{n ^{2} + 1}{2} \in Z$ — все нечётные $n$ : $1, 3, 5, \dots$

2 мин · теория
Демонстрация учителя. n + 14 = (n + 2) + 12, поэтому дробь целая ⇔ 12 делится на n + 2. При n ∈ ℕ имеем n + 2 ≥ 3, делители 12 от 3: 3, 4, 6, 12 → n = 1, 2, 4, 10. Проверка: 15/3 = 5, 16/4 = 4, 18/6 = 3, 24/12 = 2 ✓.
Вывод: условие «делитель фиксированного числа» оставляет конечное множество n — последовательность конечная.
Справа: n² + 1 чётно ⇔ n нечётно — таких n бесконечно много. Вопрос классу: конечна ли последовательность натуральных n с условием n² − 10n < 0? (Да: n = 1, …, 9.)

R04.2

Образец → сам · конечная или бесконечная

Выпишите натуральные $n$ с условием — сколько их?

Образец

$\frac{2 n + 9}{n - 1}$ — натуральное число

$\frac{2 n + 9}{n - 1} = 2 + \frac{11}{n - 1}$ целая часть

$n - 1 \in {1; 11}$ $n \neq = 1$ , делитель 11

$n = 2; 12$ — конечная значения $13$ и $3$

Сам

база $n^{2} - 8 n + 12 < 0$ конечная: $3; 4; 5$
база $\frac{n ^{2} + n}{2}$ — чётное число бесконечная: $3, 4, 7, 8, \dots$
повыш. $\frac{n ^{2} + 3 n + 6}{n + 1}$ — целое число конечная: $1; 3$

R04.2 · R04.5

Сводка · периодические последовательности

Бесконечная, но значения повторяются с периодом $T$

a_{n + T} = a_{n}

для всех

n

n = k T + r, 1 \leq r \leq T \Rightarrow a_{n} = a_{r}

Сумма первых

N

членов:

k

полных периодов + первые

r

членов

Делится нацело? Тогда

r = T

, а не

0

2 мин · теория
Пример на рисунке: последняя цифра степеней тройки: 3, 9, 27, 81, 243, … → 3, 9, 7, 1, 3, 9, … — период T = 4.
Номер n делим на T с остатком; удобно брать остаток r от 1 до T: если n делится на T, то r = T (a₂₀ при периоде 4 — это a₄, а не «a₀»).
Сумма: S_N = k·(a₁ + … + a_T) + (a₁ + … + a_r). Периодическую последовательность часто задают рекуррентно — период находят, выписывая члены до первого повтора пары (или одного члена, если следующий зависит только от предыдущего).

R04.2 · R04.5

Образец → сам · далёкий член периодической

Найдите период — и любой член за минуту

Образец

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a _{n}}$ . Найдите $a_{100}$ и $S_{30}$ .

$a_{2} = - 1, a_{3} = \frac{1}{2}, a_{4} = 2$ повтор: $T = 3$

$100 = 3 \cdot 33 + 1$ , $a_{100} = a_{1} = 2$ остаток

$S_{30} = 10 \cdot (2 - 1 + \frac{1}{2}) = 15$ 10 периодов

Сам

базаПоследняя цифра $3^{2026}$ $9$
база $1, 0, - 1, 0, 1, 0, \dots$ : найдите $S_{50}$ $1$
повыш. $a_{1} = 3, a_{2} = 5, a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}$ : $a_{2025}$ $2$

R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли « $+ 1$ »

$15, 20, \dots, 90$ : $\frac{90 - 15}{5} = 15$

$15 + 1 = 16$ членов

разность считает шаги, а не члены

Мало значений — «конечная»

$a_{n} = (- 1)^{n}$ принимает два значения — конечная

бесконечная

членов бесконечно много, значения повторяются

Остаток $0$

$1, 2, 3, 1, 2, 3, \dots$ : $30 = 3 \cdot 10 + 0$ , $a_{30} = 0$

$a_{30} = a_{3} = 3$

делится нацело — последний член периода

R04.2

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Сколько членов $a_{n} = n^{2} - 11 n + 24$ отрицательны?

Корни $3$ и $8$ , значит, $3 < n < 8$ .

Членов: $8 - 3 = 5$ .

Ошибка: строго между $3$ и $8$ лежат $4, 5, 6, 7$

Ответ: $4$ члена

2. Натуральные $n$ , при которых $\frac{n + 10}{n + 1}$ — целое

$1 + \frac{9}{n + 1}$ , $n + 1 \in {1; 3; 9}$

$n = 0; 2; 8$ — три члена.

Ошибка: $n = 0$ не натуральное ( $n + 1 \geq 2$ )

Ответ: $n = 2; 8$ — два члена

R04.2

Задания с самопроверкой · база

Сколько членов? Член ли? Конечная ли?

Сколько членов: $2, 9, 16, \dots, 709$ ? $102$
Сколько двузначных чисел кратны $13$ ? $7$
$a_{n} = 4 n - 3$ . Член ли $77$ ? да, $a_{20}$

Сколько положительных членов у $a_{n} = 60 - 8 n$ ? $7$
$1, 3, 5, 1, 3, 5, \dots$ : $a_{100} = ?$ $1$
Натуральные $n$ , у которых $n^{2} < 50$ : конечная? да, $7$ членов

R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Неравенства, делимость, период

повыш.Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 15 n + 50$ ? $4$
повыш.Натуральные $n$ , при которых $\frac{3 n + 17}{n + 2}$ — целое $n = 9$
повыш. $a_{n} = \frac{5 n - 2}{n + 1}$ . Член ли $4, 8$ ? да, $a_{34}$
повыш. $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ : $a_{100} = ?$ $1$
повыш.Сколько трёхзначных чисел не делятся ни на $2$ , ни на $5$ ? $360$

R04.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Курс лекарства — конечная последовательность

Врач назначил: в первый день $10$ капель, в каждый следующий — на $5$ капель больше, пока доза не станет $60$ капель; затем ещё $3$ дня по $60$ капель.

Сколько дней длится курс? $14$
Сколько капель за весь курс? $565$
повыш.Во флаконе $250$ капель. Сколько флаконов купить? $3$

10, 15, \dots, 60

— сколько членов?

Сумма:

\frac{a _{1} + a _{N}}{2} \cdot N

Флаконы — округляем вверх

R04.2 · применение

Задача из жизни

Светофор: зелёный $40$ с, жёлтый $4$ с, красный $32$ с — и снова

практикаКакой сигнал через $1000$ с после включения зелёного? зелёный
практикаСколько раз за первый час загорится красный? $47$
повыш.Сколько секунд из первых $10$ минут горит зелёный? $320$

R04.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаСколько членов: $4, 11, 18, \dots, 361$ ? $52$
базаСколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 12 n + 27$ ? $5$
база $a_{n} = 3 n + 4$ . Член ли $100$ ? да, $a_{32}$
повыш. $1, 4, 2, 1, 4, 2, \dots$ : найдите $S_{50}$ $117$

Вариант 2

базаСколько членов: $5, 13, 21, \dots, 405$ ? $51$
базаСколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 14 n + 33$ ? $7$
база $a_{n} = 6 n - 5$ . Член ли $100$ ? нет
повыш. $3, 0, 2, 3, 0, 2, \dots$ : найдите $S_{40}$ $68$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в формуле числа членов стоит « $+ 1$ »?
Как понять, конечна ли последовательность, заданная условием?
Чему равен $a_{n}$ периодической, если $n$ делится на $T$ ?

Домашнее задание

Сколько трёхзначных чисел при делении на $9$ дают остаток $4$ ?
Натуральные $n$ , при которых $\frac{n ^{2} + 7}{n + 1}$ — целое
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{a _{n} + 1}{a _{n} - 1}$ : найдите $S_{99}$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-080 · Практикум: Конечные и бесконечные последовательности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 15/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.2 «Конечные и бесконечные последовательности» → 2, 4–20 · опора R04.1 → 3 · R04.5 (рекуррентный способ) → 11, 12 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6–8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-30 (конечные и бесконечные последовательности) → 2, 4, 9, 10, 13, 15 · ПР-29 (задачи с последовательностями, из жизни) → 5–7, 14–19 · ПР-25 (понятие последовательности) → 8, 15, 16 · ПР-26 (рекуррентный способ) → 11, 12, 16 · ПР-28 (точки на плоскости) → 4 · кодификатора у курса нет
Вне урока	ограниченность — ALG9U-081; монотонность — ALG9U-082; способы задания — ALG9U-083
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:конечные и бесконечныепоследовательности

Сегодня вы научитесь

Отличать и объяснять

Считать члены

Узнавать член

Работать с периодом

Номера, члены, количество

Конечность — это число членов, а не число разных значений

Конечная

Бесконечная

Каждый вопрос сводится к вычислению или к решению в натуральных n

Сколько чисел удовлетворяет двум условиям?

Образец

Сам

Решаем неравенство — оставляем натуральные n

Образец

Сам

b — член, если an​=b при натуральном n

Образец

Сам

Натуральные n по возрастанию: конечно ли их множество?

n+2n+14​ — целое число

Конечная

Бесконечная

Выпишите натуральные n с условием — сколько их?

Образец

Сам

Бесконечная, но значения повторяются с периодом T

Найдите период — и любой член за минуту

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли «+1»

Мало значений — «конечная»

Остаток 0

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Сколько членов an​=n2−11n+24 отрицательны?

2. Натуральные n, при которых n+1n+10​ — целое

Сколько членов? Член ли? Конечная ли?

Неравенства, делимость, период

Курс лекарства — конечная последовательность

Светофор: зелёный 40 с, жёлтый 4 с, красный 32 с — и снова

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-080 · Практикум: Конечные и бесконечные последовательности

Практикум:
конечные и бесконечные
последовательности

Каждый вопрос сводится к вычислению или к решению в натуральных $n$

Решаем неравенство — оставляем натуральные $n$

$b$ — член, если $a_{n} = b$ при натуральном $n$

Натуральные $n$ по возрастанию: конечно ли их множество?

$\frac{n + 14}{n + 2}$ — целое число

Выпишите натуральные $n$ с условием — сколько их?

Бесконечная, но значения повторяются с периодом $T$

Забыли « $+ 1$ »

Остаток $0$

1. Сколько членов $a_{n} = n^{2} - 11 n + 24$ отрицательны?

2. Натуральные $n$ , при которых $\frac{n + 10}{n + 1}$ — целое

Светофор: зелёный $40$ с, жёлтый $4$ с, красный $32$ с — и снова