Последовательности и прогрессии · урок 10 из 25

Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-075

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 10/25, единица R04.10 «Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-074 — формулы суммы первых n членов прогрессий (нужны здесь для кредитов); следующий ALG9U-076 — сходимость и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (проценты → множитель) 2 · 5 (простые и сложные проценты = АП и ГП) 3 · 9 (две схемы кредита) 3 · 11 (вывод формулы равного платежа) 2 · 13 (сводка формул) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 12) 3 + 2 + 2 + 3 + 3 · типичные ошибки (сл. 14) 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Калькулятор на уроке разрешён (ФРП, ПР-29: «с использованием калькулятора, цифровых технологий»), но множители 1,1², 1,2² и т. п. считаем устно.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и вопрос 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать проценты множителем

увеличение, уменьшение, несколько изменений подряд, обратные задачи (ПР-29)

Видеть прогрессию во вкладе

простые проценты — арифметическая, сложные — геометрическая (ПР-27)

Рассчитывать кредит

убывающие платежи и равные платежи — через суммы прогрессий (ПР-27, ПР-29)

Решать задачи ОГЭ на проценты

составлять модель и оформлять решение части 2 (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-29 (ФРП дословно): «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий)». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов».
ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…»; ПР-16: «Использовать уравнения… для составления математической модели реальной ситуации… интерпретировать полученные результаты». Вид деятельности ФРП по строке: «Решать задачи на проценты, банковские вклады и кредитование».

разминка · проценты 6 кл., R04.8–R04.9

Разминка · устно

Проценты и прогрессии — в уме

15%

от

240

найдите

36

80

от

200

сколько процентов?

40%

20%

числа равны

18

найдите число

90

увеличить на

12%

умножить на …

1, 12

уменьшить на

25%

умножить на …

0, 75

1, 1^{2}

вычислите

1, 21

0, 9 \cdot 1, 1

вычислите

0, 99

1 + 3 + 9 + 27

сумма ГП

40

R04.10

Новое · процент как множитель

Изменение на $p %$ — это умножение

+ p % : A \cdot (1 + \frac{p}{100})

- p % : A \cdot (1 - \frac{p}{100})

Несколько изменений — перемножаем множители; исходное число — делим на множитель.

R04.10 · опора R04.8

Новое · простые и сложные проценты

Вклад растёт по прогрессии

Простые: % от начальной суммы

$S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p n}{100})$

арифметическая прогрессия, $d = S_{0} \cdot \frac{p}{100}$

Сложные: % от текущей суммы

$S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

геометрическая прогрессия, $q = 1 + \frac{p}{100}$

3 мин · теория
Простые проценты: каждый год прибавляется одно и то же число S₀·p/100 — это арифметическая прогрессия, Sₙ = S₀ + n·d. Сложные (капитализация): каждый год сумма умножается на q = 1 + p/100 — геометрическая прогрессия, Sₙ = S₀·qⁿ.
Точки графика (S₀ = 100, p = 20 %): простые 100, 120, 140, 160, 180, 200 (бирюзовые; лежат на одной прямой); сложные 100, 120, 144, 172,8, 207,36, 248,83 (розовые; первые два года совпадают). Масштаб: 80 px на год, 1,3 px на единицу суммы — проверено расчётом.
Вопрос классу: почему в первый год результаты одинаковы? (Процент начисляется на одну и ту же сумму S₀.) Почему потом сложные обгоняют? (Проценты начисляются и на проценты.)
Связь со строкой ФРП: «изображать члены последовательности точками на координатной плоскости» (ПР-28).

R04.10

Образец → сам · вклад

Сколько будет на вкладе?

Образец

$50000$ ₽ на 3 года под $8%$ годовых: а) простые проценты; б) сложные.

а) $50000 \cdot (1 + 0, 08 \cdot 3) = 62000$ АП

б) $q = 1, 08$ , $q^{3} = 1, 259712$ ГП

$50000 \cdot 1, 259712 = 62985, 6$ ₽

выгода: $985, 6$ ₽ проценты на проценты

Сам

база $20000$ ₽, $10%$ , сложные, 2 года $24200$ ₽
база $100000$ ₽, $6%$ , простые, 5 лет $130000$ ₽
повыш. $80000$ ₽, $5%$ , сложные, 3 года $92610$ ₽

R04.10

Образец → сам · обратная задача

Найдите процент или начальную сумму

Образец

За 2 года вклад (сложные проценты) вырос с $40000$ до $48400$ ₽. Под сколько процентов?

$40000 \cdot q^{2} = 48400$ модель

$q^{2} = 1, 21, q = 1, 1$ $q > 0$

$1 + \frac{p}{100} = 1, 1, p = 10$ ответ: $10%$

Сам

базаПосле снижения на $15%$ цена стала $3400$ ₽. Какой была? $4000$ ₽
базаЦена дважды росла на одно и то же число процентов: с $2000$ до $2880$ ₽. На сколько? на $20%$
повыш.Через сколько лет вклад под $20%$ (сложные) впервые станет больше удвоенного? через 4 года

R04.10

Образец → сам · несколько изменений

Как изменилась цена в итоге?

Образец

Цена выросла на $25%$ , затем снизилась на $20%$ .

$\times 1, 25$ , затем $\times 0, 8$ множители

$1, 25 \cdot 0, 8 = 1$ перемножили

цена не изменилась $0%$

Сам

база $+ 10%$ , затем ещё $+ 10%$ $+ 21%$
база $- 30%$ , затем $+ 30%$ $- 9%$
повыш.Зарплату повысили на $20%$ , потом ещё на $x %$ ; всего — на $32%$ . Найдите $x$ . $x = 10$

R04.10 · опора R04.9

Новое · две схемы кредита

Каждый период: долг $\times k$ , затем платёж

3 мин · теория
Общая схема любого кредита: в начале периода банк начисляет проценты на остаток долга (долг умножается на k = 1 + r/100), затем клиент вносит платёж. Порядок важен: сначала ×k, потом −платёж.
Дифференцированная схема: после каждого платежа долг уменьшается на одну и ту же величину S/n (долг — убывающая АП: S, (n−1)S/n, …, S/n). Платёж = S/n + проценты с остатка, проценты тоже образуют убывающую АП — переплату считаем формулой суммы АП. Столбики: S, ¾S, ½S, ¼S при n = 4.
Аннуитетная схема: платежи равны x. Столбики посчитаны для S = 100, 10 % за период, 4 платежа: x ≈ 31,55; долги 100; 78,45; 54,75; 28,68 (высота 2,4 px на единицу). Долг падает сначала медленнее, потом быстрее: в начале большая часть платежа уходит на проценты.
Вопрос классу: какая схема выгоднее заёмщику при одинаковых S, ставке и сроке? (Дифференцированная: долг уменьшается быстрее, проценты набегают на меньшие суммы.)

R04.10 · R04.9

Образец → сам · долг уменьшается равномерно

Переплата — сумма арифметической прогрессии

Образец

Кредит $600000$ ₽ на 6 месяцев под $2%$ в месяц; долг каждый месяц уменьшается на $100000$ ₽. Сколько всего заплатить?

$2%$ от $600, 500, \dots, 100$ тыс. остатки

$12 + 10 + \dots + 2 = \frac{12 + 2}{2} \cdot 6 = 42$ сумма АП

$600000 + 42000 = 642000$ ₽ ответ

Сам

база $300000$ ₽ на 5 месяцев под $3%$ в месяц, долг уменьшается равномерно. Переплата? $27000$ ₽
базаТам же: первый и последний платежи? $69000$ и $61800$ ₽
повыш.Кредит $S$ на 10 месяцев под $1%$ в месяц, долг уменьшается равномерно; всего выплачено $2110000$ ₽. Найдите $S$ . $2000000$ ₽

R04.10 · R04.9

Новое · формула равного платежа

Кредит $S$ , ставка — множитель $k$ , $n$ равных платежей $x$

$S k - x$ долг после 1-го платежа

$(S k - x) k - x = S k^{2} - x (k + 1)$ после 2-го

$S k^{n} - x (k^{n - 1} + \dots + k + 1) = 0$ после $n$ -го долга нет

$k^{n - 1} + \dots + k + 1 = \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}$ сумма ГП

x = \frac{S k ^{n} ( k - 1 )}{k ^{n} - 1}

При

n = 2

удобнее без формулы:

S k^{2} = x (k + 1)

R04.10 · R04.9

Образец → сам · равные платежи

Найдите ежегодный платёж

Образец

Кредит $210000$ ₽ на 2 года под $10%$ годовых, два равных платежа.

$(210000 \cdot 1, 1 - x) \cdot 1, 1 - x = 0$ схема

$254100 = 2, 1 x$ $S k^{2} = x (k + 1)$

$x = 121000$ ₽ переплата $32000$ ₽

Сам · равные платежи

база $550000$ ₽, 2 года, $20%$ $360000$ ₽
база $331000$ ₽, 3 года, $10%$ $133100$ ₽
повыш.2 года, $20%$ , платёж $72000$ ₽. Какой был кредит? $110000$ ₽

R04.10

Сводка · формулы урока

Ситуация → модель → прогрессия

Ситуация	Модель	Что считаем
изменение на $\pm p %$	$A (1 \pm \frac{p}{100})$ ; несколько раз — произведение	множители
простые проценты	$S_{0} (1 + \frac{p n}{100})$	$n$ -й член АП
сложные проценты	$S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$	$n$ -й член ГП
долг убывает равномерно	проценты с остатков $S, \dots, \frac{S}{n}$	сумма АП
равные платежи $x$	$S k^{n} = x (k^{n - 1} + \dots + 1)$	сумма ГП

R04.10

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Проценты сложили

$+ 20%$ , потом $- 20%$ — цена не изменилась

$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ : $- 4%$

второй процент — от новой цены

Сложные как простые

3 года по $10%$ (капитализация) — это $+ 30%$

$1, 1^{3} = 1, 331$ : $+ 33, 1%$

проценты начисляются и на проценты

Не та база

После $- 10%$ цена $2700$ ; была $2700 + 270 = 2970$

$2700 : 0, 9 = 3000$

$10%$ брали от прежней цены, а не от новой

R04.10

Найди ошибку

Ученик решил две задачи про кредит. Где ошибки?

1. $210000$ ₽, 2 года, $10%$ , два равных платежа

Проценты за год: $21000$ ₽, за два — $42000$ ₽.

Всего вернуть $252000$ , платёж $126000$ ₽.

Ошибка: проценты начисляются на остаток долга, а не на весь кредит

$231000 - x$ , затем $1, 1 (231000 - x) = x$ : $x = 121000$

2. $400000$ ₽, 4 месяца, $5%$ в месяц, долг убывает равномерно

Проценты каждый месяц: $5%$ от $400000 = 20000$ .

Переплата: $20000 \cdot 4 = 80000$ ₽.

Ошибка: долг уменьшается, проценты тоже

$20 + 15 + 10 + 5 = 50$ тыс.: переплата $50000$ ₽

R04.10

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

$30000$ ₽ под $7%$ , простые, 4 года $38400$ ₽
$10000$ ₽ под $10%$ , сложные, 3 года $13310$ ₽
Цену $1500$ ₽ повысили на $12%$ $1680$ ₽

После $+ 20%$ цена $3600$ ₽. Какой была? $3000$ ₽
Взяли $50000$ , вернули $56000$ ₽. Переплата в $%$ ? $12%$
$- 20%$ , затем $- 25%$ . Итог? $- 40%$

R04.10 · R04.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Вклады с пополнением и кредиты

повыш.Вклад $100000$ ₽ под $10%$ годовых. В конце 1-го и 2-го года после начисления процентов добавляют $10000$ ₽. Сколько на вкладе в конце 3-го года? $156200$ ₽
повыш.Кредит $900000$ ₽ на 2 года под $25%$ , два равных платежа. Платёж? $625000$ ₽
повыш.Кредит на 12 месяцев под $2%$ в месяц, долг уменьшается равномерно. Переплата — сколько процентов от кредита? $13%$
повыш.Через сколько лет вклад под $10%$ (сложные) вырастет больше чем на $50%$ ? через 5 лет

R04.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовые задачи на проценты — с полным решением

Свежие фрукты содержат $88%$ воды, а высушенные — $30%$ . Сколько килограммов свежих фруктов нужно, чтобы получить $72$ кг высушенных? $420$ кг
Цена товара дважды снижалась на одно и то же число процентов: с $5000$ до $4050$ ₽. На сколько процентов каждый раз? на $10%$
Четверо друзей открыли фирму с капиталом $400000$ ₽. Первый внёс $15%$ , второй — $120000$ ₽, третий — $0, 2$ капитала, четвёртый — остальное. Прибыль $1000000$ ₽ делят пропорционально взносам. Сколько получит четвёртый? $350000$ ₽

1: «сухое вещество» не меняется

2:

q^{2} = \frac{4050}{5000}

Часть 2: модель, вычисления, ответ с единицами

R04.10 · ПР-29

Задача из жизни

Какой вклад выгоднее на $100000$ ₽?

Банк А: $12%$ годовых, каждый месяц начисляют $1%$ на текущую сумму

Банк Б: $12, 5%$ годовых, проценты раз в конце года

практикаСколько будет через год в каждом банке? А — ≈ $112682, 5$ ; Б — $112500$
практикаКакой реальный годовой процент в банке А? ≈ $12, 68%$
повыш.А через 2 года? А — ≈ $126973$ ; Б — $126562, 5$

2 мин · практика
1) А: 100 000 · 1,01¹² ≈ 112 682,50 ₽ (12 начислений по 1 % — ГП с q = 1,01). Б: 100 000 · 1,125 = 112 500 ₽. Выгоднее А на ≈ 182,5 ₽, хотя «годовая ставка» у него меньше.
2) 1,01¹² ≈ 1,126825 — эффективная ставка ≈ 12,68 % (в договорах её указывают как «эффективную»).
3) А: 1,01²⁴ ≈ 1,269735 → ≈ 126 973,46 ₽; Б: 1,125² = 1,265625 → 126 562,50 ₽. Все числа проверены python; на уроке — калькулятор.
Диаграмма — прирост за год; шкала начинается с 12 000 ₽ (0,4 px на 1 ₽: столбики 682,5 и 500 ₽ над отметкой 12 000). Обратить внимание класса на «обрезанную» шкалу: разница всего 182,5 ₽, диаграмма её увеличивает.

R04.10

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $40000$ ₽ под $5%$ , сложные, 2 года $44100$ ₽
базаПосле $- 25%$ цена $1800$ ₽. Какой была? $2400$ ₽
база $+ 10%$ , затем $- 10%$ . Итог? $- 1%$
повыш.Кредит $420000$ ₽ на 2 года под $10%$ , два равных платежа. Платёж? $242000$ ₽

Вариант 2

база $60000$ ₽ под $10%$ , сложные, 2 года $72600$ ₽
базаПосле $+ 15%$ цена $2300$ ₽. Какой была? $2000$ ₽
база $+ 20%$ , затем $- 10%$ . Итог? $+ 8%$
повыш.Кредит $330000$ ₽ на 2 года под $20%$ , два равных платежа. Платёж? $216000$ ₽

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем простые проценты отличаются от сложных?
Почему «+20 %, −20 %» — не ноль?
Какая прогрессия в каждой из двух схем кредита?

Домашнее задание

$200000$ ₽ под $6%$ , сложные, 3 года
Кредит $1200000$ ₽ на 6 месяцев под $1%$ в месяц, долг уменьшается равномерно: сколько всего выплатить?
* Кредит $662000$ ₽ на 3 года под $10%$ , три равных платежа
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-075 · Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 10/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.10 «Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты» → 2, 4–21 · опора R04.8 (n-й член) → 5, 6, 7 · R04.9 (суммы) → 3, 9–12, 17 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6–8, 10, 12, 14–21)
Результаты	ПР-29 (задачи из реальной жизни, калькулятор) → 2–21 · ПР-27 (формулы n-го члена и суммы) → 5–7, 10–13, 17 · ПР-28 (точки на плоскости) → 5 · ПР-15, ПР-16 (текстовые задачи, модели) → 18, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	сходимость и сумма бесконечно убывающей ГП — ALG9U-076; метод математической индукции — ALG9U-077; смеси и сплавы — не включены
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты

Сегодня вы научитесь

Считать проценты множителем

Видеть прогрессию во вкладе

Рассчитывать кредит

Решать задачи ОГЭ на проценты

Проценты и прогрессии — в уме

Изменение на p% — это умножение

Вклад растёт по прогрессии

Простые: % от начальной суммы

Сложные: % от текущей суммы

Сколько будет на вкладе?

Образец

Сам

Найдите процент или начальную сумму

Образец

Сам

Как изменилась цена в итоге?

Образец

Сам

Каждый период: долг ×k, затем платёж

Переплата — сумма арифметической прогрессии

Образец

Сам

Кредит S, ставка — множитель k, n равных платежей x

Найдите ежегодный платёж

Образец

Сам · равные платежи

Ситуация → модель → прогрессия

Три ошибки, которые стоят баллов

Проценты сложили

Сложные как простые

Не та база

Ученик решил две задачи про кредит. Где ошибки?

1. 210000 ₽, 2 года, 10%, два равных платежа

2. 400000 ₽, 4 месяца, 5% в месяц, долг убывает равномерно

Решите и сверьте ответ

Вклады с пополнением и кредиты

Текстовые задачи на проценты — с полным решением

Какой вклад выгоднее на 100000 ₽?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-075 · Задачи на проценты, банковские вклады и кредиты

Изменение на $p %$ — это умножение

Каждый период: долг $\times k$ , затем платёж

Кредит $S$ , ставка — множитель $k$ , $n$ равных платежей $x$

1. $210000$ ₽, 2 года, $10%$ , два равных платежа

2. $400000$ ₽, 4 месяца, $5%$ в месяц, долг убывает равномерно

Какой вклад выгоднее на $100000$ ₽?