Последовательности и прогрессии · урок 6 из 25

Арифметическая
и геометрическая
прогрессии

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-071

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 6/25, единица R04.6 «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-070 — способы задания последовательности (рекуррентный способ — опора сегодня); следующий ALG9U-072 — свойства членов прогрессий.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (наблюдение) 1,5 · 5 (определение АП) 2,5 · 7 (определение ГП) 2,5 · 9 (сравнение) 2 · 10 (монотонность) 2 · 12 (как доказать по формуле, демонстрация) 1.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 13, 14) 3 + 3 + 2,5 + 3 · распознаём (сл. 11) 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2,5 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Формулу n-го члена сегодня не вводим (это ALG9U-073): члены считаем «шагами» по определению. Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Оперировать понятиями

арифметическая и геометрическая прогрессии, разность $d$ , знаменатель $q$ (ПР-25)

Распознавать прогрессию

по первым членам, по рекуррентной формуле и по формуле $n$ -го члена (ПР-26)

Видеть её на графике

точки $(n; a_{n})$ : на прямой — АП, «разгон» — ГП; возрастание и убывание (ПР-28, ПР-30)

Решать задачи

найти пропущенный член, неизвестное, ответ на вопрос из жизни (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни…». ПР-30: «…монотонно возрастающих (убывающих) последовательностей».
Вид деятельности ФРП по строке: «Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания».

разминка · R04.4–R04.5

Разминка · устно

Продолжите и вычислите

5, 9, 13, 17, \dots

следующий член

21

3, 6, 12, 24, \dots

следующий член

48

a_{1} = 2,

a_{n + 1} = a_{n} + 5

a_{3}

= ?

12

b_{1} = 3, b_{n + 1} = 2 b_{n}

b_{3}

= ?

12

a_{n} = 3 n - 1

a_{10}

= ?

29

7 - (- 5)

вычислите

12

(- 18) : 6

вычислите

- 3

1, 4, 9, 16, \dots

возрастающая?

да

R04.6

Наблюдение

Прибавляем одно и то же — или умножаем на одно и то же

Лестница: ступенька выше на 15 см

$15, 30, 45, 60, \dots$ $+ 15$

Сгибаем лист пополам: толщина, мм

$0, 1; 0, 2; 0, 4; 0, 8; \dots$ $\cdot 2$

1,5 мин · теория
Вопрос классу: что общего у двух последовательностей и чем они отличаются? Обе заданы рекуррентно (как на прошлом уроке): следующий член получается из предыдущего одним и тем же действием. Слева — прибавляем 15, справа — умножаем на 2.
Слева рост равномерный (ступеньки одинаковые), справа — всё быстрее: после 7 сгибов толщина 0,1 · 2⁷ = 12,8 мм, а после 10 сгибов — 102,4 мм (больше 10 см). Не открывать формулу степени — её выведем на уроке ALG9U-073; сейчас можно просто удваивать.

R04.6

Определение · арифметическая прогрессия

Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число $d$

a_{n + 1} = a_{n} + d, n \in N

$d$ — разность прогрессии: $d = a_{n + 1} - a_{n}$ (любое число)

Задать АП = задать $a_{1}$ и $d$ . Пример: $a_{1} = 2$ , $d = 3$

Точки

(n; a_{n})

лежат на одной прямой.

2,5 мин · теория
Определение записать в тетрадь в рамку. «Арифметическая» — от того, что каждый член (с 2-го) — среднее арифметическое соседей; это свойство докажем на следующем уроке (ALG9U-072).
По клику на рисунке появляются «ступеньки»: шаг по n равен 1, шаг по высоте — d = 3. Все ступеньки одинаковые, поэтому точки лежат на прямой (на прямой y = 3x − 1; связь с линейной функцией обсудим на ALG9U-073).
Вопрос: какой может быть d? Любой: d > 0, d < 0, d = 0 (например, 4, 4, 4, …). Название: разность — потому что d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = …

R04.6

Образец → сам · арифметическая прогрессия

Находим члены и разность «шагами»

Образец

$a_{1} = 7$ , $a_{n + 1} = a_{n} - 3$ . Докажите, что это АП, и найдите $a_{5}$ .

$a_{n + 1} - a_{n} = - 3$ одно и то же при всех $n$

АП, $d = - 3$ по определению

$7, 4, 1, - 2, \dots$ каждый раз $- 3$

$a_{5} = - 2 - 3 = - 5$ убывает: $d < 0$

Сам

база $a_{1} = - 5$ , $d = 4$ . Найдите $a_{5}$ . $- 1; 3; 7; 11$ → $a_{5} = 11$
базаАП: $12; 9, 5; 7; \dots$ Найдите $d$ и $a_{6}$ . $d = - 2, 5$ ; $a_{6} = - 0, 5$
обратная $a_{4} = 10$ , $a_{5} = 7$ . Найдите $a_{1}$ . $d = - 3$ , $a_{1} = 19$

R04.6

Определение · геометрическая прогрессия

Первый член не 0, каждый следующий — предыдущий, умноженный на одно и то же $q \neq = 0$

b_{n + 1} = b_{n} \cdot q

b_{1} \neq = 0, q \neq = 0

$q$ — знаменатель: $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$

Задать ГП = задать $b_{1}$ и $q$ . Пример: $b_{1} = 1$ , $q = 2$

Все члены ГП не равны 0. Точки — не на прямой: шаг растёт.

R04.6

Образец → сам · геометрическая прогрессия

Находим члены и знаменатель «шагами»

Образец

ГП: $b_{1} = 162$ , $q = - \frac{1}{3}$ . Найдите $b_{5}$ .

$b_{2} = 162 \cdot (- \frac{1}{3}) = - 54$

$b_{3} = 18, b_{4} = - 6$ знаки чередуются: $q < 0$

$b_{5} = - 6 \cdot (- \frac{1}{3}) = 2$

Сам

база $b_{1} = - 2$ , $q = 3$ . Найдите $b_{4}$ . $- 6; - 18; - 54$ → $b_{4} = - 54$
базаГП: $5; - 10; 20; \dots$ Найдите $q$ и $b_{5}$ . $q = - 2$ ; $b_{5} = 80$
обратная $b_{3} = 12$ , $b_{4} = 18$ . Найдите $b_{1}$ . $q = 1, 5$ ; $b_{1} = \frac{16}{3}$

R04.6

Сводка · сравним

Две прогрессии рядом

	Арифметическая	Геометрическая
Шаг	$a_{n + 1} = a_{n} + d$	$b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$
Как найти	$d = a_{2} - a_{1}$	$q = b_{2} : b_{1}$
Ограничения	$d$ — любое	$b_{1} \neq = 0$ , $q \neq = 0$ ⇒ все $b_{n} \neq = 0$
Задаётся	$a_{1}$ и $d$	$b_{1}$ и $q$
Пример	$10, 7, 4, 1, \dots$ ( $d = - 3$ )	$10, - 5, 2, 5, \dots$ ( $q = - 0, 5$ )
Обе сразу	постоянная $c, c, c, \dots$ при $c \neq = 0$ : $d = 0$ и $q = 1$

R04.6 · опора R04.4

Схема · монотонность

Когда прогрессия возрастает, убывает, постоянна

АП, $d > 0$

возрастает

АП, $d < 0$

убывает

АП, $d = 0$

постоянная

ГП, $b_{1} > 0$ , $q > 1$

возрастает

ГП, $b_{1} > 0$ , $0 < q < 1$

убывает

ГП, $q < 0$

знаки чередуются — не монотонна

R04.6

Самопроверка · распознаём

АП, ГП, обе или ни одна?

последовательность	АП?	ГП?
$3, 7, 11, 15, \dots$	да, $d = 4$	нет
$2, - 6, 18, - 54, \dots$	нет	да, $q = - 3$
$8, 4, 2, 1, \dots$	нет	да, $q = \frac{1}{2}$
$5, 5, 5, 5, \dots$	да, $d = 0$	да, $q = 1$
$0, 0, 0, 0, \dots$	да, $d = 0$	нет: $b_{1} = 0$
$1, 4, 9, 16, \dots$	нет	нет

R04.6 · опора R04.5

Схема · как доказать

Последовательность задана формулой $n$ -го члена: прогрессия ли это?

АП?

найти $a_{n + 1} - a_{n}$ в общем виде

ГП?

найти $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ в общем виде

Не зависит от

n

— прогрессия. Зависит — нет.

Демонстрация: $a_{n} = 4 n - 7$

$a_{n + 1} = 4 (n + 1) - 7 = 4 n - 3$

$a_{n + 1} - a_{n} = (4 n - 3) - (4 n - 7) = 4$

не зависит от $n$ ⇒ АП, $d = 4$ , $a_{1} = - 3$

$c_{n} = n^{2}$ : $c_{n + 1} - c_{n} = 2 n + 1$ — зависит ⇒ не АП

R04.6

Образец → сам · по формуле n-го члена

Докажите или опровергните

Образец: $b_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ — ГП?

$b_{n} \neq = 0$ при всех $n$ делить можно

$\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{3 \cdot 2 ^{n + 1}}{3 \cdot 2 ^{n}} = 2$ от $n$ не зависит

ГП: $q = 2$ , $b_{1} = 6$

Сам: АП, ГП или ни одна?

база $x_{n} = 3 - 0, 5 n$ АП, $d = - 0, 5$
база $y_{n} = 5 \cdot (- 3)^{n}$ ГП, $q = - 3$
повыш. $z_{n} = n^{2} + n$ ни одна: разность $2 n + 2$

R04.6

Образец → сам · с неизвестным

При каких $x$ три числа — последовательные члены прогрессии?

Образец: $x, x + 3, 4 x$ — ГП?

$\frac{x + 3}{x} = \frac{4 x}{x + 3}$ , $x \neq = 0, x \neq = - 3$ одно $q$

$(x + 3)^{2} = 4 x^{2}$ ⇒ $x + 3 = \pm 2 x$

$x = 3$ : $3, 6, 12$ $q = 2$

$x = - 1$ : $- 1, 2, - 4$ $q = - 2$

Ответ: $- 1; 3$ проверка подстановкой

Сам

база $x, 7, 2 x + 5$ — АП $x = 3$ : $3, 7, 11$
повыш. $p, 6, p + 5$ — ГП $p = 4$ или $p = - 9$
повыш.Есть ли $x$ : $x - 1, 2 x, 3 x + 4$ — АП? нет: $x + 1 \neq = x + 4$

3 мин · практика
Опора — только определение: в АП равны соседние разности, в ГП — соседние отношения (характеристическое свойство «в общем виде» — на ALG9U-072). Обязательно проверить, что получившиеся числа не нули для ГП.
Образец: x + 3 = 2x ⇒ x = 3; x + 3 = −2x ⇒ x = −1. Оба значения не обнуляют членов: 3, 6, 12 и −1, 2, −4 ✓.
1) 7 − x = (2x + 5) − 7 ⇒ 7 − x = 2x − 2 ⇒ x = 3; 3, 7, 11, d = 4 ✓.
2) 6/p = (p + 5)/6 ⇒ p² + 5p − 36 = 0 ⇒ p = 4 или p = −9 (p ≠ 0). 4, 6, 9 (q = 1,5) ✓; −9, 6, −4 (q = −2/3) ✓.
3) 2x − (x − 1) = x + 1, (3x + 4) − 2x = x + 4; x + 1 = x + 4 — неверно при всех x ⇒ таких x нет.

R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Где ошибаются чаще всего

Ошибка	Неверно	Верно
разность «наоборот»	$10, 7, 4$ : $d = 10 - 7 = 3$	$d = 7 - 10 = - 3$
потерян знак $q$	$3, - 6, 12$ : $q = 2$	$q = - 6 : 3 = - 2$
нули в ГП	$0, 0, 0$ — ГП	не ГП: $b_{1} \neq = 0$ (это АП, $d = 0$ )
«растёт — значит АП»	$1, 2, 4, 7$ — АП	разности $1, 2, 3$ — не АП

R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) АП: $a_{1} = 4$ , $d = - 2$ . Найдите $a_{4}$ .

$4, 6, 8, 10$

$a_{4} = 10$

$d < 0$ : $4, 2, 0, - 2$

$a_{4} = - 2$

б) Является ли $2, 6, 18, 54$ арифметической прогрессией?

Да: каждый член больше в 3 раза, $d = 3$

разности $4, 12, 36$ — не АП

это ГП, $q = 3$

в) ГП: $b_{1} = 48$ , $q = - \frac{1}{2}$ . Найдите $b_{3}$ .

$b_{2} = - 24$ , $b_{3} = - 12$

$b_{3} = - 24 \cdot (- \frac{1}{2})$

$b_{3} = 12$

R04.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

АП: $a_{1} = 6$ , $d = - 4$ . Найдите $a_{4}$ . $- 6$
ГП: $b_{1} = 0, 5$ , $q = 4$ . Найдите $b_{4}$ . $32$
АП: $1, 2; 1, 5; 1, 8; \dots$ Найдите $a_{5}$ . $2, 4$

ГП: $54; - 18; 6; \dots$ Найдите $b_{5}$ . $\frac{2}{3}$
АП: $a_{3} = - 1$ , $a_{4} = 5$ . Найдите $a_{1}$ . $- 13$
ГП: $b_{2} = 6$ , $b_{3} = - 2$ . Найдите $b_{1}$ . $- 18$

R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $a_{1} = 3$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ . Является ли $(a_{n})$ арифметической прогрессией? нет: $3, 5, 9, 15$
повыш.Докажите, что $c_{n} = 2 \cdot 5^{n + 1}$ — ГП. Найдите $q$ и $c_{1}$ . $q = 5$ , $c_{1} = 50$
повыш.При каком $x$ числа $x + 1, 3 x, 4 x + 3$ — последовательные члены АП? $x = 4$
повыш.ГП: $b_{1} = - 4$ , $q = \frac{1}{2}$ . Возрастающая или убывающая? возрастающая

R04.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Прогрессия в задаче из жизни: ответ — одно число

В первом ряду амфитеатра 18 мест, в каждом следующем — на 3 больше. Сколько мест в 6-м ряду?

$33$

Колония из 300 бактерий удваивается каждые 20 минут. Сколько бактерий будет через 1 ч 20 мин?

$4800$

Тело за 1-ю секунду падения проходит 4,9 м, а за каждую следующую — на 9,8 м больше. Сколько метров за 4-ю секунду?

$34, 3$

Сначала: какая прогрессия, чему равны первый член и

d

(или

q

), какой номер нужен.

R04.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

АП: $a_{1} = - 3$ , $d = 5$ . Найдите $a_{4}$ . $12$
ГП: $b_{1} = 2$ , $q = - 3$ . Найдите $b_{4}$ . $- 54$
$7; 3; - 1; \dots$ — АП или ГП? Найдите пятый член. АП, $- 9$
При каких $x$ числа $x, x + 6, 4 x$ — ГП? $- 2; 6$

Вариант 2

АП: $a_{1} = 8$ , $d = - 3$ . Найдите $a_{4}$ . $- 1$
ГП: $b_{1} = - 3$ , $q = 2$ . Найдите $b_{4}$ . $- 24$
$2; - 4; 8; \dots$ — АП или ГП? Найдите пятый член. ГП, $32$
При каких $x$ числа $x, x + 4, 9 x$ — ГП? $- 1; 2$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) −3, 2, 7, 12. 2) 2, −6, 18, −54. 3) разности −4, −4 ⇒ АП, d = −4: 7, 3, −1, −5, −9. 4) (x + 6)/x = 4x/(x + 6), x ≠ 0, x ≠ −6 ⇒ (x + 6)² = 4x² ⇒ x + 6 = ±2x ⇒ x = 6 (6, 12, 24; q = 2) или x = −2 (−2, 4, −8; q = −2).
Вариант 2: 1) 8, 5, 2, −1. 2) −3, −6, −12, −24. 3) отношения −2, −2 ⇒ ГП, q = −2: 2, −4, 8, −16, 32. 4) (x + 4)² = 9x² ⇒ x + 4 = ±3x ⇒ x = 2 (2, 6, 18; q = 3) или x = −1 (−1, 3, −9; q = −3).
4,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 4 без проверки, что члены не нули, — полбалла.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем АП отличается от ГП?
Как найти $d$ и $q$ ? Почему в ГП нет нулей?
Когда ГП возрастает?

Домашнее задание

АП: $a_{1} = 2, 5$ , $d = 1, 5$ — первые 5 членов
$b_{n} = \frac{3 ^{n}}{2}$ — ГП? Найдите $q$ .
* При каких $x$ числа $x, 2 x + 2, 3 x + 3$ — ГП?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-071 · Арифметическая и геометрическая прогрессии

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 6/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.6 «Арифметическая и геометрическая прогрессии» → 2, 4–21 · опора R04.4–R04.5 → 3, 10, 12 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 6, 8, 11, 13–21)
Результаты	ПР-25 (понятия АП и ГП) → 4–11, 15, 16 · ПР-26 (способы задания) → 6, 8, 12, 13, 18 · ПР-28 (точки на плоскости) → 5, 7, 10 · ПР-30 (монотонность) → 10, 18 · ПР-29 (задачи, в т. ч. из жизни) → 14, 19, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	свойства членов (среднее арифметическое/геометрическое) — ALG9U-072; формулы n-го члена — ALG9U-073; суммы — R04.9; проценты и вклады — R04.10
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Арифметическаяи геометрическаяпрогрессии

Сегодня вы научитесь

Оперировать понятиями

Распознавать прогрессию

Видеть её на графике

Решать задачи

Продолжите и вычислите

Прибавляем одно и то же — или умножаем на одно и то же

Лестница: ступенька выше на 15 см

Сгибаем лист пополам: толщина, мм

Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число d

Находим члены и разность «шагами»

Образец

Сам

Первый член не 0, каждый следующий — предыдущий, умноженный на одно и то же q=0

Находим члены и знаменатель «шагами»

Образец

Сам

Две прогрессии рядом

Когда прогрессия возрастает, убывает, постоянна

АП, d>0

АП, d<0

АП, d=0

ГП, b1​>0, q>1

ГП, b1​>0, 0<q<1

ГП, q<0

АП, ГП, обе или ни одна?

Последовательность задана формулой n-го члена: прогрессия ли это?

АП?

ГП?

Демонстрация: an​=4n−7

Докажите или опровергните

Образец: bn​=3⋅2n — ГП?

Сам: АП, ГП или ни одна?

При каких x три числа — последовательные члены прогрессии?

Образец: x, x+3, 4x — ГП?

Сам

Где ошибаются чаще всего

Где ошибся ученик?

а) АП: a1​=4, d=−2. Найдите a4​.

б) Является ли 2,6,18,54 арифметической прогрессией?

в) ГП: b1​=48, q=−21​. Найдите b3​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Прогрессия в задаче из жизни: ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-071 · Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая
и геометрическая
прогрессии

Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число $d$

Первый член не 0, каждый следующий — предыдущий, умноженный на одно и то же $q \neq = 0$

АП, $d > 0$

АП, $d < 0$

АП, $d = 0$

ГП, $b_{1} > 0$ , $q > 1$

ГП, $b_{1} > 0$ , $0 < q < 1$

ГП, $q < 0$

Последовательность задана формулой $n$ -го члена: прогрессия ли это?

Демонстрация: $a_{n} = 4 n - 7$

Образец: $b_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ — ГП?

При каких $x$ три числа — последовательные члены прогрессии?

Образец: $x, x + 3, 4 x$ — ГП?

а) АП: $a_{1} = 4$ , $d = - 2$ . Найдите $a_{4}$ .

б) Является ли $2, 6, 18, 54$ арифметической прогрессией?

в) ГП: $b_{1} = 48$ , $q = - \frac{1}{2}$ . Найдите $b_{3}$ .