Уравнения и неравенства · урок 22 из 25 · практикум

Практикум:
нестандартные
системы уравнений

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-062

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 22/25, единица R03.4 «Решение систем уравнений с двумя переменными». Тип урока — П (второй практикум по R03.4). Первый практикум ALG9U-053 — выбор способа, замена 1/(x + y), число решений линейной системы; сегодня — новые приёмы: сложение/деление уравнений, однородные и симметричные системы, модуль, параметр «в буквах». Предыдущий урок ALG9U-061 — дробно-рациональные уравнения; следующий ALG9U-063 — простейшие нелинейные системы.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка приёмов) 3 · 7 (однородные и симметричные) 3 · 11 (параметр в линейной системе) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 10, 12) 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ, линия 20 (сл. 17) 2 · задача из жизни, линия 21 (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Рисунок: окружность x² + y² = 20 и прямые y = 2x, x = 2y — однородное уравнение задаёт пару прямых через начало координат (сл. 7).
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть приём

сложить, вычесть, перемножить или разделить уравнения — по виду системы (ПР-9)

Решать особые системы

однородные ( $x = k y$ ), симметричные ( $x + y$ и $x y$ ), с модулем (ПР-9, ПР-13)

Исследовать с параметром

решить систему «в буквах» и наложить условия на решение (ПР-14)

Оформлять как на ОГЭ

линия 20 и задача-модель линии 21 — полная запись (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями…» — у нас ограничения случаев при раскрытии модуля и условия на знак решения.
ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений…» — сл. 11, 12, 16. ПР-15, ПР-16 — текстовая задача и модель (сл. 18).
Вопрос классу: какие способы решения систем вы уже знаете? (Подстановка, сложение, замена, графический.) Сегодня — что делать, когда «в лоб» получается уравнение 4-й степени.

разминка · R03.3, R03.4

Разминка · устно

Всё это сегодня понадобится

x + y = 5, x y = 4

числа

x

и

y

?

1

и

4

x + y = 4, x y = 3

x^{2} + y^{2} = ?

10

x^{2} + y^{2} = 13, x y = 6

(x + y)^{2} = ?

25

t^{2} - 7 t + 12 = 0

корни

3; 4

x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}

разложите

(x - y) (x - 2 y)

\frac{x ^{2} y}{x y ^{2}}

упростите

\frac{x}{y}

\frac{2}{x - 1} = \frac{1}{x + 1}

корень

- 3

∣ x ∣ = 3 - x

корень

1, 5

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Сумма 5, произведение 4 — числа 1 и 4 (корни t² − 5t + 4 = 0). 2) x² + y² = (x + y)² − 2xy = 16 − 6 = 10. 3) (x + y)² = 13 + 12 = 25. 4) Виета: 3 и 4.
5) Как трёхчлен относительно x: корни x = y и x = 2y, значит, (x − y)(x − 2y). 6) x²y : xy² = x/y (x, y ≠ 0).
7) 2(x + 1) = x − 1, x = −3; ОДЗ x ≠ ±1 — подходит (из ALG9U-061). 8) x ≥ 0: x = 3 − x, x = 1,5; x < 0: −x = 3 − x, 0 = 3 — нет. Ответ 1,5.
Карточки 1–4 — к симметричным системам (сл. 9), 5 — к однородным (сл. 8), 6 — к делению уравнений (сл. 6), 8 — к модулю (сл. 10).

R03.4

Сводка · приёмы для нелинейных систем

Подстановка «в лоб» даёт 4-ю степень? Ищите приём

Признак системы	Приём	Пример → что получаем
после сложения или вычитания — общий множитель	сложить / вычесть, вынести множитель	$x (x + y) = 15, y (x + y) = 10$ → $(x + y)^{2} = 25$
левые части — одночлены $x^{m} y^{n}$	перемножить / разделить уравнения	$x^{2} y = 12, x y^{2} = 18$ → $x y = 6$
однородное: $a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0$	разложить, $x = k y$	$(2 x - y) (x - 2 y) = 0$
симметричная: $x \leftrightarrow y$ не меняет систему	$s = x + y, p = x y$	$x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p$
есть модуль	случаи по знаку, проверка условия	$x \geq 1$ или $x < 1$

3 мин · теория
Учитель показывает, почему «в лоб» плохо: в системе x² + xy = 15, xy + y² = 10 выразить y = (15 − x²)/x и подставить — получится уравнение 4-й степени. Сложение даёт (x + y)² = 25 сразу.
Строка 2: перемножив, получаем x³y³ = 216, xy = 6 (кубический корень единственный). Разделив — x/y = 2/3. Делить можно, потому что x ≠ 0, y ≠ 0 (иначе левые части равны 0, а правые — нет).
Строка 3: однородное уравнение — все слагаемые второй степени, справа 0. Решаем как квадратное относительно x (или через t = x/y при y ≠ 0) — получаем прямые x = ky.
Строка 4: симметричная система не меняется, если поменять x и y местами. Значит, вместе с (a; b) решение и (b; a). Через s и p степень понижается.
Строка 5: модуль раскрываем по случаям; найденное решение обязано удовлетворять условию своего случая.
Вопрос классу: какая из систем ALG9U-053 была симметричной? (x + y = 4, x³ + y³ = 28.)

R03.4

Образец → сам · сложить и вынести множитель

Сложите или вычтите уравнения — появится квадрат

Образец

${x^{2} + x y = 15 x y + y^{2} = 10$

$(x + y)^{2} = 25$ сложили

$x + y = 5$ или $x + y = - 5$ $A^{2} = 25$

$5 x = 15$ : $x = 3, y = 2$ $x (x + y) = 15$

$- 5 x = 15$ : $x = - 3, y = - 2$ второй случай

$(3; 2), (- 3; - 2)$ проверка: $9 + 6 = 15$

Сам

база ${x^{2} + x y = 12 x y + y^{2} = 4$ $(3; 1), (- 3; - 1)$
база ${x^{2} - x y = 6 x y - y^{2} = 2$ $(3; 1), (- 3; - 1)$
повыш. ${x^{2} + 4 y = 21 y^{2} + 4 x = 21$ $(3; 3), (- 7; - 7), (5; - 1), (- 1; 5)$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски, затем 2 мин самостоятельно. В образце y находим из x + y: при x + y = 5 и x = 3 получаем y = 2.
1) Сложили: (x + y)² = 16, x + y = ±4. x(x + y) = 12: x = 3, y = 1 или x = −3, y = −1. Проверка: 3 + 1 = 4 ✓.
2) Вычли: x² − 2xy + y² = 4, (x − y)² = 4, x − y = ±2. x(x − y) = 6: x = 3, y = 1 или x = −3, y = −1. Проверка: 9 − 3 = 6, 3 − 1 = 2 ✓.
3) Вычли: x² − y² − 4(x − y) = 0, (x − y)(x + y − 4) = 0. x = y: x² + 4x − 21 = 0, x = 3 или −7. y = 4 − x: x² − 4x − 5 = 0, x = 5 (y = −1) или x = −1 (y = 5). Четыре решения, проверено в sympy.
Ошибка: в 2) извлекают корень как x − y = 2 и теряют случай −2.

R03.4

Образец → сам · перемножить или разделить

Одночлены слева — перемножьте или разделите уравнения

Образец

${x^{2} y = 12 x y^{2} = 18$

$x \neq = 0, y \neq = 0$ иначе слева $0$

$x^{3} y^{3} = 216, x y = 6$ перемножили

$x \cdot 6 = 12, x = 2$ $x^{2} y = x \cdot x y$

$y \cdot 6 = 18, y = 3$ ; $(2; 3)$ $x y^{2} = y \cdot x y$

Сам

база ${x^{2} y = 20 x y^{2} = 50$ $(2; 5)$
база ${x^{2} - y^{2} = 24 x + y = 6$ $(5; 1)$
повыш. ${x^{3} y^{2} = 72 x^{2} y^{3} = 108$ $(2; 3)$

R03.4

Сводка · однородные и симметричные системы

Два типа систем — два способа понизить степень

Однородное уравнение

$2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = 0 \Leftrightarrow (2 x - y) (x - 2 y) = 0$ — пара прямых $x = k y$ ; подставляем во второе

Симметричная система

$x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p, x^{3} + y^{3} = s^{3} - 3 p s$

$x, y$ — корни $t^{2} - s t + p = 0$ ; нужно $s^{2} \geq 4 p$

3 мин · теория
Однородное: если y = 0, то из 2x² = 0 и x = 0, но (0; 0) не удовлетворяет x² + y² = 20 — поэтому можно делить на y²: 2t² − 5t + 2 = 0, t = x/y = 2 или 1/2. Геометрически — две прямые через начало координат; на окружности они высекают 4 точки (решение разберём на сл. 8).
Масштаб рисунка: 38 px на единицу, радиус √20 ≈ 4,47; точки (4; 2), (2; 4), (−2; −4), (−4; −2).
Симметричная: s = x + y, p = xy. Формулы: x² + y² = s² − 2p; x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²) = s(s² − 3p). Найдя s и p, решаем t² − st + p = 0 (теорема, обратная Виета). Если s² − 4p < 0 — действительных x, y нет, такую пару (s; p) отбрасываем.
Вопрос классу: почему у симметричной системы решения идут парами (a; b), (b; a)? (Замена x ↔ y не меняет систему.)

R03.4

Образец → сам · однородное уравнение

Разложите однородное уравнение на множители

Образец (рисунок сл. 7)

${2 x^{2} - 5 x y + 2 y^{2} = 0 x^{2} + y^{2} = 20$

$(2 x - y) (x - 2 y) = 0$ корни по $x$ : $2 y, y /2$

$x = 2 y$ : $5 y^{2} = 20, y = \pm 2$ во второе

$y = 2 x$ : $5 x^{2} = 20, x = \pm 2$ во второе

$(4; 2), (- 4; - 2), (2; 4), (- 2; - 4)$

Сам

база ${x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0 x - y = 3$ $(6; 3), (1, 5; - 1, 5)$
база ${x^{2} + x y - 6 y^{2} = 0 x y = 8$ $(4; 2), (- 4; - 2)$
повыш. ${x^{2} - x y = 6 x^{2} + y^{2} = 10$ $(3; 1), (- 3; - 1),$ $(2; - 22), (- 2; 22)$

3 мин · практика
Образец: разложение — как квадратного трёхчлена относительно x: D = 25y² − 16y² = 9y², x = (5y ± 3y)/4 = 2y или y/2. Проверка (4; 2): 32 − 40 + 8 = 0 ✓, 16 + 4 = 20 ✓.
1) (x − 2y)(x + y) = 0. x = 2y: y = 3, x = 6. x = −y: −2y = 3, y = −1,5, x = 1,5. Проверка: 1,5 + 1,5 = 3 ✓.
2) (x + 3y)(x − 2y) = 0. x = 2y: 2y² = 8, y = ±2 → (4; 2), (−4; −2). x = −3y: −3y² = 8 — решений нет.
3) Однородного уравнения в системе нет — получаем его: 10(x² − xy) = 6(x² + y²) ⇔ 2x² − 5xy − 3y² = 0 ⇔ (x − 3y)(2x + y) = 0. x = 3y: 10y² = 10, y = ±1 → (3; 1), (−3; −1). y = −2x: 5x² = 10, x = ±√2 → (√2; −2√2), (−√2; 2√2). Проверка: 2 + 4 = 6 ✓. Проверено в sympy.

R03.4

Образец → сам · симметричная система

Замена $s = x + y, p = x y$

Образец

${x + y + x y = 11 x^{2} y + x y^{2} = 30$

$s + p = 11, s p = 30$ $x^{2} y + x y^{2} = p s$

$(s; p) = (5; 6)$ или $(6; 5)$ Виета

$t^{2} - 5 t + 6 = 0$ : $(2; 3), (3; 2)$ $s = 5$

$t^{2} - 6 t + 5 = 0$ : $(1; 5), (5; 1)$ $s = 6$

Сам

база ${x^{2} + y^{2} = 10 x y = 3$ $(1; 3), (3; 1), (- 1; - 3), (- 3; - 1)$
база ${x^{2} + x y + y^{2} = 7 x + y = 3$ $(1; 2), (2; 1)$
повыш. ${x^{3} + y^{3} = 9 x y = 2$ $(1; 2), (2; 1)$

3 мин · практика
Образец: s и p — корни z² − 11z + 30 = 0, то есть 5 и 6 (в любом порядке). Для обеих пар s² ≥ 4p (25 ≥ 24, 36 ≥ 20). Четыре решения; проверка (1; 5): 1 + 5 + 5 = 11, 5 + 25 = 30 ✓.
1) s² − 2p = 10, p = 3: s² = 16, s = ±4. s = 4: t² − 4t + 3 = 0 → 1 и 3; s = −4: −1 и −3. Четыре решения.
2) s² − p = 7, s = 3: p = 2; t² − 3t + 2 = 0 → 1 и 2.
3) s³ − 3ps = 9, p = 2: s³ − 6s − 9 = 0 = (s − 3)(s² + 3s + 3); второй множитель корней не имеет (D = 9 − 12 < 0). s = 3, p = 2 → (1; 2), (2; 1). Проверено в sympy.
Ошибка: записать только (2; 3) — вторая пара (3; 2) тоже решение (сл. 13).

R03.4 · ПР-13

Образец → сам · система с модулем

Раскройте модуль по случаям — и проверьте условие

Образец

${y = ∣ x - 1∣ x + y = 3$

$x \geq 1$ : $x + x - 1 = 3, x = 2 \geq 1$ подходит, $y = 1$

$x < 1$ : $x + 1 - x = 3$ , $1 = 3$ нет решений

Сам

база ${∣ x ∣ + y = 4 y = 2 x + 1$ $(1; 3)$
база ${∣ x - y ∣ = 2 x + y = 6$ $(4; 2), (2; 4)$
повыш. ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 5 y = x + 1$ $(2; 3), (- 3; - 2)$

2 мин · практика
Рисунок: «уголок» y = |x − 1| с вершиной (1; 0) и прямая x + y = 3 (масштаб 40 px на единицу). Прямая параллельна левой ветви y = 1 − x — поэтому во втором случае получилось 1 = 3. Точка (2; 1) открывается по клику.
1) x ≥ 0: 3x + 1 = 4, x = 1 ≥ 0, y = 3. x < 0: −x + 2x + 1 = 4, x = 3 — не меньше 0, отбрасываем. Ответ (1; 3).
2) x − y = 2 или x − y = −2; с x + y = 6: (4; 2) и (2; 4).
3) y = x + 1. x ≥ 0 (тогда y ≥ 1): 2x + 1 = 5, (2; 3). −1 ≤ x < 0: −x + x + 1 = 5 — нет. x < −1 (y < 0): −2x − 1 = 5, x = −3, (−3; −2). Проверено перебором.

R03.4 · ПР-14

Сводка · линейная система с параметром

Решаем «в буквах»: ${x + a y = 1 a x + y = 1$

$(a^{2} - 1) y = a - 1$ первое $\cdot a$ минус второе

Коэффициент при

y

зависит от

a

— разбираем, когда он равен

0

Потом — условия на найденные

x (a), y (a)

: знак, четверть, неравенство

$a \neq = \pm 1$ : одно решение

$x = y = \frac{1}{a + 1}$

$a = 1$ : бесконечно много

$0 \cdot y = 0$ , уравнения совпадают

$a = - 1$ : нет решений

$0 \cdot y = - 2$

2 мин · теория
Демонстрация учителя. Умножаем первое уравнение на a: ax + a²y = a; вычитаем второе: (a² − 1)y = a − 1.
a ≠ ±1: y = (a − 1)/((a − 1)(a + 1)) = 1/(a + 1); x = 1 − ay = 1 − a/(a + 1) = 1/(a + 1). Проверка: x + ay = (1 + a)/(a + 1) = 1 ✓.
a = 1: оба уравнения x + y = 1 — бесконечно много решений. a = −1: x − y = 1 и −x + y = 1 — противоречие, решений нет.
Связь с ALG9U-053: там число решений определяли по отношениям коэффициентов; сегодня находим само решение как функцию от a, чтобы ставить на него условия (сл. 12).

R03.4 · ПР-14

Образец → сам · условия на решение

При каких $a$ решение системы удовлетворяет условию?

Образец: $x > 0$ и $y > 0$

${a x + y = 2 x + y = 1$

$(a - 1) x = 1, a \neq = 1$ вычли; $a = 1$ : $0 = 1$

$x = \frac{1}{a - 1}, y = \frac{a - 2}{a - 1}$ $y = 1 - x$

$x > 0 \Rightarrow a > 1$ ; тогда $y > 0 \Rightarrow a > 2$

Ответ: $a > 2$

Сам

база ${x + y = 2 a x - y = 6$ , $x > 0$ и $y > 0$ $a > 3$
повыш. ${2 x - y = a x + y = 3 a - 3$ , решение в I четверти $a > 1, 2$
повыш. ${x + y = 4 a x - y = 2$ , $x > 1$ $- 1 < a < 5$

2 мин · практика
Образец: при a = 1 вычитание даёт 0 · x = 1 — решений нет, поэтому a ≠ 1. Проверка a = 3: x = 1/2, y = 1/2; 3/2 + 1/2 = 2 ✓. Граница a = 2: y = 0 — не подходит (строгое неравенство).
1) x = a + 3, y = a − 3; оба > 0 при a > 3. Граница a = 3: y = 0 — не подходит.
2) Сложили: 3x = 4a − 3, x = (4a − 3)/3; y = 3a − 3 − x = (5a − 6)/3. x > 0 ⇔ a > 0,75; y > 0 ⇔ a > 1,2. Пересечение a > 1,2. Проверка a = 2: x = 5/3, y = 4/3 ✓.
3) Сложили: (a + 1)x = 6. a = −1: 0 = 6 — нет решений. x = 6/(a + 1) > 1 ⇔ 0 < a + 1 < 6 ⇔ −1 < a < 5 (при a + 1 < 0 x отрицателен). Граница a = 5: x = 1 — не подходит.

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили на $x - y$

$x^{2} - y^{2} = 5 (x - y)$ → $x + y = 5$

$(x - y) (x + y - 5) = 0$ : ещё случай $x = y$

при $x y = 4$ теряются $(2; 2)$ и $(- 2; - 2)$

Половина ответа

$x + y = 5, x y = 6$ : ответ $(2; 3)$

$(2; 3)$ и $(3; 2)$

система симметрична — пары $(a; b)$ и $(b; a)$

Не проверили условие случая

$y = ∣ x ∣, y = 2 x + 3$ : $x \geq 0$ → $x = - 3$

$- 3 < 0$ — отбросить; ответ $(- 1; 1)$

корень случая должен лежать в его области

R03.4

Найди ошибку

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1: ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = 12$

$(x + y)^{2} = 25 + 24 = 49$

$x + y = 7$ , $t^{2} - 7 t + 12 = 0$

Ответ: $(3; 4), (4; 3)$

Ошибка: $x + y = \pm 7$ — потерян случай $- 7$

Ещё $(- 3; - 4), (- 4; - 3)$

Система 2: ${x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0 x + y = 6$

$(x - y) (x - 2 y) = 0$ , $x = 2 y$

$3 y = 6$ , $y = 2$ , $x = 4$

Ответ: $(4; 2)$

Ошибка: забыт множитель $x - y$ , случай $x = y$

$2 y = 6$ : ещё решение $(3; 3)$

2 мин · практика
Пары по минуте на систему, затем ответы по клику.
1) Из (x + y)² = 49 следует x + y = 7 или x + y = −7. При s = −7, p = 12: t² + 7t + 12 = 0, t = −3, −4. Полный ответ: (3; 4), (4; 3), (−3; −4), (−4; −3) (проверено в sympy).
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = y или x = 2y. x = y: 2y = 6, (3; 3); проверка: 9 − 27 + 18 = 0 ✓. Ответ: (4; 2), (3; 3).
Общее у обеих ошибок — потеря случая. Вопрос классу: как проверить себя? (Посчитать, сколько случаев появилось, и для каждого довести решение до конца.)

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите систему, выбрав приём

${x^{2} + x y = 10 x y + y^{2} = 15$ $(2; 3), (- 2; - 3)$
${x y = 12 x = 3 y$ $(6; 2), (- 6; - 2)$
${x^{2} - y^{2} = 21 x - y = 3$ $(5; 2)$

${x + y = 7 x y = 10$ $(2; 5), (5; 2)$
${x^{2} - 4 y^{2} = 0 x + y = 3$ $(2; 1), (6; - 3)$
${y = ∣ x ∣ x + y = 4$ $(2; 2)$

R03.4 · ПР-13, ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Симметрия, деление, модуль, параметр

повыш. ${x^{2} + y^{2} + x + y = 32 x y = 12$ $(3; 4), (4; 3), (- 2; - 6), (- 6; - 2)$
повыш. ${x^{2} y^{3} = 8 x^{3} y^{2} = 4$ $(1; 2)$
повыш. ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 4 x - y = 2$ $(3; 1), (- 1; - 3)$

повыш. ${x^{2} - y^{2} = 5 (x - y) x y = 4$ $(2; 2), (- 2; - 2), (1; 4), (4; 1)$
повыш.При каких $a$ у системы $x + y = a$ , $x - y = 2$ решение с $x^{2} + y^{2} < 10$ ? $- 4 < a < 4$

2 мин · практика
1) s² − 2p + s = 32, p = 12: s² + s − 56 = 0, s = 7 или −8. s = 7: 3 и 4; s = −8: t² + 8t + 12 = 0 → −2 и −6. Четыре решения.
2) Перемножили: (xy)⁵ = 32, xy = 2. x³y² = (xy)² x = 4x = 4, x = 1, y = 2. Проверка: 1 · 8 = 8 ✓.
3) x ≥ 0, y ≥ 0: x + y = 4 и x − y = 2 → (3; 1). x < 0, y < 0: −x − y = 4 → (−1; −3). Остальные случаи противоречивы (например, x ≥ 0, y < 0: x − y = 4 ≠ 2). Проверено перебором.
4) (x − y)(x + y − 5) = 0 — ошибка 1 со сл. 13 «в действии»: x = y → (2; 2), (−2; −2); x + y = 5 → (1; 4), (4; 1).
5) x = (a + 2)/2, y = (a − 2)/2; x² + y² = (a² + 4)/2 < 10 ⇔ a² < 16 ⇔ −4 < a < 4. Граница a = 4: (3; 1), 9 + 1 = 10 — не подходит (строгое).
Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R03.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему уравнений — с полной записью

${x^{2} + y^{2} = 37 x y = 6$ $(1; 6), (6; 1), (- 1; - 6), (- 6; - 1)$
${x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} = 0 x - y = 4$ $(6; 2), (2; - 2)$
${(x - 3) (y + 2) = 0 x^{2} + y^{2} = 13$ $(3; 2), (3; - 2), (- 3; - 2)$

1:

(x + y)^{2}

— оба знака

2: однородное — разложите

3: одна пара — дважды, в ответе один раз

2 мин · практика
1) (x + y)² = 37 + 12 = 49, x + y = ±7. s = 7, p = 6: 1 и 6; s = −7: −1 и −6. Четыре решения.
2) (x − 3y)(x + y) = 0. x = 3y: 2y = 4, (6; 2). x = −y: −2y = 4, y = −2, x = 2, (2; −2). Проверка (2; −2): 4 + 8 − 12 = 0 ✓.
3) x = 3: y² = 4 → (3; 2), (3; −2). y = −2: x² = 9 → (3; −2), (−3; −2). Пара (3; −2) получилась дважды — пишем один раз: три решения.
Оформление на 2 балла: обоснованные переходы, все случаи, ответ парами. Типичная потеря балла — один из знаков при извлечении корня. Все ответы проверены в sympy.

R03.4 · ПР-15, ПР-16 · линия 21

Задача из жизни · формат ОГЭ, линия 21

Прямоугольный участок: забор $70$ м, площадь $300$ м²

практикаСоставьте систему для сторон $x$ и $y$ $x + y = 35, x y = 300$
практикаНайдите стороны участка $15$ и $20$ м
повыш.Можно ли тем же забором огородить $306$ м²? А $310$ м²? $306$ — да ( $17 \times 18$ ); $310$ — нет

R03.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база ${x + y = 6 x y = 8$ $(2; 4), (4; 2)$
база ${x^{2} - y^{2} = 32 x + y = 8$ $(6; 2)$
база ${x^{2} + x y = 28 x y + y^{2} = 21$ $(4; 3), (- 4; - 3)$
повыш. ${x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0 x + y = 6$ $(4; 2)$

Вариант 2

база ${x + y = 7 x y = 12$ $(3; 4), (4; 3)$
база ${x^{2} - y^{2} = 27 x - y = 3$ $(6; 3)$
база ${x^{2} - x y = 10 x y - y^{2} = 6$ $(5; 3), (- 5; - 3)$
повыш. ${x^{2} + x y - 2 y^{2} = 0 x - y = 3$ $(2; - 1)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как узнать однородное уравнение и что с ним делать?
Почему после замены $s, p$ проверяют $s^{2} \geq 4 p$ ?
Почему нельзя сокращать на $x - y$ ?

Домашнее задание

${x^{2} y + x y^{2} = 20 x + y + x y = 9$
${x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0 x^{2} + y^{2} = 40$
При каких $a$ у системы $x + y = 2$ , $a x - y = 1$ решение с $x > 0, y > 0$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) sp = 20, s + p = 9: (s; p) = (4; 5) или (5; 4). Для (4; 5): s² − 4p = 16 − 20 < 0 — нет решений; для (5; 4): (1; 4), (4; 1). Это и есть ответ на вопрос 2 рефлексии.
2) (x − 2y)(x − 3y) = 0. x = 3y: 10y² = 40, (6; 2), (−6; −2). x = 2y: 5y² = 40, y = ±2√2: (4√2; 2√2), (−4√2; −2√2).
3) Сложили: (a + 1)x = 3; a = −1 — нет решений. x = 3/(a + 1), y = (2a − 1)/(a + 1). x > 0 ⇔ a > −1; тогда y > 0 ⇔ a > 0,5. Ответ a > 0,5 (граница a = 0,5: y = 0 — не подходит).
Следующий урок ALG9U-063 — практикум по простейшим нелинейным системам; затем графический метод (ALG9U-064) и обобщение (ALG9U-065).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-062 · Практикум: Решение систем уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 22/25 · тип П (второй практикум по R03.4, первый — ALG9U-053)
Единицы → слайды	R03.4 «Решение систем уравнений с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R03.3 → 3 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 11, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8–10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-9 (системы, одно уравнение нелинейное) → 2–10, 13–19 · ПР-13 (ограничения: случаи модуля, условия на решение) → 10, 12, 16 · ПР-14 (исследование систем с параметром) → 11, 12, 16, 20 · ПР-15, ПР-16 (модель) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	простейшие нелинейные системы — ALG9U-063; графический метод — ALG9U-064; системы нелинейных уравнений с параметром — R03.8 (ALG9U-048, -057)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:нестандартныесистемы уравнений

Сегодня вы научитесь

Видеть приём

Решать особые системы

Исследовать с параметром

Оформлять как на ОГЭ

Всё это сегодня понадобится

Подстановка «в лоб» даёт 4-ю степень? Ищите приём

Сложите или вычтите уравнения — появится квадрат

Образец

Сам

Одночлены слева — перемножьте или разделите уравнения

Образец

Сам

Два типа систем — два способа понизить степень

Однородное уравнение

Симметричная система

Разложите однородное уравнение на множители

Образец (рисунок сл. 7)

Сам

Замена s=x+y, p=xy

Образец

Сам

Раскройте модуль по случаям — и проверьте условие

Образец

Сам

Решаем «в буквах»: {x+ay=1ax+y=1​

a=±1: одно решение

a=1: бесконечно много

a=−1: нет решений

При каких a решение системы удовлетворяет условию?

Образец: x>0 и y>0

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили на x−y

Половина ответа

Не проверили условие случая

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1: {x2+y2=25xy=12​

Система 2: {x2−3xy+2y2=0x+y=6​

Решите систему, выбрав приём

Симметрия, деление, модуль, параметр

Решите систему уравнений — с полной записью

Прямоугольный участок: забор 70 м, площадь 300 м²

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-062 · Практикум: Решение систем уравнений с двумя переменными

Практикум:
нестандартные
системы уравнений

Замена $s = x + y, p = x y$

Решаем «в буквах»: ${x + a y = 1 a x + y = 1$

$a \neq = \pm 1$ : одно решение

$a = 1$ : бесконечно много

$a = - 1$ : нет решений

При каких $a$ решение системы удовлетворяет условию?

Образец: $x > 0$ и $y > 0$

Сократили на $x - y$

Система 1: ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = 12$

Система 2: ${x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0 x + y = 6$

Прямоугольный участок: забор $70$ м, площадь $300$ м²