Последовательности и прогрессии · урок 7 из 25

Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-072

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 7/25, единица R04.7 «Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-071 — определения АП и ГП (d, q); следующий ALG9U-073 — формулы n-го члена. Формулой n-го члена сегодня не пользуемся: от члена к члену «шагаем» по определению.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (свойство АП, вывод) 2,5 · 6 (равноудалённые члены АП) 2 · 8 (свойство ГП, вывод) 2 · 9 (обобщение для ГП, знак) 1,5 · 11 (обратное свойство) 1,5 · 13 (сводка) 1.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 10, 12, 14) 3 + 3 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 1,5 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задание 2 сл. 14 и задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить член по соседям

среднее арифметическое в АП, среднее геометрическое в ГП (ПР-25)

Работать с равноудалёнными членами

$a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ , $b_{m} b_{n} = b_{p} b_{q}$ при $m + n = p + q$ (ПР-25)

Распознавать прогрессию

по трём числам; находить параметр, при котором числа образуют АП или ГП (ПР-25)

Решать задачи

формата ОГЭ и из жизни, изображать члены точками (ПР-28, ПР-29)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…». Кодификатора у курса нет.
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания».

разминка · R04.6

Разминка · устно

Прогрессии и средние

3, 7, 11, \dots

d

и следующий член

4; 15

2, - 6, 18, \dots

q

и следующий член

- 3; - 54

5, 5, 5, \dots

АП? ГП?

обе

1, 4, 9, 16

АП? ГП?

ни та, ни другая

\frac{7 + 15}{2}

вычислите

11

\frac{- 3 + 11}{2}

вычислите

4

4 \cdot 9

вычислите

6

0, 5 \cdot 8

вычислите

2

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) d = 7 − 3 = 4, следующий 15. 2) q = −6 : 2 = −3, следующий 18 · (−3) = −54. 3) d = 0 и q = 1 — и АП, и ГП. 4) Разности 3, 5, 7 не равны; отношения 4, 9/4 не равны — ни та, ни другая (квадраты натуральных чисел).
5) 22 : 2 = 11. 6) 8 : 2 = 4. 7) √36 = 6. 8) √4 = 2.
Карточки 5–8 — «среднее арифметическое» и «среднее геометрическое» двух чисел: сегодня это главные инструменты. Вопрос: где на карточке 1 число 7 по отношению к 3 и 11? (Ровно посередине.)

R04.7

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член — среднее арифметическое соседей

$a_{n} - a_{n - 1} = d$ по определению

$a_{n + 1} - a_{n} = d$ по определению

$a_{n} - a_{n - 1} = a_{n + 1} - a_{n}$ правые части равны

$2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ перенесли

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}, n \geq 2

2,5 мин · теория
Вывод показывать по шагам; на числовой прямой (масштаб: 1 единица = 20 px, точки 5, 9, 13) соседи стоят симметрично относительно a_n на расстоянии |d|.
Условие n ≥ 2: у первого члена нет левого соседа; у конечной прогрессии свойство верно и не для последнего члена.
Отсюда и название: «арифметическая» — каждый член есть среднее арифметическое соседей. Вопрос классу: верно ли это при d < 0? (Да, вывод не зависел от знака d; пример 13, 9, 5.)

R04.7

Образец → сам · член по соседям

Найдите неизвестный член арифметической прогрессии

Образец

$(a_{n})$ — АП, $a_{7} = - 4$ , $a_{9} = 10$ . Найдите $a_{8}$ и $d$ .

$a_{8} = \frac{a _{7} + a _{9}}{2}$ свойство АП

$a_{8} = \frac{- 4 + 10}{2} = 3$ подставили

$d = a_{8} - a_{7} = 3 - (- 4) = 7$ определение

Сам

база $a_{3} = 2, 5$ , $a_{5} = 8, 5$ . Найдите $a_{4}$ . $5, 5$
база $a_{11} = 12$ , $a_{12} = 20$ . Найдите $a_{10}$ . $4$
повыш.Образуют ли АП числа $2 - 1$ , $2$ , $2 + 1$ ? да, $d = 1$

R04.7

Обобщение · равноудалённые члены

Суммы членов с одинаковой суммой номеров равны

$a_{n \pm k} = a_{n} \pm k d$ $k$ шагов по $d$

$a_{n} = \frac{a _{n - k} + a _{n + k}}{2}$ сложили

m + n = p + q \Rightarrow a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}

обе суммы равны $2 a_{1} + (m + n - 2) d$

R04.7

Образец → сам · равноудалённые члены

Смотрим на сумму номеров

Образец

$(a_{n})$ — АП, $a_{3} + a_{11} = 18$ . Найдите $a_{7}$ и $a_{5} + a_{9}$ .

$3 + 11 = 14 = 7 + 7$ сумма номеров

$a_{7} = \frac{a _{3} + a _{11}}{2} = 9$ $a_{7}$ — середина

$a_{5} + a_{9} = 18$ $5 + 9 = 14$

Сам

база $a_{2} + a_{12} = 30$ . Найдите $a_{7}$ . $15$
база $a_{4} + a_{10} = 26$ . Найдите $a_{6} + a_{8}$ и $a_{1} + a_{13}$ . $26$ и $26$
повыш. $a_{5} = 7$ . Найдите $a_{1} + a_{3} + a_{7} + a_{9}$ . $28$

R04.7

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат члена равен произведению соседей

$\frac{b _{n}}{b _{n - 1}} = q, \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ определение, $b_{n} \neq = 0$

$\frac{b _{n}}{b _{n - 1}} = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ правые части равны

b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}, n \geq 2

$b_{n} = b_{n - 1} b_{n + 1}$ если все члены положительны

При

b_{n} > 0

: член — среднее геометрическое соседей

2 мин · теория
На графике — точки ГП 1, 2, 4, 8, 16 (q = 2) на координатной плоскости (ПР-28): точки не лежат на одной прямой, в отличие от АП. Масштаб: 1 единица = 22 px по оси b_n.
Все члены ГП отличны от нуля (по определению), поэтому делить можно. Свойство b_n² = b_n−1b_n+1 верно при любом знаке q; формула с корнем — только для положительных членов.
Вопрос: 2, −6, 18 — проверьте свойство. ((−6)² = 36 = 2 · 18 ✓, но −6 ≠ √36: среднее геометрическое здесь не работает, работает равенство с квадратом.)

R04.7

Обобщение · равноудалённые члены ГП

В ГП вместо сумм — произведения

$b_{n \pm k} = b_{n} \cdot q^{\pm k}$ $k$ шагов по $q$

b_{n}^{2} = b_{n - k} \cdot b_{n + k}

m + n = p + q \Rightarrow b_{m} b_{n} = b_{p} b_{q}

Знак члена

$b_{n + 2} = b_{n} \cdot q^{2}$ , а $q^{2} > 0$ : члены через один — одного знака

Пример

$3, - 6, 12, - 24, 48$ : $b_{2} b_{4} = 144 = b_{1} b_{5}$ , $b_{3}^{2} = 144$

R04.7

Образец → сам · геометрическая прогрессия

Найдите член или произведение членов ГП

Образец

$(b_{n})$ — ГП, $b_{3} = 4$ , $b_{5} = 9$ . Найдите $b_{4}$ .

$b_{4}^{2} = b_{3} \cdot b_{5}$ свойство ГП

$b_{4}^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ подставили

$b_{4} = 6$ или $b_{4} = - 6$ знак не задан

$4, 6, 9$ ( $q = 1, 5$ ) и $4, - 6, 9$ ( $q = - 1, 5$ )

Сам

базаЧлены ГП положительны, $b_{6} = 2$ , $b_{8} = 18$ . Найдите $b_{7}$ . $6$
база $b_{2} b_{10} = 49$ . Найдите $b_{4} b_{8}$ . $49$
повыш. $b_{4} = - 3$ . Найдите $b_{2} b_{3} b_{5} b_{6}$ . $81$

R04.7

Обратное утверждение · признак прогрессии

Свойство работает и в обратную сторону

Арифметическая

$2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ для всех $n \geq 2$

$\Rightarrow a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ разности равны

Три числа $a, b, c$ — подряд в АП $\Leftrightarrow$ $2 b = a + c$

Геометрическая

$b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}$ , все $b_{n} \neq = 0$

$\Rightarrow \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{n}}{b _{n - 1}}$ отношения равны

Три числа $a, b, c \neq = 0$ — подряд в ГП $\Leftrightarrow$ $b^{2} = a c$

Ловушка:

0, 0, 5

— равенство

0^{2} = 0 \cdot 5

верно, но это не ГП: в ГП нулей нет

1,5 мин · теория
Это характеристическое свойство: последовательность — АП тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго (и кроме последнего у конечной), равен среднему арифметическому соседей. Для ГП — с условием, что все члены не равны нулю.
Демонстрация учителя: при каком x числа x − 1, 2x, x + 7 образуют АП? 2 · 2x = (x − 1) + (x + 7), 4x = 2x + 6, x = 3; числа 2, 6, 10 (d = 4) ✓.
Вопрос: почему в признаке ГП условие b ≠ 0 обязательно, а в признаке АП — нет? (Деление на члены в выводе; 0, 0, 5 даёт ложный «ответ».)

R04.7

Образец → сам · числа с параметром

При каких $x$ числа образуют прогрессию?

Образец

$x, x + 3, 4 x$ — подряд идущие члены ГП

$(x + 3)^{2} = x \cdot 4 x$ признак ГП

$x + 3 = 2 x$ или $x + 3 = - 2 x$ $A^{2} = B^{2}$

$x = 3$ или $x = - 1$

$3, 6, 12$ и $- 1, 2, - 4$ нулей нет ✓

Сам

базаАП: $x + 1, 2 x + 1, 4 x - 3$ $x = 4$
повыш.ГП: $x - 1, x + 1, 2 x + 5$ $x = 2$ или $x = - 3$
повыш.АП: $x^{2}, x + 3, 6$ $x = 0$ или $x = 2$

R04.7

Сводка · свойства прогрессий

Две прогрессии — одна идея

	Арифметическая	Геометрическая
соседи	$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$	$b_{n}^{2} = b_{n - 1} b_{n + 1}$
через $k$ членов	$a_{n} = \frac{a _{n - k} + a _{n + k}}{2}$	$b_{n}^{2} = b_{n - k} b_{n + k}$
$m + n = p + q$	$a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$	$b_{m} b_{n} = b_{p} b_{q}$
три числа $a, b, c$	$2 b = a + c$	$b^{2} = a c$ , $a, b, c \neq = 0$

R04.7 · часть 2

Образец → сам · АП и ГП вместе

Три числа: обозначаем через средний член

Три числа образуют АП, их сумма $15$ . Если к ним прибавить $1$ , $4$ и $19$ , получится ГП. Найдите числа.

$a - d, a, a + d$ ; $3 a = 15$ , $a = 5$ симметрично

$6 - d, 9, 24 + d$ — ГП прибавили

$81 = (6 - d) (24 + d)$ признак ГП

$d^{2} + 18 d - 63 = 0$ , $d = 3$ или $d = - 21$

$2, 5, 8$ или $26, 5, - 16$

Сам

повыш.Три числа — ГП, их произведение $64$ , сумма $14$ . Найдите числа. $2, 4, 8$ или $8, 4, 2$
повыш.Три числа — АП, сумма $12$ , произведение $28$ . Найдите числа. $1, 4, 7$ или $7, 4, 1$

2,5 мин · практика
Образец (оформление как в части 2 ОГЭ): (6 − d)(24 + d) = 144 − 18d − d² = 81 ⇒ d² + 18d − 63 = 0, D = 324 + 252 = 576, d = (−18 ± 24)/2 = 3 или −21. Проверка: 2, 5, 8 → 3, 9, 27 (q = 3) ✓; 26, 5, −16 → 27, 9, 3 (q = 1/3) ✓.
1) Средний член b: b² = произведение крайних ⇒ b³ = 64, b = 4. Крайние 4/q и 4q: 4/q + 4 + 4q = 14 ⇒ 2q² − 5q + 2 = 0 ⇒ q = 2 или 0,5. Числа 2, 4, 8 или 8, 4, 2.
2) Средний 12 : 3 = 4; (4 − d) · 4 · (4 + d) = 28 ⇒ 16 − d² = 7 ⇒ d = ±3. Числа 1, 4, 7 или 7, 4, 1 (1 · 4 · 7 = 28 ✓).
Приём «через средний член» убирает одно неизвестное сразу — главная идея слайда.

R04.7

Осторожно · типичные ошибки

Номера и значения — не одно и то же

Где ошибаются	Неверно	Верно
складывают номера	$a_{3} + a_{5} = a_{8}$	$a_{3} + a_{5} = 2 a_{4} = a_{1} + a_{7}$
то же в ГП	$b_{2} b_{6} = b_{8}$	$b_{2} b_{6} = b_{4}^{2} = b_{1} b_{7}$
суммы номеров разные	$a_{2} + a_{9} = 2 a_{5}$	$a_{2} + a_{9} = a_{5} + a_{6}$
потерян знак	$b_{4}^{2} = 36 \Rightarrow b_{4} = 6$	$b_{4} = \pm 6$ , если знак не задан

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно, до открытия строки)
1) a₃ + a₅ = 2a₁ + 6d, a₈ = a₁ + 7d — совпадают только при a₁ = d (например, 1, 2, 3, …), поэтому «проверка на примере» обманчива. Контрпример: 1, 3, 5, …: a₃ + a₅ = 5 + 9 = 14, а a₈ = 15.
2) Контрпример: 1, 2, 4, …: b₂b₆ = 2 · 32 = 64, b₈ = 128.
3) 2 + 9 = 11 ≠ 10 = 5 + 5. Верно: 11 = 5 + 6. Пример: 1, 2, 3, …: 2 + 9 = 11 = 5 + 6, а 2a₅ = 10.
4) Знак b₄ определён, только если дано что-то ещё: все члены положительны, или известен член с номером той же чётности (сл. 9).

R04.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) ГП: $b_{3} = - 2$ , $b_{7} = - 18$ . Найдите $b_{5}$ .

$b_{5}^{2} = 36$ , $b_{5} = \pm 6$

$b_{5} = b_{3} q^{2}$ — знак как у $b_{3}$

$b_{5} = - 6$

б) АП: $a_{4} = 10$ , $a_{10} = 22$ . Найдите $a_{7}$ и $d$ .

$a_{7} = 16$ , $d = \frac{22 - 10}{2} = 6$

$a_{10} - a_{4} = 6 d$

$a_{7} = 16$ , $d = 2$

в) При каких $x$ числа $x - 1$ , $2 x - 2$ , $5 x - 1$ образуют ГП?

$(x - 1) (- x - 3) = 0$ ; ответ: $1; - 3$

$x = 1$ : $0, 0, 4$ — не ГП

ответ: $x = - 3$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Между b₃ и b₇ четыре шага, b₅ = b₃q², q² > 0 ⇒ b₅ < 0. Ответ −6 (q² = 3; −2, …, −6, …, −18 ✓; (−6)² = 36 = (−2)(−18) ✓).
б) a₇ = (10 + 22) : 2 = 16 — верно; но от a₄ до a₁₀ шесть шагов: 6d = 12, d = 2 (не 2 шага). Проверка: a₇ = 10 + 3 · 2 = 16 ✓.
в) (2x − 2)² = (x − 1)(5x − 1) ⇔ (x − 1)(4x − 4 − 5x + 1) = 0 ⇔ (x − 1)(−x − 3) = 0 — разложение верное. При x = 1 числа 0, 0, 4 — в ГП нулей нет. При x = −3: −4, −8, −16 (q = 2) ✓. Ответ: x = −3.

R04.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

АП: $a_{5} = 12$ , $a_{7} = 20$ . $a_{6}$ — ? $16$
ГП, $b_{n} > 0$ : $b_{4} = 3$ , $b_{6} = 27$ . $b_{5}$ — ? $9$
АП: $a_{1} + a_{9} = 22$ . $a_{5}$ — ? $11$

ГП: $b_{3} b_{9} = 25$ . $b_{4} b_{8}$ — ? $25$
Образуют ли ГП числа $2, 8, 32$ ? да, $q = 4$
АП: $a_{10} = 7$ , $a_{11} = 4$ . $a_{9}$ — ? $10$

R04.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Ищите пары с одинаковой суммой номеров

повыш.АП: $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 27$ . Найдите $a_{5}$ . $9$
повыш.ГП: $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} b_{5} = 32$ . Найдите $b_{3}$ . $2$
повыш.АП: $a_{6} = 5$ . Найдите $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11}$ . $55$
повыш.ГП с положительными членами: $b_{2} = 2$ , $b_{6} = 32$ . Найдите $b_{3}$ . $4$

R04.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Прогрессия в жизни — ответ одно число

Число мест в рядах амфитеатра — АП. В 5-м ряду 26 мест, в 7-м — 30. Сколько мест в 3-м и 9-м рядах вместе? $56$
Число бактерий каждый час увеличивается в одно и то же число раз. В 10:00 их было 200, в 12:00 — 1800. Сколько было в 11:00? $600$
Больной принимает лекарство: каждый день на одно и то же число капель больше. На 4-й день — 9 капель, на 10-й — 21. Сколько капель на 7-й день? $15$

Сначала: АП или ГП?
«на … больше» — АП
«в … раз» — ГП

В бланк — только число

R04.7 · ПР-28

Задача из жизни

Мяч отскакивает: каждый отскок — та же доля предыдущего

2-й отскок — $1, 8$ м, 4-й — $0, 8$ м.

практикаВысота 3-го отскока? $1, 2$ м
практикаВысота 1-го отскока? $2, 7$ м
повыш.Высота 5-го отскока (до сотых)? $0, 53$ м

R04.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП: $a_{8} = 3$ , $a_{10} = 11$ . Найдите $a_{9}$ . $7$
базаГП, $b_{n} > 0$ : $b_{5} = 2$ , $b_{7} = 18$ . Найдите $b_{6}$ . $6$
базаАП: $a_{3} + a_{15} = 40$ . Найдите $a_{9}$ . $20$
повыш.При каком $x$ числа $x + 2$ , $3 x$ , $4 x + 2$ образуют АП? $x = 4$

Вариант 2

базаАП: $a_{6} = - 5$ , $a_{8} = 9$ . Найдите $a_{7}$ . $2$
базаГП, $b_{n} > 0$ : $b_{2} = 3$ , $b_{4} = 48$ . Найдите $b_{3}$ . $12$
базаАП: $a_{5} + a_{17} = 30$ . Найдите $a_{11}$ . $15$
повыш.При каком $x$ числа $x - 3$ , $2 x$ , $4 x + 1$ образуют АП? $x = 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти член АП по двум соседям? А член ГП?
Когда $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ ?
Почему в признаке ГП нужны ненулевые числа?

Домашнее задание

АП: $a_{6} = 4$ , $a_{8} = 16$ . Найдите $a_{7}$ .
ГП, $b_{n} > 0$ : $b_{3} b_{11} = 81$ . Найдите $b_{7}$ .
* При каких $x$ числа $x + 1$ , $2 x + 2$ , $5 x - 1$ образуют ГП?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-072 · Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 7/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.7 «Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий» → 2, 4–22 · опора R04.6 → 3 · теория 12,5 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13) · практика 32,5 мин, 72 % (сл. 3, 5, 7, 10, 12, 14–22)
Результаты	ПР-25 (понятия АП и ГП) → 2–19, 21 · ПР-28 (члены точками на плоскости) → 8, 20 · ПР-29 (задачи, в том числе из жизни) → 14, 19, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	формулы n-го члена — ALG9U-073; сумма первых n членов — ALG9U-074; проценты и вклады — R04.10; бесконечно убывающая ГП — R04.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий

Сегодня вы научитесь

Находить член по соседям

Работать с равноудалёнными членами

Распознавать прогрессию

Решать задачи

Прогрессии и средние

Каждый член — среднее арифметическое соседей

Найдите неизвестный член арифметической прогрессии

Образец

Сам

Суммы членов с одинаковой суммой номеров равны

Смотрим на сумму номеров

Образец

Сам

Квадрат члена равен произведению соседей

В ГП вместо сумм — произведения

Знак члена

Пример

Найдите член или произведение членов ГП

Образец

Сам

Свойство работает и в обратную сторону

Арифметическая

Геометрическая

При каких x числа образуют прогрессию?

Образец

Сам

Две прогрессии — одна идея

Три числа: обозначаем через средний член

Сам

Номера и значения — не одно и то же

Где ошибся ученик?

а) ГП: b3​=−2, b7​=−18. Найдите b5​.

б) АП: a4​=10, a10​=22. Найдите a7​ и d.

в) При каких x числа x−1, 2x−2, 5x−1 образуют ГП?

Решите и проверьте

Ищите пары с одинаковой суммой номеров

Прогрессия в жизни — ответ одно число

Мяч отскакивает: каждый отскок — та же доля предыдущего

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-072 · Свойства членов арифметической и геометрической прогрессий

При каких $x$ числа образуют прогрессию?

а) ГП: $b_{3} = - 2$ , $b_{7} = - 18$ . Найдите $b_{5}$ .

б) АП: $a_{4} = 10$ , $a_{10} = 22$ . Найдите $a_{7}$ и $d$ .

в) При каких $x$ числа $x - 1$ , $2 x - 2$ , $5 x - 1$ образуют ГП?