Последовательности · урок 4 из 25

Возрастающие
и убывающие
последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-069

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 4/25, единица R04.4 «Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-068 — ограниченная последовательность; следующий ALG9U-070 — способы задания последовательности.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определения, графики) 2,5 · 5 (виды) 2 · 6 (три способа) 2 · 9 (функция и последовательность) 2 · 12 (монотонность и ограниченность) 1,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 10, 11, 13) 3 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4,5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать монотонные

возрастающие, убывающие, немонотонные — по определению и по графику (ПР-30, ПР-28)

Доказывать монотонность

знак разности $a_{n + 1} - a_{n}$ , отношение, свойства функции (ПР-30)

Находить крайние члены

наибольший и наименьший член, границы последовательности (ПР-29)

Решать задачи с параметром

при каких $p$ последовательность возрастает или убывает (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-30 (ФРП дословно): «Распознавать и приводить примеры конечных и бесконечных последовательностей, ограниченных последовательностей, монотонно возрастающих (убывающих) последовательностей». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Определять виды последовательностей: ограниченная последовательность, монотонно возрастающая (убывающая) последовательность». Кодификатора у курса нет.

разминка · R04.1–R04.3

Разминка · устно

Члены последовательности и их сравнение

a_{n} = 3 n - 2

a_{5} = ?

13

a_{n} = n^{2}

a_{n + 1} = ?

n^{2} + 2 n + 1

a_{n} = \frac{1}{n}

сравните

a_{3}

и

a_{4}

a_{3} > a_{4}

a_{n} = (- 1)^{n}

a_{1}, a_{2}, a_{3}

- 1, 1, - 1

a_{n} = 5 - 2 n

a_{n + 1} - a_{n} = ?

- 2

\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}

знак?

минус

a_{n} = \frac{1}{n}

ограничена?

0 < a_{n} \leq 1

\frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{n}}

упростите

2

R04.4

Определение

Возрастающая и убывающая последовательность

Возрастающая

каждый член больше предыдущего: $a_{n + 1} > a_{n}$ при всех $n$

Убывающая

каждый член меньше предыдущего: $a_{n + 1} < a_{n}$ при всех $n$

Возрастающие и убывающие называют монотонными.

R04.4

Виды последовательностей

Не только «вверх» и «вниз»

неубывающая

$a_{n + 1} \geq a_{n}$

1, 1, 2, 2, 3, 3, …

невозрастающая

$a_{n + 1} \leq a_{n}$

3, 3, 2, 2, 1, 1

постоянная

$a_{n + 1} = a_{n}$

2, 2, 2, 2, …

немонотонная

$a_{n} = (- 1)^{n}$

−1, 1, −1, 1, …

R04.4

Схема · как доказать монотонность

Три способа — выбирайте по виду формулы

1. Знак разности

$a_{n + 1} - a_{n} > 0$ — возрастает

$a_{n + 1} - a_{n} < 0$ — убывает

всегда; удобно для дробей и многочленов

2. Отношение

если все $a_{n} > 0$ :

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} > 1$ — возрастает

удобно для степеней $q^{n}$ и произведений

3. Через функцию

$a_{n} = f (n)$ , $f$ возрастает на $[1; + \infty)$ — и $(a_{n})$ возрастает

линейные, $\frac{k}{x}$ , $x$ , парабола

Немонотонность — одним контрпримером:

a_{1} < a_{2}

, но

a_{2} > a_{3}

.

R04.4

Образец → сам · знак разности

Возрастает или убывает? Докажите

Образец

$a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$

$a_{n + 1} = \frac{2 n + 3}{n + 4}$ заменили $n$ на $n + 1$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{( 2 n + 3 ) ( n + 3 ) - ( 2 n + 1 ) ( n + 4 )}{( n + 3 ) ( n + 4 )}$

$= \frac{5}{( n + 3 ) ( n + 4 )} > 0$ раскрыли скобки

Разность положительна при всех $n$ — возрастает

Сам

база $a_{n} = 5 - 3 n$ убывает: $- 3 < 0$
база $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ возрастает
повыш. $a_{n} = \frac{1 - n}{2 n + 1}$ убывает

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски: числитель (2n² + 9n + 9) − (2n² + 9n + 4) = 5; знаменатель положителен при натуральных n. Проверка числами: a₁ = 3/4, a₂ = 5/5 = 1, a₃ = 7/6 — растут ✓.
1) (5 − 3(n + 1)) − (5 − 3n) = −3 < 0 — убывает.
2) (n + 1)/(n + 2) − n/(n + 1) = ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 — возрастает.
3) aₙ₊₁ = −n/(2n + 3); разность = (−n(2n + 1) − (1 − n)(2n + 3))/((2n + 1)(2n + 3)) = (−2n² − n + 2n² + n − 3)/(…) = −3/((2n + 1)(2n + 3)) < 0 — убывает. Типичная ошибка: aₙ₊₁ = (1 − n + 1)/(2n + 1 + 1) — подставили не во все места.

R04.4

Образец → сам · отношение

Степени удобнее сравнивать делением

Образец

$a_{n} = \frac{2 ^{n}}{n + 1}$ , все $a_{n} > 0$

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{n + 2} \cdot \frac{n + 1}{2 ^{n}}$

$= \frac{2 n + 2}{n + 2} > 1$ так как $2 n + 2 > n + 2$

Отношение больше 1 — возрастает

Сам

база $a_{n} = \frac{5}{3 ^{n}}$ убывает: отношение $\frac{1}{3}$
база $a_{n} = n \cdot 2^{n}$ возрастает
повыш. $a_{n} = \frac{n}{3 ^{n}}$ убывает

R04.4

Свойство · функция и последовательность

Если $f$ монотонна на $[1; + \infty)$ , то и $a_{n} = f (n)$

Обратное неверно:

f

убывает на

[1; 1, 4]

, а

a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dots

Парабола ветвями вверх

члены убывают до вершины $x_{0}$ и растут после; наименьший — при $n$ , ближайшем к $x_{0}$

2 мин · теория
Сначала видна парабола, по щелчкам — точки a₁ … a₄, затем красный участок убывания функции. a₁ = −1,8; a₂ = 4 − 5,6 = −1,6; a₃ = 9 − 8,4 = 0,6; a₄ = 16 − 11,2 = 4,8 — последовательность возрастает (разность 2n + 1 − 2,8 = 2n − 1,8 > 0 при n ≥ 1), хотя функция на [1; +∞) не монотонна: вершина x₀ = 1,4.
Вывод: из монотонности функции следует монотонность последовательности, обратное — нет. Если функция не монотонна, проверяем разностью.
Правило про вершину следует из симметрии параболы: чем ближе n к x₀, тем меньше f(n). Если x₀ — ровно середина между целыми, наименьших членов два.

R04.4

Образец → сам · наименьший и наибольший член

Где последовательность «разворачивается»

Образец

$a_{n} = n^{2} - 8 n + 20$ . Наименьший член?

$x_{0} = \frac{8}{2} = 4$ вершина параболы

$a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4} < a_{5} < \dots$ свойство параболы

$a_{4} = 16 - 32 + 20 = 4$

Наименьший член $a_{4} = 4$

Сам

базаНаибольший член $a_{n} = 30 + 6 n - n^{2}$ $a_{3} = 39$
повыш.Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 7 n + 3$ $a_{3} = a_{4} = - 9$
повыш.Наименьший член $a_{n} = 2 n^{2} - 9 n$ $a_{2} = - 10$

R04.4 · параметр

Образец → сам · параметр

При каких $p$ последовательность монотонна?

Образец: при каких $p$ возрастает

$a_{n} = \frac{p n + 3}{n + 1}$ ?

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{p - 3}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ общий знаменатель

знаменатель $> 0$ ⇒ знак — как у $p - 3$

$p - 3 > 0$ при $p = 3$ : $a_{n} = 3$ — постоянная

Ответ: $p > 3$

Сам

база $a_{n} = 7 - p n$ убывает? $p > 0$
повыш. $a_{n} = n^{2} + p n$ возрастает? $p > - 3$
повыш. $a_{n} = \frac{2 n + p}{n + 3}$ убывает? $p > 6$

3 мин · практика
Образец: числитель (p(n + 1) + 3)(n + 1) − (pn + 3)(n + 2) = p(n + 1)² − pn(n + 2) + 3(n + 1) − 3(n + 2) = p − 3. Граница: p = 3 — aₙ = (3n + 3)/(n + 1) = 3, постоянная, не возрастающая. Проверка p = 4: a₁ = 7/2, a₂ = 11/3 — растёт ✓.
1) Разность −p < 0 ⇔ p > 0. При p = 0 — постоянная 7.
2) Разность 2n + 1 + p > 0 при всех n ⇔ наименьшее значение (при n = 1) 3 + p > 0 ⇔ p > −3. Граница p = −3: a₁ = a₂ = −2 — не возрастает. Важно: условие нужно при всех n, а «худший» случай — n = 1.
3) Разность (6 − p)/((n + 3)(n + 4)) < 0 ⇔ p > 6. При p = 6 — aₙ = 2, постоянная.

R04.3–R04.4

Сводка · монотонность и ограниченность

Первый член — готовая граница

Возрастает

$a_{1} < a_{2} < \dots$ ⇒ $a_{n} \geq a_{1}$

ограничена снизу

Убывает

$a_{1} > a_{2} > \dots$ ⇒ $a_{n} \leq a_{1}$

ограничена сверху

Вторая граница:

\frac{3 n + 1}{n + 2} = 3 - \frac{5}{n + 2} < 3

R04.3–R04.4

Образец → сам · монотонность и границы

Исследуйте и оцените все члены

Образец

$a_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$

$a_{n} = 3 - \frac{5}{n + 2}$ целая часть

$n ↑$ ⇒ $\frac{5}{n + 2} ↓$ ⇒ $a_{n} ↑$ возрастает

$a_{1} = \frac{4}{3} \leq a_{n} < 3$

Сам

база $a_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$ убывает; $2 < a_{n} \leq 3, 5$
база $a_{n} = 4 - \frac{1}{n ^{2}}$ возрастает; $3 \leq a_{n} < 4$
повыш. $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 3}$ возрастает; $0 \leq a_{n} < 1$

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в рассуждениях о монотонности

Проверили три члена

$a_{n} = 10 n - n^{2}$ : $9 < 16 < 21$ — возрастает

$a_{5} = 25, a_{6} = 24$ — не монотонна

нужно доказать для всех $n$

Отношение при $a_{n} < 0$

$a_{n} = - 2^{n}$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 2 > 1$ — возрастает

$- 2, - 4, - 8$ — убывает

отношение — только для $a_{n} > 0$

Функция не монотонна

$x^{2} - 2, 8 x$ не монотонна на $[1; + \infty)$ — значит, $(a_{n})$ тоже

$2 n - 1, 8 > 0$ — возрастает

проверяйте разностью

R04.4

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Исследуйте $a_{n} = \frac{n + 4}{2 n + 1}$

$a_{n + 1} = \frac{n + 5}{2 n + 2}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n - 3}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )}$

Ответ: не монотонна

Ошибка: $2 (n + 1) + 1 = 2 n + 3$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{- 7}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} < 0$ — убывает

2. При каких $p$ возрастает $a_{n} = n^{2} - p n + 1$ ?

$f (x) = x^{2} - p x + 1$ возрастает на $[1; + \infty)$ , если $\frac{p}{2} \leq 1$

Ответ: $p \leq 2$

Ошибка: потеряны $2 < p < 3$

$2 n + 1 - p > 0$ при всех $n$ ⇔ $p < 3$

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) Неверно найден aₙ₊₁: в знаменателе 2(n + 1) + 1 = 2n + 3. Верно: ((n + 5)(2n + 1) − (n + 4)(2n + 3)) = (2n² + 11n + 5) − (2n² + 11n + 12) = −7. Убывает: 5/3; 6/5; 1; 8/9. У ученика «рост с n = 4» — числа сразу опровергают: a₄ = 8/9 < a₃ = 1.
2) Монотонность функции — достаточное, но не необходимое условие (сл. 9). Например, p = 2,5: a₁ = −0,5, a₂ = 0, a₃ = 2,5 — возрастает, хотя вершина 1,25 > 1. Верно: разность 2n + 1 − p, наименьшая при n = 1: 3 − p > 0 ⇔ p < 3. Граница p = 3: a₁ = a₂ = −1 — не возрастает.

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Возрастает, убывает или не монотонна?

$a_{n} = 4 n - 7$ возрастает
$a_{n} = \frac{12}{n + 1}$ убывает
$a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ возрастает

$a_{n} = 3 \cdot 0, 5^{n}$ убывает
$a_{n} = (- 2)^{n}$ не монотонна
$a_{n} = n^{2} - 6 n$ не монотонна

R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Тоньше и с параметром

повыш. $a_{n} = \frac{n}{2 ^{n}}$ : возрастает или убывает? невозрастающая: $a_{1} = a_{2}$
повыш.Докажите, что $a_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1}$ возрастает разность $\frac{n ^{2} + 3 n + 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$
повыш.Наибольший член $a_{n} = - n^{2} + 13 n - 30$ $a_{6} = a_{7} = 12$
повыш.При каких $p$ убывает $a_{n} = p \cdot 2^{n}$ ? $p < 0$
повыш. $a_{n} = n + 1 - n$ : монотонна? убывает

2 мин · практика
1) Отношение (n + 1)/(2n) ≤ 1, равенство при n = 1: a₁ = a₂ = 1/2, затем 3/8, 1/4 … Последовательность невозрастающая, но не убывающая (убывает начиная со второго члена).
2) (n + 1)²/(n + 2) − n²/(n + 1) = ((n + 1)³ − n²(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = (n² + 3n + 1)/((n + 1)(n + 2)) > 0.
3) Вершина 6,5: a₆ = −36 + 78 − 30 = 12, a₇ = −49 + 91 − 30 = 12. Ответ 12.
4) Разность p·2ⁿ⁺¹ − p·2ⁿ = p·2ⁿ < 0 ⇔ p < 0. При p = 0 — постоянная.
5) Умножить и разделить на сопряжённое: aₙ = 1/(√(n + 1) + √n); знаменатель растёт — дробь убывает. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R04.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Монотонность помогает считать члены

Последовательность задана формулой $a_{n} = 50 - 7 n$ . Сколько в ней положительных членов? $7$
Последовательность задана формулой $a_{n} = n^{2} - 12 n + 40$ . Найдите её наименьший член. $4$
Последовательность задана формулой $a_{n} = \frac{n + 20}{n}$ . Сколько её членов больше $3$ ? $9$

1, 3: убывает — значит, после первого «неподходящего» члена подходящих уже нет

в бланк — только число

R04.4 · применение

Задача из жизни

Себестоимость одной детали: $c_{n} = 150 + \frac{2000}{n}$ руб.

практикаДокажите, что $c_{n}$ убывает с ростом партии $n$ разность $< 0$
практикаС какой партии стоимость меньше $200$ руб.? $n = 41$
повыш.Может ли она стать меньше $150$ руб.? нет

2 мин · практика
Модель: подготовка оборудования стоит 2000 руб. на всю партию, каждая деталь — 150 руб. материала; стоимость одной детали в партии из n штук cₙ = (2000 + 150n)/n.
1) cₙ₊₁ − cₙ = 2000/(n + 1) − 2000/n = −2000/(n(n + 1)) < 0 — убывает.
2) 150 + 2000/n < 200 ⇔ 2000/n < 50 ⇔ n > 40; c₄₀ = 200 ровно, c₄₁ ≈ 198,8. Ответ: с 41 детали; благодаря убыванию — и для всех больших партий.
3) Нет: 2000/n > 0, поэтому cₙ > 150 при любом n. Убывающая и ограниченная снизу — точки приближаются к линии 150 (на графике n = 5, 10, …, 50).

R04.4

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаМонотонна ли $a_{n} = 9 - 2 n$ ? убывает
базаДокажите: $a_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$ возрастает разность $\frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$
базаНаименьший член $a_{n} = n^{2} - 10 n + 7$ $a_{5} = - 18$
повыш.При каких $p$ возрастает $a_{n} = \frac{p n - 1}{n + 2}$ ? $p > - 0, 5$

Вариант 2

базаМонотонна ли $a_{n} = 3 n + 4$ ? возрастает
базаДокажите: $a_{n} = \frac{2 n + 7}{n + 2}$ убывает разность $\frac{- 3}{( n + 2 ) ( n + 3 )} < 0$
базаНаибольший член $a_{n} = - n^{2} + 8 n + 1$ $a_{4} = 17$
повыш.При каких $p$ убывает $a_{n} = \frac{p n + 2}{n + 1}$ ? $p < 2$

4,5 мин · практика
3,5 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) Разность −2 < 0 — убывает. 2) ((3n + 5)(n + 1) − (3n + 2)(n + 2)) = (3n² + 8n + 5) − (3n² + 8n + 4) = 1 > 0. 3) Вершина 5: 25 − 50 + 7 = −18. 4) Числитель разности: p(n + 1)(n + 2) − (n + 2) − pn(n + 3) + (n + 3) = 2p + 1 > 0 ⇔ p > −0,5 (при p = −0,5 — постоянная −0,5).
В-2. 1) Разность 3 > 0 — возрастает. 2) (2n + 9)(n + 2) − (2n + 7)(n + 3) = (2n² + 13n + 18) − (2n² + 13n + 21) = −3 < 0. 3) Вершина 4: −16 + 32 + 1 = 17. 4) Разность (p − 2)/((n + 1)(n + 2)) < 0 ⇔ p < 2 (при p = 2 — постоянная 2).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем возрастающая отличается от неубывающей?
Когда нельзя доказывать через отношение?
Как найти наименьший член $n^{2} + bn + c$ ?

Домашнее задание

Докажите, что $a_{n} = \frac{5 n - 1}{n + 2}$ возрастает, и оцените её члены
Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 9 n + 4$
* При каких $p$ возрастает $a_{n} = n^{3} - p n$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-069 · Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 4/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность» → 2, 4–21 · опора R04.1–R04.3 → 3, 12, 13 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 7, 8, 10, 11, 13–21)
Результаты	ПР-30 (распознавать монотонные последовательности) → 2, 4–8, 14–17, 20 · ПР-28 (члены точками на плоскости) → 4, 5, 9, 19 · ПР-29 (задачи с последовательностями, в том числе из жизни) → 10, 11, 13, 18, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	способы задания (рекуррентный) — ALG9U-070; прогрессии — ALG9U-071 и далее; сходимость — R04.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Возрастающиеи убывающиепоследовательности

Сегодня вы научитесь

Распознавать монотонные

Доказывать монотонность

Находить крайние члены

Решать задачи с параметром

Члены последовательности и их сравнение

Возрастающая и убывающая последовательность

Возрастающая

Убывающая

Не только «вверх» и «вниз»

неубывающая

невозрастающая

постоянная

немонотонная

Три способа — выбирайте по виду формулы

1. Знак разности

2. Отношение

3. Через функцию

Возрастает или убывает? Докажите

Образец

Сам

Степени удобнее сравнивать делением

Образец

Сам

Если f монотонна на [1; +∞), то и an​=f(n)

Парабола ветвями вверх

Где последовательность «разворачивается»

Образец

Сам

При каких p последовательность монотонна?

Образец: при каких p возрастает

Сам

Первый член — готовая граница

Возрастает

Убывает

Исследуйте и оцените все члены

Образец

Сам

Три ошибки в рассуждениях о монотонности

Проверили три члена

Отношение при an​<0

Функция не монотонна

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Исследуйте an​=2n+1n+4​

2. При каких p возрастает an​=n2−pn+1?

Возрастает, убывает или не монотонна?

Тоньше и с параметром

Монотонность помогает считать члены

Себестоимость одной детали: cn​=150+n2000​ руб.

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-069 · Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность

Возрастающие
и убывающие
последовательности

Если $f$ монотонна на $[1; + \infty)$ , то и $a_{n} = f (n)$

При каких $p$ последовательность монотонна?

Образец: при каких $p$ возрастает

Отношение при $a_{n} < 0$

1. Исследуйте $a_{n} = \frac{n + 4}{2 n + 1}$

2. При каких $p$ возрастает $a_{n} = n^{2} - p n + 1$ ?

Себестоимость одной детали: $c_{n} = 150 + \frac{2000}{n}$ руб.