Последовательности и прогрессии · урок 11 из 25

Сходимость
последовательности.
Бесконечная сумма

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-076

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 11/25, единица R04.11 «Представление о сходимости последовательности, о суммировании бесконечно убывающей геометрической прогрессии». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-075 — задачи на проценты, вклады и кредиты; следующий ALG9U-077 — метод математической индукции.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (идея: квадрат пополам) 2 · 5 (предел последовательности) 3 · 7 ( $q^{n} \to 0$ ) 2 · 8 (вывод формулы суммы) 3 · 9 (сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 10, 11, 12, 13) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · осторожно (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Это урок на уровне «представления»: строгое ε-определение предела показываем наглядно (полоса), доказательств пределов не требуем. Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть предел

понимать, что значит «последовательность сходится к числу $a$ » (ПР-31)

Складывать бесконечно много

находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ПР-31)

Переводить дроби

записывать периодическую дробь обыкновенной (ПР-27)

Решать уравнения

с бесконечной суммой и условием $∣ q ∣ < 1$ (ПР-29, ПР-30)

1 мин · теория
ПР-31 (ФРП дословно): «Иметь представление о сходимости последовательности, уметь находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-30: распознавать ограниченные и монотонные последовательности.
Вид деятельности ФРП: «Представлять бесконечные периодические дроби в виде обыкновенных. Знакомиться с понятием сходимости последовательности, находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии».

разминка · R04.8 · R04.9

Разминка · устно

Геометрическая прогрессия: вспомним

b_{1} = 8, q = \frac{1}{2}

b_{4}

= ?

1

9; - 3; 1; \dots

q

= ?

- \frac{1}{3}

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}

вычислите

\frac{15}{8}

S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}

b_{1} = 1, q = \frac{1}{3}, n = 2

\frac{4}{3}

(\frac{1}{2})^{10}

больше

0, 001

?

нет

0, 9^{2}; 0, 9^{3}

вычислите

0, 81; 0, 729

\frac{1}{n}

при

n = 1000

вычислите

0, 001

0, (3)

обыкновенной дробью

\frac{1}{3}

R04.11

Идея · квадрат пополам

Можно ли сложить бесконечно много чисел?

Площадь квадрата $= 1$

$S_{1} = \frac{1}{2}, S_{2} = \frac{3}{4}, S_{3} = \frac{7}{8}, S_{4} = \frac{15}{16}$

$S_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$ не покрыто $\frac{1}{2 ^{n}}$

S_{n}

сколь угодно близко к

1

:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1

2 мин · теория
Рассказ: квадрат площади 1 делим пополам, оставшуюся часть снова пополам и т. д. Закрашенная площадь после n шагов — S_n = 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ = 1 − 1/2ⁿ (по формуле суммы: (1/2)(1 − 1/2ⁿ)/(1/2)).
Вопрос классу: может ли S_n стать больше 1? (Нет, закрашиваем внутри квадрата.) Станет ли равной 1 при каком-то n? (Нет, всегда остаётся кусок 1/2ⁿ.) Но этот кусок меньше любого заданного числа — говорят, что S_n стремится к 1.
Это и есть «сумма бесконечного числа слагаемых» — число, к которому стремятся частичные суммы. Парадокс Зенона (Ахиллес и черепаха) — та же идея.

R04.11

Определение · предел последовательности

$x_{n} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ сходится к $1$

Число

a

— предел

(x_{n})

, если в любой полосе

(a - ε; a + ε)

лежат все члены, начиная с некоторого номера

n \to \infty lim x_{n} = a

Есть предел — сходится, нет — расходится

3 мин · теория
Члены: 0; 1,5; 0,67; 1,25; 0,8; 1,17; … — по очереди то меньше, то больше 1, но всё ближе к 1: |x_n − 1| = 1/n.
Полоса ε = 0,3: 1/n < 0,3 при n > 3,33, т. е. начиная с n = 4 все точки внутри (x₃ ≈ 0,67 ещё снаружи). Для ε = 0,01 — начиная с n = 101. Какую бы узкую полосу ни взяли, «хвост» в неё попадёт — это и значит «сходится к 1».
Читается: «предел x_n при n, стремящемся к бесконечности, равен a». Примеры: 1/n → 0; (−1)ⁿ — расходится (прыгает между −1 и 1, в полосу шириной меньше 2 вокруг любого числа «хвост» не попадёт); n² — расходится (неограниченна).
Связь с прошлыми уроками: сходящаяся последовательность ограничена; обратное неверно — (−1)ⁿ ограничена, но не сходится.

R04.11

Образец → сам · предел последовательности

Найдите предел или докажите, что его нет

Образец

$x_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$

$x_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ почленное деление

$\frac{1}{n} \to 0$ знаменатель растёт

$lim x_{n} = 2$ $∣ x_{n} - 2∣ = \frac{1}{n}$

$\frac{1}{n} < 0, 01$ при $n \geq 101$ в полосе $0, 01$

Сам

база $x_{n} = \frac{4 n - 1}{n}$ $4$
база $x_{n} = (- 1)^{n}$ предела нет
повыш. $x_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 1}$ $3$

R04.11

Свойство · степени знаменателя

Когда $q^{n}$ стремится к нулю?

$q$	$q^{1}; q^{2}; q^{3}; q^{4}; \dots$	итог
$\frac{1}{2}$	$0, 5; 0, 25; 0, 125; 0, 0625$	$\to 0$
$- \frac{1}{2}$	$- 0, 5; 0, 25; - 0, 125; 0, 0625$	$\to 0$
$1$	$1; 1; 1; 1$	$\to 1$
$- 1$	$- 1; 1; - 1; 1$	предела нет
$2$	$2; 4; 8; 16$	растёт

∣ q ∣ < 1 \Rightarrow q^{n} \to 0

∣ q ∣ \geq 1

:

q^{n}

к нулю не стремится

R04.11

Вывод формулы · бесконечная сумма

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ формула суммы $n$ членов

$S_{n} = \frac{b _{1}}{1 - q} - \frac{b _{1}}{1 - q} \cdot q^{n}$ раскрыли скобку

$∣ q ∣ < 1 : q^{n} \to 0$ свойство

$S = n \to \infty lim S_{n} = \frac{b _{1}}{1 - q}$ второе слагаемое $\to 0$

Бесконечно убывающая — геометрическая прогрессия с

∣ q ∣ < 1

Её сумма

S

— предел частичных сумм

S_{n}

Проверка:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1

✓

3 мин · теория
Вывод ведёт учитель, ученики записывают. Первое слагаемое b₁/(1 − q) от n не зависит, второе — постоянное число, умноженное на qⁿ → 0, поэтому стремится к нулю.
Определение: суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел последовательности её частичных сумм S_n. Пишут S = b₁ + b₁q + b₁q² + … .
Вопрос классу: почему «убывающая», если в прогрессии 4; −2; 1; … члены не убывают? (Убывают модули членов: |b_n| = |b₁|·|q|ⁿ⁻¹. Название историческое.)
Проверка на квадрате со сл. 4: b₁ = 1/2, q = 1/2, S = 1 — совпало.

R04.11

Сводка · запомнить

Три правила урока

Сходится

∣ q ∣ < 1

$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$

Расходится

∣ q ∣ \geq 1

суммы нет
(при $b_{1} \neq = 0$ )

Периодическая дробь

0, (ab) = \frac{ab}{99}

сумма прогрессии
с $q = 0, 01$

R04.11

Образец → сам · сумма прогрессии

Найдите сумму бесконечной прогрессии

Образец

$12; 6; 3; \dots$

$q = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ $q = \frac{b _{2}}{b _{1}}$

$\frac{1}{2} < 1$ сумма существует

$S = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = 24$ $\frac{b _{1}}{1 - q}$

Сам

база $27; 9; 3; \dots$ $40, 5$
база $5; - 1; \frac{1}{5}; \dots$ $\frac{25}{6}$
повыш. $2; 1; \frac{1}{2}; \dots$ $2 + 22$

R04.11

Образец → сам · обратная задача

По сумме — первый член или знаменатель

Образец

$S = 18, q = \frac{1}{3}$ . Найдите $b_{1}$ .

$\frac{b _{1}}{1 - \frac{1}{3}} = 18$ формула суммы

$b_{1} = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$ $b_{1} = S (1 - q)$

$12 + 4 + \frac{4}{3} + \dots$ проверка: $\frac{12}{2/3} = 18$

Сам

база $S = 10, b_{1} = 6$ . Найдите $q$ . $q = 0, 4$
повыш. $S = 16, b_{2} = 4$ . Найдите $b_{1}$ и $q$ . $b_{1} = 8, q = \frac{1}{2}$
повыш. $S = 9, b_{1} + b_{2} = 8$ . Найдите $q$ . $q = \pm \frac{1}{3}$

R04.11

Образец → сам · периодическая дробь

Запишите обыкновенной дробью

Образец

$0, (27) = 0, 272727 \dots$

$0, 27 + 0, 0027 + 0, 000027 + \dots$ по периодам

$b_{1} = 0, 27, q = 0, 01$ $∣ q ∣ < 1$

$S = \frac{0 , 27}{0 , 99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ сократили на 9

Сам

база $0, (6)$ $\frac{2}{3}$
база $2, (18)$ $\frac{24}{11}$
повыш. $0, 1 (6)$ $\frac{1}{6}$

R04.11 · ПР-29

Образец → сам · уравнение с бесконечной суммой

Решите уравнение (слева — бесконечная сумма)

Образец

$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots = 4$

$b_{1} = 1, q = x, ∣ x ∣ < 1$ условие суммы

$\frac{1}{1 - x} = 4$ формула суммы

$x = \frac{3}{4}$ $\frac{3}{4} < 1$ ✓

Сам

база $x - x^{2} + x^{3} - \dots = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{3}$
повыш.При каких $x$ сходится $1 + (x - 2) + (x - 2)^{2} + \dots$ ? $1 < x < 3$
повыш. $2 + 2 x + 2 x^{2} + \dots = x + 2$ $x = 0$

R04.11

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки с бесконечной суммой

Забыли $∣ q ∣ < 1$

$1 + 2 + 4 + \dots = \frac{1}{1 - 2} = - 1$

$q = 2$ , суммы нет

$S_{n} = 2^{n} - 1$ растёт неограниченно

Потеряли знак $q$

$4 - 2 + 1 - \dots = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8$

$q = - \frac{1}{2}$ : $S = \frac{4}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{8}{3}$

знаки чередуются — $q < 0$

Период не с начала

$0, 1 (6) = \frac{16}{99}$

$\frac{1}{10} + \frac{0 , 06}{0 , 9} = \frac{1}{6}$

$\frac{16}{99} = 0, (16)$ — другая дробь

R04.11

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сумма $6 - 4 + \frac{8}{3} - \dots$

$q = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$S = \frac{6}{1 - \frac{2}{3}} = 18$

Ошибка: $q = \frac{- 4}{6} = - \frac{2}{3}$

$S = \frac{6}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{18}{5} = 3, 6$

Задача 2. Решите $1 + x + x^{2} + \dots = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{2}, 1 - x = 2$

$x = - 1$ . Ответ: $- 1$ .

Ошибка: при $x = - 1$ получаем $∣ q ∣ = 1$ — суммы нет

Ответ: решений нет

R04.11

Задания с самопроверкой · база

Найдите сумму, дробь, предел

$8; 4; 2; \dots$ — сумма $16$
$9; - 3; 1; \dots$ — сумма $6, 75$
$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$ $1, 5$

$0, (5)$ — обыкновенной $\frac{5}{9}$
$b_{1} = 2, S = 5$ ; найдите $q$ $0, 6$
$lim \frac{6 n + 1}{2 n}$ $3$

R04.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Иррациональности, обратные задачи, уравнения

повыш. $3, (36)$ — обыкновенной дробью $\frac{37}{11}$
повыш.Сумма $3 + 1 + \frac{1}{3} + \dots$ $\frac{3 ( 3 + 1 )}{2}$
повыш. $S = 12, b_{2} = 3$ . Найдите $b_{1}$ и $q$ . $6; \frac{1}{2}$
повыш.Решите $x + x^{2} + x^{3} + \dots = 3$ $\frac{3}{4}$
повыш. $b_{1} = 2, q = \frac{1}{2}$ . Сумма квадратов членов $\frac{16}{3}$

R04.9 · R04.11 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 14 и 20

От конечной суммы к бесконечной

линия 14Из бака за первую минуту вытекло $64$ л, за каждую следующую — вдвое меньше. Сколько литров вытекло за $5$ минут? $124$
повыш.Сколько вытечет, если ждать бесконечно долго? $128$
линия 20Решите уравнение $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \dots = \frac{x}{2}$ $3$

1:

S_{5} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q}

3:

q = \frac{1}{x}

, нужно

∣ x ∣ > 1

Запишите проверку условия — это балл

R04.11 · ПР-29

Задача из жизни

Мяч упал с высоты $16$ м, каждый подскок — $\frac{3}{4}$ прежней высоты

практикаНа какую высоту он поднимется после 3-го удара? $6, 75$ м
повыш.Какой путь он пройдёт до остановки? $112$ м

1,5 мин · практика
1) Высоты подскоков — геометрическая прогрессия 12; 9; 6,75; … (b₁ = 16 · 3/4 = 12, q = 3/4). После 3-го удара: 16 · (3/4)³ = 6,75 м.
2) Путь: вниз 16 м, затем каждый подскок проходится дважды (вверх и вниз): 16 + 2(12 + 9 + 6,75 + …) = 16 + 2 · 12/(1/4) = 16 + 96 = 112 м.
Модель идеализированная: «бесконечно много подскоков», но их длительности тоже образуют убывающую прогрессию (время подъёма ∝ √h, q = √3/2), поэтому мяч остановится за конечное время.
Масштаб рисунка: 16 px на 1 м по высоте.

R04.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаСумма $18; 6; 2; \dots$ $27$
база $0, (12)$ обыкновенной дробью $\frac{4}{33}$
база $S = 20, q = - \frac{1}{4}$ . Найдите $b_{1}$ . $25$
повыш.Решите $1 + 2 x + 4 x^{2} + \dots = 3$ $x = \frac{1}{3}$

Вариант 2

базаСумма $20; - 10; 5; \dots$ $\frac{40}{3}$
база $0, (15)$ обыкновенной дробью $\frac{5}{33}$
база $S = 15, b_{1} = 9$ . Найдите $q$ . $0, 4$
повыш.Решите $1 - x + x^{2} - \dots = \frac{2}{3}$ $x = \frac{1}{2}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит «последовательность сходится к $a$ »?
При каком $q$ есть бесконечная сумма?
Почему $0, (9) = 1$ ?

Домашнее задание

Сумма $25 - 5 + 1 - \dots$
$1, 2 (3)$ — обыкновенной дробью
Решите $x + x^{2} + x^{3} + \dots = 2 x + 1$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-076 · Представление о сходимости последовательности, о суммировании бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 11/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.11 → 2, 4–21 · опора R04.8, R04.9 → 3, 8, 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 10–21)
Результаты	ПР-31 (сходимость, сумма бесконечно убывающей прогрессии) → 2, 4–21 · ПР-27 (формулы n-го члена и суммы) → 3, 8, 18 · ПР-29 (задачи из жизни) → 18, 19 · ПР-30 (ограниченные и монотонные) → 5 · кодификатора у курса нет
Вне урока	метод математической индукции — ALG9U-077; строгая теория пределов — 10–11 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сходимостьпоследовательности.Бесконечная сумма

Сегодня вы научитесь

Видеть предел

Складывать бесконечно много

Переводить дроби

Решать уравнения

Геометрическая прогрессия: вспомним

Можно ли сложить бесконечно много чисел?

xn​=1+n(−1)n​ сходится к 1

Найдите предел или докажите, что его нет

Образец

Сам

Когда qn стремится к нулю?

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Три правила урока

Сходится

Расходится

Периодическая дробь

Найдите сумму бесконечной прогрессии

Образец

Сам

По сумме — первый член или знаменатель

Образец

Сам

Запишите обыкновенной дробью

Образец

Сам

Решите уравнение (слева — бесконечная сумма)

Образец

Сам

Три ошибки с бесконечной суммой

Забыли ∣q∣<1

Потеряли знак q

Период не с начала

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сумма 6−4+38​−…

Задача 2. Решите 1+x+x2+⋯=21​

Найдите сумму, дробь, предел

Иррациональности, обратные задачи, уравнения

От конечной суммы к бесконечной

Мяч упал с высоты 16 м, каждый подскок — 43​ прежней высоты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-076 · Представление о сходимости последовательности, о суммировании бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сходимость
последовательности.
Бесконечная сумма

$x_{n} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ сходится к $1$

Когда $q^{n}$ стремится к нулю?

Забыли $∣ q ∣ < 1$

Потеряли знак $q$

Задача 1. Сумма $6 - 4 + \frac{8}{3} - \dots$

Задача 2. Решите $1 + x + x^{2} + \dots = \frac{1}{2}$

Мяч упал с высоты $16$ м, каждый подскок — $\frac{3}{4}$ прежней высоты