Последовательности и прогрессии · урок 1 из 25

Понятие числовой последовательности

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG9U-066

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Числовые последовательности и прогрессии» (25 ч), урок 1/25, единица R04.1 «Понятие числовой последовательности». Тип урока — Н. Предыдущий урок ALG9U-065 — обобщение по R03 (уравнения и неравенства); следующий ALG9U-067 — конечные и бесконечные последовательности.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие, определение) 3 · 5 (обозначения) 2 · 7 (формула n-го члена) 2 · 9 (график) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 11, 12) 2 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Говорить на языке индексов

$a_{1}$ , $a_{n}$ , $a_{n + 1}$ , $a_{n - 1}$ — читать и записывать (ПР-25)

Вычислять члены

по формуле $n$ -го члена и находить номер члена (ПР-26)

Изображать точками

члены последовательности на координатной плоскости (ПР-28)

Видеть закономерность

по первым членам записывать формулу, исследовать знаки членов (ПР-29)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами…» — сегодня только формула n-го члена, остальные способы — R04.5. ПР-28: «Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями…».
Вид деятельности ФРП: «Осваивать и применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности… Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько ее членов».

разминка · 5–8 кл., R03

Разминка · устно

Продолжите ряд и посчитайте

3, 7, 11, 15, \dots

следующее число

19

1, 2, 4, 8, \dots

следующее число

16

1, 4, 9, 16, \dots

следующее число

25

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots

следующее число

\frac{1}{5}

2 n + 1

при

n = 5

11

n^{2} - n

при

n = 4

12

(- 1)^{n}

при

n = 7

- 1

n^{2} - 3 n = 10

натуральное

n

5

R04.1

Новый материал · понятие

Каждому номеру — своё число

Числовая последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел: каждому

n \in N

соответствует число

a_{n}

.

3 мин · теория
Начать с примеров из жизни: номера домов по чётной стороне улицы (2, 4, 6, …), очередь в кассу, дни месяца и температура в каждый день — числа идут по порядку, у каждого есть номер.
Вопрос классу: последовательность 2, 5, 8, 11, … — что сопоставлено номеру 4? (11.) А номеру 0? (Ничего: номера начинаются с 1.)
Связь с функциями (R01): аргумент — номер n (только натуральный), значение — член a_n. Отсюда «формула n-го члена» и «график» — как у функции.
Порядок важен: 1, 2, 3 и 3, 2, 1 — разные последовательности; члены могут повторяться (1, −1, 1, −1, …).

R04.1

Новый материал · обозначения

Индекс — это номер члена

(a_{n}) : a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots

запись	читаем
$a_{1}$	первый член
$a_{n}$	$n$ -й (общий) член
$a_{n + 1}$	следующий за $a_{n}$
$a_{n - 1}$	предыдущий, $n \geq 2$

R04.1

Образец → сам · индексы

Читаем последовательность по номерам

Образец: $2, 5, 8, 11, 14, \dots$

$a_{4} = 11$ 4-е место в записи

$a_{k} = 14 \Rightarrow k = 5$ 14 стоит пятым

$a_{n} = 8 \Rightarrow a_{n + 1} = 11$ следующий за 8

$a_{n} = 8 \Rightarrow a_{n - 1} = 5$ предыдущий

Сам: $1, 3, 9, 27, 81, \dots$

база $b_{3}$ и $b_{5}$ $9; 81$
база $b_{k} = 27$ . Найдите $k$ $4$
база $b_{n} = 27$ : $b_{n + 1}$ и $b_{n - 1}$ $81; 9$

R04.1

Новый материал · формула n-го члена

Формула выражает член через номер

a_{n} = n^{2} - 1

Подставляем номер вместо

n

— получаем член с этим номером

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 1 = n^{2} + 2 n$

$n$	$1$	$2$	$3$	$10$
$a_{n}$	$0$	$3$	$8$	$99$

a_{10}

— сразу, без

a_{4}, \dots, a_{9}

R04.1

Образец → сам · член по формуле

Вычислите члены последовательности

Образец

$a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (2 n + 1)$

$a_{1} = - 1 \cdot 3 = - 3$ $(- 1)^{1} = - 1$

$a_{2} = 1 \cdot 5 = 5$ чётная степень

$a_{3} = - 7, a_{10} = 21$ знаки чередуются

Сам

база $b_{n} = 3 n - 5$ : $b_{1}$ , $b_{20}$ $- 2; 55$
база $c_{n} = \frac{n}{n + 1}$ : $c_{4}$ , $c_{9}$ $\frac{4}{5}; \frac{9}{10}$
повыш. $a_{n} = n^{2} - 2 n$ : выразите $a_{n + 1}$ $n^{2} - 1$

R04.1 · ПР-28

Новый материал · график последовательности

График — отдельные точки $(n; a_{n})$

a_{n} = (n - 3)^{2} - 2

$2, - 1, - 2, - 1, 2, 7, \dots$

Пунктир — парабола

y = (x - 3)^{2} - 2

. Последовательность — только её точки с

x = 1, 2, 3, \dots

Точки линией не соединяют

R04.1

Образец → сам · обратная задача

Является ли число членом последовательности?

Образец: $a_{n} = n^{2} - 3 n$

$n^{2} - 3 n = 40$ число $40$ ?

$n = 8$ или $n = - 5$ корни

$n = 8 \in N$ : да, $a_{8} = 40$

$n^{2} - 3 n = 20$ : $D = 89$ не квадрат

нет $n \in N$ : $20$ не член

Сам

база $b_{n} = 5 n - 2$ : числа $73$ и $100$ ? $73 = b_{15}$ ; $100$ — нет
база $c_{n} = n^{2} + 2 n$ : числа $63$ и $50$ ? $63 = c_{7}$ ; $50$ — нет
повыш. $d_{n} = \frac{n + 6}{n + 1}$ : числа $1, 5$ и $1$ ? $1, 5 = d_{9}$ ; $1$ — нет

R04.1

Образец → сам · закономерность

По первым членам запишите формулу $a_{n}$

Образец

$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$

числитель $= n$ 1, 2, 3, 4

знаменатель $= n + 1$ 2, 3, 4, 5

$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ проверка: $a_{3} = \frac{3}{4}$

Сам

база $3, 5, 7, 9, \dots$ $2 n + 1$
база $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ $(- 1)^{n}$
база $2, 6, 12, 20, 30, \dots$ $n (n + 1)$
повыш. $1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{4}, \dots$ $\frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$

R04.1 · опора R03

Образец → сам · знаки и наименьший член

Исследуйте последовательность

Образец: $a_{n} = n^{2} - 10 n + 21$

$(n - 3) (n - 7) < 0$ отрицательные

$3 < n < 7$ : $n = 4, 5, 6$ 3 члена

вершина при $n = 5$ $\frac{10}{2}$

наименьший $a_{5} = - 4$ $25 - 50 + 21$

Сам

база $c_{n} = 30 - 4 n$ : сколько положительных членов? $7$
повыш. $b_{n} = n^{2} - 8 n + 12$ : число отрицательных и наименьший член $3$ члена; $b_{4} = - 4$
повыш. $d_{n} = n^{2} - 7 n + 6$ : наименьший член $- 6$ ( $d_{3} = d_{4}$ )

3 мин · практика
Опора — квадратные неравенства (R02/R03) и вершина параболы (R01). Отличие от функции: ответ — только натуральные n.
Образец проверен перебором: a_1…a_9 = 12, 5, 0, −3, −4, −3, 0, 5, 12. Нулевые члены a_3 = a_7 = 0 не отрицательны.
1) 30 − 4n > 0 ⇔ n < 7,5: n = 1, …, 7 — 7 членов. 2) (n − 2)(n − 6) < 0: n = 3, 4, 5 — 3 члена; вершина n = 4: 16 − 32 + 12 = −4.
3) Вершина n = 3,5 — не натуральное: сравниваем ближайшие n = 3 и n = 4: 9 − 21 + 6 = −6 и 16 − 28 + 6 = −6. Наименьший член −6. Ошибка: ответ «при n = 3,5».

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки новой темы

Сдвинули значение

$a_{n} = n^{2}$ : $a_{n + 1} = n^{2} + 1$

$a_{n + 1} = (n + 1)^{2} =$ $n^{2} + 2 n + 1$

в формулу подставляют $n + 1$ вместо $n$

Дробный номер

$a_{n} = 5 n - 2$ : « $100$ — член с номером $20, 4$ »

$100$ — не член последовательности

номер только натуральный

Соединили точки

график $a_{n}$ — сплошная линия

график — отдельные точки $(n; a_{n})$

членов с номером $1, 5$ нет

R04.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot 3 n$ . Найдите $a_{1}, a_{2}, a_{3}$

$a_{1} = 3, a_{2} = - 6, a_{3} = 9$

Ошибка: $(- 1)^{1} = - 1$ , знаки перепутаны

$a_{1} = - 3, a_{2} = 6, a_{3} = - 9$

Задача 2. Является ли $30$ членом $a_{n} = n^{2} + n$ ?

$n^{2} + n - 30 = 0$ ; $n = 5$ , $n = - 6$

Ответ: да, $a_{5}$ и $a_{- 6}$

Ошибка: номера $- 6$ нет

Ответ: да, $30 = a_{5}$

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Вычислите и найдите

$a_{n} = 4 n - 7$ : $a_{1}$ , $a_{10}$ $- 3; 33$
$a_{n} = n^{2} - 5$ : $a_{3}$ $4$
$a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n$ : $a_{5}$ $- 5$

$5, 10, 15, 20, \dots$ : формула $a_{n}$ $5 n$
$a_{n} = 3 n + 1$ : номер члена, равного $46$ $15$
$a_{n} = 3 n + 1$ : является ли $50$ членом? нет

R04.1 · ч. 2 ОГЭ

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Номера, знаки, целые члены

повыш. $a_{n} = n^{2} - 6 n$ : номер члена, равного $16$ $8$
повыш. $a_{n} = 50 - 3 n$ : сколько положительных членов? $16$
повыш. $a_{n} = 2 n^{2} - 9 n + 4$ : наименьший член $a_{2} = - 6$
повыш. $a_{n} = n^{2} + 3 n$ : наименьшее $n$ , при котором $a_{n} > 100$ $9$
повыш. $a_{n} = \frac{n ^{2} + 5}{n + 1}$ : все целые члены $a_{1} = a_{2} = 3, a_{5} = 5$

R04.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 14

Последовательность задана формулой

$a_{n} = \frac{40}{n + 1}$ . Какое число является её членом? 1) $6$ 2) $7$ 3) $8$ 4) $9$ 3
$c_{n} = n + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ . Какое число не является её членом? 1) $2 \frac{1}{2}$ 2) $2 \frac{2}{3}$ 3) $4 \frac{1}{4}$ 4) $5 \frac{1}{5}$ 4
ч. 2 $a_{n} = n^{2} - 14 n + 40$ . Найдите сумму номеров её отрицательных членов. $35$

Член — значит, нашёлся натуральный номер

n

Варианты ответа проверяйте подстановкой

n

R04.1 · ПР-29

Задача из жизни

Зал: в 1-м ряду 18 мест, в каждом следующем на 2 больше

практикаФормула числа мест $a_{n}$ в $n$ -м ряду $a_{n} = 16 + 2 n$
практикаСколько мест в 9-м ряду? $34$
практикаВ каком ряду 40 мест? в 12-м
повыш.Может ли в ряду быть 45 мест? нет

R04.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $a_{n} = 5 n - 3$ : $a_{1}$ и $a_{6}$ $2; 27$
база $a_{n} = n^{2} + 1$ : является ли $50$ членом? да, $a_{7}$
базаФормула $a_{n}$ для $4, 8, 12, 16, \dots$ $4 n$
повыш.Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 9 n + 14$ ? $4$

Вариант 2

база $a_{n} = 7 - 2 n$ : $a_{1}$ и $a_{6}$ $5; - 5$
база $a_{n} = n^{2} - 4$ : является ли $60$ членом? да, $a_{8}$
базаФормула $a_{n}$ для $3, 6, 9, 12, \dots$ $3 n$
повыш.Сколько отрицательных членов у $a_{n} = n^{2} - 10 n + 16$ ? $5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое числовая последовательность?
Чем $a_{n + 1}$ отличается от $a_{n} + 1$ ?
Как узнать, является ли число членом?
Почему точки графика не соединяют?

Домашнее задание

Первые пять членов $a_{n} = (- 1)^{n} (n + 2)$
Является ли $99$ членом $a_{n} = n^{2} + 2 n$ ?
Наименьший член $a_{n} = n^{2} - 12 n + 30$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-066 · Понятие числовой последовательности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R04 «Числовые последовательности и прогрессии», 25 ч · урок 1/25 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Понятие числовой последовательности» → 2, 4–20 · опора: 5–8 кл., R01, R03 → 3, 12 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 8, 10–12, 14–20)
Результаты	ПР-25 (понятие последовательности) → 2, 4–6, 13, 14 · ПР-26 (формула n-го члена) → 7, 8, 10, 11, 15 · ПР-28 (точки на плоскости) → 9, 13 · ПР-29 (задачи, в т. ч. из жизни) → 12, 16–19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	конечные и бесконечные — ALG9U-067 (R04.2); ограниченные, монотонные — R04.3–R04.4; способы задания, рекуррентная формула — R04.5; прогрессии — R04.6–R04.9
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие числовой последовательности

Сегодня вы научитесь

Говорить на языке индексов

Вычислять члены

Изображать точками

Видеть закономерность

Продолжите ряд и посчитайте

Каждому номеру — своё число

Индекс — это номер члена

Читаем последовательность по номерам

Образец: 2, 5, 8, 11, 14, …

Сам: 1, 3, 9, 27, 81, …

Формула выражает член через номер

Вычислите члены последовательности

Образец

Сам

График — отдельные точки (n; an​)

Является ли число членом последовательности?

Образец: an​=n2−3n

Сам

По первым членам запишите формулу an​

Образец

Сам

Исследуйте последовательность

Образец: an​=n2−10n+21

Сам

Три ошибки новой темы

Сдвинули значение

Дробный номер

Соединили точки

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. an​=(−1)n⋅3n. Найдите a1​, a2​, a3​

Задача 2. Является ли 30 членом an​=n2+n?

Вычислите и найдите

Номера, знаки, целые члены

Последовательность задана формулой

Зал: в 1-м ряду 18 мест, в каждом следующем на 2 больше

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-066 · Понятие числовой последовательности

Образец: $2, 5, 8, 11, 14, \dots$

Сам: $1, 3, 9, 27, 81, \dots$

График — отдельные точки $(n; a_{n})$

Образец: $a_{n} = n^{2} - 3 n$

По первым членам запишите формулу $a_{n}$

Образец: $a_{n} = n^{2} - 10 n + 21$

Задача 1. $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot 3 n$ . Найдите $a_{1}, a_{2}, a_{3}$

Задача 2. Является ли $30$ членом $a_{n} = n^{2} + n$ ?