Последовательности и прогрессии · урок 14 из 25 · практикум

Практикум:
понятие числовой
последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-079

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 14/25, единица R04.1 «Понятие числовой последовательности». Тип урока — П (практикум). Первый урок строки ALG9U-066 вводил понятие; сегодня — обобщение после всех новых тем строки (способы задания, индукция). Прошлый урок ALG9U-078 — простейшие примеры индукции; следующий ALG9U-080 — практикум «Конечные и бесконечные последовательности».
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: понятие, обозначения, график) 3 · 7 (способы задания) 2 · 10 (схема исследования) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 12) 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Работать с индексами

$a_{n + 1}$ , $a_{2 n}$ , $a_{n + 1} - a_{n}$ — подставлять вместо номера выражение (ПР-25)

Вычислять и узнавать члены

по формуле $n$ -го члена и рекуррентно; число — член или нет (ПР-26)

Находить закономерность

по первым членам записать формулу $a_{n}$ и проверить её (ПР-26)

Исследовать последовательность

знаки, наибольший член, целые члены — ответ только при натуральных $n$ (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни».
Вид деятельности ФРП по строке: «Осваивать и применять индексные обозначения… Анализировать формулу n-го члена последовательности или рекуррентную формулу и вычислять члены последовательностей… Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько ее членов».

разминка · R04.1 · R04.12

Разминка · устно

Номер и член

a_{n} = 3 n - 1

a_{5} = ?

14

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n^{2}

a_{3} = ?

- 9

1, 4, 7, 10, \dots

следующий член

13

a_{n} = n^{2}

a_{n + 1} - a_{n} = ?

2 n + 1

5, 10, 15, \dots

номер числа

50

10

a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n}

a_{3} = ?

12

a_{n} = 4 n

сколько членов меньше

20

?

4

1 + 3 + \dots + (2 n - 1)

при

n = 6

36

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 15 − 1 = 14. 2) (−1)³ · 9 = −9. 3) шаг +3 → 13. 4) (n + 1)² − n² = 2n + 1 (подставляем n + 1 вместо n!). 5) a_n = 5n = 50 → n = 10.
6) a_2 = 6, a_3 = 12. 7) 4n < 20 ⇔ n < 5: n = 1, 2, 3, 4 — четыре члена (4, 8, 12, 16). 8) По формуле, доказанной индукцией на прошлых уроках: сумма = n² = 36 (проверка: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36).
Карточки 1, 2, 4 — к индексам (сл. 5); 5 — «член ли это» (сл. 6); 6 — рекуррентная формула (сл. 8); 7 — счёт членов по неравенству (сл. 10, 15).

R04.1

Сводка · понятие и обозначения

Каждому номеру $n \in N$ — своё число $a_{n}$

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}, a_{n + 1}, \dots

$a_{n}$ — $n$ -й член; $a_{n + 1}$ — следующий; $a_{n - 1}$ — предыдущий ( $n \geq 2$ )

a_{n + 1}

— член с номером

n + 1

, а не

a_{n} + 1

График — отдельные точки

(n; a_{n})

, их не соединяют

R04.1

Образец → сам · индексы

Подставьте вместо номера выражение

Образец

$a_{n} = n^{2} - 3 n$ : найдите $a_{2 n}$ и $a_{n + 1} - a_{n}$

$a_{2 n} = (2 n)^{2} - 3 \cdot 2 n = 4 n^{2} - 6 n$ $n \to 2 n$

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 3 (n + 1)$ $n \to n + 1$

$a_{n + 1} = n^{2} - n - 2$ раскрыли скобки

$a_{n + 1} - a_{n} = 2 n - 2$ проверка: $a_{4} - a_{3} = 4$

Сам

база $b_{n} = 5 n + 2$ : $b_{n + 1} - b_{n}$ $5$
база $c_{n} = 2^{n}$ : $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$ и $c_{2 n}$ $2; 4^{n}$
повыш. $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ : $a_{n + 1} - a_{n}$ $\frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$

R04.1

Образец → сам · обратная задача

Является ли число членом последовательности?

Образец

$a_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$ : числа $2, 8$ и $3$ ?

$3 n + 1 = 2, 8 n + 5, 6, n = 23$ да, $a_{23}$

$3 n + 1 = 3 n + 6$ решений нет — не член

$a_{23} = \frac{70}{25} = 2, 8$ проверка

Сам

база $b_{n} = n^{2} - 4 n$ : число $45$ ? да, $b_{9}$
база $c_{n} = 7 - 3 n$ : числа $- 50$ и $- 40$ ? $- 50 = c_{19}$ ; $- 40$ — нет
повыш. $d_{n} = (n + 1) (n + 2)$ : числа $132$ и $100$ ? $132 = d_{10}$ ; $100$ — нет

R04.1 · опора R04.5

Сводка · способы задания

Одна последовательность $2, 5, 8, 11, \dots$ — четыре записи

Способ	Запись	Что удобно
формула $n$ -го члена	$a_{n} = 3 n - 1$	любой член сразу: $a_{100} = 299$
рекуррентный	$a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 3$	член через предыдущий, шаг за шагом
описательный	«натуральные числа, дающие остаток $2$ при делении на $3$ »	смысл; формулу находим сами
табличный	$n$ : $1, 2, 3, 4$ → $a_{n}$ : $2, 5, 8, 11$	только выписанные члены

R04.1 · R04.5

Образец → сам · рекуррентная формула

Вычисляйте члены по цепочке

Образец

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ . Найдите $a_{4}$ .

$a_{2} = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ $n = 1$

$a_{3} = 3 \cdot 5 - 1 = 14$ $n = 2$

$a_{4} = 3 \cdot 14 - 1 = 41$ $n = 3$

Сам

база $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ . Найдите $a_{5}$ . $21$
база $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ . Найдите $a_{6}$ . $13$
повыш. $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ . Выпишите $4$ члена, угадайте формулу $a_{n}$ . $1, 4, 9, 16$ ; $a_{n} = n^{2}$

R04.1

Образец → сам · закономерность

По первым членам запишите формулу $a_{n}$

Образец

$3, 8, 15, 24, 35, \dots$

$a_{n} + 1$ : $4, 9, 16, 25, 36$ квадраты

$a_{n} + 1 = (n + 1)^{2}$ $n = 1 \to 2^{2}$

$a_{n} = n (n + 2)$ проверка: $a_{5} = 35$

Сам

база $2, - 4, 8, - 16, \dots$ $(- 1)^{n + 1} \cdot 2^{n}$
база $\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \frac{4}{9}, \dots$ $\frac{n}{2 n + 1}$
повыш. $1, 0, 1, 0, \dots$ $\frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{2}$

2 мин · практика
Приём: выписать под членами номера n = 1, 2, 3, … и сравнить; формулу проверить на всех выписанных членах.
1) модули 2ⁿ, знак «+» при нечётном n → (−1)^{n+1}. 2) числители n, знаменатели 2n + 1. 3) n = 1: (1 + 1)/2 = 1; n = 2: (1 − 1)/2 = 0 ✓. Другие верные записи (например, через остаток от деления n на 2) тоже засчитываем, если формула проверена.
Замечание: по нескольким членам формула однозначно не определяется; берём простейшую, подходящую ко всем выписанным.

R04.1 · ПР-29

Схема · исследование последовательности

Как у функции — но ответ только при натуральных $n$

Вопрос	Как решаем	Пример
$A$ — член?	уравнение $a_{n} = A$ , есть ли корень $n \in N$	$5 n - 2 = 100$ : $n = 20, 4$ — нет
Сколько членов $> 0$ ?	неравенство, считаем натуральные решения	$30 - 4 n > 0$ : $n \leq 7$ — $7$ членов
Наибольший / наименьший	вершина параболы $n_{0}$ , сравнить ближайшие натуральные	$n_{0} = 3, 5$ : сравнить $a_{3}$ и $a_{4}$
Целые члены	выделить целую часть дроби	$\frac{2 n + 5}{n + 1} = 2 + \frac{3}{n + 1}$

R04.1 · ПР-29

Образец → сам · наибольший и наименьший член

Найдите наименьший (наибольший) член

Образец

$a_{n} = 2 n^{2} - 13 n + 20$ : наименьший член

$n_{0} = \frac{13}{4} = 3, 25$ вершина, $n_{0} \in / N$

$a_{3} = - 1, a_{4} = 0$ ближайшие номера

наименьший: $a_{3} = - 1$ ответ

Сам

база $c_{n} = n^{2} - 10 n + 7$ : наименьший $c_{5} = - 18$
база $b_{n} = - n^{2} + 11 n - 10$ : наибольший $b_{5} = b_{6} = 20$
повыш. $d_{n} = n + \frac{48}{n}$ : наименьший $d_{7} = \frac{97}{7}$

R04.1 · ПР-29

Образец → сам · целые члены

Найдите все целые члены последовательности

Образец

$a_{n} = \frac{3 n + 7}{n + 1}$

$a_{n} = 3 + \frac{4}{n + 1}$ целая часть

$n + 1 \in {2; 4}$ делители $4$ , причём $n + 1 \geq 2$

$a_{1} = 5, a_{3} = 4$ ответ

Сам

база $b_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 1}$ $b_{6} = 3$
повыш. $c_{n} = \frac{n ^{2} + 5}{n + 1}$ $c_{1} = c_{2} = 3, c_{5} = 5$

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

$a_{n + 1}$ — не $a_{n} + 1$

$a_{n} = n^{2}$ : $a_{n + 1} = n^{2} + 1$

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2}$

$= n^{2} + 2 n + 1$ : номер заменяют целиком

Номер не натуральный

$a_{n} = n^{2} - 7 n$ : наименьший при $n = 3, 5$

$a_{3} = a_{4} = - 12$

номера $3, 5$ нет — сравнить соседей

Формула не проверена

$2, 4, 8, 16, \dots$ : $a_{n} = 2 n$

$a_{n} = 2^{n}$

$2 n$ при $n = 3$ даёт $6$ , а не $8$

R04.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 9 n + 14$ ?

$(n - 2) (n - 7) < 0$ , $2 < n < 7$

$n = 2, 3, 4, 5, 6$ — ответ: $5$

Ошибка: $n = 2$ не входит, $a_{2} = 0$

$n = 3, 4, 5, 6$ — ответ: $4$

Задача 2. $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} - 2 n$ . Найдите $a_{4}$ .

$a_{2} = 3 - 2 = 1, a_{3} = 1 - 4 = - 3$

$a_{4} = - 3 - 8 = - 11$

Ошибка: $a_{4} = a_{3} - 2 \cdot 3$ (здесь $n = 3$ )

$a_{4} = - 3 - 6 = - 9$

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите и найдите

$a_{n} = 2 n^{2} - 5$ : $a_{4}$ $27$
$a_{n} = \frac{n + 3}{n}$ : $a_{6}$ $1, 5$
$b_{n} = 4 n - 9$ : число $83$ — член? да, $b_{23}$

$c_{n} = 50 - 3 n$ : сколько положительных членов? $16$
$a_{1} = 5, a_{n + 1} = a_{n} - 4$ : $a_{4}$ $- 7$
$1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$ : $a_{n}$ $\frac{1}{n ^{2}}$

R04.1 · ПР-29

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Знаки, наибольший член, целые члены, период

повыш. $a_{n} = n^{2} - 4 n - 21$ : сколько отрицательных членов? $6$
повыш. $b_{n} = - 2 n^{2} + 15 n$ : наибольший член $b_{4} = 28$
повыш. $a_{n} = \frac{5 n - 1}{n + 1}$ : все целые члены $2; 3; 4$
повыш. $a_{n} = n^{2} + 3 n$ : $a_{n + 1} - a_{n}$ $2 n + 4$
повыш. $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a _{n}}$ : $a_{100}$ $2$

R04.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Последовательность задана формулой или условиями

$c_{n} = n + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ . Какое из чисел — член последовательности?
1) $2$ 2) $\frac{21}{5}$ 3) $4$ 4) $\frac{17}{4}$ 4
$a_{1} = - 3, a_{n + 1} = a_{n} + 4$ . Найдите $a_{10}$ . $33$
В первом ряду амфитеатра $18$ мест, в каждом следующем на $3$ больше. Сколько мест в $10$ -м ряду? $45$

1: выпишите

c_{1}, \dots, c_{5}

2, 3:

9

шагов от первого члена

В бланк — число, без единиц

R04.1 · ПР-29

Задача из жизни

Квадраты из спичек: на ряд из $n$ квадратов нужно $3 n + 1$ спичек

практикаСколько спичек на ряд из $10$ квадратов? $31$
практикаСколько квадратов в ряду можно сложить из $100$ спичек? $33$
повыш.Квадрат $n \times n$ из клеток: нужно $2 n (n + 1)$ спичек. Сколько для $5 \times 5$ ? $60$

R04.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $a_{n} = 3 n^{2} - 2$ . Найдите $a_{5}$ . $73$
база $b_{n} = 6 n - 5$ . Является ли $91$ членом? да, $b_{16}$
база $a_{1} = 4, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ . Найдите $a_{4}$ . $11$
повыш. $c_{n} = n^{2} - 11 n + 24$ . Наименьший член. $- 6$

Вариант 2

база $a_{n} = 2 n^{2} + 3$ . Найдите $a_{4}$ . $35$
база $b_{n} = 7 n - 4$ . Является ли $75$ членом? нет
база $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4$ . Найдите $a_{4}$ . $29$
повыш. $c_{n} = - n^{2} + 9 n + 2$ . Наибольший член. $22$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем $a_{n + 1}$ отличается от $a_{n} + 1$ ?
Как узнать, что число — член последовательности?
Что делать, если вершина — не натуральное число?

Домашнее задание

Целые члены $a_{n} = \frac{4 n + 11}{n + 2}$
$a_{n} = n^{2} - 13 n + 30$ : число отрицательных членов и наименьший член
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 3$ : формула $a_{n}$ с доказательством
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-079 · Практикум: Понятие числовой последовательности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 14/25 · тип П
Единицы → слайды	R04.1 «Понятие числовой последовательности» → 2–20 · опора R04.5 (способы задания) → 7, 8 · R04.12 (индукция) → 3, 8, 20 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-25 (понятие последовательности) → 2–6, 13 · ПР-26 (способы задания) → 7–9, 15 · ПР-28 (точки на плоскости) → 4 · ПР-29 (задачи с последовательностями) → 10–12, 14–19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	конечные и бесконечные последовательности — ALG9U-080; ограниченность и монотонность — практикумы ALG9U-081, 082
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:понятие числовойпоследовательности

Сегодня вы научитесь

Работать с индексами

Вычислять и узнавать члены

Находить закономерность

Исследовать последовательность

Номер и член

Каждому номеру n∈N — своё число an​

Подставьте вместо номера выражение

Образец

Сам

Является ли число членом последовательности?

Образец

Сам

Одна последовательность 2, 5, 8, 11, … — четыре записи

Вычисляйте члены по цепочке

Образец

Сам

По первым членам запишите формулу an​

Образец

Сам

Как у функции — но ответ только при натуральных n

Найдите наименьший (наибольший) член

Образец

Сам

Найдите все целые члены последовательности

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

an+1​ — не an​+1

Номер не натуральный

Формула не проверена

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сколько отрицательных членов у an​=n2−9n+14?

Задача 2. a1​=3, an+1​=an​−2n. Найдите a4​.

Вычислите и найдите

Знаки, наибольший член, целые члены, период

Последовательность задана формулой или условиями

Квадраты из спичек: на ряд из n квадратов нужно 3n+1 спичек

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-079 · Практикум: Понятие числовой последовательности

Практикум:
понятие числовой
последовательности

Каждому номеру $n \in N$ — своё число $a_{n}$

Одна последовательность $2, 5, 8, 11, \dots$ — четыре записи

По первым членам запишите формулу $a_{n}$

Как у функции — но ответ только при натуральных $n$

$a_{n + 1}$ — не $a_{n} + 1$

Задача 1. Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 9 n + 14$ ?

Задача 2. $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} - 2 n$ . Найдите $a_{4}$ .

Квадраты из спичек: на ряд из $n$ квадратов нужно $3 n + 1$ спичек