Последовательности и прогрессии · урок 8 из 25

Формулы
n-го члена
прогрессий

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-073

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 8/25, единица R04.8 «Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-072 — свойства членов прогрессий (среднее арифметическое и среднее геометрическое соседей); следующий ALG9U-074 — формулы суммы первых n членов.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (вывод формулы АП, график) 3 · 7 (АП через любой член) 2 · 9 (вывод формулы ГП) 3 · 11 (сводка АП и ГП) 1,5 · 15 (типичные ошибки) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12, 13) 3 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 14) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 18 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

$a_{n}$ и $b_{n}$ — из определения прогрессии, по шагам (ПР-25)

Находить любой член

сотый, тысячный — без выписывания всех предыдущих (ПР-27)

Решать обратные задачи

найти $d$ , $q$ , $a_{1}$ , номер члена — по двум данным членам (ПР-27)

Видеть прогрессию на графике

точки $(n; a_{n})$ и задачи из жизни (ПР-28, ПР-29)

1 мин · теория
ПР-27 (ФРП дословно): «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов» (суммы — следующий урок). ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: задачи из реальной жизни.
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать задачи с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий…».

разминка · R04.6–R04.7

Разминка · устно

Прогрессии прошлых уроков

3; 7; 11; \dots

d = ?

4

20; 17; 14; \dots

следующий член

11

2; - 6; 18; \dots

q = ?

- 3

48; 24; 12; \dots

следующий член

6

4; x; 16

— АП

x = ?

10

4; x; 16

— ГП

x = ?

\pm 8

2^{5}

,

(- 1)^{7}

вычислите

32; - 1

c_{n} = 3 n - 1

c_{5} = ?

14

R04.8

Новый материал · n-й член арифметической прогрессии

От $a_{1}$ до $a_{n}$ — ровно $n - 1$ шаг по $d$

$a_{2} = a_{1} + d$ определение

$a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2 d$

$a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3 d$

$\dots$ к номеру $n$ — шагов $n - 1$

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

3 мин · теория
Вывод у доски: по определению каждый следующий член на d больше предыдущего. От первого до n-го члена — n − 1 переход, значит, к a₁ прибавляем d ровно n − 1 раз. Строгое доказательство — методом математической индукции (R04.12, позже в строке).
Вопрос классу: сколько шагов от a₁ до a₁₀₀? (99.) Сколько от a₅ до a₁₂? (7 — пригодится на сл. 7.)
График: a₁ = 1, d = 2 (1; 3; 5; 7; 9). Точки (n; aₙ) лежат на прямой: aₙ = dn + (a₁ − d) — линейная функция от n, d — угловой коэффициент. Соединять точки нельзя: n — только натуральные.

R04.8

Образец → сам · член по номеру

Найдите член арифметической прогрессии

Образец

$a_{1} = - 7, d = 3$ . Найдите $a_{21}$ .

$a_{21} = a_{1} + 20 d$ $n - 1 = 20$

$a_{21} = - 7 + 20 \cdot 3$ подстановка

$a_{21} = 53$ ответ

Сам

база $a_{1} = 12, d = - 4$ . Найдите $a_{15}$ . $- 44$
база $5; 8, 5; 12; \dots$ Найдите $a_{31}$ . $110$
повыш. $2; - 1; - 4; \dots$ Найдите $a_{101}$ . $- 298$

R04.8

Образец → сам · номер члена

Формула — уравнение относительно $n$

Образец

АП: $a_{1} = - 20, d = 0, 6$ . Является ли $7$ её членом?

$- 20 + 0, 6 (n - 1) = 7$ $a_{n} = 7$

$n - 1 = 45$ $27 : 0, 6$

$n = 46 \in N$ да, $a_{46} = 7$

Сам

база $a_{1} = 3, a_{10} = 30$ . Найдите $d$ . $d = 3$
базаСколько отрицательных членов в АП $- 47; - 43; \dots$ ? $12$
повыш.Является ли $100$ членом АП $3; 10; 17; \dots$ ? нет: $n - 1 = \frac{97}{7} \in / N$

R04.8

Сводка · через любой член

Шаги можно считать от любого члена

a_{m} = a_{k} + (m - k) d

d = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}

Демонстрация:

a_{5} = 17, a_{12} = 45

⇒

d = 4, a_{1} = 1

R04.8

Образец → сам · по двум членам

Известны два члена — известна вся прогрессия

Образец

АП: $a_{4} = 9, a_{10} = - 9$ . Найдите $a_{20}$ .

$6 d = - 18, d = - 3$ $a_{10} - a_{4}$

$a_{20} = a_{10} + 10 d$ от $a_{10}$

$a_{20} = - 9 - 30 = - 39$ ответ

Сам

база $a_{3} = 7, a_{8} = 22$ . Найдите $a_{1}$ и $a_{15}$ . $a_{1} = 1, a_{15} = 43$
база $a_{n} = 7 n - 4$ . Это АП? Найдите $a_{1}$ и $d$ . да: $a_{1} = 3, d = 7$
повыш. $a_{2} + a_{6} = 14$ , $a_{3} \cdot a_{5} = 33$ . Найдите $a_{1}$ и $d$ . $- 5; 4$ или $19; - 4$

R04.8

Новый материал · n-й член геометрической прогрессии

От $b_{1}$ до $b_{n}$ — $n - 1$ раз умножаем на $q$

$b_{2} = b_{1} q$ определение, $b_{1} \neq = 0, q \neq = 0$

$b_{3} = b_{2} q = b_{1} q^{2}$

$b_{4} = b_{3} q = b_{1} q^{3}$

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

$b_{m} = b_{k} q^{m - k}$ от любого члена

3 мин · теория
Вывод: каждый следующий член в q раз больше предыдущего; от b₁ до bₙ — n − 1 умножение, поэтому множитель q^{n−1}. Строго — индукцией (R04.12).
Через любой член: b_m = b₁q^{m−1}, b_k = b₁q^{k−1}; делим: b_m / b_k = q^{m−k}.
График: розовые точки b₁ = 1, q = 2 (1; 2; 4; 8; 16), бирюзовые b₁ = 16, q = 1/2 (16; 8; 4; 2; 1); масштаб 18 px на единицу, точки (3; 4) у них общие. Точки не на прямой — растут «всё быстрее» (или убывают «всё медленнее»). При q < 0 знаки чередуются, точки по разные стороны оси n.
Вопрос классу: почему в ГП b₁ ≠ 0 и q ≠ 0? (Иначе все члены с b₂ нули и q не определяется делением.)

R04.8

Образец → сам · член ГП по номеру

Найдите член геометрической прогрессии

Образец

$b_{1} = 3, q = - 2$ . Найдите $b_{6}$ .

$b_{6} = b_{1} q^{5}$ $n - 1 = 5$

$(- 2)^{5} = - 32$ нечётная степень

$b_{6} = 3 \cdot (- 32) = - 96$ ответ

Сам

база $b_{1} = 64, q = \frac{1}{2}$ . Найдите $b_{7}$ . $1$
база $2; 6; 18; \dots$ Найдите $b_{6}$ . $486$
повыш. $3; 3; \dots$ Найдите $b_{9}$ . $813$

R04.8

Сводка · АП и ГП рядом

Сложение ↔ умножение, множитель ↔ степень

	арифметическая	геометрическая
определение	$a_{n + 1} = a_{n} + d$	$b_{n + 1} = b_{n} q, b_{1} \neq = 0, q \neq = 0$
n-й член	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$
от $k$ -го члена	$a_{m} = a_{k} + (m - k) d$	$b_{m} = b_{k} q^{m - k}$
найти шаг	$d = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}$	$q^{m - k} = \frac{b _{m}}{b _{k}}$ (чётная степень — $\pm q$ )
точки $(n; \cdot)$	на прямой	не на прямой; при $q < 0$ знаки чередуются

R04.8

Образец → сам · обратная задача ГП

Найдите $q$ , $b_{1}$ или номер члена

Образец

ГП: $b_{2} = 6, b_{5} = 162$ . Найдите $q$ и $b_{1}$ .

$q^{3} = \frac{162}{6} = 27$ $b_{5} = b_{2} q^{3}$

$q = 3$ нечётная степень — один корень

$b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 2$ ответ

Сам

база $b_{3} = 12, b_{5} = 48$ . Найдите $q$ и $b_{1}$ . $q = \pm 2, b_{1} = 3$
базаКакой номер у члена $384$ в ГП $3; 6; 12; \dots$ ? $n = 8$
повыш. $b_{1} + b_{3} = 20$ , $b_{2} + b_{4} = 60$ . Найдите $b_{1}$ и $q$ . $b_{1} = 2, q = 3$

R04.8 · опора R04.7

Образец → сам · АП и ГП вместе

Члены одной прогрессии образуют другую

Образец

АП: $a_{1} = 2, d \neq = 0$ ; $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ — ГП. Найдите $d$ .

$a_{2} = 2 + d, a_{5} = 2 + 4 d$ формула $a_{n}$

$(2 + d)^{2} = 2 (2 + 4 d)$ свойство ГП

$d^{2} = 4 d, d = 4$ $d \neq = 0$ ; ГП $2; 6; 18$

Сам

базаПри каких $x$ числа $x - 1; 2 x; 5 x + 2$ — подряд идущие члены АП? $x = - 0, 5$
повыш.При каких $x$ числа $x; x + 6; 9 x$ — подряд идущие члены ГП? $x = 3$ или $x = - 1, 5$
повыш.АП: $a_{1} = 1, d \neq = 0$ ; $a_{1}, a_{3}, a_{11}$ — ГП. Найдите $a_{10}$ . $14, 5$

R04.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Прогрессия в задаче: найдите нужный член

В амфитеатре в первом ряду $18$ мест, в каждом следующем на $3$ больше. Сколько мест в $10$ -м ряду? $45$
Колония бактерий удваивается каждые $20$ минут. Сначала было $300$ бактерий. Сколько их через $2$ часа? $19200$
Камень падает в шахту: за первую секунду — $9$ м, за каждую следующую на $10$ м больше. Сколько метров за $6$ -ю секунду? $59$

«на … больше» — АП, «в … раз» — ГП

2: сколько удвоений? Это

n - 1

R04.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в формулах n-го члена

$n$ вместо $n - 1$

$3; 5; \dots$ : $a_{10} = 3 + 10 \cdot 2 = 23$

$a_{10} = 3 + 9 \cdot 2 = 21$

от $a_{1}$ до $a_{10}$ — $9$ шагов

Степень не у того

$b_{1} = 2, q = 3$ : $b_{4} = 6^{3} = 216$

$b_{4} = 2 \cdot 3^{3} = 54$

в степень возводится только $q$

Потеряли $- q$

$b_{3} = 12, b_{5} = 48$ : $q^{2} = 4, q = 2$

$q = 2$ или $q = - 2$

чётная степень — два значения

R04.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. АП: $a_{3} = 10, a_{7} = 22$ . Найдите $a_{1}$ .

$d = \frac{22 - 10}{7 - 3} = 3$

$a_{1} = a_{3} - 3 d = 10 - 9 = 1$

Ошибка: от $a_{1}$ до $a_{3}$ — два шага: $a_{1} = a_{3} - 2 d$

$a_{1} = 10 - 6 = 4$

Задача 2. ГП: $b_{1} = - 2, q = - 3$ . Найдите $b_{4}$ .

$b_{4} = b_{1} q^{3} = - 2 \cdot (- 3)^{3}$

$(- 3)^{3} = 27$ , $b_{4} = - 54$

Ошибка: $(- 3)^{3} = - 27$ — нечётная степень

$b_{4} = - 2 \cdot (- 27) = 54$

R04.8

Задания с самопроверкой · база

Найдите член прогрессии или её шаг

АП: $a_{1} = 4, d = - 3$ ; $a_{12}$ $- 29$
АП: $- 3; 1; 5; \dots$ ; $a_{20}$ $73$
АП: $a_{1} = 10, a_{6} = 0$ ; $d$ $- 2$

ГП: $b_{1} = 5, q = 2$ ; $b_{6}$ $160$
ГП: $81; - 27; 9; \dots$ ; $b_{6}$ $- \frac{1}{3}$
ГП: $b_{1} = 0, 5, b_{4} = - 4$ ; $q$ $- 2$

R04.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Номер члена, число членов, вставка чисел

повыш.Найдите первый отрицательный член АП $50; 46, 4; \dots$ $a_{15} = - 0, 4$
повыш.Сколько членов в конечной АП $7; 11; \dots; 403$ ? $100$
повыш.ГП: $b_{3} = 18, b_{6} = - 486$ . Найдите $b_{1}$ и $q$ . $2; - 3$
повыш.ГП с положительными членами: $b_{2} = 6, b_{4} = 54$ . Найдите $b_{7}$ . $1458$
повыш.Вставьте между $2$ и $162$ три числа так, чтобы получилась ГП. $6; 18; 54$ или $- 6; 18; - 54$

R04.8 · ПР-28, ПР-29

Задача из жизни

Смартфон за $40000$ ₽ дешевеет каждые полгода

практикаМагазин А: на $10 %$ за полгода. Цена через $2$ года? $26244$ ₽
практикаМагазин Б: на $3000$ ₽ за полгода. Цена через $2$ года? $28000$ ₽
повыш.Через сколько полугодий в А цена впервые ниже $25000$ ₽? $5$

R04.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП: $a_{1} = - 5, d = 4$ . Найдите $a_{11}$ . $35$
базаГП: $b_{1} = - 3, q = 2$ . Найдите $b_{5}$ . $- 48$
базаАП: $a_{4} = 11, a_{9} = 31$ . Найдите $a_{1}$ и $d$ . $a_{1} = - 1, d = 4$
повыш.Является ли $99$ членом АП $3; 7; 11; \dots$ ? да, $a_{25} = 99$

Вариант 2

базаАП: $a_{1} = 8, d = - 3$ . Найдите $a_{11}$ . $- 22$
базаГП: $b_{1} = 4, q = - 3$ . Найдите $b_{5}$ . $324$
базаАП: $a_{3} = - 2, a_{8} = 18$ . Найдите $a_{1}$ и $d$ . $a_{1} = - 10, d = 4$
повыш.Является ли $100$ членом АП $4; 9; 14; \dots$ ? нет: $n - 1 = 19, 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в формуле $n - 1$ , а не $n$ ?
Как найти $d$ по двум любым членам?
Когда у $q$ два значения?

Домашнее задание

АП: $a_{6} = 17, a_{15} = 53$ . Найдите $a_{30}$ .
ГП: $b_{2} = - 6, b_{5} = 162$ . Найдите $b_{7}$ .
Сколько членов АП $- 35; - 31, 5; \dots$ меньше $40$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-073 · Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 8/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.8 «Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий» → 2, 4–21 · опора R04.6–R04.7 → 3, 8, 13 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 11, 15) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 12–14, 16–21)
Результаты	ПР-27 (вычисления по формулам n-го члена) → 4–21 · ПР-25 (понятия АП и ГП) → 2, 3, 11 · ПР-28 (точки на координатной плоскости) → 4, 9, 19 · ПР-29 (задачи из жизни, калькулятор) → 14, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	суммы первых n членов — ALG9U-074; проценты, вклады и кредиты — ALG9U-075; метод математической индукции (строгий вывод формул) — R04.12
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формулыn-го членапрогрессий

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

Находить любой член

Решать обратные задачи

Видеть прогрессию на графике

Прогрессии прошлых уроков

От a1​ до an​ — ровно n−1 шаг по d

Найдите член арифметической прогрессии

Образец

Сам

Формула — уравнение относительно n

Образец

Сам

Шаги можно считать от любого члена

Известны два члена — известна вся прогрессия

Образец

Сам

От b1​ до bn​ — n−1 раз умножаем на q

Найдите член геометрической прогрессии

Образец

Сам

Сложение ↔ умножение, множитель ↔ степень

Найдите q, b1​ или номер члена

Образец

Сам

Члены одной прогрессии образуют другую

Образец

Сам

Прогрессия в задаче: найдите нужный член

Три ошибки в формулах n-го члена

n вместо n−1

Степень не у того

Потеряли −q

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. АП: a3​=10, a7​=22. Найдите a1​.

Задача 2. ГП: b1​=−2, q=−3. Найдите b4​.

Найдите член прогрессии или её шаг

Номер члена, число членов, вставка чисел

Смартфон за 40000 ₽ дешевеет каждые полгода

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-073 · Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий

Формулы
n-го члена
прогрессий

От $a_{1}$ до $a_{n}$ — ровно $n - 1$ шаг по $d$

Формула — уравнение относительно $n$

От $b_{1}$ до $b_{n}$ — $n - 1$ раз умножаем на $q$

Найдите $q$ , $b_{1}$ или номер члена

$n$ вместо $n - 1$

Потеряли $- q$

Задача 1. АП: $a_{3} = 10, a_{7} = 22$ . Найдите $a_{1}$ .

Задача 2. ГП: $b_{1} = - 2, q = - 3$ . Найдите $b_{4}$ .

Смартфон за $40000$ ₽ дешевеет каждые полгода