Последовательности · урок 5 из 25

Способы задания последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-070

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 5/25, единица R04.5. Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-069 — монотонные последовательности; следующий ALG9U-071 — арифметическая и геометрическая прогрессии.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (четыре способа) 3 · 5 (формула n-го члена и график) 3 · 8 (рекуррентный способ) 3 · 10 (переход между способами) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) 3 + 2 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 13) 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 4 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Задавать четырьмя способами

описанием, таблицей, формулой $n$ -го члена, рекуррентно (ПР-26)

Вычислять члены

по формуле $a_{n}$ и по рекуррентной формуле (ПР-25)

Переходить между способами

находить формулу по первым членам и по рекуррентной (ПР-26)

Строить график

члены последовательности — точки $(n; a_{n})$ (ПР-28)

1 мин · теория
ПР-26 (ФРП дословно): «Задавать последовательности разными способами: описательным, табличным, с помощью формулы n-го члена, рекуррентным». ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29 — задачи из реальной жизни (сл. 18).
Вид деятельности ФРП по строке: «Анализировать формулу n-го члена последовательности или рекуррентную формулу и вычислять члены последовательностей, заданных этими формулами. Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько ее членов».

разминка · R04.1–R04.4

Разминка · устно

Продолжите или вычислите

2, 5, 8, 11, \dots

следующий член

14

1, 4, 9, 16, \dots

следующий член

25

3, 6, 12, 24, \dots

следующий член

48

1, 1, 2, 3, 5, \dots

следующий член

8

a_{n} = 2 n + 1

a_{5} = ?

11

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n

a_{3} = ?

- 3

a_{n} = n^{2} - n

a_{4} = ?

12

a_{n} = 10 - n

возрастает или убывает?

убывает

R04.5

Новое · четыре способа

Одна последовательность — квадраты натуральных чисел

1. Описательный

«последовательность квадратов натуральных чисел»

словами; бывает без формулы: простые числа $2, 3, 5, 7, 11, \dots$

2. Табличный

$n$	1	2	3	4	5
$a_{n}$	1	4	9	16	25

только конечное число членов

3. Формула $n$ -го члена

$a_{n} = n^{2}$

любой член сразу: $a_{100} = 10000$

4. Рекуррентный

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$

следующий член — через предыдущий

3 мин · теория
Описательный способ — словесное правило. Пример без формулы: последовательность простых чисел; последовательность десятичных приближений √2 с недостатком: 1; 1,4; 1,41; 1,414; …
Табличный — удобно для данных из жизни (температура по дням, курс валют), но задаёт только конечную последовательность или первые члены.
Формула n-го члена: a_n = f(n), n ∈ ℕ — любой член без вычисления предыдущих.
Рекуррентный (лат. recurrere — «возвращаться»): задают первый член (или несколько первых) и правило, по которому следующий член выражается через предыдущие. Проверка: (n + 1)² = n² + 2n + 1 — значит, формулы 3 и 4 задают одну и ту же последовательность.
Вопрос: каким способом задана последовательность в разминке 1–4? (Описанием по первым членам — правило угадали; в 5–8 — формулой.)

R04.5 · ПР-28

Новое · формула и график

$a_{n} = n^{2} - 6 n + 10$ : график — отдельные точки

a_{n} = f (n), n \in N

$a_{4} = 16 - 24 + 10 = 2$ подставили $n = 4$

$a_{10} = 100 - 60 + 10 = 50$

a_{n} = (n - 3)^{2} + 1 \geq 1

: наименьший член

a_{3} = 1

, последовательность ограничена снизу

3 мин · теория
Последовательность — функция натурального аргумента: a_n = f(n). Поэтому её график — не линия, а отдельные точки (n; a_n) с натуральной абсциссой. Точки не соединяем: между n = 3 и n = 4 членов нет.
Члены: a_1 = 5, a_2 = 2, a_3 = 1, a_4 = 2, a_5 = 5, a_6 = 10 (на графике), a_10 = 50. Точки лежат на параболе y = x² − 6x + 10 — график функции, но взяты только при x = 1, 2, 3, …
Связь с прошлыми уроками: (n − 3)² + 1 ≥ 1 — ограничена снизу; не монотонна (убывает до a_3, затем возрастает).
Масштаб чертежа: 70 px на 1 по n, 32 px на 1 по a_n; ось a_n начинается с 0.

R04.5

Образец → сам · формула n-го члена

Вычислите члены по формуле

Образец

$a_{n} = n^{2} - 3 n$ . Найдите $a_{1}$ , $a_{10}$ , $a_{n + 1}$ .

$a_{1} = 1 - 3 = - 2$ $n = 1$

$a_{10} = 100 - 30 = 70$ $n = 10$

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 3 (n + 1)$ $n \to n + 1$

$a_{n + 1} = n^{2} - n - 2$ раскрыли скобки

Сам

база $a_{n} = 2^{n} - n$ . Найдите $a_{4}$ . $12$
база $a_{n} = (- 1)^{n} (n + 1)$ . Найдите $a_{7}$ . $- 8$
повыш. $a_{n} = n^{2} + n$ . Найдите $a_{n + 1}$ . $n^{2} + 3 n + 2$

R04.5

Образец → сам · обратная задача

Является ли число членом последовательности?

Образец

Является ли $99$ членом $a_{n} = n^{2} + 2 n$ ?

$n^{2} + 2 n = 99$ приравняли

$n = 9$ или $n = - 11$ $D_{1} = 1 + 99 = 100$

$n \in N$ : $n = 9$ номер — натуральный

Да, $a_{9} = 99$ проверка: $81 + 18 = 99$

Сам

базаЯвляется ли $47$ членом $a_{n} = 5 n - 3$ ? да, $a_{10}$
базаЯвляется ли $100$ членом $a_{n} = 3 n + 2$ ? нет
повыш.Сколько отрицательных членов у $a_{n} = 2 n - 15$ ? $7$

R04.5

Новое · рекуррентный способ

Первый член + правило перехода к следующему

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 3$ :
$2, 5, 8, 11, \dots$

$b_{1} = 3, b_{n + 1} = 2 b_{n}$ :
$3, 6, 12, 24, \dots$

$F_{1} = F_{2} = 1$ ,
$F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ :
$1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

Без первого члена правило не задаёт последовательность. Чтобы найти

a_{100}

, нужны все предыдущие члены.

3 мин · теория
Рекуррентная формула выражает член через один или несколько предыдущих. Обязательно указывают начальные члены: при a_{n+1} = a_n + 3 и a_1 = 0 получится другая последовательность 0, 3, 6, …
Пример 1 (+3) и пример 2 (×2) — будущие арифметическая и геометрическая прогрессии (следующий урок). Пример 3 — числа Фибоначчи: нужны два первых члена, потому что правило использует два предыдущих.
Вопрос: удобно ли рекуррентно найти F_30? (Нужно 28 шагов — долго; поэтому ищут формулу n-го члена, сл. 10–11.)

R04.5

Образец → сам · рекуррентная формула

Вычислите члены шаг за шагом

Образец

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ . Найдите $a_{4}$ .

$a_{2} = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ $n = 1$

$a_{3} = 3 \cdot 5 - 1 = 14$ $n = 2$

$a_{4} = 3 \cdot 14 - 1 = 41$ $n = 3$

Сам

база $c_{1} = 5, c_{n + 1} = c_{n} - 2 n$ . Найдите $c_{4}$ . $- 7$
база $b_{1} = 1, b_{n + 1} = b_{n}^{2} - 2$ . Найдите $b_{10}$ . $- 1$
повыш. $x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{n + 2} = x_{n + 1} - x_{n}$ . Найдите $x_{20}$ . $2$

R04.5

Новое · переход между способами

Как перейти от одного способа к другому

Переход	Как действуем
описание → формула	«нечётные числа»: $a_{n} = 2 n - 1$
формула → таблица	подставляем $n = 1, 2, 3, \dots$
формула → рекуррентная	выражаем $a_{n + 1}$ через $a_{n}$
рекуррентная → формула	выписываем члены, угадываем, проверяем

Учитель показывает

$a_{n} = 2^{n} + 1$ — задайте рекуррентно

$a_{1} = 3$

$a_{n + 1} = 2 \cdot 2^{n} + 1$

$2^{n} = a_{n} - 1$

$a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$

2 мин · теория
Демонстрация: a_{n+1} = 2^{n+1} + 1 = 2·2ⁿ + 1; из a_n = 2ⁿ + 1 получаем 2ⁿ = a_n − 1, значит a_{n+1} = 2(a_n − 1) + 1 = 2a_n − 1. Проверка: 3, 5, 9, 17 и 2¹ + 1, 2² + 1, 2³ + 1, 2⁴ + 1 = 3, 5, 9, 17 ✓.
Переход «рекуррентная → формула»: формула угадывается по первым членам, поэтому её обязательно проверяют: (1) верен первый член; (2) формула удовлетворяет рекуррентному правилу. Строго это доказывают методом математической индукции (R04.12, позже в этой строке).
Переход «формула → рекуррентная» всегда возможен, обратный — не всегда просто (например, для чисел Фибоначчи формула сложная).

R04.5

Образец → сам · от рекуррентной к формуле

Найдите формулу $n$ -го члена

Образец

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n + 1)$

$2, 6, 12, 20, \dots$ выписали члены

$1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, 4 \cdot 5$ закономерность

$a_{n} = n (n + 1)$ гипотеза

$(n + 1) (n + 2) - n (n + 1) = 2 (n + 1)$ ✓

Сам

база $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 4$ $a_{n} = 4 n - 1$
база $b_{1} = 2, b_{n + 1} = 3 b_{n}$ $b_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$
повыш. $c_{1} = 1, c_{n + 1} = \frac{c _{n}}{1 + c _{n}}$ $c_{n} = \frac{1}{n}$

R04.5

Образец → сам · по первым членам

Подберите формулу по выписанным членам

Образец

$2, 5, 10, 17, 26, \dots$

$1, 4, 9, 16, 25$ на 1 меньше — квадраты

$a_{n} = n^{2} + 1$ гипотеза

$a_{3} = 9 + 1 = 10$ проверка ✓

Сам

база $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$ $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$
база $- 1, 2, - 3, 4, - 5, \dots$ $a_{n} = (- 1)^{n} n$
повыш. $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ $a_{n} = 2^{n} - 1$

2 мин · практика
Образец: сравнить с известными последовательностями (натуральные, квадраты, степени двойки) — разность 1 с квадратами.
1) числитель — номер, знаменатель — на 1 больше: n/(n + 1). 2) модуль — номер, знак «−» при нечётных n: (−1)ⁿ·n. 3) на 1 меньше степеней двойки 2, 4, 8, 16, 32: 2ⁿ − 1 (рекуррентно a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 1).
Важно: по нескольким первым членам формула — гипотеза, она не единственная (сл. 13). В задачах пишут «выписаны первые члены… найдите формулу, задающую эту закономерность».

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

$a_{n + 1}$ — не $a_{n} + 1$

$a_{n} = n^{2}$ : $a_{n + 1} = n^{2} + 1$

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2}$

меняется номер, а не значение

Номер — натуральное число

$n^{2} - 2 n = 15$ : «это $a_{5}$ и $a_{- 3}$ »

только $a_{5} = 15$

$n = - 3 \in / N$

Формула по членам — гипотеза

$1, 2, 4, \dots$ : «это $2^{n - 1}$ »

$\frac{n ^{2} - n + 2}{2}$ даёт $1, 2, 4, 7$

проверяйте по условию задачи

R04.5

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + n$ . Найдите $a_{5}$ .

$a_{2} = 2 + 2 = 4$ , $a_{3} = 4 + 3 = 7$

$a_{4} = 7 + 4 = 11$ , $a_{5} = 11 + 5 = 16$

Ошибка: $a_{2} = a_{1} + 1$ (здесь $n = 1$ )

$a_{2} = 3, a_{3} = 5, a_{4} = 8, a_{5} = 12$

2. $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot 3 n$ . Найдите $a_{5} + a_{6}$ .

$a_{5} = 15$ , $a_{6} = 18$

$a_{5} + a_{6} = 33$

Ошибка: $(- 1)^{5} = - 1$ , значит $a_{5} = - 15$

$a_{5} + a_{6} = - 15 + 18 = 3$

R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$a_{n} = 4 n - 9$ . Найдите $a_{12}$ . $39$
$a_{n} = n^{3} - n$ . Найдите $a_{3}$ . $24$
$a_{1} = 4, a_{n + 1} = a_{n} - 3$ . Найдите $a_{5}$ . $- 8$

$b_{1} = 1, b_{n + 1} = - 2 b_{n}$ . Найдите $b_{6}$ . $- 32$
Формула для $5, 10, 15, 20, \dots$ $a_{n} = 5 n$
Является ли $61$ членом $a_{n} = 7 n - 2$ ? да, $a_{9}$

R04.5 · R04.3–R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Период, гипотеза, параметр

повыш. $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a _{n}}$ . Найдите $a_{100}$ . $2$
повыш. $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ : формула и $a_{20}$ $n^{2} - 1; 399$
повыш.Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 10 n + 21$ ? $3$
повыш.При каких $a$ последовательность $a_{n} = n^{2} - an$ возрастает? $a < 3$
повыш.Задайте рекуррентно $a_{n} = 5 \cdot 2^{n} - 3$ . $a_{1} = 7, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$

2 мин · практика
1) 2, 1/(1 − 2) = −1, 1/(1 + 1) = 1/2, 1/(1 − 1/2) = 2 — период 3. 100 = 3·33 + 1 ⇒ a_100 = a_1 = 2.
2) на 1 меньше квадратов: n² − 1; a_20 = 400 − 1 = 399.
3) (n − 3)(n − 7) < 0 ⇒ 3 < n < 7 ⇒ n = 4, 5, 6 — три члена (a_4 = −3, a_5 = −4, a_6 = −3).
4) a_{n+1} − a_n = 2n + 1 − a > 0 при всех n ∈ ℕ ⇔ при n = 1: 3 − a > 0 ⇔ a < 3 (наименьшая разность — при n = 1). Граница: при a = 3 a_1 = a_2 = −2 — не возрастает.
5) a_1 = 10 − 3 = 7; 2ⁿ = (a_n + 3)/5, a_{n+1} = 10·2ⁿ − 3 = 2(a_n + 3) − 3 = 2a_n + 3. Проверка: 7, 17, 37 = 5·2 − 3, 5·4 − 3, 5·8 − 3 ✓. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R04.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Последовательность задана условиями — ответ одно число

Последовательность задана условиями $a_{1} = - 3$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 4$ . Найдите $a_{10}$ . $33$
Последовательность задана условиями $b_{1} = 2$ , $b_{n + 1} = - 2 b_{n}$ . Найдите $b_{6}$ . $- 64$
Выписаны первые члены: $3; 8; 13; 18; \dots$ Найдите член с номером $51$ . $253$

Много шагов — ищите формулу

n

-го члена

В бланк — только число: 33, а не

a_{10} = 33

R04.5 · ПР-29

Задача из жизни

В пруду 300 рыб. За год их число удваивается, затем вылавливают 100

практика $b_{n}$ — рыб в начале $n$ -го года. Задайте рекуррентно. $b_{1} = 300, b_{n + 1} = 2 b_{n} - 100$
практикаЗаполните таблицу. $500; 900; 1700$
повыш.Докажите: $b_{n} = 100 \cdot 2^{n} + 100$ . ✓
повыш.В каком году рыб впервые больше $10000$ ? в начале 7-го

$n$	$b_{n}$
1	300
2	500
3	900
4	1700

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $a_{n} = 3 n^{2} - 5$ . Найдите $a_{4}$ . $43$
база $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 4$ . Найдите $a_{4}$ . $- 4$
базаЯвляется ли $83$ членом $a_{n} = 4 n + 3$ ? да, $a_{20}$
повыш.Задайте рекуррентно $a_{n} = 3 n + 2$ . $a_{1} = 5, a_{n + 1} = a_{n} + 3$

Вариант 2

база $a_{n} = 2 n^{2} + 3$ . Найдите $a_{5}$ . $53$
база $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 5$ . Найдите $a_{4}$ . $- 11$
базаЯвляется ли $75$ членом $a_{n} = 6 n + 1$ ? нет
повыш.Задайте рекуррентно $a_{n} = 5 \cdot 3^{n}$ . $a_{1} = 15, a_{n + 1} = 3 a_{n}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите четыре способа задать последовательность.
Чем рекуррентный способ неудобен для $a_{100}$ ?
Почему формулу по первым членам надо проверять?

Домашнее задание

$a_{n} = n^{2} - 7 n + 12$ : какие члены равны $0$ ? Постройте точки для $n = 1, \dots, 6$ .
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ : найдите $a_{6}$ и формулу $a_{n}$ .
* Является ли $2026$ членом $a_{n} = n^{2} + n$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-070 · Способы задания последовательности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 5/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.5 «Способы задания последовательности: описательный, табличный, с помощью формулы n-го члена, рекуррентный» → 2, 4–20 · опора R04.1–R04.4 → 3, 5, 16 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11–20)
Результаты	ПР-26 (задавать последовательности разными способами) → 2, 4, 8, 10–12, 16, 18–20 · ПР-25 (оперировать понятием последовательности) → 3, 6, 7, 9, 13–15, 17 · ПР-28 (точки на координатной плоскости) → 5, 20 · ПР-29 (задачи из реальной жизни) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	арифметическая и геометрическая прогрессии — ALG9U-071 и далее; метод математической индукции (строгое доказательство формулы) — R04.12
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Способы задания последовательности

Сегодня вы научитесь

Задавать четырьмя способами

Вычислять члены

Переходить между способами

Строить график

Продолжите или вычислите

Одна последовательность — квадраты натуральных чисел

1. Описательный

2. Табличный

3. Формула n-го члена

4. Рекуррентный

an​=n2−6n+10: график — отдельные точки

Вычислите члены по формуле

Образец

Сам

Является ли число членом последовательности?

Образец

Сам

Первый член + правило перехода к следующему

Вычислите члены шаг за шагом

Образец

Сам

Как перейти от одного способа к другому

Учитель показывает

Найдите формулу n-го члена

Образец

Сам

Подберите формулу по выписанным членам

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

an+1​ — не an​+1

Номер — натуральное число

Формула по членам — гипотеза

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. a1​=2, an+1​=an​+n. Найдите a5​.

2. an​=(−1)n⋅3n. Найдите a5​+a6​.

Решите и проверьте

Период, гипотеза, параметр

Последовательность задана условиями — ответ одно число

В пруду 300 рыб. За год их число удваивается, затем вылавливают 100

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-070 · Способы задания последовательности

3. Формула $n$ -го члена

$a_{n} = n^{2} - 6 n + 10$ : график — отдельные точки

Найдите формулу $n$ -го члена

$a_{n + 1}$ — не $a_{n} + 1$

1. $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + n$ . Найдите $a_{5}$ .

2. $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot 3 n$ . Найдите $a_{5} + a_{6}$ .