Последовательности и прогрессии · урок 13 из 25

Метод математической
индукции:
простейшие примеры

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-078

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 13/25, единица R04.13 «Простейшие примеры» (применения метода математической индукции). Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-077 — сам метод (схема, первые доказательства); следующий ALG9U-079 — практикум «Понятие числовой последовательности».
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (схема метода) 2,5 · 5 (четыре типа задач) 1,5 · 8 (приём для делимости) 2 · 10 (приём для неравенств) 2 · 12 (рекуррентная формула: угадай → докажи) 1,5 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 1,5 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 13) 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания «повыш.» в образцах и сл. 17 — в ДЗ сильным ученикам; теорию не сокращать.

R04.13 · R04.12

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать формулы сумм

база, предположение, шаг: $S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$ (ПР-32, ПР-27)

Доказывать делимость

выделять в $A_{k + 1}$ выражение $A_{k}$ (ПР-32)

Доказывать неравенства

база с нужного $n$ , в шаге — цепочка оценок (ПР-32)

Угадывать и доказывать

формулу $n$ -го члена рекуррентной последовательности (ПР-26)

1 мин · теория
ПР-32 (ФРП дословно): «Применять метод математической индукции при решении задач». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов».
Вид деятельности ФРП по строке: «Применять метод математической индукции». Кодификатора у курса нет — цели только из результатов.

разминка · R04.12

Разминка · устно

Суммы и переход $k \to k + 1$

1 + 3 + 5 + 7 + 9

вычислите

25

1 + 2 + \dots + 10

вычислите

55

n^{2} + n

при

n = k + 1

k^{2} + 3 k + 2

3^{k + 1} = 3 \cdot □

что в квадрате?

3^{k}

2^{k + 1} - 2^{k}

упростите

2^{k}

8^{2} - 1

делится на

7

?

да,

63

\frac{k}{k + 1}

замените

k

на

k + 1

\frac{k + 1}{k + 2}

(k + 1)^{3} - k^{3}

раскройте

3 k^{2} + 3 k + 1

R04.12 · R04.13

Сводка · метод математической индукции

Две проверки — и утверждение верно для всех $n$

1. База

$P (1)$ верно (или $P (n_{0})$ )

2. Предположение

$P (k)$ верно для некоторого $k \geq 1$

3. Шаг

из $P (k)$ выводим $P (k + 1)$

4. Вывод

$P (n)$ верно для всех $n \in N$

2,5 мин · теория
Повторение схемы прошлого урока (ALG9U-077). Аналогия с домино: первая костяшка упала (база), и каждая, падая, роняет следующую (шаг) — значит, упадут все.
Важно проговорить: в шаге k — произвольное, но фиксированное число; мы НЕ знаем, что P(k) верно, мы это предполагаем и показываем, что тогда верно и P(k + 1).
База может начинаться не с 1, а с n₀ (неравенства, сл. 10) — тогда вывод: P(n) верно для всех n ≥ n₀.
Вопрос классу: что будет, если есть только шаг, а базы нет? (Ни одна костяшка не упала — ничего не доказано; пример на сл. 14.)

R04.13

Схема · четыре типа задач

База одинакова — шаг устроен по-разному

Что доказываем	Ключ шага	Пример
формулу суммы	$S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$	$1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$
делимость	выделить $A_{k}$ в $A_{k + 1}$	$7^{n} - 1 ⋮ 6$
неравенство	цепочка оценок, база с $n_{0}$	$2^{n} > 2 n + 1, n \geq 3$
формулу $a_{n}$ рекуррентной	подставить $a_{k}$ в формулу $a_{k + 1}$	$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$

Во всех типах: база — подстановкой, вывод — «верно для всех

n \geq n_{0}

»

R04.13 · R04.9

Образец → сам · формула суммы

Докажите для всех $n \in N$

Образец

$1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

База $n = 1$ : $1 = 1^{2}$

Пусть $1 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}$

Шаг $k^{2} + (2 k + 1) = (k + 1)^{2}$ $+ a_{k + 1}$

Вывод верно при всех $n$

Сам · запишите шаг

база $2 + 4 + \dots + 2 n = n (n + 1)$ $k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$
база $1 \cdot 2 + \dots + n (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$ $(k + 1) (k + 2) (\frac{k}{3} + 1)$
повыш. $1^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ вынести $k + 1$ : $\frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6}$

2,5 мин · практика
Образец 1 мин у доски, затем 1,5 мин в тетрадях: полная запись — база, предположение, шаг, вывод.
В шаге образца: к сумме первых k слагаемых добавляется (k + 1)-е, равное 2(k + 1) − 1 = 2k + 1; k² + 2k + 1 = (k + 1)².
1) База: 2 = 1 · 2. Шаг: (k + 1)-е слагаемое 2(k + 1); вынести (k + 1): (k + 1)(k + 2).
2) База: 2 = 1 · 2 · 3/3. Шаг: вынести (k + 1)(k + 2): (k + 1)(k + 2)(k/3 + 1) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3.
3) База: 1 = 1 · 2 · 3/6. Шаг: k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)(2k² + k + 6k + 6)/6, и 2k² + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3). Все тождества проверены в sympy.
Частая ошибка: добавляют слагаемое a_k вместо a_(k+1) (см. сл. 15).

R04.13

Образец → сам · угадай формулу

Найдите сумму: посчитайте $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ , угадайте, докажите

Образец

$S_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}$

$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ ⇒ $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$ гипотеза

$\frac{k}{k + 1} + \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{( k + 1 ) ^{2}}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$ шаг

$= \frac{k + 1}{k + 2}$ это $S_{k + 1}$

Сам · найдите $S_{n}$

база $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n - 1}$ $2^{n} - 1$
база $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ $\frac{n}{2 n + 1}$
повыш. $(1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) \dots (1 - \frac{1}{n ^{2}}), n \geq 2$ $\frac{n + 1}{2 n}$

R04.13

Приём · делимость

В $A_{k + 1}$ выделите $A_{k}$ — остальное должно делиться

Учитель: $7^{n} - 1 ⋮ 6$

База $7 - 1 = 6$

Пусть $7^{k} - 1 ⋮ 6$

$7^{k + 1} - 1 = 7 (7^{k} - 1) + 6$

оба слагаемых $⋮ 6$ ⇒ $7^{k + 1} - 1 ⋮ 6$

Степени:

c^{k + 1} = c \cdot c^{k}

, затем «добавить и вычесть»

Многочлены: $n^{3} - n ⋮ 3$

$(k + 1)^{3} - (k + 1) =$

$= (k^{3} - k) + 3 (k^{2} + k)$

2 мин · теория
Демонстрация учителя. Откуда 7(7^k − 1) + 6: 7^(k+1) − 1 = 7 · 7^k − 7 + 7 − 1 = 7(7^k − 1) + 6 — «вычли и добавили 7».
Используем свойство: если каждое слагаемое делится на 6, то и сумма делится на 6.
Для многочленов: раскрыть P(k + 1) и сгруппировать так, чтобы появилось выражение из предположения: (k + 1)³ − (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 − k − 1 = (k³ − k) + 3k² + 3k.
Замечание: n³ − n = (n − 1)n(n + 1) — произведение трёх последовательных чисел; индукция — не единственный путь, но универсальный.

R04.13

Образец → сам · делимость

Докажите для всех $n \in N$

Образец

$n^{3} + 2 n ⋮ 3$

База $1 + 2 = 3$

Пусть $k^{3} + 2 k ⋮ 3$

$(k + 1)^{3} + 2 (k + 1) =$

$= (k^{3} + 2 k) + 3 (k^{2} + k + 1)$ оба $⋮ 3$

Сам · выделите $A_{k}$

база $6^{n} - 1 ⋮ 5$ $6 (6^{k} - 1) + 5$
база $1 1^{n} - 6^{n} ⋮ 5$ $11 (1 1^{k} - 6^{k}) + 5 \cdot 6^{k}$
повыш. $4^{n} + 15 n - 1 ⋮ 9$ $4 (4^{k} + 15 k - 1) - 9 (5 k - 2)$

R04.13

Приём · неравенства

База — с первого подходящего $n$ , шаг — цепочкой оценок

Учитель: $2^{n} > 2 n + 1$ при $n \geq 3$

База $n = 3$ : $8 > 7$

Пусть $2^{k} > 2 k + 1, k \geq 3$

$2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} > 4 k + 2$ по предположению

$4 k + 2 > 2 k + 3$ так как $2 k > 1$

$n$	$2^{n}$	$2 n + 1$
$1$	$2$	$3$
$2$	$4$	$5$
$3$	$8$	$7$
$4$	$16$	$9$
$5$	$32$	$11$

R04.13

Образец → сам · неравенство

Докажите неравенство

Образец (Бернулли)

$(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ при $x > - 1$

База $n = 1$ : $1 + x \geq 1 + x$

$(1 + x)^{k + 1} \geq (1 + k x) (1 + x)$ $\cdot (1 + x) > 0$

$= 1 + (k + 1) x + k x^{2}$

$\geq 1 + (k + 1) x$ $k x^{2} \geq 0$

Сам · база и шаг

база $3^{n} > 2 n + 1, n \geq 2$ $9 > 5$ ; $3^{k + 1} > 6 k + 3 > 2 k + 3$
база $2^{n} > n^{2}, n \geq 5$ $32 > 25$ ; $2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}$ при $k \geq 3$
повыш. $2^{n} > n^{3}, n \geq 10$ $1024 > 1000$ ; $2 k^{3} \geq (k + 1)^{3}$ при $k \geq 4$

3 мин · практика
Образец: условие x > −1 нужно, чтобы умножить неравенство на 1 + x > 0 без смены знака. Неравенство Бернулли пригодится в старших классах (оценки степеней).
1) База n = 2: 9 > 5. Шаг: 3^(k+1) = 3 · 3^k > 3(2k + 1) = 6k + 3 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1.
2) База n = 5: 32 > 25. Шаг: 2^(k+1) > 2k²; 2k² ≥ (k + 1)² ⇔ k² − 2k − 1 ≥ 0 ⇔ (k − 1)² ≥ 2 — верно при k ≥ 3, тем более при k ≥ 5. Почему не с n = 1: при n = 2, 3, 4 неравенство неверно (4 = 4, 8 < 9, 16 = 16).
3) База n = 10: 1024 > 1000 (при n = 9: 512 < 729). Шаг: 2k³ ≥ (k + 1)³ ⇔ (1 + 1/k)³ ≤ 2; при k = 4: 1,25³ ≈ 1,95 ≤ 2, дальше левая часть убывает. Проверено перебором.

R04.13 · R04.5

Приём · рекуррентная формула

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ : найдите формулу $a_{n}$

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$1$	$3$	$7$	$15$	$31$
$2^{n}$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$

Учитель: угадай → докажи

Гипотеза: $a_{n} = 2^{n} - 1$

База $a_{1} = 2 - 1 = 1$

Шаг $a_{k + 1} = 2 (2^{k} - 1) + 1$

$= 2^{k + 1} - 1$ формула при $n = k + 1$

R04.13 · R04.5

Образец → сам · рекуррентная последовательность

Угадайте формулу $a_{n}$ и докажите её

Образец

$a_{1} = 3, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$

$3, 7, 19, 55$ $= 2 \cdot 1, 2 \cdot 3, 2 \cdot 9, 2 \cdot 27$ плюс $1$

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} + 1$ база: $2 + 1 = 3$

$a_{k + 1} = 3 (2 \cdot 3^{k - 1} + 1) - 2$

$= 2 \cdot 3^{k} + 1$ формула при $n = k + 1$

Сам

база $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ $a_{n} = n^{2}$
база $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n} + 1}$ $a_{n} = \frac{1}{n + 1}$
повыш. $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + n$ $a_{n} = \frac{n ^{2} - n + 2}{2}$

R04.12 · R04.13

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, из-за которых доказательства нет

Проверили несколько $n$

$n^{2} + n + 41$ — простое при $n = 1, \dots, 39$ ⇒ «всегда»

$n = 40$ : $1681 = 4 1^{2}$

примеры — не доказательство

Нет базы

$1 + \dots + n = \frac{n ^{2} + n + 2}{2}$

шаг верен ⇒ «доказано»

$n = 1$ : $1 \neq = 2$ — неверно

шаг без базы ничего не доказывает

Шаг не при всех $k$

$2^{n} > n^{2}$ при всех $n$ : база $n = 1$ верна

$n = 3$ : $8 < 9$

$2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}$ лишь при $k \geq 3$

2 мин · теория
1) Многочлен Эйлера n² + n + 41 даёт простые числа при n = 0, 1, …, 39 (проверено программой), а при n = 40: 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41². Вывод: сколько бы примеров ни проверили, это не доказательство.
2) Шаг: (k² + k + 2)/2 + (k + 1) = (k² + 3k + 4)/2 = ((k + 1)² + (k + 1) + 2)/2 — проходит. Но база ложна: верная формула n(n + 1)/2 отличается на 1. Домино: «каждая роняет следующую», но первую никто не толкнул.
3) Шаг 2^(k+1) > 2k² ≥ (k + 1)² требует k² − 2k − 1 ≥ 0, т. е. k ≥ 3. Переход 1 → 2, 2 → 3 не обоснован; при n = 2, 4 — равенство, при n = 3 — неверно. Правильно: база n₀ = 5 (сл. 11).

R04.13

Найди ошибку

Ученик «доказал» два утверждения. Где ошибки?

1. $1 + 3 + \dots + 3^{n - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$

База: $1 = \frac{3 - 1}{2}$ ✓

Шаг: $S_{k + 1} = \frac{3 ^{k} - 1}{2} + 3^{k + 1} = \frac{3 ^{k + 1} - 1}{2}$

Ошибка: $(k + 1)$ -е слагаемое — $3^{k}$ , а не $3^{k + 1}$

$\frac{3 ^{k} - 1}{2} + 3^{k} = \frac{3 \cdot 3 ^{k} - 1}{2}$ ✓

2. $7^{n} + 2 ⋮ 6$ при всех $n$

Пусть $7^{k} + 2 ⋮ 6$ .

$7^{k + 1} + 2 = 7 (7^{k} + 2) - 12 ⋮ 6$ .

Значит, верно для всех $n$ .

Ошибка: нет базы. $n = 1$ : $9$ не делится на $6$

Утверждение ложно при всех $n$

R04.13

Задания с самопроверкой · база

Ответьте и проверьте себя

$1 + 5 + \dots + (4 n - 3) = n (2 n - 1)$ : какое слагаемое добавляем в шаге? $4 k + 1$
Запишите шаг для задания 1 $k (2 k - 1) + 4 k + 1 = (k + 1) (2 k + 1)$
$9^{n} - 1 ⋮ 8$ : выделите $A_{k}$ $9 (9^{k} - 1) + 8$

$a_{1} = 5, a_{n + 1} = a_{n} + 4$ . Формула $a_{n}$ ? $a_{n} = 4 n + 1$
С какого $n$ верно $3^{n} > 5 n + 1$ ? $n \geq 3$
$2 + 6 + 18 + \dots + 2 \cdot 3^{n - 1} = ?$ $3^{n} - 1$

R04.13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите — ключ шага по клику

повыш. $1^{3} + \dots + n^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ $\frac{( k + 1 ) ^{2}}{4} (k^{2} + 4 k + 4)$
повыш. $n^{3} + 5 n ⋮ 6$ $(k^{3} + 5 k) + 3 k (k + 1) + 6$ , $k (k + 1)$ чётно

повыш. $5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1 ⋮ 8$ $5 A_{k} - 4 (3^{k - 1} + 1)$ , $3^{k - 1} + 1$ чётно
повыш. $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} > n, n \geq 2$ $k + \frac{1}{k + 1} > k + 1$ ⇔ $k (k + 1) > k$

2 мин · практика
1) База 1 = 1. Шаг: вынести (k + 1)²/4: (k + 1)²(k² + 4k + 4)/4 = (k + 1)²(k + 2)²/4.
2) База 6. (k + 1)³ + 5(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5 = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6; k(k + 1) — произведение соседних чисел, чётно, значит 3k(k + 1) ⋮ 6.
3) База 5 + 2 + 1 = 8. Шаг: 5^(k+1) + 2 · 3^k + 1 = 5(5^k + 2 · 3^(k−1) + 1) − 10 · 3^(k−1) + 6 · 3^(k−1) − 4 = 5A_k − 4(3^(k−1) + 1); 3^(k−1) нечётно, поэтому 3^(k−1) + 1 чётно и 4(…) ⋮ 8.
4) База n = 2: 1 + 0,707 ≈ 1,707 > 1,414. Шаг: достаточно √k + 1/√(k + 1) > √(k + 1); умножим на √(k + 1): √(k(k + 1)) + 1 > k + 1 ⇔ √(k² + k) > k — верно. Все тождества проверены в sympy, делимость — перебором n ≤ 40.
Если не успеваете — 3 и 4 в ДЗ.

R04.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Формулы суммы прогрессий, доказанные индукцией, — в задачах

Камень падает в ущелье: за первую секунду $9$ м, за каждую следующую на $10$ м больше. Сколько метров он пролетит за $6$ секунд? $204$
В амфитеатре $12$ рядов: в первом $18$ мест, в каждом следующем на $3$ больше. Сколько мест всего? $414$
Каждые $20$ минут каждая бактерия делится надвое. Сначала было $3$ бактерии. Сколько их через $2$ часа? $192$

S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

R04.13 · R04.5

Задача из жизни · Ханойская башня

Переложить башню на другой стержень, большой диск нельзя класть на меньший

практикаМинимум ходов для $3$ дисков? $7$
практикаДля $6$ дисков? $63$
повыш. $64$ диска, ход в секунду. Сколько лет? $\approx 5, 8 \cdot 1 0^{11}$

h_{n + 1} = 2 h_{n} + 1, h_{1} = 1

⇒

h_{n} = 2^{n} - 1

1,5 мин · практика
Почему h_(n+1) = 2h_n + 1: чтобы снять нижний (самый большой) диск, верхние n дисков надо переложить на вспомогательный стержень (h_n ходов), затем 1 ход большим диском и снова h_n ходов. Это та же последовательность, что на сл. 12: h_n = 2^n − 1 (доказано индукцией).
1) 2³ − 1 = 7. 2) 2⁶ − 1 = 63.
3) 2⁶⁴ − 1 ≈ 1,84 · 10¹⁹ с; в году ≈ 3,16 · 10⁷ с; 1,84 · 10¹⁹ / 3,16 · 10⁷ ≈ 5,8 · 10¹¹ лет (≈ 585 млрд лет). Посчитано программой.
Можно предложить поиграть в Ханойскую башню на перемене (3–4 диска).

R04.13

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 3 задания · полная запись: база, предположение, шаг, вывод

Вариант 1

база $2 + 6 + \dots + (4 n - 2) = 2 n^{2}$ $2 k^{2} + 4 k + 2 = 2 (k + 1)^{2}$
база $5^{n} - 1 ⋮ 4$ $5 (5^{k} - 1) + 4$
повыш. $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ . Докажите: $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 1$ $3 (2 \cdot 3^{k - 1} - 1) + 2 = 2 \cdot 3^{k} - 1$

Вариант 2

база $3 + 7 + \dots + (4 n - 1) = n (2 n + 1)$ $k (2 k + 1) + 4 k + 3 = (k + 1) (2 k + 3)$
база $8^{n} - 1 ⋮ 7$ $8 (8^{k} - 1) + 7$
повыш. $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ . Докажите: $a_{n} = 2^{n + 1} - 3$ $2 (2^{k + 1} - 3) + 3 = 2^{k + 2} - 3$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ключам шага (открыть по клику). Проверять в тетради и базу, и вывод.
В-1. 1) База 2 = 2 · 1². Шаг: (k + 1)-е слагаемое 4k + 2; 2k² + 4k + 2 = 2(k + 1)². 2) База 4. 5^(k+1) − 1 = 5(5^k − 1) + 4. 3) База a₁ = 2 − 1 = 1. Члены 1, 5, 17, 53 совпадают с формулой.
В-2. 1) База 3 = 1 · 3. Шаг: (k + 1)-е слагаемое 4k + 3; 2k² + 5k + 3 = (k + 1)(2k + 3). 2) База 7. 8^(k+1) − 1 = 8(8^k − 1) + 7. 3) База a₁ = 4 − 3 = 1. Члены 1, 5, 13, 29 совпадают с формулой.
Критерий: 3 верных полных доказательства — «5», 2 — «4», 1 — «3». Без базы или вывода задание не засчитывается полностью.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких частей состоит доказательство индукцией?
Почему мало проверить несколько $n$ ?
Как устроен шаг в задаче на делимость?

Домашнее задание

$1 + 4 + \dots + (3 n - 2) = \frac{n ( 3 n - 1 )}{2}$
$1 0^{n} + 18 n - 1 ⋮ 27$
$3^{n} > n^{2}$ при всех $n \in N$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-078 · Простейшие примеры (метод математической индукции)

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 13/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.13 «Простейшие примеры» → 2, 5–21 · опора R04.12 «Метод математической индукции» → 3, 4, 14 · R04.5 (рекуррентный способ) → 12, 13, 19 · R04.9 (суммы) → 6, 18 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-32 (метод математической индукции) → 2–17, 19–21 · ПР-26 (рекуррентный способ задания) → 12, 13, 19 · ПР-27 (формулы n-го члена и суммы) → 6, 7, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	понятие последовательности и способы задания (практикум) — ALG9U-079; конечные и бесконечные последовательности — ALG9U-080
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод математическойиндукции:простейшие примеры

Сегодня вы научитесь

Доказывать формулы сумм

Доказывать делимость

Доказывать неравенства

Угадывать и доказывать

Суммы и переход k→k+1

Две проверки — и утверждение верно для всех n

1. База

2. Предположение

3. Шаг

4. Вывод

База одинакова — шаг устроен по-разному

Докажите для всех n∈N

Образец

Сам · запишите шаг

Найдите сумму: посчитайте S1​,S2​,S3​, угадайте, докажите

Образец

Сам · найдите Sn​

В Ak+1​ выделите Ak​ — остальное должно делиться

Учитель: 7n−1 ⋮ 6

Многочлены: n3−n ⋮ 3

Докажите для всех n∈N

Образец

Сам · выделите Ak​

База — с первого подходящего n, шаг — цепочкой оценок

Учитель: 2n>2n+1 при n≥3

Докажите неравенство

Образец (Бернулли)

Сам · база и шаг

a1​=1, an+1​=2an​+1: найдите формулу an​

Учитель: угадай → докажи

Угадайте формулу an​ и докажите её

Образец

Сам

Три ошибки, из-за которых доказательства нет

Проверили несколько n

Нет базы

Шаг не при всех k

Ученик «доказал» два утверждения. Где ошибки?

1. 1+3+⋯+3n−1=23n−1​

2. 7n+2 ⋮ 6 при всех n

Ответьте и проверьте себя

Докажите — ключ шага по клику

Формулы суммы прогрессий, доказанные индукцией, — в задачах

Переложить башню на другой стержень, большой диск нельзя класть на меньший

Два варианта · 3 задания · полная запись: база, предположение, шаг, вывод

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-078 · Простейшие примеры (метод математической индукции)

Метод математической
индукции:
простейшие примеры

Суммы и переход $k \to k + 1$

Две проверки — и утверждение верно для всех $n$

Докажите для всех $n \in N$

Найдите сумму: посчитайте $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ , угадайте, докажите

Сам · найдите $S_{n}$

В $A_{k + 1}$ выделите $A_{k}$ — остальное должно делиться

Учитель: $7^{n} - 1 ⋮ 6$

Многочлены: $n^{3} - n ⋮ 3$

Докажите для всех $n \in N$

Сам · выделите $A_{k}$

База — с первого подходящего $n$ , шаг — цепочкой оценок

Учитель: $2^{n} > 2 n + 1$ при $n \geq 3$

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ : найдите формулу $a_{n}$

Угадайте формулу $a_{n}$ и докажите её

Проверили несколько $n$

Шаг не при всех $k$

1. $1 + 3 + \dots + 3^{n - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$

2. $7^{n} + 2 ⋮ 6$ при всех $n$