Последовательности · урок 12 из 25

Метод математической индукции

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-077

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 12/25, единица R04.12. Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-076 — сходимость и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии; следующий ALG9U-078 — «Простейшие примеры» (R04.13).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (почему проверки мало) 1,5 · 5 (принцип индукции) 3 · 6 (учитель доказывает сумму нечётных) 2,5 · 9 (схема для делимости) 2 · 11 (база не с единицы, неравенства) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 10, 12, 13) 3 + 2 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–5 сл. 17 и задание 4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.12

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать принцип индукции

база + шаг $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ — утверждение верно для всех $n$ (ПР-32)

Доказывать формулы сумм

суммы, на которых держатся формулы прогрессий (ПР-32, ПР-27)

Доказывать делимость и неравенства

выражать $A (k + 1)$ через $A (k)$ ; база не обязательно $n = 1$ (ПР-32)

Проверять формулу $n$ -го члена

доказывать гипотезу для рекуррентной последовательности (ПР-26)

1 мин · теория
ПР-32 (ФРП дословно): «Применять метод математической индукции при решении задач». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-29 — задачи из реальной жизни (сл. 19).
Вид деятельности ФРП по строке: «Применять метод математической индукции».

разминка · R04.5–R04.9

Разминка · устно

Подставьте, сложите, выразите

1 + 3 + 5 + 7

сумма

16

1 + 2 + \dots + 10

сумма

55

1 + 2 + 4 + 8 + 16

сумма

31

a_{n} = 2 n - 1

a_{k + 1} = ?

2 k + 1

\frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1)

разложите на множители

\frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}

3^{k + 1}

через

3^{k}

3 \cdot 3^{k}

7 \cdot 7^{k} - 1

через

7^{k} - 1

7 (7^{k} - 1) + 6

k^{2} + 2 k + 1

свернуть

(k + 1)^{2}

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику. Все восемь действий понадобятся в доказательствах сегодня.
1) 16 = 4². 2) 55 (по формуле суммы арифметической прогрессии 10·11/2). 3) 31 = 2⁵ − 1. 4) подставляем k + 1 вместо n: 2(k + 1) − 1 = 2k + 1.
5) общий множитель (k + 1): (k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2. 6) 3·3^k. 7) 7·7^k − 1 = 7·7^k − 7 + 6 = 7(7^k − 1) + 6. 8) формула квадрата суммы.
Вопрос классу: заметили, что 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4², а 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 32 − 1? Это закономерности или совпадения? Как это доказать для любого числа слагаемых — тема урока.

R04.12

Новое · проверить несколько случаев — мало

$n^{2} + n + 41$ — всегда простое число?

43

n = 1

47

n = 2

53

n = 3

61

n = 4

71

n = 5

…

1601

n = 39

1681 = 4 1^{2}

n = 40

39 проверок подряд дали простые числа — а при

n = 40

утверждение ложно

«Для всех

n

» нельзя доказать перебором: натуральных чисел бесконечно много

R04.12

Новое · принцип математической индукции

Как падают костяшки домино

1. База

проверяем $P (1)$

2. Шаг

предполагаем $P (k)$ , доказываем $P (k + 1)$

3. Вывод

$P (n)$ верно при всех $n \in N$

3 мин · теория
P(n) — утверждение, зависящее от натурального n (формула, делимость, неравенство). Принцип: если (1) P(1) верно и (2) для любого натурального k из истинности P(k) следует истинность P(k + 1), то P(n) верно при всех натуральных n.
Домино: база — толкнули первую костяшку; шаг — костяшки стоят так, что любая падающая роняет следующую. Тогда упадут все. Без базы ничего не падает; без шага падает только первая.
Почему это верно: P(1) верно ⇒ (шаг при k = 1) P(2) ⇒ (k = 2) P(3) ⇒ … — до любого номера n дойдём за n − 1 шагов.
Важно для записи: в шаге k — произвольное натуральное число, а P(k) — предположение индукции, которым обязательно пользуемся. Это не «доказали для k», а «пусть верно для k».

R04.12 · R04.9

Новое · доказательство по шагам

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

База $n = 1$ : $1 = 1^{2}$ ✓

Предположение $1 + 3 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}$

Шаг $1 + \dots + (2 k - 1) + (2 k + 1)$ следующее слагаемое

$= k^{2} + (2 k + 1)$ по предположению

$= (k + 1)^{2}$ квадрат суммы

Вывод формула верна при всех $n \in N$

2,5 мин · теория (учитель доказывает сам, класс записывает образец оформления)
Оформление (переписать в тетрадь как образец): 1) База: n = 1, левая часть 1, правая 1² = 1 — верно. 2) Предположение: пусть при n = k верно 1 + 3 + … + (2k − 1) = k². 3) Шаг: докажем при n = k + 1. Последнее слагаемое при n = k + 1 равно 2(k + 1) − 1 = 2k + 1. Сумма = k² + 2k + 1 = (k + 1)² — это и есть правая часть при n = k + 1. 4) Вывод: по принципу математической индукции формула верна при всех натуральных n.
Рисунок: квадрат k×k дополняется «уголком» из 2k + 1 клеток до квадрата (k + 1)×(k + 1) — геометрический смысл шага (клик добавляет оранжевый уголок из 7 клеток: 9 + 7 = 16).
Вопрос: где в шаге мы использовали предположение? (Заменили сумму первых k слагаемых на k².)

R04.12

Образец → сам · формула суммы

Докажите формулу для всех натуральных $n$

Образец

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

База $1 = \frac{1 \cdot 2}{2}$ ✓

Пусть $1 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}$

Шаг $\frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1)$ прибавили $a_{k + 1}$

$= \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ ✓ вынесли $k + 1$

Сам · ключевой шаг

база $2 + 4 + \dots + 2 n = n (n + 1)$ $k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$
база $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ $2^{k} - 1 + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1$
повыш. $1 \cdot 2 + \dots + n (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$ $(k + 1) (k + 2) (\frac{k}{3} + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )}{3}$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски, затем ученики пишут полное доказательство (база, предположение, шаг, вывод); по клику — только ключевой шаг.
1) База: 2 = 1·2 ✓. Шаг: последнее слагаемое 2(k + 1); k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) ✓.
2) База: 1 = 2¹ − 1 ✓. Последнее слагаемое при n = k + 1: 2^k (не 2^{k+1}!). 2^k − 1 + 2^k = 2·2^k − 1 = 2^{k+1} − 1 ✓. Это формула суммы геометрической прогрессии при b₁ = 1, q = 2.
3) База: 1·2 = 2 = 1·2·3/3 ✓. Шаг: вынести (k + 1)(k + 2): (k + 1)(k + 2)(k/3 + 1) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3 ✓. Проверено вычислением для n = 1…7.

R04.12

Образец → сам · сумма дробей

Шаг с дробями: приведите к общему знаменателю

Образец

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{n}{n + 1}$

База $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + 1}$ ✓

Шаг $\frac{k}{k + 1} + \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$

$= \frac{k ^{2} + 2 k + 1}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$ общий знаменатель

$= \frac{k + 1}{k + 2}$ ✓ сократили на $k + 1$

Сам · ключевой шаг

база $\frac{1}{1 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{n}{2 n + 1}$ $\frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{k + 1}{2 k + 3}$
повыш. $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ $\frac{( k + 1 ) ( 2 k ^{2} + 7 k + 6 )}{6} = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6}$

2 мин · практика
Образец: k/(k + 1) + 1/((k + 1)(k + 2)) = (k(k + 2) + 1)/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)²/((k + 1)(k + 2)) = (k + 1)/(k + 2) — правая часть при n = k + 1 ✓.
1) База: 1/3 = 1/(2 + 1) ✓. Шаг: (k(2k + 3) + 1)/((2k + 1)(2k + 3)) = (2k² + 3k + 1)/(…) = (2k + 1)(k + 1)/((2k + 1)(2k + 3)) = (k + 1)/(2k + 3) ✓.
2) База: 1 = 1·2·3/6 ✓. Шаг: k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)(2k² + k + 6k + 6)/6 = (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6, а 2k² + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3) — правая часть при n = k + 1 ✓.
Совет: в шаге заранее выпишите, что должно получиться — правую часть при n = k + 1, — тогда понятно, к чему приводить.

R04.12

Новое · индукция и делимость

Выразите $A (k + 1)$ через $A (k)$

A (k + 1) = m \cdot A (k) + B

A (k)

делится на

p

— предположение;

B

делится на

p

— проверяем. Значит, и

A (k + 1)

делится на

p

.

Учитель показывает

$n^{3} + 2 n$ делится на $3$

База $1 + 2 = 3$ ✓

Шаг $(k + 1)^{3} + 2 (k + 1)$

$= (k^{3} + 2 k) + 3 k^{2} + 3 k + 3$

$= (k^{3} + 2 k) + 3 (k^{2} + k + 1)$ оба делятся на 3

2 мин · теория
Схема: выражение A(k + 1) раскладываем так, чтобы выделилось A(k) (или m·A(k)), а остаток B явно делился на p. Сумма двух чисел, делящихся на p, делится на p.
Демонстрация: (k + 1)³ + 2(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 2k + 2 = (k³ + 2k) + 3k² + 3k + 3. Первое слагаемое делится на 3 по предположению, второе — 3(k² + k + 1). Вывод: n³ + 2n делится на 3 при всех n ∈ ℕ.
Для степеней: 7^{k+1} − 1 = 7·7^k − 1 = 7(7^k − 1) + 6 — приём из разминки (вычли и прибавили 7). Это образец на следующем слайде.

R04.12

Образец → сам · делимость

Докажите, что делится при всех $n \in N$

Образец

$7^{n} - 1$ делится на $6$

База $7 - 1 = 6$ ✓

Пусть $7^{k} - 1 = 6 t, t \in N$

Шаг $7^{k + 1} - 1 = 7 (7^{k} - 1) + 6$ $- 7 + 7$

$= 42 t + 6 = 6 (7 t + 1)$ ✓

Сам · ключевой шаг

база $4^{n} - 1$ делится на $3$ $4^{k + 1} - 1 = 4 (4^{k} - 1) + 3$
база $5^{n} + 3$ делится на $4$ $5^{k + 1} + 3 = 5 (5^{k} + 3) - 12$
повыш. $n^{3} + 5 n$ делится на $6$ $(k^{3} + 5 k) + 3 k (k + 1) + 6$

R04.12

Новое · база не обязательно n = 1

$2^{n} > n^{2}$ — с какого $n$ ?

$n$	1	2	3	4	5	6
$2^{n}$	2	4	8	16	32	64
$n^{2}$	1	4	9	16	25	36
$2^{n} > n^{2}$ ?	да	нет	нет	нет	да	да

База — первое нужное

n_{0}

: здесь

n_{0} = 5

Шаг — для всех

k \geq n_{0}

: можно пользоваться тем, что

k \geq 5

Неравенство в шаге — цепочка оценок:

2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} > 2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}

2 мин · теория
Если утверждение нужно доказать при n ≥ n₀, базу проверяют при n = n₀, а шаг — для любого k ≥ n₀. Таблица показывает: при n = 1 неравенство верно «случайно», при 2, 3, 4 — неверно, с 5 — верно всегда.
Последнее неравенство цепочки: 2k² ≥ (k + 1)² ⇔ k² − 2k − 1 ≥ 0 ⇔ (k − 1)² ≥ 2 — верно при k ≥ 3, тем более при k ≥ 5. Именно здесь используется, что k большое. (Доказательство целиком — задание «сам» на сл. 12.)
Вопрос: почему нельзя взять базу n = 1? (Шаг не работает при k = 1: из 2 > 1 не следует 4 > 4.)

R04.12

Образец → сам · неравенство

Докажите неравенство

Образец

$2^{n} > 2 n + 1$ при $n \geq 3$

База $n = 3$ : $8 > 7$ ✓

Пусть $2^{k} > 2 k + 1, k \geq 3$

Шаг $2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} > 4 k + 2$ умножили на 2

$4 k + 2 > 2 k + 3$ так как $2 k > 1$

$2^{k + 1} > 2 (k + 1) + 1$ ✓

Сам · база и оценка

база $3^{n} > 2 n + 1$ при $n \geq 2$ $9 > 5$ ; $3^{k + 1} > 6 k + 3 > 2 k + 3$
повыш. $2^{n} > n^{2}$ при $n \geq 5$ $32 > 25$ ; $2^{k + 1} > 2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}$
повыш. $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ при $x > - 1$ $(1 + x)^{k + 1} \geq (1 + k x) (1 + x) \geq 1 + (k + 1) x$

R04.12 · R04.5

Образец → сам · формула n-го члена

Докажите гипотезу для рекуррентной последовательности

Образец

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ .
Докажите: $a_{n} = 2^{n} - 1$ .

База $a_{1} = 2^{1} - 1 = 1$ ✓

Пусть $a_{k} = 2^{k} - 1$

Шаг $a_{k + 1} = 2 (2^{k} - 1) + 1$ по правилу

$= 2^{k + 1} - 1$ ✓

Сам · докажите формулу

база $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 4$ ; $a_{n} = 4 n - 1$ $a_{k + 1} = 4 k - 1 + 4 = 4 (k + 1) - 1$
база $b_{1} = 2, b_{n + 1} = 3 b_{n}$ ; $b_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ $b_{k + 1} = 3 \cdot 2 \cdot 3^{k - 1} = 2 \cdot 3^{k}$
повыш. $c_{1} = 1, c_{n + 1} = \frac{c _{n}}{1 + c _{n}}$ ; $c_{n} = \frac{1}{n}$ $c_{k + 1} = \frac{1/ k}{1 + 1/ k} = \frac{1}{k + 1}$

R04.12

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые ломают доказательство

Пропущена база

« $n^{2} + n$ нечётно»: шаг из $P (k)$ в $P (k + 1)$ проходит

$n = 1$ : $1 + 1 = 2$ — чётно

шаг верен, но первая костяшка не упала

Проверка вместо доказательства

«верно при $n = 1, 2, 3$ — значит, верно всегда»

нужен шаг $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$

$n^{2} + n + 41$ ломается при $n = 40$

Не то слагаемое в шаге

$1 + 3 + \dots + (2 n - 1)$ : в шаге прибавили $2 k - 1$

при $n = k + 1$ прибавляем $2 k + 1$

подставьте $n = k + 1$ в последнее слагаемое

2 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Шаг действительно верен: (k + 1)² + (k + 1) = (k² + k) + 2(k + 1) — нечётное + чётное = нечётное. Но база ложна: 2 — чётное. На самом деле n² + n = n(n + 1) всегда чётно. Мораль: без базы «доказывается» что угодно.
2) Проверка нескольких n — способ выдвинуть гипотезу, а не доказать её (сл. 4: 39 проверок и всё равно неверно).
3) Последнее слагаемое суммы при n = k + 1: 2(k + 1) − 1 = 2k + 1. Если прибавить 2k − 1, получится k² + 2k − 1 ≠ (k + 1)², и ученик решит, что формула неверна.

R04.12

Найди ошибку

Ученик доказал два утверждения. Где ошибки?

1. $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{n - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$

База: $1 = \frac{3 - 1}{2}$ ✓

Шаг: $\frac{3 ^{k} - 1}{2} + 3^{k + 1} = \frac{7 \cdot 3 ^{k} - 1}{2}$

«Не равно $\frac{3 ^{k + 1} - 1}{2}$ — формула неверна»

Ошибка: при $n = k + 1$ прибавляем $3^{k}$

$\frac{3 ^{k} - 1 + 2 \cdot 3 ^{k}}{2} = \frac{3 ^{k + 1} - 1}{2}$ ✓

2. « $2^{n} > n^{2}$ при всех $n \in N$ »

База: $n = 1$ : $2 > 1$ ✓

Шаг: $2^{k + 1} > 2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}$

«Значит, верно при всех $n$ »

Ошибка: $2 k^{2} \geq (k + 1)^{2}$ ложно при $k = 1, 2$

При $n = 3$ : $8 < 9$ . Верно только при $n \geq 5$ (и $n = 1$ )

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) Формула верна — ученик ошибся в слагаемом: последнее слагаемое при n = k + 1 равно 3^{(k+1)−1} = 3^k. Тогда (3^k − 1)/2 + 3^k = (3^k − 1 + 2·3^k)/2 = (3·3^k − 1)/2 = (3^{k+1} − 1)/2 ✓. Проверка: 1 + 3 + 9 = 13 = (27 − 1)/2 ✓.
2) Шаг использует неравенство 2k² ≥ (k + 1)², которое верно лишь при k ≥ 3 (при k = 1: 2 < 4; k = 2: 8 < 9). Цепочка «костяшек» рвётся между 1 и 2. Само утверждение ложно: n = 2: 4 = 4, n = 3: 8 < 9, n = 4: 16 = 16 (сл. 11). Правильная формулировка — при n ≥ 5, база n = 5.

R04.12 · R04.9

Задания с самопроверкой · база

Пользуйтесь доказанными формулами

$1 + 3 + 5 + \dots + 99$ $2500$
$1 + 2 + 3 + \dots + 50$ $1275$
$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{9}$ $1023$

Последнее слагаемое суммы $1 + 5 + 9 + \dots + (4 n - 3)$ при $n = k + 1$ $4 k + 1$
$1^{2} + 2^{2} + \dots + 1 0^{2}$ $385$
Верно ли $3^{n} > n^{3}$ при $n = 3$ ? при $n = 4$ ? нет; да

R04.12

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите (по клику — ключевой шаг)

повыш. $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ $\frac{( k + 1 ) ^{2} ( k ^{2} + 4 k + 4 )}{4}$
повыш. $1 1^{n} - 6$ делится на $5$ $11 (1 1^{k} - 6) + 60$
повыш. $n^{3} - n$ делится на $6$ $(k^{3} - k) + 3 k (k + 1)$
повыш. $3^{n} > n^{3}$ при $n \geq 4$ $3^{k + 1} > 3 k^{3} \geq (k + 1)^{3}$
повыш. $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ : найдите и докажите $a_{n}$ $a_{n} = 2^{n - 1} + 1$

2 мин · практика
1) База: 1 = 1 ✓. Шаг: k²(k + 1)²/4 + (k + 1)³ = (k + 1)²(k² + 4k + 4)/4 = ((k + 1)(k + 2)/2)² ✓.
2) База: 11 − 6 = 5 ✓. Шаг: 11·11^k − 6 = 11(11^k − 6) + 66 − 6 = 11(11^k − 6) + 60, 60 делится на 5 ✓.
3) База: 0 делится на 6 ✓. Шаг: (k + 1)³ − (k + 1) = k³ − k + 3k² + 3k = (k³ − k) + 3k(k + 1), k(k + 1) чётно ⇒ 3k(k + 1) делится на 6 ✓.
4) База: 81 > 64 ✓. Шаг: 3^{k+1} > 3k³; 3k³ ≥ (k + 1)³ ⇔ (1 + 1/k)³ ≤ 3, при k ≥ 4: (5/4)³ ≈ 1,95 ≤ 3 ✓.
5) Члены 2, 3, 5, 9, 17 — на 1 больше степеней двойки: a_n = 2^{n−1} + 1. База: 2⁰ + 1 = 2 ✓. Шаг: 2(2^{k−1} + 1) − 1 = 2^k + 1 ✓. Если не успеваете — 3–5 в ДЗ.

R04.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Доказанные формулы сумм — в задачах из жизни

Улитка за первую минуту проползла $2$ см, а за каждую следующую — на $2$ см больше. Сколько сантиметров она проползла за $10$ минут? $110$
В амфитеатре $12$ рядов. В первом ряду $20$ мест, в каждом следующем — на $3$ больше. Сколько всего мест? $438$
В первый день в чат вступил $1$ человек, в каждый следующий — вдвое больше, чем в предыдущий. Сколько человек вступило за $8$ дней? $255$

2 + 4 + \dots + 2 n = n (n + 1)

1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1

R04.12 · ПР-29

Задача из жизни

Шахматный турнир: каждый играет с каждым по одной партии

практика $P_{n}$ — число партий при $n$ участниках. Найдите $P_{2}, P_{3}, P_{4}$ . $1; 3; 6$
практикаПришёл ещё один участник. Сколько партий добавилось? $P_{n + 1} = P_{n} + n$
повыш.Докажите индукцией: $P_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . $\frac{k ( k - 1 )}{2} + k = \frac{( k + 1 ) k}{2}$
повыш.Сыграно $66$ партий. Сколько было участников? $12$

2 мин · практика
Рисунок: 4 игрока — 6 партий (фиолетовые линии между чёрными точками); пятый (розовый) играет с каждым из четырёх — добавляется 4 партии: P₅ = 6 + 4 = 10.
1) P₂ = 1, P₃ = 3, P₄ = 6. 2) Новый участник играет с каждым из n прежних: P_{n+1} = P_n + n.
3) База: P₁ = 0 = 1·0/2 ✓. Шаг: P_{k+1} = k(k − 1)/2 + k = k(k − 1 + 2)/2 = (k + 1)k/2 ✓.
4) n(n − 1)/2 = 66 ⇒ n² − n − 132 = 0 ⇒ n = 12 (n = −11 не подходит). Проверка: 12·11/2 = 66 ✓. Та же формула — число рукопожатий, число отрезков между n точками.

R04.12

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаДокажите:
$2 + 6 + \dots + (4 n - 2) = 2 n^{2}$ $2 k^{2} + 4 k + 2 = 2 (k + 1)^{2}$
базаНайдите $2 + 6 + 10 + \dots + 118$ . $1800$
базаДокажите: $5^{n} - 1$ делится на $4$ . $5 (5^{k} - 1) + 4$
повыш.Докажите: $2^{n} > 2 n$ при $n \geq 3$ . $2^{k + 1} > 4 k \geq 2 k + 2$

Вариант 2

базаДокажите:
$1 + 4 + \dots + (3 n - 2) = \frac{n ( 3 n - 1 )}{2}$ $\frac{3 k ^{2} + 5 k + 2}{2} = \frac{( k + 1 ) ( 3 k + 2 )}{2}$
базаНайдите $1 + 4 + 7 + \dots + 58$ . $590$
базаДокажите: $9^{n} - 1$ делится на $8$ . $9 (9^{k} - 1) + 8$
повыш.Докажите: $3^{n} > 3 n$ при $n \geq 2$ . $3^{k + 1} > 9 k \geq 3 k + 3$

4 мин · практика
3,5 мин работы, затем взаимопроверка в парах: ключевой шаг по клику, проверяем также базу и вывод.
В-1. 1) База 2 = 2·1 ✓; шаг: 2k² + (4(k + 1) − 2) = 2k² + 4k + 2 = 2(k + 1)² ✓. 2) 4n − 2 = 118 ⇒ n = 30; 2·900 = 1800. 3) База 4 ✓; 5·5^k − 1 = 5(5^k − 1) + 4 ✓. 4) База 8 > 6 ✓; 2^{k+1} = 2·2^k > 4k, а 4k ≥ 2k + 2 ⇔ k ≥ 1 ✓.
В-2. 1) База 1 = 1·2/2 ✓; шаг: k(3k − 1)/2 + (3k + 1) = (3k² + 5k + 2)/2 = (k + 1)(3k + 2)/2 = (k + 1)(3(k + 1) − 1)/2 ✓. 2) 3n − 2 = 58 ⇒ n = 20; 20·59/2 = 590. 3) База 8 ✓; 9·9^k − 1 = 9(9^k − 1) + 8 ✓. 4) База 9 > 6 ✓; 3^{k+1} = 3·3^k > 9k, а 9k ≥ 3k + 3 ⇔ k ≥ 1/2 ✓.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». В доказательстве без базы или без вывода — задание не засчитывается полностью.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких двух частей состоит доказательство индукцией?
Почему нельзя обойтись без базы?
Чем «предположение» отличается от «доказали для $k$ »?

Домашнее задание

Докажите:
$1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + \dots + n (2 n - 1)$
$= \frac{n ( n + 1 ) ( 4 n - 1 )}{6}$
Докажите: $6^{n} + 4$ делится на $5$ .
* $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ : найдите и докажите $a_{n}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-077 · Метод математической индукции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 12/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.12 «Метод математической индукции» → 2, 4–21 · опора R04.5, R04.9 → 3, 13, 16, 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 7, 8, 10, 12–21)
Результаты	ПР-32 (применять метод математической индукции) → 2, 4–17, 19, 20 · ПР-27 (формулы суммы) → 7, 16, 18, 20 · ПР-26 (рекуррентный способ) → 13, 17, 19 · ПР-29 (задачи из реальной жизни) → 18, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	простейшие примеры применения индукции — ALG9U-078 (R04.13); сильная индукция и неравенство Коши — не по ФРП строки
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод математической индукции

Сегодня вы научитесь

Понимать принцип индукции

Доказывать формулы сумм

Доказывать делимость и неравенства

Проверять формулу n-го члена

Подставьте, сложите, выразите

n2+n+41 — всегда простое число?

Как падают костяшки домино

1. База

2. Шаг

3. Вывод

1+3+5+⋯+(2n−1)=n2

Докажите формулу для всех натуральных n

Образец

Сам · ключевой шаг

Шаг с дробями: приведите к общему знаменателю

Образец

Сам · ключевой шаг

Выразите A(k+1) через A(k)

Учитель показывает

Докажите, что делится при всех n∈N

Образец

Сам · ключевой шаг

2n>n2 — с какого n?

Докажите неравенство

Образец

Сам · база и оценка

Докажите гипотезу для рекуррентной последовательности

Образец

Сам · докажите формулу

Три ошибки, которые ломают доказательство

Пропущена база

Проверка вместо доказательства

Не то слагаемое в шаге

Ученик доказал два утверждения. Где ошибки?

1. 1+3+9+⋯+3n−1=23n−1​

2. «2n>n2 при всех n∈N»

Пользуйтесь доказанными формулами

Докажите (по клику — ключевой шаг)

Доказанные формулы сумм — в задачах из жизни

Шахматный турнир: каждый играет с каждым по одной партии

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-077 · Метод математической индукции

Проверять формулу $n$ -го члена

$n^{2} + n + 41$ — всегда простое число?

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

Докажите формулу для всех натуральных $n$

Выразите $A (k + 1)$ через $A (k)$

Докажите, что делится при всех $n \in N$

$2^{n} > n^{2}$ — с какого $n$ ?

1. $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{n - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$

2. « $2^{n} > n^{2}$ при всех $n \in N$ »