Последовательности и прогрессии · урок 9 из 25

Сумма первых
n членов
прогрессий

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-074

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 9/25, единица R04.9 «Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-073 — формулы n-го члена; следующий ALG9U-075 — проценты, вклады и кредиты (там сложные проценты — это геометрическая прогрессия).
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (приём Гаусса) 3 · 5 (две формы суммы АП) 2 · 8 (вывод суммы ГП) 3 · 11 (сводка: четыре формулы, aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 12) по 3 = 15 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ линия 14 (сл. 17) 2 · ОГЭ линия 20 (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 3,5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы сумм

приём Гаусса для АП, «умножить на $q$ и вычесть» для ГП (ПР-25)

Вычислять суммы

первых $n$ членов АП и ГП, суммы членов с $k$ -го по $m$ -й (ПР-27)

Решать обратные задачи

находить $n$ , $d$ , $q$ , $b_{1}$ по сумме — через уравнение (ПР-27, ПР-6)

Применять в задачах

ОГЭ (линии 14 и 20) и задачи из жизни (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-27 (ФРП дословно): «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…». Опора — ПР-6 (квадратные уравнения): обратные задачи сводятся к ним.
Кодификатора у курса нет — цели только из результатов.

разминка · R04.8

Разминка · устно

Формулы n-го члена и быстрый счёт

a_{1} = 5, d = 3

a_{10}

= ?

32

b_{1} = 3, q = 2

b_{5}

= ?

48

a_{3} = 7, a_{7} = 19

d

= ?

3

1 + 2 + \dots + 10

вычислите

55

1 + 2 + 4 + 8 + 16

вычислите

31

2^{6} - 1

вычислите

63

\frac{3 ^{4} - 1}{3 - 1}

вычислите

40

n^{2} + n - 12 = 0

натуральный корень

3

R04.9

Новое · сумма арифметической прогрессии

Приём Гаусса: сложим сумму с собой «задом наперёд»

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$

$S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{2} + a_{1}$ в обратном порядке

$a_{2} + a_{n - 1} = (a_{1} + d) + (a_{n} - d) = a_{1} + a_{n}$

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot n$ $n$ одинаковых пар

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

3 мин · теория
История: по преданию, девятилетний Гаусс мгновенно нашёл 1 + 2 + … + 100 = 101 · 50 = 5050 — складывал первое с последним, второе с предпоследним.
Рисунок: фиолетовые столбики — члены АП (высоты растут на d). Розовые — те же столбики, перевёрнутые и поставленные сверху. Каждый составной столбик имеет высоту a₁ + aₙ, их n — прямоугольник площади n(a₁ + aₙ) = 2Sₙ.
Ключевой шаг — третья строка: при переходе вправо член растёт на d, при переходе влево (с конца) — уменьшается на d, поэтому сумма в каждой паре постоянна: aₖ + aₙ₋ₖ₊₁ = a₁ + aₙ.
Вопрос классу: работает ли формула при d < 0? (Да, вывод не использует знак d.)

R04.9

Новое · две формы суммы АП

Нет последнего члена — подставим $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n

— квадратный трёхчлен от

n

без свободного члена

Демонстрация

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)$

$= \frac{1 + ( 2 n - 1 )}{2} \cdot n = n^{2}$

Какую форму брать?

известен $a_{n}$ — первую; известны $a_{1}$ , $d$ , $n$ — вторую

R04.9

Образец → сам · сумма АП

Найдите сумму

Образец

$S_{20}$ для АП $7; 11; 15; \dots$

$a_{1} = 7, d = 4$ $d = 11 - 7$

$S_{20} = \frac{2 \cdot 7 + 4 \cdot 19}{2} \cdot 20$ вторая форма

$= 45 \cdot 20 = 900$ $\frac{14 + 76}{2} = 45$

Сам

база $a_{1} = - 3, d = 2$ : найдите $S_{15}$ $165$
база $a_{1} = 4, a_{30} = 91$ : найдите $S_{30}$ $1425$
повыш.Сумма всех двузначных чисел, кратных $7$ $728$

R04.9

Образец → сам · обратная задача

Известна сумма — найдите $n$ или $d$

Образец

Сколько первых членов АП $3; 7; 11; \dots$ дают в сумме $210$ ?

$\frac{6 + 4 ( n - 1 )}{2} \cdot n = 210$ $a_{1} = 3, d = 4$

$2 n^{2} + n - 210 = 0$ $(2 n + 1) n = 210$

$D = 1681 = 4 1^{2}, n = 10$ $- 10, 5 \in / N$

Сам

база $a_{1} = 2, S_{10} = 155$ . Найдите $d$ . $d = 3$
повыш.Сколько членов АП $5; 9; 13; \dots$ дают в сумме $324$ ? $12$
повыш.Может ли сумма первых членов АП $1; 4; 7; \dots$ быть равна $100$ ? нет

3 мин · практика
Образец: n = (−1 ± 41)/4: 10 и −10,5. Номер — натуральное число, поэтому n = 10. Проверка: a₁₀ = 39, (3 + 39)/2 · 10 = 210 ✓.
1) S₁₀ = (4 + 9d)/2 · 10 = 20 + 45d = 155, d = 3. Проверка: a₁₀ = 29, (2 + 29) · 5 = 155 ✓.
2) (10 + 4(n − 1))/2 · n = (2n + 3)n = 324; 2n² + 3n − 324 = 0; D = 9 + 2592 = 2601 = 51²; n = (−3 + 51)/4 = 12. Проверка: a₁₂ = 49, (5 + 49) · 6 = 324 ✓.
3) (2 + 3(n − 1))/2 · n = 100 ⇔ 3n² − n − 200 = 0; D = 2401 = 49²; n = 50/6 — не натуральное. Ответ: нет (S₈ = 92, S₉ = 117 — сумма «перепрыгивает» 100). Это и есть исследование уравнения в натуральных числах (ПР-13).

R04.9

Новое · сумма геометрической прогрессии

Умножим сумму на $q$ и вычтем

$q S_{n} - S_{n} = b_{1} q^{n} - b_{1}$ общие слагаемые сократились

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

q = 1

: все члены равны

b_{1}

,

S_{n} = n b_{1}

3 мин · теория
Строка qSₙ — та же сумма, сдвинутая на один член вправо: каждое слагаемое умножилось на q и стало следующим членом. При вычитании все средние слагаемые (от b₁q до b₁qⁿ⁻¹) сокращаются, остаются b₁qⁿ и b₁.
Sₙ(q − 1) = b₁(qⁿ − 1). Делить на q − 1 можно только при q ≠ 1 — поэтому случай q = 1 отдельно.
Удобная запись при |q| < 1 (меньше минусов): Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) — та же формула, числитель и знаменатель умножены на −1. Пригодится на уроке ALG9U-076 (бесконечно убывающая ГП).
Связь с разминкой: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 31; 1 + 3 + 9 + 27 = (3⁴ − 1)/2 = 40.

R04.9

Образец → сам · сумма ГП

Подставляем $b_{1}$ , $q$ и $n$

Образец

$S_{6}$ для ГП $2; 6; 18; \dots$

$b_{1} = 2, q = 3$ $q = 6 : 2$

$S_{6} = \frac{2 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1}$ формула

$= 3^{6} - 1 = 728$ $3^{6} = 729$

Сам

база $b_{1} = 5, q = 2$ : найдите $S_{5}$ $155$
база $S_{6}$ для ГП $48; - 24; 12; \dots$ $31, 5$
повыш. $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{7}$ $3280$

R04.9

Образец → сам · обратная задача для ГП

Известна сумма — найдите $q$ , $b_{1}$ или $n$

Образец

ГП: $b_{1} = 3$ , $S_{3} = 21$ , $q > 0$ . Найдите $q$ .

$3 (1 + q + q^{2}) = 21$ $S_{3} = b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2}$

$q^{2} + q - 6 = 0$ корни $2$ и $- 3$

$q = 2$ условие $q > 0$

Сам

база $b_{1} = 1, q = 2, S_{n} = 255$ . Найдите $n$ . $n = 8$
повыш. $q = 3, S_{4} = 80$ . Найдите $b_{1}$ . $b_{1} = 2$
повыш. $b_{1} = 2, S_{3} = 42$ . Найдите $q$ . $q = 4$ или $q = - 5$

R04.9

Сводка · формулы суммы

Четыре формулы и связь $S_{n}$ с членами

	сумма первых $n$ членов
АП	$\frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$
ГП, $q \neq = 1$	$\frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$
ГП, $q = 1$	$n b_{1}$

Член через суммы

$a_{1} = S_{1}, a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$

при $n \geq 2$

Члены с $k$ -го по $m$ -й

$a_{k} + \dots + a_{m} = S_{m} - S_{k - 1}$

2 мин · теория
Записать таблицу в тетрадь в рамку. Формулы ГП — одна и та же, во второй числитель и знаменатель умножены на −1.
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁: Sₙ = (a₁ + … + aₙ₋₁) + aₙ = Sₙ₋₁ + aₙ. Верно для любой последовательности, не только для прогрессий. Формула работает с n ≥ 2, поэтому a₁ всегда находим отдельно: a₁ = S₁ (ловушка на сл. 14).
Сумма «из середины»: S_m − S_{k−1} — из первых m членов вычли первые k − 1. Пример: a₁₁ + … + a₂₀ = S₂₀ − S₁₀ (не S₉!).

R04.9 · R04.6

Образец → сам · сумма задана формулой

По $S_{n}$ — члены и вид прогрессии

Образец

$S_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ . Докажите, что это АП, найдите $a_{1}$ и $d$ .

$a_{1} = S_{1} = 5$ отдельно

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 4 n + 1$ $n \geq 2$

при $n = 1$ : $4 + 1 = 5 = a_{1}$ совпало

$a_{n} = 4 n + 1$ — АП, $d = 4$ $a_{n + 1} - a_{n} = 4$

Сам

база $S_{n} = n^{2} + 4 n$ . Найдите $a_{1}$ и $a_{10}$ . $5; 23$
повыш. $S_{n} = 3^{n} - 1$ . Найдите $b_{1}$ и $q$ . $b_{1} = 2, q = 3$
повыш.АП $2; 5; 8; \dots$ : сумма членов с 11-го по 20-й $455$

R04.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Почему → верно
$2 + 4 + \dots + 40$	$\frac{2 + 40}{2} \cdot 40 = 840$	$n$ — число членов, а не последний член: $n = 20$ , $S = 420$
$1 + 2 + 4 + \dots + 64$	$n = 6$ : $2^{6} - 1 = 63$	от $2^{0}$ до $2^{6}$ — $7$ членов: $2^{7} - 1 = 127$
ГП: $b_{1} = 6$ , $q = - 2$ , $S_{3}$	$\frac{6 ( 8 - 1 )}{- 3} = - 14$	$(- 2)^{3} = - 8$ : $\frac{6 ( - 8 - 1 )}{- 3} = 18$

R04.9

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. АП: $a_{1} = - 5$ , $d = 3$ . Найдите $S_{12}$ .

$S_{12} = \frac{2 \cdot ( - 5 ) + 3 \cdot 12}{2} \cdot 12$

$= \frac{26}{2} \cdot 12 = 156$

Ошибка: множитель $d (n - 1) = 3 \cdot 11$

$S_{12} = \frac{- 10 + 33}{2} \cdot 12 = 138$

Задача 2. $S_{n} = n^{2} - 2 n + 3$ . Это АП?

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2 n - 3$

$a_{1} = - 1, d = 2$ — АП

Ошибка: $a_{1} = S_{1} = 2$ , формула $2 n - 3$ — только с $n = 2$

$2; 1; 3; 5; \dots$ — не АП

R04.9

Задания с самопроверкой · база

Найдите сумму

$1 + 2 + 3 + \dots + 100$ $5050$
АП: $a_{1} = 10, d = - 3$ ; $S_{8}$ $- 4$
$2 + 6 + 10 + \dots + 98$ $1250$

ГП: $b_{1} = 3, q = 2$ ; $S_{6}$ $189$
ГП $1; - 2; 4; \dots$ ; $S_{7}$ $43$
ГП: $b_{1} = 81, q = \frac{1}{3}$ ; $S_{5}$ $121$

R04.9 · R04.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свойства, обратные задачи, наибольшая сумма

повыш.Сумма всех трёхзначных чисел, кратных $9$ $55350$
повыш.АП: $a_{3} + a_{8} = 30$ . Найдите $S_{10}$ . $150$
повыш.ГП: $b_{2} = 6, b_{5} = 162$ . Найдите $S_{5}$ . $242$
повыш.АП $20; 17; 14; \dots$ : при каком $n$ сумма $S_{n}$ наибольшая? Найдите её. $n = 7, S_{7} = 77$
повыш. $S_{n} = 5 n^{2} - 3 n$ . Найдите $a_{10}$ . $92$

2 мин · практика
1) 108; 117; …; 999: n = (999 − 108)/9 + 1 = 100; S = (108 + 999)/2 · 100 = 55 350.
2) Свойство членов (урок ALG9U-072): a₃ + a₈ = a₁ + a₁₀ (сумма индексов 11). S₁₀ = 30/2 · 10 = 150.
3) q³ = 162/6 = 27, q = 3, b₁ = 2; S₅ = 2(243 − 1)/2 = 242.
4) Сумма растёт, пока члены положительны: aₙ = 23 − 3n > 0 ⇔ n ≤ 7 (a₇ = 2, a₈ = −1). S₇ = (20 + 2)/2 · 7 = 77. Другой путь: Sₙ = −1,5n² + 21,5n — парабола ветвями вниз, вершина n = 21,5/3 ≈ 7,2, ближайшее натуральное 7.
5) a₁₀ = S₁₀ − S₉ = 470 − 378 = 92 (aₙ = 10n − 8). Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R04.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14 · задачи из жизни

Прогрессия спрятана в условии

Рабочий в первый день сделал $12$ деталей, а каждый следующий день — на $3$ больше. Сколько деталей он сделал за $10$ дней? $255$
В первом ряду амфитеатра $20$ мест, в каждом следующем — на $2$ больше. Сколько мест в $15$ рядах? $510$
Альпинисты в первый день поднялись на $800$ м, а каждый следующий — на $50$ м меньше. За сколько дней они поднимутся на $5000$ м? $8$

Что известно:

a_{1}

,

d

,

n

? Что спрашивают: член или сумму?

Два корня

n

— проверьте смысл

R04.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Уравнение с суммой прогрессии — полное решение

$(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + \dots + (x + 28) = 155$ $1$
$x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$ $- 1$
$2 + 7 + 12 + \dots + x = 245$
(слагаемые — члены АП) $47$

1: сколько слагаемых?

1; 4; \dots; 28

2: это сумма ГП с

q = x

3: сначала

n

, потом

x = a_{n}

2 мин · практика
1) Числа 1, 4, …, 28 — АП с d = 3, n = (28 − 1)/3 + 1 = 10. Сумма: 10x + (1 + 28)/2 · 10 = 10x + 145 = 155, x = 1. Проверка: при x = 1 слагаемые 2, 5, …, 29: (2 + 29)/2 · 10 = 155 ✓. Ошибка: считать слагаемых 28 или 9.
2) x = 1 не корень (левая часть 6). При x ≠ 1 левая часть = (x⁶ − 1)/(x − 1) = 0 ⇔ x⁶ = 1 ⇔ x = ±1; x = 1 исключён. Ответ −1. Проверка: −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 0 ✓. Другой путь: группировка (x + 1)(x⁴ + x² + 1) = 0.
3) a₁ = 2, d = 5: (4 + 5(n − 1))/2 · n = 245 ⇔ 5n² − n − 490 = 0; D = 9801 = 99²; n = 10 (второй корень отрицательный). x = a₁₀ = 2 + 45 = 47. Проверка: (2 + 47)/2 · 10 = 245 ✓.
Задание 20 — 2 балла: нужна запись «число слагаемых → формула суммы → уравнение → ответ». В 2) без оговорки x ≠ 1 при делении решение неполное.

R04.9

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП: $a_{1} = 6, d = 4$ ; $S_{12}$ $336$
базаГП: $b_{1} = 2, q = 3$ ; $S_{5}$ $242$
базаСумма двузначных чисел, кратных $6$ $810$
повыш.Сколько членов АП $4; 7; 10; \dots$ дают в сумме $246$ ? $12$

Вариант 2

базаАП: $a_{1} = - 8, d = 3$ ; $S_{10}$ $55$
базаГП: $b_{1} = 5, q = - 2$ ; $S_{4}$ $- 25$
базаСумма двузначных чисел, кратных $8$ $616$
повыш.Сколько членов АП $3; 7; 11; \dots$ дают в сумме $300$ ? $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как Гаусс сложил числа от $1$ до $100$ ?
Зачем умножать сумму ГП на $q$ ?
Как найти $a_{n}$ , если дана формула $S_{n}$ ?

Домашнее задание

$1 + 5 + 9 + \dots + 81$
ГП: $b_{1} = 2, S_{3} = 14$ . Найдите $q$ .
* $S_{n} = n^{2} + n + 1$ — это АП?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-074 · Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 9/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.9 «Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий» → 2, 4–20 · опора R04.8 → 3 · R04.7 (свойства членов) → 16 · R04.6 → 12, 14 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 11) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 7, 9, 10, 12–20)
Результаты	ПР-27 (вычисления по формулам суммы первых n членов) → 2, 4–20 · ПР-25 (понятия АП и ГП) → 4, 5, 8, 12, 14 · ПР-29 (задачи из реальной жизни) → 17 · ПР-6, ПР-13 (уравнения, в т. ч. в натуральных числах) → 7, 10, 18, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	проценты, вклады и кредиты — ALG9U-075; бесконечно убывающая ГП и её сумма — ALG9U-076; метод математической индукции (доказательство формул суммы) — R04.12
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сумма первыхn членовпрогрессий

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы сумм

Вычислять суммы

Решать обратные задачи

Применять в задачах

Формулы n-го члена и быстрый счёт

Приём Гаусса: сложим сумму с собой «задом наперёд»

Нет последнего члена — подставим an​=a1​+d(n−1)

Демонстрация

Какую форму брать?

Найдите сумму

Образец

Сам

Известна сумма — найдите n или d

Образец

Сам

Умножим сумму на q и вычтем

Подставляем b1​, q и n

Образец

Сам

Известна сумма — найдите q, b1​ или n

Образец

Сам

Четыре формулы и связь Sn​ с членами

Член через суммы

Члены с k-го по m-й

По Sn​ — члены и вид прогрессии

Образец

Сам

Неверно → почему → верно

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. АП: a1​=−5, d=3. Найдите S12​.

Задача 2. Sn​=n2−2n+3. Это АП?

Найдите сумму

Свойства, обратные задачи, наибольшая сумма

Прогрессия спрятана в условии

Уравнение с суммой прогрессии — полное решение

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-074 · Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий

Сумма первых
n членов
прогрессий

Нет последнего члена — подставим $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Известна сумма — найдите $n$ или $d$

Умножим сумму на $q$ и вычтем

Подставляем $b_{1}$ , $q$ и $n$

Известна сумма — найдите $q$ , $b_{1}$ или $n$

Четыре формулы и связь $S_{n}$ с членами

Члены с $k$ -го по $m$ -й

По $S_{n}$ — члены и вид прогрессии

Задача 1. АП: $a_{1} = - 5$ , $d = 3$ . Найдите $S_{12}$ .

Задача 2. $S_{n} = n^{2} - 2 n + 3$ . Это АП?