Последовательности · урок 3 из 25

Ограниченная
последовательность

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-068

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 3/25, единица R04.3 «Ограниченная последовательность». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-067 — конечные и бесконечные последовательности; следующий ALG9U-069 — монотонные последовательности.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (наблюдение: полоса) 2 · 5 (определения) 3 · 7 (приём «целая часть», $∣ a_{n} ∣ \leq C$ ) 2 · 9 (неограниченная) 2 · 12 (сводка) 1 · 13 (типичные ошибки) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 3 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

ограниченные сверху, снизу и ограниченные последовательности (ПР-30)

Доказывать оценку

$m \leq a_{n} \leq M$ при всех $n$ — через целую часть дроби (ПР-30)

Видеть на графике

члены — точки $(n; a_{n})$ , ограниченная лежит в полосе (ПР-28)

Доказывать «не ограничена»

и находить наибольший и наименьший член (ПР-25, ПР-30)

1 мин · теория
ПР-30 (ФРП дословно): «Распознавать и приводить примеры конечных и бесконечных последовательностей, ограниченных последовательностей, монотонно возрастающих (убывающих) последовательностей». ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-25: «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии».
Вид деятельности ФРП по строке: «Определять виды последовательностей: ограниченная последовательность, монотонно возрастающая (убывающая) последовательность». Монотонность — следующий урок.

разминка · R04.1–R04.2

Разминка · устно

Члены последовательности

a_{n} = 3 n - 1

a_{5} = ?

14

a_{n} = \frac{1}{n}

a_{10} = ?

0, 1

a_{n} = (- 1)^{n}

a_{7} = ?

- 1

a_{n} = n^{2} - 5 n

a_{2} = ?

- 6

двузначные числа

конечная? сколько членов?

да,

90

\frac{n + 1}{n} = 1 + □

дополните

\frac{1}{n}

\frac{1}{n} \leq □

наименьшее такое число

1

2 - \frac{1}{n} < 2

при всех

n

?

да

R04.3 · R04.1

Наблюдение · проблема урока

Чьи точки $(n; a_{n})$ помещаются в горизонтальную полосу?

2 мин · теория
Показать три графика (точки при n = 1…8), спросить: можно ли провести две горизонтальные прямые так, чтобы все точки — и дальше по оси, при любом n — оказались между ними?
1/n: все члены между 0 и 1 (0 < 1/n ≤ 1) — полоса есть. n: точки уходят вверх выше любой прямой — полосы нет (снизу все ≥ 1). (−1)ⁿ: значения только ±1 — полоса от −1 до 1.
Проблема урока: как доказать, что полоса есть, если по рисунку видно только первые члены? Ответ — оценка для всех n (сл. 5–8).

R04.3

Определение · ограниченная последовательность

Полоса — это оценка, верная при всех номерах $n$

Ограничена сверху

есть число $M$ : $a_{n} \leq M$ при всех $n$

Ограничена снизу

есть число $m$ : $a_{n} \geq m$ при всех $n$

Ограничена

и сверху, и снизу: $m \leq a_{n} \leq M$ $\Leftrightarrow ∣ a_{n} ∣ \leq C$

3 мин · теория
Определение: последовательность (aₙ) ограничена сверху, если существует число M такое, что aₙ ≤ M для всех натуральных n; ограничена снизу — если существует m: aₙ ≥ m для всех n; ограничена — если ограничена и сверху, и снизу.
Равносильная запись: существует C > 0, что |aₙ| ≤ C для всех n. Почему: из m ≤ aₙ ≤ M следует |aₙ| ≤ C, где C = max(|m|, |M|); обратно, |aₙ| ≤ C ⇔ −C ≤ aₙ ≤ C.
Важно: M и m — числа, не зависящие от n. Чисел M много (если подходит 5, подходит и 100); нам достаточно указать одно.
Примеры со сл. 4: 1/n ограничена (0 < 1/n ≤ 1); n ограничена снизу (n ≥ 1), но не сверху; (−1)ⁿ ограничена (|aₙ| = 1). Любая конечная последовательность ограничена: среди конечного набора есть наибольшее и наименьшее число.

R04.3

Образец → сам · оценка по определению

Докажите, что последовательность ограничена

Образец

$a_{n} = 5 - \frac{2}{n}$

$0 < \frac{2}{n} \leq 2$ $n \geq 1$

$5 - 2 \leq 5 - \frac{2}{n} < 5$ вычли из $5$

$3 \leq a_{n} < 5$ $m = 3, M = 5$

ограничена $a_{1} = 3$ — наименьший член

Сам: укажите оценку

база $a_{n} = \frac{3}{n}$ $0 < a_{n} \leq 3$
база $a_{n} = \frac{4}{n ^{2}} - 1$ $- 1 < a_{n} \leq 3$
повыш. $a_{n} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ $0 \leq a_{n} \leq 1, 5$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски (учитель проговаривает обоснование каждого шага), затем 2 мин самостоятельно в тетради.
Образец: при вычитании из 5 знаки неравенства переворачиваются: из 0 < 2/n ≤ 2 получаем 3 ≤ 5 − 2/n < 5.
1) 0 < 3/n ≤ 3. 2) 0 < 4/n² ≤ 4, значит −1 < aₙ ≤ 3 (a₁ = 3).
3) |(−1)ⁿ/n| = 1/n ≤ 1, значит 0 ≤ aₙ ≤ 2 — уже доказана ограниченность. Точнее: при нечётных n aₙ = 1 − 1/n, от 0 (n = 1) до 1; при чётных aₙ = 1 + 1/n ≤ 1,5 (n = 2). Принимается любая верная оценка, например 0 ≤ aₙ ≤ 2.

R04.3

Приём · выделить целую часть

Дробь с $n$ в числителе и знаменателе

Числитель — через знаменатель

$\frac{2 n + 1}{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 ) - 1}{n + 1}$

$= 2 - \frac{1}{n + 1}$

Теперь оценивается одна дробь $\frac{1}{n + 1}$ , где $n + 1 \geq 2$

Знак члена не важен

$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} n}{n + 1}$

$∣ a_{n} ∣ = \frac{n}{n + 1} < 1$

$∣ a_{n} ∣ \leq C$ — и последовательность ограничена: $- 1 < a_{n} < 1$

R04.3

Образец → сам · дробь

Найдите оценку $m \leq a_{n} < M$

Образец

$a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1}$

$a_{n} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ целая часть

$0 < \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ $n + 1 \geq 2$

$1, 5 \leq a_{n} < 2$ вычли из $2$

ограничена $a_{1} = 1, 5$ — наименьший

Сам

база $a_{n} = \frac{n + 3}{n}$ $1 < a_{n} \leq 4$
база $a_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 1}$ $1 \leq a_{n} < 3$
повыш. $a_{n} = \frac{5 - 2 n}{n + 2}$ $- 2 < a_{n} \leq 1$

R04.3

Определение · неограниченная последовательность

Не ограничена сверху — выше любой прямой есть член

для любого

M

найдётся

n

:

a_{n} > M

Пример: $a_{n} = 2 n$

для данного $M$ возьмём номер $n > \frac{M}{2}$ : тогда $2 n > M$

Ограничена только снизу (

2 n \geq 2

) — значит, не ограничена

2 мин · теория
Это отрицание определения «ограничена сверху»: какое бы число M ни назвали, найдётся член больше M. Аналогично «не ограничена снизу»: для любого m найдётся n, что aₙ < m.
Последовательность не ограничена, если она не ограничена хотя бы с одной стороны. Пример 2n: снизу ограничена (2n ≥ 2), сверху — нет.
Как доказывать: по заданному M явно указать номер. Для 2n: если M = 1000, подходит n = 501; в общем случае — любой n > M/2.
Вопрос классу: ограничена ли (−2)ⁿ? (Нет ни сверху, ни снизу: −2, 4, −8, 16, …)

R04.3

Образец → сам · ограничена ли?

Исследуйте последовательность на ограниченность

Образец

$a_{n} = n^{2} - 10 n$

$a_{n} = (n - 5)^{2} - 25 \geq - 25$ снизу

$n \geq 11$ : $a_{n} = n (n - 10) \geq n$ $n - 10 \geq 1$

$n > M$ и $n \geq 11$ ⇒ $a_{n} > M$ сверху — нет

не ограничена снизу $a_{5} = - 25$

Сам

база $a_{n} = 7 - 3 n$ только сверху: $a_{n} \leq 4$
база $a_{n} = (- 2)^{n}$ ни сверху, ни снизу
повыш. $a_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1}$ только снизу: $a_{n} \geq 0, 5$

3 мин · практика
Образец: оценка снизу — выделение полного квадрата (наименьший член a₅ = −25); неограниченность сверху — по определению сл. 9: для M берём номер n > M, n ≥ 11.
1) aₙ убывает: a₁ = 4 — наибольший, aₙ ≤ 4; снизу нет: 7 − 3n < m при n > (7 − m)/3. Ответ: не ограничена.
2) (−2)ⁿ: при чётных n = 2ⁿ (сколь угодно большие), при нечётных −2ⁿ (сколь угодно малые). Не ограничена.
3) n² = (n + 1)(n − 1) + 1: aₙ = n − 1 + 1/(n + 1) > n − 1 — сверху нет; aₙ > 0, наименьший a₁ = 1/2 (дальше aₙ ≥ 4/3). Ответ: ограничена снизу (aₙ ≥ 0,5), не ограничена.

R04.3 · опора R01

Образец → сам · наибольший член

Формула — квадратный трёхчлен от номера $n$

Образец

$a_{n} = - n^{2} + 7 n + 2$ : наибольший член

$n_{0} = 3, 5$ — не номер вершина параболы

$a_{3} = 14, a_{4} = 14$ ближайшие номера

$a_{n} \leq 14$ ограничена сверху

снизу — нет ветви вниз

Сам

базаНаименьший член $a_{n} = n^{2} - 8 n + 3$ $a_{4} = - 13$
базаНаибольший член $a_{n} = - 2 n^{2} + 9 n$ $a_{2} = 10$
повыш.Оценка для $a_{n} = \frac{12}{n ^{2} - 6 n + 10}$ $0 < a_{n} \leq 12$

3 мин · практика
Образец: парабола y = −x² + 7x + 2 имеет вершину x₀ = 7/2. Номер — натуральное число, поэтому сравниваем a₃ = −9 + 21 + 2 = 14 и a₄ = −16 + 28 + 2 = 14. Наибольший член 14 (два равных). Снизу не ограничена: aₙ = −n(n − 7) + 2, при n ≥ 8 множитель n − 7 ≥ 1, поэтому aₙ ≤ −n + 2 — меньше любого m при n > 2 − m.
1) Вершина 4 — целая: a₄ = 16 − 32 + 3 = −13. 2) Вершина 9/4 = 2,25: a₂ = −8 + 18 = 10, a₃ = −18 + 27 = 9 — наибольший 10.
3) Знаменатель (n − 3)² + 1 ≥ 1 и > 0: 0 < aₙ ≤ 12, наибольший a₃ = 12. Ограничена.

R04.3

Сводка · как исследовать

По виду формулы — свой приём

Формула $a_{n}$	Приём	Вывод
$\frac{c}{n}, \frac{c}{n ^{2}}$	$0 < \frac{1}{n} \leq 1$	ограничена
$\frac{p n + q}{n + c}$	выделить целую часть	ограничена
$(- 1)^{n} \cdot b_{n}$	оценить $∣ a_{n} ∣$	по оценке $∣ b_{n} ∣$
$a n^{2} + bn + c$	вершина и ближайшие номера	только с одной стороны
$2 n, n^{2}, (- 2)^{n}$	для любого $M$ указать номер	не ограничена

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в рассуждениях об ограниченности

Проверили несколько членов

$a_{n} = \frac{n ^{2}}{10}$ : $a_{1}, a_{2}, a_{3} < 1$ ⇒ ограничена

$a_{100} = 1000$ — не ограничена

оценка нужна для всех $n$

Граница зависит от $n$

$\frac{n ^{2}}{n + 1} < n$ ⇒ «ограничена сверху»

$M$ — одно число для всех $n$

$a_{n} > n - 1$ — сверху нет

Только одна сторона

$7 - 3 n \leq 4$ ⇒ ограничена

ограничена только сверху

ограничена = сверху и снизу

R04.3

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Оценка для $a_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$

$a_{n} = 3 + \frac{1}{n + 1}$

$3 < a_{n} \leq 3, 5$

Ошибка: $3 n + 2 = 3 (n + 1) - 1$ , значит $a_{n} = 3 - \frac{1}{n + 1}$

Верно: $2, 5 \leq a_{n} < 3$ (проверка: $a_{1} = 2, 5$ )

Задача 2. Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 5 n + 1$

Вершина $n_{0} = 2, 5$

$a_{2, 5} = 6, 25 - 12, 5 + 1 = - 5, 25$

Ошибка: номер — натуральное число, $a_{2, 5}$ нет

Верно: $a_{2} = a_{3} = - 5$ — наименьший член

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Ограничена ли последовательность? Укажите оценку

$a_{n} = \frac{6}{n}$ $0 < a_{n} \leq 6$
$a_{n} = 3 n + 2$ нет; $a_{n} \geq 5$
$a_{n} = 4 \cdot (- 1)^{n}$ $∣ a_{n} ∣ = 4$

$a_{n} = \frac{n + 5}{n}$ $1 < a_{n} \leq 6$
$a_{n} = n^{2} - 4 n$ нет; $a_{n} \geq - 4$
$a_{n} = 10 - \frac{1}{n ^{2}}$ $9 \leq a_{n} < 10$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Оценки, наибольший член, параметр

повыш.Оценка для $a_{n} = \frac{4 n - 3}{2 n + 1}$ $\frac{1}{3} \leq a_{n} < 2$
повыш.Наибольший член $a_{n} = \frac{20}{n ^{2} - 8 n + 18}$ $a_{4} = 10$
повыш.Докажите: $0 < \frac{n}{n ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ $n^{2} + 1 \geq 2 n$
повыш.При каких $p$ для всех $n$ верно $n^{2} - p n \geq 9 - 3 p$ ? $5 \leq p \leq 7$
повыш.Докажите: $a_{n} = n^{2} - 3 n$ не ограничена сверху $n \geq 4$ : $a_{n} \geq n$

2,5 мин · практика
1) 4n − 3 = 2(2n + 1) − 5: aₙ = 2 − 5/(2n + 1); 0 < 5/(2n + 1) ≤ 5/3: 1/3 ≤ aₙ < 2 (a₁ = 1/3).
2) Знаменатель (n − 4)² + 2 ≥ 2, наименьший при n = 4: a₄ = 20/2 = 10. 3) n² + 1 − 2n = (n − 1)² ≥ 0, поэтому n/(n² + 1) ≤ 1/2; равенство при n = 1.
4) Неравенство означает: a₃ = 9 − 3p — наименьший член aₙ = n² − pn. Члены — значения параболы с вершиной p/2, поэтому достаточно a₃ ≤ a₂ и a₃ ≤ a₄: 9 − 3p ≤ 4 − 2p ⇔ p ≥ 5; 9 − 3p ≤ 16 − 4p ⇔ p ≤ 7. Граничные значения: p = 5 — a₂ = a₃ = −6, неравенство верно; p = 7 — a₃ = a₄ = −12, верно; при p = 4,9 или 7,1 нарушается (проверено перебором в python).
5) При n ≥ 4: n − 3 ≥ 1, aₙ = n(n − 3) ≥ n; для любого M возьмём n > M, n ≥ 4 — тогда aₙ > M. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R04.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Последовательность задана формулой $n$ -го члена

$a_{n} = \frac{36}{n + 2}$ . Сколько членов больше $4$ ? $6$
$a_{n} = n^{2} - 11 n + 20$ . Найдите наименьший член. $- 10$
Какое из чисел — член последовательности $a_{n} = \frac{n + 4}{n}$ : 1) $0, 9$ ; 2) $1$ ; 3) $1, 25$ ; 4) $5, 5$ ? 3

1: решите неравенство в натуральных

n

2: вершина — не всегда номер

3: сначала оценка

1 < a_{n} \leq 5

R04.3 · R04.5

Задача из жизни

Лекарство: $10$ мг в сутки, половина выводится

$a_{n}$ — мг в организме после $n$ -го приёма: $a_{1} = 10$ , $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2} + 10$

практикаНайдите $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ $15; 17, 5; 18, 75$
практикаПроверьте: $a_{n} = 20 - \frac{20}{2 ^{n}}$ . Ограничена ли $(a_{n})$ ? $10 \leq a_{n} < 20$
повыш.С какого приёма станет больше $19$ мг? с $5$ -го

R04.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаОценка для $a_{n} = \frac{8}{n}$ $0 < a_{n} \leq 8$
базаОценка для $a_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$ $2 < a_{n} \leq 3, 5$
базаНаименьший член $a_{n} = n^{2} - 6 n + 4$ $- 5$
повыш.Ограничена ли $a_{n} = 5 - n^{2}$ ? нет, только сверху: $a_{n} \leq 4$

Вариант 2

базаОценка для $a_{n} = - \frac{5}{n}$ $- 5 \leq a_{n} < 0$
базаОценка для $a_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$ $\frac{4}{3} \leq a_{n} < 3$
базаНаибольший член $a_{n} = - n^{2} + 10 n - 7$ $18$
повыш.Ограничена ли $a_{n} = 2 n - 9$ ? нет, только снизу: $a_{n} \geq - 7$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 0 < 8/n ≤ 8. 2) 2 + 3/(n + 1), 0 < 3/(n + 1) ≤ 1,5: 2 < aₙ ≤ 3,5. 3) (n − 3)² − 5: a₃ = −5. 4) aₙ ≤ 4 (a₁), снизу нет: 5 − n² < m при n² > 5 − m — не ограничена.
В-2. 1) 0 < 5/n ≤ 5, со знаком минус: −5 ≤ aₙ < 0. 2) 3 − 5/(n + 2), 0 < 5/(n + 2) ≤ 5/3: 4/3 ≤ aₙ < 3. 3) −(n − 5)² + 18: a₅ = 18. 4) aₙ ≥ −7 (a₁), сверху нет — не ограничена.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Оценку принимать и в другой верной форме (например, |aₙ| ≤ 5 в В-2, 1).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит «последовательность ограничена»?
Как оценить дробь $\frac{p n + q}{n + c}$ ?
Как доказать, что последовательность не ограничена сверху?

Домашнее задание

Оценка для $a_{n} = \frac{5 n - 2}{n + 3}$
Наибольший член $a_{n} = \frac{30}{n ^{2} - 10 n + 27}$
Докажите: $a_{n} = 3 n - n^{2}$ не ограничена снизу
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-068 · Ограниченная последовательность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 3/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Ограниченная последовательность» → 2, 4–20 · опора R04.1–R04.2 → 3 · рекуррентная формула R04.5 → 18 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 13) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 6, 8, 10, 11, 14–20)
Результаты	ПР-30 (ограниченные последовательности) → 2, 4–20 · ПР-28 (члены — точки на плоскости) → 4, 5, 9, 18 · ПР-25 (понятие последовательности) → 3, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	монотонные последовательности — ALG9U-069; сходимость — R04.11
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Ограниченнаяпоследовательность

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Доказывать оценку

Видеть на графике

Доказывать «не ограничена»

Члены последовательности

Чьи точки (n; an​) помещаются в горизонтальную полосу?

Полоса — это оценка, верная при всех номерах n

Ограничена сверху

Ограничена снизу

Ограничена

Докажите, что последовательность ограничена

Образец

Сам: укажите оценку

Дробь с n в числителе и знаменателе

Числитель — через знаменатель

Знак члена не важен

Найдите оценку m≤an​<M

Образец

Сам

Не ограничена сверху — выше любой прямой есть член

Пример: an​=2n

Исследуйте последовательность на ограниченность

Образец

Сам

Формула — квадратный трёхчлен от номера n

Образец

Сам

По виду формулы — свой приём

Три ошибки в рассуждениях об ограниченности

Проверили несколько членов

Граница зависит от n

Только одна сторона

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Оценка для an​=n+13n+2​

Задача 2. Наименьший член an​=n2−5n+1

Ограничена ли последовательность? Укажите оценку

Оценки, наибольший член, параметр

Последовательность задана формулой n-го члена

Лекарство: 10 мг в сутки, половина выводится

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-068 · Ограниченная последовательность

Ограниченная
последовательность

Чьи точки $(n; a_{n})$ помещаются в горизонтальную полосу?

Полоса — это оценка, верная при всех номерах $n$

Дробь с $n$ в числителе и знаменателе

Найдите оценку $m \leq a_{n} < M$

Пример: $a_{n} = 2 n$

Формула — квадратный трёхчлен от номера $n$

Граница зависит от $n$

Задача 1. Оценка для $a_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$

Задача 2. Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 5 n + 1$

Последовательность задана формулой $n$ -го члена

Лекарство: $10$ мг в сутки, половина выводится