Уравнения и неравенства · урок 23 из 25 · практикум

Практикум:
системы нелинейных
уравнений — новые приёмы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-063

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 23/25, единица R03.5 «Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными». Тип урока — П (второй практикум по R03.5). Первый практикум ALG9U-054 (подстановка, сложение, разложение, симметричные системы) — сегодня новые типы: умножение и деление уравнений, однородные системы, замена 1/x и x ± y, симметричные системы 3-й и 4-й степени. Прошлый урок ALG9U-062 — системы уравнений (R03.4); следующий ALG9U-064 — графический метод.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (арсенал способов) 3 · 6 (однородные системы) 2 · 8 (замена переменных) 2 · 12 (типичные ошибки) 2 · 16 (оформление задания 20) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Картинка титула: окружность x² + y² = 5 и прямые x = 2y, y = −2x — четыре решения однородной системы со сл. 7.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Умножать и делить уравнения

когда левые части — произведения степеней $x$ и $y$ (ПР-9)

Решать однородные системы

исключить число и перейти к $t = \frac{x}{y}$ (ПР-9, ПР-6)

Вводить новые переменные

$\frac{1}{x}$ , $x \pm y$ , $x y$ — и возвращаться к $x$ , $y$ (ПР-9)

Оформлять задание 20 ОГЭ

полное решение на 2 балла, все пары в ответе (ПР-13, ПР-15)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-6: «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями…». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать простейшие системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными».

разминка · R03.4–R03.5

Разминка · устно

Отношение, разложение, Виета

x^{2} y = 12, x y^{2} = 18

\frac{x}{y} = ?

\frac{2}{3}

x^{2} - 5 x y + 6 y^{2}

разложите

(x - 2 y) (x - 3 y)

\frac{x ^{2} + x y}{y ^{2}}

через

t = \frac{x}{y}

t^{2} + t

x + y = 3, x y = 2

x^{3} + y^{3} = ?

9

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{□}{x y}

что в числителе?

x + y

x + y = 7

x - y = 1

(x; y) = ?

(4; 3)

(x + y)^{2} - (x - y)^{2}

упростите

4 x y

t^{2} - 3 t + 16 = 0

есть корни?

нет

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Делим первое на второе: x²y / (xy²) = x / y = 12/18 = 2/3. 2) Корни t² − 5t + 6: 2 и 3 ⇒ (x − 2y)(x − 3y). 3) Делим числитель и знаменатель на y²: t² + t. 4) (x + y)³ − 3xy(x + y) = 27 − 18 = 9 (проверка: x, y = 1 и 2, 1 + 8 = 9).
5) Общий знаменатель xy: (y + x)/(xy). 6) Сложить: 2x = 8, x = 4, y = 3. 7) 4xy (формулы квадрата суммы и разности). 8) D = 9 − 64 = −55 < 0 — корней нет.
Карточка 1 — к делению уравнений (сл. 5); 2, 3 — к однородным системам (сл. 6–7); 4, 8 — к симметричным (сл. 11); 5 — к замене 1/x (сл. 9); 6, 7 — к замене x ± y (сл. 10).

R03.5

Сводка · арсенал способов

Посмотрите на систему — выберите способ

Признак	Способ	Пример
Одно уравнение линейное	подстановка	$x + y = 7$
Есть $A \cdot B = 0$	разложение → совокупность	$(x - 1) (y + 2) = 0$
Симметричная система	$u = x + y, v = x y$	$x^{3} + y^{3} = 9$
новоеЛевые части — $x^{m} y^{n}$	умножить или разделить уравнения	$x^{2} y = 12, x y^{2} = 18$
новоеОднородные левые части	исключить число, $t = \frac{x}{y}$	$x^{2} + y^{2} = 5, 4 x^{2} - 3 x y = 10$
новоеПовторяются $\frac{1}{x}$ , $x \pm y$	замена переменных	$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

3 мин · теория
Первые три строки — повторение ALG9U-045/054 (быстро, по вопросам классу: «как решить x + y = 7, x² + y² = 25?»). Строки 4–6 открываются по клику — это сегодняшние приёмы, по одному образцу на каждый (сл. 5, 7, 9–10), и приём строки 3 для 3-й и 4-й степени (сл. 11).
Общая идея всех приёмов: получить уравнение с одной переменной (или с одним отношением t = x/y), решить его и вернуться к x, y.
Равносильность: умножать/делить уравнения системы можно, когда делитель не обращается в 0 (проверяем отдельно); возводить в квадрат — нет без проверки.
Вопрос классу: какой способ для x²y = 12, xy² = 18? (подставлять неудобно — степени; перемножим: (xy)³ = 216.)

R03.5

Образец → сам · умножение и деление уравнений

Перемножьте или разделите уравнения

Образец

${x^{2} y = 12 x y^{2} = 18$

$x \neq = 0, y \neq = 0$ иначе $0 = 12$

$x^{3} y^{3} = 216, x y = 6$ перемножили

$x = \frac{12}{6} = 2, y = \frac{18}{6} = 3$ разделили на $x y$

$(2; 3)$ проверка: $4 \cdot 3 = 12$ , $2 \cdot 9 = 18$

Сам

база $x^{2} y = - 12, x y^{2} = 18$ $(2; - 3)$
база $x (x - y) = 6, y (x - y) = 2$ $(3; 1), (- 3; - 1)$
повыш. $x^{3} y = 8, x y^{3} = 2$ $(2; 1), (- 2; - 1)$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски. Ключевой первый шаг — x ≠ 0, y ≠ 0: только тогда деление на xy не теряет решений. Куб: (xy)³ = 216 ⇒ xy = 6 (кубический корень единственный).
1) (xy)³ = −216, xy = −6; x = −12/(−6) = 2, y = 18/(−6) = −3. Проверка: 4 · (−3) = −12 ✓, 2 · 9 = 18 ✓.
2) x − y ≠ 0 (иначе 0 = 6). Делим: x/y = 3, x = 3y; 3y · 2y = 6, y² = 1, y = ±1 ⇒ (3; 1), (−3; −1). Проверка (−3; −1): (−3)(−2) = 6 ✓, (−1)(−2) = 2 ✓. Типичная потеря — y = −1.
3) Делим: x²/y² = 4, x = 2y или x = −2y. x = 2y: 8y⁴ = 8, y = ±1 ⇒ (2; 1), (−2; −1). x = −2y: −8y⁴ = 8 — решений нет. Проверка (−2; −1): (−8)(−1) = 8 ✓, (−2)(−1) = 2 ✓.

R03.5

Сводка · однородные системы

Однородное уравнение — пара прямых через начало координат

a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0

y = 0 \Rightarrow x = 0

— пару

(0; 0)

проверить отдельно

y \neq = 0 : a t^{2} + b t + c = 0, t = \frac{x}{y}

Справа числа

d_{1}

,

d_{2}

?

d_{2} \cdot (1) - d_{1} \cdot (2) = 0

— однородное

2 мин · теория
Однородное уравнение второй степени: все члены степени 2. Если y = 0, то ax² = 0 и (при a ≠ 0) x = 0 — получаем только пару (0; 0); её проверяем в системе отдельно. При y ≠ 0 делим на y²: a(x/y)² + b(x/y) + c = 0.
Геометрия: каждое найденное t задаёт прямую x = ty через начало координат. Система «однородное = 0 и окружность» — точки пересечения прямых с окружностью (рисунок — система образца сл. 7: 2x² − 3xy − 2y² = (2x + y)(x − 2y) = 0 и x² + y² = 5). Масштаб рисунка: 50 px на единицу, радиус √5 ≈ 2,24.
Если справа ненулевые числа d₁ и d₂: умножаем первое уравнение на d₂, второе на d₁ и вычитаем — число исчезает, остаётся однородное уравнение. Его решаем вместе с одним из исходных.
Вопрос классу: сколько решений может иметь такая система? (0, 2 или 4: каждая прямая пересекает окружность в 0 или 2 точках.)

R03.5

Образец → сам · однородная система

Исключите число и перейдите к $t = \frac{x}{y}$

Образец

${x^{2} + y^{2} = 5 4 x^{2} - 3 x y = 10$

$2 x^{2} - 3 x y - 2 y^{2} = 0$ $(2) - 2 \cdot (1)$

$y \neq = 0 : 2 t^{2} - 3 t - 2 = 0$ $(0; 0)$ — не решение

$t = 2$ или $t = - \frac{1}{2}$ $D = 25$

$x = 2 y$ : $5 y^{2} = 5$ ; $y = - 2 x$ : $5 x^{2} = 5$ в (1)

$(2; 1), (- 2; - 1), (1; - 2), (- 1; 2)$

Сам

база $x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0,$ $x + 2 y = 8$ $(4; 2), (- 8; 8)$
повыш. $x^{2} - 3 x y = 10,$ $2 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 5$ $(2; - 1), (- 2; 1), (1; - 3), (- 1; 3)$
повыш. $x^{2} + x y - y^{2} = 11,$ $2 x^{2} - x y + y^{2} = 16$ $(3; 2), (- 3; - 2), (3; 1), (- 3; - 1)$

3 мин · практика
Образец 1 мин: (2) − 2·(1): 4x² − 3xy − 2x² − 2y² = 0. Если y = 0, то x = 0, а 0 ≠ 5 — значит, y ≠ 0, делим на y². D = 9 + 16 = 25, t = (3 ± 5)/4: 2 и −1/2. Проверка (1; −2): 1 + 4 = 5 ✓, 4 + 6 = 10 ✓.
1) (x − 2y)(x + y) = 0. x = 2y: 4y = 8, (4; 2). x = −y: y = 8, (−8; 8). Проверка: 64 + 64 − 128 = 0 ✓.
2) (1) − 2·(2): x² − 3xy − 4x² − 4xy − 2y² = 0 ⇒ 3x² + 7xy + 2y² = 0 ⇒ (3x + y)(x + 2y) = 0. y = −3x: x² + 9x² = 10, x = ±1 ⇒ (1; −3), (−1; 3). x = −2y: 4y² + 6y² = 10, y = ±1 ⇒ (−2; 1), (2; −1).
3) 16·(1) − 11·(2): −6x² + 27xy − 27y² = 0 ⇒ 2x² − 9xy + 9y² = 0 ⇒ (2x − 3y)(x − 3y) = 0. x = 1,5y: 2,25y² + 1,5y² − y² = 11, 2,75y² = 11, y = ±2 ⇒ (3; 2), (−3; −2). x = 3y: 9y² + 3y² − y² = 11, y = ±1 ⇒ (3; 1), (−3; −1). Все ответы проверены решением системы в python.

R03.5

Сводка · замена переменных

Новые переменные — и обязательно обратно к $x$ , $y$

$u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$

ОДЗ: $x \neq = 0, y \neq = 0$

$u = 0$ — такого $x$ нет

$u = x + y, v = x - y$

$x = \frac{u + v}{2}, y = \frac{u - v}{2}$

$u = x + y, v = x y$

$x, y$ — корни $t^{2} - u t + v = 0$

нужно $u^{2} - 4 v \geq 0$

Каждая пара

(u; v)

даёт свою систему для

x

,

y

. Ответ записываем в

x

и

y

.

2 мин · теория
Замена 1/x, 1/y превращает «дробную» систему в линейную или симметричную. ОДЗ записываем до замены; найденное u = 0 не даёт x (1/x ≠ 0).
Замена u = x + y, v = x − y удобна, когда в системе выражения (x + y) и (x − y) входят целиком, например (x + y)² − 3(x + y) = 4. Обратный переход: сложить и вычесть u и v.
Симметричная замена (ALG9U-054): x³ + y³ = u³ − 3uv, x² + y² = u² − 2v, x⁴ + y⁴ = (u² − 2v)² − 2v². Пара (u; v) даёт решения только при u² − 4v ≥ 0 (дискриминант уравнения для t).
Вопрос классу: почему каждая пара (u; v) с u² − 4v > 0 даёт ровно два решения (x; y)? (корни t₁, t₂ можно взять в двух порядках.)

R03.5

Образец → сам · замена 1/x и 1/y

Дробные системы: $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$

Образец

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y ^{2}} = \frac{13}{36}$

$u + v = \frac{5}{6}, u^{2} + v^{2} = \frac{13}{36}$ $x, y \neq = 0$

$uv = \frac{1}{2} (\frac{25}{36} - \frac{13}{36}) = \frac{1}{6}$ $(u + v)^{2}$

${u; v} = {\frac{1}{2}; \frac{1}{3}}$ Виета

$(2; 3), (3; 2)$ $x = \frac{1}{u}$

Сам

база $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 0, \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = - 4$ $(- 1; 2)$
база $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, x y = 12$ $(3; 4), (- 4; - 3)$
повыш. $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{y ^{2}} = \frac{5}{36}$ $(2; 3)$

3 мин · практика
Образец: после замены — симметричная система в u, v. u, v — корни z² − (5/6)z + 1/6 = 0, т. е. 6z² − 5z + 1 = 0: z = 1/2, 1/3. Проверка (2; 3): 1/2 + 1/3 = 5/6 ✓, 1/4 + 1/9 = 13/36 ✓.
1) u + 2v = 0, 3u − 2v = −4: сложить — 4u = −4, u = −1, v = 1/2 ⇒ x = −1, y = 2. Проверка: −1 + 1 = 0 ✓, −3 − 1 = −4 ✓.
2) (y − x)/(xy) = 1/12, xy = 12 ⇒ y − x = 1, x(x + 1) = 12, x² + x − 12 = 0: x = 3 или −4 ⇒ (3; 4), (−4; −3). Проверка (−4; −3): −1/4 + 1/3 = 1/12 ✓.
3) u² − v² = (u − v)(u + v) = 5/36 ⇒ u + v = (5/36)/(1/6) = 5/6. С u − v = 1/6: u = 1/2, v = 1/3 ⇒ (2; 3) — одно решение (система для u, v линейная).

R03.5

Образец → сам · замена x + y и x − y

Выражение повторяется — обозначьте его буквой

Образец

${(x - y)^{2} - 2 (x - y) = 3 x^{2} - y^{2} = 9$

$v = x - y$ : $v^{2} - 2 v - 3 = 0$ , $v = 3; - 1$ Виета

$v (x + y) = 9$ : $x + y = 3$ или $- 9$ $x^{2} - y^{2}$

${x - y = 3 x + y = 3$ $(3; 0)$ ; ${x - y = - 1 x + y = - 9$ $(- 5; - 4)$

Сам

база $(x - y)^{2} + (x - y) = 6, x + y = 4$ $(3; 1), (0, 5; 3, 5)$
повыш. $(x + y)^{2} - 3 (x + y) = 4,$ $(x - y)^{2} = 1$ $(2, 5; 1, 5), (1, 5; 2, 5), (0; - 1), (- 1; 0)$

R03.5

Образец → сам · симметричные системы высших степеней

Через $u = x + y$ и $v = x y$

Образец

${x^{4} + y^{4} = 17 x + y = 3$

$x^{2} + y^{2} = 9 - 2 v$ $u^{2} - 2 v$

$(9 - 2 v)^{2} - 2 v^{2} = 17$ $x^{4} + y^{4}$

$v^{2} - 18 v + 32 = 0$ : $v = 2; 16$

$v = 16$ : $u^{2} - 4 v = 9 - 64 < 0$ — нет

$v = 2$ : $(1; 2), (2; 1)$ $t^{2} - 3 t + 2 = 0$

Сам

база $x^{2} y + x y^{2} = 20, x y + x + y = 9$ $(1; 4), (4; 1)$
повыш. $x^{4} + y^{4} = 82, x - y = 2$ $(3; 1), (- 1; - 3)$

2 мин · практика
Образец: x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² − 2x²y² = (9 − 2v)² − 2v² = 81 − 36v + 2v² = 17 ⇒ 2v² − 36v + 64 = 0 ⇒ v² − 18v + 32 = 0, v = 2 или 16. Для v = 16: t² − 3t + 16 = 0, D = −55 — решений нет. Для v = 2: t² − 3t + 2 = 0, t = 1, 2. Проверка: 1 + 16 = 17 ✓.
1) uv = 20, u + v = 9 ⇒ {u; v} = {4; 5}. u = 4, v = 5: t² − 4t + 5, D < 0 — нет. u = 5, v = 4: t = 1, 4 ⇒ (1; 4), (4; 1). Проверка: 4 + 16 = 20 ✓, 4 + 5 = 9 ✓.
2) Система не симметрична; замена z = −y: x + z = 2, x⁴ + z⁴ = 82. v = xz: (4 − 2v)² − 2v² = 82 ⇒ v² − 8v − 33 = 0, v = 11 (t² − 2t + 11, D < 0) или v = −3: t² − 2t − 3 = 0, t = 3, −1 ⇒ (x; z) = (3; −1), (−1; 3) ⇒ (3; 1), (−1; −3). Проверка: 81 + 1 = 82 ✓, 3 − 1 = 2 ✓.

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Разделили на $x$

$x^{2} y = 4 x, x + y = 3$ : $x y = 4$ → нет решений

$x (x y - 4) = 0$ : $x = 0$ даёт $(0; 3)$

выносим множитель, а не делим на него

Ответ в $u$ и $v$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ : $(0, 5; 0, 25)$

$u = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{4}$ ⇒ $(2; 4)$

вернитесь к $x = \frac{1}{u}$ , $y = \frac{1}{v}$

Не проверили $D$

$x + y = 3, x y = 16$ — «решение есть»

$t^{2} - 3 t + 16 = 0$ : $D = - 55 < 0$ — нет

каждую пару $(u; v)$ — через дискриминант

2 мин · теория
1) x²y − 4x = x(xy − 4) = 0 ⇒ x = 0 (тогда y = 3) или xy = 4, x + y = 3: t² − 3t + 4, D = −7 < 0. Ответ (0; 3). Проверка: 0 = 0 ✓, 0 + 3 = 3 ✓. Делить можно только на выражение, про которое доказано, что оно ≠ 0.
2) Сложение: 2u = 1, u = 1/2; вычитание: 2v = 1/2, v = 1/4 ⇒ x = 2, y = 4. Проверка: 1/2 + 1/4 = 3/4 ✓, 1/2 − 1/4 = 1/4 ✓. Пара (0,5; 0,25) — это (u; v), а не (x; y).
3) Это та пара (u; v) = (3; 16), что отбросили в образце сл. 11. Без проверки D ученики пишут «x и y — корни t² − 3t + 16» и дальше ошибаются в вычислениях.

R03.5

Найди ошибку

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1

$x (x + y) = 12, y (x + y) = 4$

Разделим: $\frac{x}{y} = 3$ , $x = 3 y$

$3 y \cdot 4 y = 12$ , $y^{2} = 1$ , $y = 1$ , $x = 3$

Ответ: $(3; 1)$

Ошибка: $y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$

Ответ: $(3; 1), (- 3; - 1)$

Система 2

$x^{3} + y^{3} = 28, x + y = 4$

$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y$

$64 - 3 v = 28$ , $v = 12$ : $t^{2} - 4 t + 12$ , $D < 0$

Ответ: решений нет

Ошибка: $(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$

$64 - 12 v = 28$ , $v = 3$ : $(1; 3), (3; 1)$

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите систему (выберите способ)

$x^{2} y = 4, x y^{2} = 2$ $(2; 1)$
$x (x + y) = 10, y (x + y) = 15$ $(2; 3), (- 2; - 3)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1, \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ $(1, 5; 3)$

$x + y = 2, x^{3} + y^{3} = 26$ $(3; - 1), (- 1; 3)$
$2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = 0, x + y = 6$ $(2; 4), (4; 2)$
$(x + y)^{2} - 7 (x + y) + 12 = 0,$ $x - y = 2$ $(3; 1), (2, 5; 0, 5)$

R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Комбинируйте приёмы

повыш. $x^{2} + x y - y^{2} = 5, x^{2} + 2 x y - 2 y^{2} = 1$ $(3; - 1), (- 3; 1), (3; 4), (- 3; - 4)$
повыш. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}, \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y ^{2}} = \frac{5}{4}$ $(1; 2), (2; 1)$
повыш. $x^{2} y + x y^{2} = 30, x^{3} + y^{3} = 35$ $(2; 3), (3; 2)$
повыш. $x^{2} + x y - 6 y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} = 20$ $(\pm 4; \pm 2), (\mp 32; \pm 2)$

2 мин · практика
1) (1) − 5·(2): −4x² − 9xy + 9y² = 0 ⇒ (4x − 3y)(x + 3y) = 0. x = −3y: 9y² − 3y² − y² = 5, y = ±1 ⇒ (−3; 1), (3; −1). y = 4x/3: x² + 4x²/3 − 16x²/9 = 5x²/9 = 5, x = ±3 ⇒ (3; 4), (−3; −4). Проверка (3; 4): 9 + 12 − 16 = 5 ✓, 9 + 24 − 32 = 1 ✓.
2) u + v = 3/2, uv = (9/4 − 5/4)/2 = 1/2 ⇒ u, v = 1 и 1/2 ⇒ (1; 2), (2; 1).
3) uv = 30, u³ − 3uv = 35 ⇒ u³ = 125, u = 5, v = 6 ⇒ (2; 3), (3; 2).
4) (x + 3y)(x − 2y) = 0. x = 2y: 5y² = 20, y = ±2 ⇒ (4; 2), (−4; −2). x = −3y: 10y² = 20, y = ±√2 ⇒ (−3√2; √2), (3√2; −√2). Знаки в ответе согласованы: в первой паре одинаковые, во второй — разные. Если не успеваете — 3 и 4 в ДЗ.

R03.5 · формат ОГЭ

Схема · оформление задания 20

Решение на 2 балла — пять шагов

Ограничения: знаменатели $\neq = 0$ , делитель $\neq = 0$
Преобразование с обоснованием: «вычтем», «разделим, так как $y \neq = 0$ »
Уравнение с одной переменной — все корни
Возврат к $x$ , $y$ и отбор по ограничениям
Ответ — все пары $(x; y)$

2 балла

обоснованно получен верный ответ

1 балл

решение доведено до конца, одна вычислительная ошибка

0 баллов

потеряна пара, ответ «в $u$ , $v$ », нет обоснования

2 мин · теория
Критерии задания 20 ОГЭ (по демоверсии ФИПИ, пересказ): 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги верны; 0 — другие случаи.
Что считают обоснованием: указанное деление «так как y ≠ 0», проверка (0; 0) у однородного уравнения, проверка дискриминанта для пары (u; v), ОДЗ дробей.
Ответ пишем парами в фигурных скобках или перечислением: (2; 1), (−2; −1). Потеря одной пары — ответ неверный, это уже не «вычислительная» ошибка.

R03.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему уравнений

${x^{2} - 3 x y + y^{2} = 11 x^{2} + x y + y^{2} = 3$ $(2; - 1), (- 2; 1), (1; - 2), (- 1; 2)$
${(x + y)^{2} + 2 (x + y) = 15 x^{2} - y^{2} = 3$ $(2; 1), (- 2, 8; - 2, 2)$
${x^{2} + y^{2} = 5 x^{4} - y^{4} = 15$ $(\pm 2; \pm 1)$ — 4 пары

1: вычтите — получится

x y

2:

u = x + y

, затем

x - y = \frac{3}{u}

3:

x^{4} - y^{4} = (x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2})

2 мин · практика
1) Вычтем: −4xy = 8, xy = −2; тогда x² + y² = 3 + 2 = 5. (x + y)² = 1, (x − y)² = 9: x + y = ±1, x − y = ±3 ⇒ (2; −1), (−1; 2), (1; −2), (−2; 1). Можно и однородным способом: 3·(1) − 11·(2) = −8x² − 20xy − 8y² = 0 ⇒ (2x + y)(x + 2y) = 0. Проверка (2; −1): 4 + 6 + 1 = 11 ✓, 4 − 2 + 1 = 3 ✓.
2) u² + 2u − 15 = 0: u = 3 или −5. u = 3: x − y = 1 ⇒ (2; 1). u = −5: x − y = −0,6 ⇒ x = −2,8, y = −2,2. Проверка: 7,84 − 4,84 = 3 ✓, (−5)² − 10 = 15 ✓.
3) x² − y² = 15 / 5 = 3; с x² + y² = 5: x² = 4, y² = 1 ⇒ (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1).
Каждое решение — с полным оформлением по сл. 16 (2 балла). Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R03.5 · опора R03.7

Задача из жизни

Участок: площадь $1200$ м², диагональ $50$ м

практикаНайдите стороны участка $30$ м и $40$ м
практикаСколько метров забора нужно? $140$ м
повыш.На сколько м² больше квадратный участок с той же диагональю? на $50$ м²

R03.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} y = 45, x y^{2} = 75$ $(3; 5)$
база $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}, x y = 12$ $(3; 4), (4; 3)$
база $x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0, x - y = 2$ $(4; 2), (1; - 1)$
повыш. $x^{4} + y^{4} = 97, x + y = 5$ $(2; 3), (3; 2)$

Вариант 2

база $x^{2} y = 20, x y^{2} = 50$ $(2; 5)$
база $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, x y = 6$ $(2; 3), (3; 2)$
база $2 x^{2} - 3 x y + y^{2} = 0, x + y = 6$ $(2; 4), (3; 3)$
повыш. $x^{4} + y^{4} = 17, x - y = 1$ $(2; 1), (- 1; - 2)$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) (xy)³ = 3375, xy = 15; x = 45/15 = 3, y = 75/15 = 5. 2) x + y = 7/12 · 12 = 7, xy = 12 ⇒ 3 и 4. 3) (x − 2y)(x + y) = 0: x = 2y ⇒ y = 2, (4; 2); x = −y ⇒ −2y = 2, (1; −1). 4) x² + y² = 25 − 2v; (25 − 2v)² − 2v² = 97 ⇒ v² − 50v + 264 = 0, v = 6 или 44 (t² − 5t + 44, D < 0) ⇒ (2; 3), (3; 2).
В-2. 1) (xy)³ = 1000, xy = 10; x = 2, y = 5. 2) x + y = 5, xy = 6 ⇒ 2 и 3. 3) (2x − y)(x − y) = 0: y = 2x ⇒ (2; 4); y = x ⇒ (3; 3). 4) z = −y: x + z = 1, v = xz: (1 − 2v)² − 2v² = 17 ⇒ v² − 2v − 8 = 0, v = 4 (D < 0) или −2: t = 2, −1 ⇒ (2; 1), (−1; −2). Проверка: 16 + 1 = 17 ✓.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Пара потеряна — задание не засчитано.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда систему выгодно перемножить или разделить?
Как из двух уравнений с числами получить однородное?
Что проверить после замены $u = x + y, v = x y$ ?

Домашнее задание

$x^{2} y = 36, x y^{2} = 48$
$x^{2} + y^{2} = 10, x^{2} - 3 x y + y^{2} = 1$
$x^{4} + y^{4} = 272, x + y = 6$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-063 · Практикум: Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 23/25 · тип П (второй практикум по R03.5, первый — ALG9U-054)
Единицы → слайды	R03.5 «Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными» → 2–20 · опора R03.4 → 3 · применение R03.7 → 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9–11, 13–15, 17–20)
Результаты	ПР-9 (системы, в которых одно уравнение не линейное) → 2–20 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 7, 10, 11, 15 · ПР-13 (системы с ограничениями) → 9, 16, 17 · ПР-15 (текстовые задачи с помощью систем) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	графический метод — ALG9U-064; системы как модель реальной ситуации — R03.7; системы с параметром — R03.8; обобщение — ALG9U-065
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:системы нелинейныхуравнений — новые приёмы

Сегодня вы научитесь

Умножать и делить уравнения

Решать однородные системы

Вводить новые переменные

Оформлять задание 20 ОГЭ

Отношение, разложение, Виета

Посмотрите на систему — выберите способ

Перемножьте или разделите уравнения

Образец

Сам

Однородное уравнение — пара прямых через начало координат

Исключите число и перейдите к t=yx​

Образец

Сам

Новые переменные — и обязательно обратно к x, y

u=x1​, v=y1​

u=x+y, v=x−y

u=x+y, v=xy

Дробные системы: u=x1​, v=y1​

Образец

Сам

Выражение повторяется — обозначьте его буквой

Образец

Сам

Через u=x+y и v=xy

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Разделили на x

Ответ в u и v

Не проверили D

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1

Система 2

Решите систему (выберите способ)

Комбинируйте приёмы

Решение на 2 балла — пять шагов

2 балла

1 балл

0 баллов

Решите систему уравнений

Участок: площадь 1200 м², диагональ 50 м

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-063 · Практикум: Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Практикум:
системы нелинейных
уравнений — новые приёмы

Исключите число и перейдите к $t = \frac{x}{y}$

Новые переменные — и обязательно обратно к $x$ , $y$

$u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$

$u = x + y, v = x - y$

$u = x + y, v = x y$

Дробные системы: $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$

Через $u = x + y$ и $v = x y$

Разделили на $x$

Ответ в $u$ и $v$

Не проверили $D$

Участок: площадь $1200$ м², диагональ $50$ м