Уравнения, неравенства и их системы · урок 20 из 25 · практикум

Практикум:
уравнения 3-й
и 4-й степени

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-060

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 20/25, единица R03.2 «Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней». Тип урока — П (второй практикум по единице). Уроки ALG9U-042 (новый материал) и ALG9U-051 (первый практикум) дали группировку, подбор целого и дробного корня, замену $t = x^{2} + p x$ , возвратные уравнения и число корней $x^{4} - 2 x^{2} = a$ . Сегодня — новые приёмы: схема Горнера, замена $t = x + \frac{c}{x}$ , симметричная замена, однородные уравнения, графический метод через гиперболу. Прошлый урок ALG9U-059 — биквадратные уравнения; следующий ALG9U-061 — дробно-рациональные уравнения и неравенства.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка методов) 2 · 5 (схема Горнера) 3 · 9 (однородные уравнения) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 8, 10, 11) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 16 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понижать степень

подобрать корень и разделить многочлен по схеме Горнера (ПР-11)

Видеть замену

$t = x + \frac{c}{x}$ , симметричная замена, однородное уравнение (ПР-11)

Считать корни по графику

разбить уравнение на две функции и оценить число корней (ПР-11, ПР-14)

Оформлять задачу 20 ОГЭ

полная запись без потери корней (ПР-6, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-11 (ФРП дословно): «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней». ПР-6: «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями…».
Вид деятельности ФРП по строке: «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней».

разминка · R03.1, R03.2

Разминка · устно

Множители, корни, замены

x^{3} - 8

разложите

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

2 x^{3} - 3 x^{2} + 1

x = 1

— корень?

да

x^{3} - x - 6 = 0

целый корень

2

x^{2} + x + 1 = 0

корни?

нет,

D < 0

t = x + \frac{1}{x}

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?

t^{2} - 2

x + \frac{4}{x} = 4

решите

2

u^{2} - 5 uv + 6 v^{2}

разложите

(u - 2 v) (u - 3 v)

(a + b)^{2} + (a - b)^{2}

упростите

2 a^{2} + 2 b^{2}

R03.2

Сводка · что нового сегодня

Цель всегда одна — уравнения степени $\leq 2$

Вид уравнения	Приём	Что получаем
есть целый или дробный корень $x_{0}$	схема Горнера	$(x - x_{0}) \cdot Q (x) = 0$
$(x^{2} + p x + c) (x^{2} + q x + c) = k x^{2}$	$: x^{2}$ , $t = x + \frac{c}{x}$	$(t + p) (t + q) = k$
$(x + a)^{4} + (x + b)^{4} = m$	$t = x + \frac{a + b}{2}$	биквадратное по $t$
$A u^{2} + B uv + C v^{2} = 0$	однородное: $: v^{2}$	квадратное по $\frac{u}{v}$
подбор не удаётся	графики $y = f (x)$ , $y = g (x)$	число корней, оценка

R03.2

Сводка · схема Горнера

Нашли корень $x_{0}$ — делим на $x - x_{0}$ в таблице

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

$x_{0} = 3$ : $54 - 27 - 33 + 6 = 0$

Число вниз =

x_{0} \cdot

число слева

+

коэффициент сверху

Нет степени — пишем коэффициент

0

	$2$	$- 3$	$- 11$	$6$
$3$	$2$	$3$	$- 2$	$0$

$(x - 3) (2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

$x = 3; - 2; \frac{1}{2}$

3 мин · теория (демонстрация учителя)
Строка коэффициентов: 2, −3, −11, 6. Первое число сносим: 2. Дальше: 3 · 2 + (−3) = 3; 3 · 3 + (−11) = −2; 3 · (−2) + 6 = 0 — остаток 0, значит, 3 — корень (это и проверка).
Частное: 2x² + 3x − 2; D = 9 + 16 = 25, x = (−3 ± 5)/4: 1/2 и −2. Ответ: −2; 1/2; 3.
Почему работает: это то же «расщепление», что на уроке 042, только записанное таблицей. Если в последней клетке не 0 — это остаток, x₀ не корень.
Вопрос: где искать корень, если старший коэффициент 2? (p/q: p — делитель 6, q — делитель 2; сумма коэффициентов −6 ≠ 0, поэтому 1 не корень.)

R03.2

Образец → сам · подбор корня и Горнер

Понизьте степень и решите

Образец

$2 x^{3} - x^{2} - 7 x + 6 = 0$

$x_{0} = 1$ $2 - 1 - 7 + 6 = 0$

$2, 1, - 6 ∣ 0$ Горнер при $x_{0} = 1$

$(x - 1) (2 x^{2} + x - 6) = 0$ разложили

$x = 1; - 2; 1, 5$ $D = 49$

Сам

база $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ $- 2; \frac{1}{3}; 1$
база $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1 = 0$ $- 1; \frac{1}{2}$
повыш. $x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ $- 2; 1; 3$

3 мин · практика
Образец 1 мин (ученик у доски под диктовку класса), затем 2 мин самостоятельно.
Образец: 2x² + x − 6 = 0, D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7)/4: 1,5 и −2. Проверка x = −2: −16 − 4 + 14 + 6 = 0 ✓.
1) Сумма коэффициентов 0 ⇒ x = 1; Горнер: 3, 5, −2 | 0; 3x² + 5x − 2 = 0: D = 49, x = 1/3 и −2.
2) Коэффициент при x равен 0 — строка 2, 3, 0, −1! x = −1: −2 + 3 − 1 = 0; Горнер: 2, 1, −1 | 0; 2x² + x − 1 = 0: −1 и 1/2. Корень −1 — двукратный, в ответе пишем один раз.
3) x = 1: 1 − 3 − 3 + 11 − 6 = 0; Горнер: 1, −2, −5, 6 | 0; снова x = 1: 1, −1, −6 | 0; x² − x − 6 = 0: 3 и −2. Ответ: −2; 1; 3 (проверено в python).

R03.2

Образец → сам · деление на $x^{2}$

Одинаковые свободные члены — замена $t = x + \frac{c}{x}$

Образец

$(x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 5 x + 4) = 10 x^{2}$

$x = 0$ : $16 \neq = 0$ делить можно

$(x + \frac{4}{x} + 2) (x + \frac{4}{x} + 5) = 10$ $: x^{2}$

$t^{2} + 7 t = 0$ : $t = 0$ или $t = - 7$ $t = x + \frac{4}{x}$

$x^{2} + 4 = 0$ — нет; $x^{2} + 7 x + 4 = 0$

$x = \frac{- 7 \pm 33}{2}$

Сам

база $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + 3 x + 1) = 3 x^{2}$ $- 2 \pm 3$
база $(x^{2} - 5 x + 6) (x^{2} - 7 x + 6) = 3 x^{2}$ $4 \pm 10$
повыш. $2 x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} - 3 x + 2 = 0$ $\frac{1}{2}; 2$

3 мин · практика
Образец: делим каждую скобку на x: (x² + 2x + 4)/x = x + 4/x + 2. (t + 2)(t + 5) = 10 ⇔ t² + 7t = 0. x + 4/x = 0 ⇔ x² + 4 = 0 — корней нет; x + 4/x = −7 ⇔ x² + 7x + 4 = 0, D = 49 − 16 = 33.
1) t = x + 1/x: (t + 1)(t + 3) = 3 ⇔ t² + 4t = 0; t = 0 — нет корней; t = −4: x² + 4x + 1 = 0, x = −2 ± √3.
2) t = x + 6/x: (t − 5)(t − 7) = 3 ⇔ t² − 12t + 32 = 0, t = 4 или 8. x² − 4x + 6 = 0 — D < 0; x² − 8x + 6 = 0 — x = 4 ± √10.
3) Возвратное (коэффициенты 2, −3, −1, −3, 2): : x², t = x + 1/x: 2(t² − 2) − 3t − 1 = 0 ⇔ 2t² − 3t − 5 = 0, t = −1 (нет корней: |t| ≥ 2) или t = 5/2: 2x² − 5x + 2 = 0, x = 2 и 1/2.
Ошибка: забыть проверить x = 0 перед делением (здесь он не корень, свободный член ≠ 0).

R03.2

Образец → сам · симметричная замена

Сумма четвёртых степеней — замена на «середину»

Образец

$(x + 1)^{4} + (x + 3)^{4} = 82$

$t = x + 2$ середина между $1$ и $3$

$(t - 1)^{4} + (t + 1)^{4} = 2 t^{4} + 12 t^{2} + 2$

$t^{4} + 6 t^{2} - 40 = 0$ , $t^{2} = 4$ $t^{2} = - 10$ — нет

$t = \pm 2$ , $x = 0; - 4$ $x = t - 2$

Сам

база $x^{4} + (x - 2)^{4} = 82$ $- 1; 3$
база $(x + 3)^{4} + (x + 5)^{4} = 16$ $- 5; - 3$
повыш. $(x - 2)^{4} + (x - 4)^{4} = 2$ $3$

R03.2

Сводка · однородное уравнение

Все слагаемые одной степени по $u$ и $v$

A u^{2} + B uv + C v^{2} = 0

1) $v = 0$ : тогда $A u^{2} = 0$ — проверить отдельно

2) $v \neq = 0$ : $: v^{2}$ , $z = \frac{u}{v}$ : $A z^{2} + B z + C = 0$

3) или сразу разложить: $(u - z_{1} v) (u - z_{2} v) = 0$

Пример учителя

$(x^{2} + 3)^{2} - 4 x (x^{2} + 3) + 3 x^{2} = 0$

$u = x^{2} + 3, v = x$

$(u - v) (u - 3 v) = 0$

$x^{2} - x + 3 = 0$ , $x^{2} - 3 x + 3 = 0$

оба $D < 0$ — корней нет

3 мин · теория
Однородное уравнение второй степени: каждое слагаемое — произведение двух «кирпичей» u, v. Если v = 0, то и u = 0 — эти x проверяем отдельно (в примере v = x = 0, u = 3 ≠ 0 — не корень).
Пример: u² − 4uv + 3v² — корни z = 1 и z = 3 (Виета), значит (u − v)(u − 3v). x² + 3 = x: D = 1 − 12 < 0; x² + 3 = 3x: D = 9 − 12 < 0. Ответ: корней нет.
Признак однородности: «кирпич» u встречается в квадрате, v — в квадрате, и есть их произведение. Часто v = x, а u — квадратный трёхчлен; на ОГЭ и олимпиадах — u = x² + x + 1, v = x − 1, uv = x³ − 1.

R03.2

Образец → сам · однородное уравнение

Найдите «кирпичи» $u$ и $v$

Образец

$(x^{2} + 2)^{2} - 5 x (x^{2} + 2) + 6 x^{2} = 0$

$u = x^{2} + 2, v = x$ $v = 0$ : $u = 2 \neq = 0$

$(u - 2 v) (u - 3 v) = 0$ $z^{2} - 5 z + 6$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$ $D < 0$

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$ : $x = 1; 2$

Сам

база $(x^{2} + 1)^{2} - 7 x (x^{2} + 1) + 12 x^{2} = 0$ $2 \pm 3; \frac{3 \pm 5}{2}$
база $(x - 1)^{4} - 5 x^{2} (x - 1)^{2} + 4 x^{4} = 0$ $- 1; \frac{1}{3}; \frac{1}{2}$
повыш. $2 (x^{2} + x + 1)^{2} - 7 (x - 1)^{2} = 13 (x^{3} - 1)$ $- 1; - \frac{1}{2}; 2; 4$

3 мин · практика
Образец: z² − 5z + 6 = (z − 2)(z − 3). x² + 2 = 2x: D = 4 − 8 < 0; x² + 2 = 3x: 1 и 2. Проверка x = 1: 9 − 15 + 6 = 0 ✓.
1) u = x² + 1, v = x: (u − 3v)(u − 4v) = 0. x² − 3x + 1 = 0: (3 ± √5)/2; x² − 4x + 1 = 0: 2 ± √3. Четыре корня.
2) u = (x − 1)², v = x²: u² − 5uv + 4v² = (u − v)(u − 4v). (x − 1)² = x² ⇒ x = 1/2; (x − 1)² = 4x² ⇒ x − 1 = ±2x ⇒ x = −1 или x = 1/3. Проверка v = 0 (x = 0): u = 1 ≠ 0.
3) u = x² + x + 1, v = x − 1, uv = x³ − 1: 2u² − 13uv − 7v² = 0 ⇔ (2u + v)(u − 7v) = 0. 2u + v = 2x² + 3x + 1 = 0: −1 и −1/2; u − 7v = x² − 6x + 8 = 0: 2 и 4. Все четыре проверены подстановкой в python.

R03.2 · ПР-14

Образец → сам · графический метод

Разделите на $x$ — и сравните параболу с гиперболой

Образец: $x^{3} + 2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = \frac{3}{x}$ $x \neq = 0$

$x < 0$ : слева $> 0$ , справа $< 0$

$x > 0$ : $↗$ и $↘$ — точка одна

$x = 1$ $1 + 2 - 3 = 0$

Сам: сколько корней?

база $x^{3} + 3 x - 4 = 0$ один: $x = 1$
база $x^{4} = 2 - x$ два: $1$ и один в $(- 2; - 1)$
повыш. $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ три

3 мин · практика
Рисунок: фиолетовая парабола y = x² + 2, розовая гипербола y = 3/x (масштаб по x 55 px, по y 20 px на единицу). При x < 0 парабола выше оси, гипербола ниже — общих точек нет. При x > 0 парабола возрастает, гипербола убывает — общая точка не больше одной; x = 1 подходит. Ответ: 1.
1) x² + 3 = 4/x: то же рассуждение; x = 1 (1 + 3 − 4 = 0). Или: x³ + 3x возрастает — корень один.
2) y = x⁴ и прямая y = 2 − x: две общие точки. x = 1 подходит (1 = 1). Второй: f(x) = x⁴ + x − 2, f(−2) = 12 > 0, f(−1) = −2 < 0 — корень в (−2; −1), ≈ −1,35 (python).
3) x² − 3 = −1/x или подстановка: f(−2) = −1, f(−1) = 3, f(0) = 1, f(1) = −1, f(2) = 3 — три смены знака, три корня (≈ −1,88; 0,35; 1,53). Больше трёх у уравнения 3-й степени быть не может.

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые теряют корни или баллы

Горнер без нуля

$x^{3} - 7 x + 6$ : строка $1, - 7, 6$

строка $1, 0, - 7, 6$

пропущенная степень — коэффициент $0$

Делили на $v^{2}$ , не проверив $v = 0$

$u = x^{2} - 1, v = x - 1$ : $u^{2} - 3 uv + 2 v^{2} = 0$ , ответ $0$ — потерян $x = 1$

$v = x - 1 = 0$ ⇒ $u = 0$ : $x = 1$ — корень

Ответ в $t$

$(x + 1)^{4} + (x + 3)^{4} = 82$ : $x = \pm 2$

$t = \pm 2$ , $x = t - 2$ : $0; - 4$

после замены — вернуться к $x$

R03.2

Найди ошибку

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

1) $x^{3} - 7 x + 6 = 0$

$x_{0} = 1$ : $1 - 7 + 6 = 0$

Горнер: $1, - 6 ∣ 0$ ⇒ $x - 6 = 0$

Ответ: $1; 6$

Ошибка: пропущен коэффициент $0$ при $x^{2}$

$1, 1, - 6 ∣ 0$ : $x^{2} + x - 6 = 0$ . Ответ: $- 3; 1; 2$

2) $(x - 1)^{4} + (x - 3)^{4} = 82$

$t = x - 2$ : $(t + 1)^{4} + (t - 1)^{4} = 82$

$2 t^{4} + 2 = 82$ , $t^{4} = 40$

Ответ: $2 \pm 440$

Ошибка: потеряно $12 t^{2}$ (в сумме остаются чётные степени)

$t^{4} + 6 t^{2} - 40 = 0$ , $t = \pm 2$ . Ответ: $0; 4$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите уравнение (назовите приём)

$x^{3} - 13 x + 12 = 0$ $- 4; 1; 3$
$2 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x - 2 = 0$ $\frac{1}{2}; 1; 2$
$(x + 2)^{4} + x^{4} = 82$ $- 3; 1$

$(x^{2} + 4)^{2} - 9 x (x^{2} + 4) + 20 x^{2} = 0$ $1; 2; 4$
$x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 = 0$ $\frac{- 3 \pm 5}{2}$
$x^{3} + 2 x - 12 = 0$ $2$

2 мин · практика
1) Горнер (строка 1, 0, −13, 12), x = 1: 1, 1, −12 | 0; x² + x − 12 = 0: 3 и −4. 2) x = 1: 2, −5, 2 | 0; 2x² − 5x + 2 = 0: 2 и 1/2. 3) t = x + 1: 2t⁴ + 12t² + 2 = 82, t = ±2, x = 1 и −3.
4) Однородное: z² − 9z + 20 = (z − 4)(z − 5). x² − 4x + 4 = 0: 2; x² − 5x + 4 = 0: 1 и 4. 5) Возвратное: t = x + 1/x, t² − 2 + 2t − 1 = 0, t = 1 (нет корней) или t = −3: x² + 3x + 1 = 0. 6) x = 2 (8 + 4 − 12 = 0); Горнер 1, 2, 6 | 0, x² + 2x + 6 — D < 0. Или: левая часть возрастает — корень один.
Ответы проверены в python. Попросить назвать приём к каждому — это цель урока.

R03.2 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Приёмы вместе, параметр, «полный куб»

повыш. $6 x^{4} - 5 x^{3} - 38 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ $- 2; - \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; 3$
повыш. $(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = 9$ $- 4; - 4 \pm 10$
повыш. $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 7$ $1$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - (a + 1) x^{2} + a = 0$ имеет ровно три корня? $a = 0$
повыш.При каких $a$ у того же уравнения ровно два корня? $a < 0$ или $a = 1$

2 мин · практика
1) Возвратное: 6(t² − 2) − 5t − 38 = 0 ⇔ 6t² − 5t − 50 = 0, D = 1225, t = 10/3 или −5/2. x + 1/x = 10/3: 3 и 1/3; x + 1/x = −5/2: −2 и −1/2.
2) Пары (x + 1)(x + 7) и (x + 3)(x + 5): t = x² + 8x, (t + 7)(t + 15) = 9 ⇔ t² + 22t + 96 = 0, t = −6 или −16. x² + 8x + 6 = 0: −4 ± √10; x² + 8x + 16 = 0: −4.
3) Добавить 1: (x + 1)³ = 8, x + 1 = 2, x = 1 (у куба один действительный корень).
4–5) Уравнение (коэффициент при x⁴ равен 1, вырожденных случаев нет): (x² − 1)(x² − a) = 0. Корни ±1 есть всегда. x² = a: при a < 0 — нет корней (всего 2); a = 0 — корень 0 (всего 3); a = 1 — совпадает с ±1 (всего 2); a > 0, a ≠ 1 — ещё ±√a (всего 4). Граничные a = 0 и a = 1 проверены подстановкой (python).
Если не успеваете — 4–5 в ДЗ.

R03.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — с полной записью

$x^{3} + 6 x^{2} = 4 x + 24$ $- 6; \pm 2$
$x^{4} = (2 x - 15)^{2}$ $- 5; 3$
$(x + 2)^{4} - 4 (x + 2)^{2} - 5 = 0$ $- 2 \pm 5$

1: всё влево, группируйте — не делите на

x + 6

2:

A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow A = B

или

A = - B

3:

t = (x + 2)^{2} \geq 0

R03.2 · R03.7

Задача из жизни

Коробка с квадратным дном: сторона дна на $2$ см больше высоты, объём $75$ см³

практикаСоставьте уравнение для высоты $h$ . $h (h + 2)^{2} = 75$
практикаНайдите размеры коробки. $3 \times 5 \times 5$ см
повыш.Почему других решений нет? остаток $h^{2} + 7 h + 25$ : $D < 0$

R03.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 24 = 0$ $- 3; 2; 4$
база $(x - 2)^{4} + (x - 6)^{4} = 82$ $3; 5$
база $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ $1$
повыш. $(x^{2} + 2)^{2} - 6 x (x^{2} + 2) + 8 x^{2} = 0$ $2 \pm 2$

Вариант 2

база $x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12 = 0$ $- 4; - 1; 3$
база $(x + 1)^{4} + (x + 5)^{4} = 82$ $- 4; - 2$
база $x^{4} + 3 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ $- 1$
повыш. $(x^{2} + 3)^{2} - 7 x (x^{2} + 3) + 12 x^{2} = 0$ $1; 3$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x = 2: 8 − 12 − 20 + 24 = 0; Горнер 1, −1, −12 | 0; x² − x − 12: 4 и −3. 2) t = x − 4: (t + 2)⁴ + (t − 2)⁴ = 2t⁴ + 48t² + 32 = 82 ⇔ t⁴ + 24t² − 25 = 0, t² = 1, x = 3 и 5. 3) Возвратное: t² − 2 − 3t + 4 = 0 ⇔ t² − 3t + 2 = 0; t = 1 — нет корней, t = 2: (x − 1)² = 0, x = 1. 4) (u − 2x)(u − 4x): x² − 2x + 2 — D < 0; x² − 4x + 2 = 0: 2 ± √2.
В-2. 1) x = −1: −1 + 2 + 11 − 12 = 0; Горнер 1, 1, −12 | 0; x² + x − 12: 3 и −4. 2) t = x + 3: та же сумма, t = ±1, x = −2 и −4. 3) t² + 3t + 2 = 0; t = −1 — нет корней, t = −2: (x + 1)² = 0, x = −1. 4) (u − 3x)(u − 4x): x² − 3x + 3 — D < 0; x² − 4x + 3 = 0: 1 и 3.
Все ответы проверены в python. Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что делать в схеме Горнера с пропущенной степенью?
Когда можно делить на $x^{2}$ и вводить $t = x + \frac{c}{x}$ ?
Как узнать однородное уравнение и что проверить до деления?

Домашнее задание

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$(x^{2} - x + 3) (x^{2} - 5 x + 3) = 5 x^{2}$
$(x + 2)^{4} + (x + 6)^{4} = 82$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-060 · Практикум: Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 20/25 · тип П (второй практикум по R03.2 после ALG9U-051)
Единицы → слайды	R03.2 → 2, 4–19 · опора R03.1 → 3 · применение R03.7 → 17 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6–8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-11 (методы при решении уравнений 3-й и 4-й степеней) → 2–19 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 6–10, 14, 16 · ПР-14 (исследование, графические представления) → 11, 15 · ПР-13 → 15 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	дробно-рациональные уравнения — ALG9U-061; системы — ALG9U-062–064; кубические уравнения общего вида (формула Кардано) — за рамками ФРП
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:уравнения 3-йи 4-й степени

Сегодня вы научитесь

Понижать степень

Видеть замену

Считать корни по графику

Оформлять задачу 20 ОГЭ

Множители, корни, замены

Цель всегда одна — уравнения степени ≤2

Нашли корень x0​ — делим на x−x0​ в таблице

Понизьте степень и решите

Образец

Сам

Одинаковые свободные члены — замена t=x+xc​

Образец

Сам

Сумма четвёртых степеней — замена на «середину»

Образец

Сам

Все слагаемые одной степени по u и v

Пример учителя

Найдите «кирпичи» u и v

Образец

Сам

Разделите на x — и сравните параболу с гиперболой

Образец: x3+2x−3=0

Сам: сколько корней?

Три ошибки, которые теряют корни или баллы

Горнер без нуля

Делили на v2, не проверив v=0

Ответ в t

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

1) x3−7x+6=0

2) (x−1)4+(x−3)4=82

Решите уравнение (назовите приём)

Приёмы вместе, параметр, «полный куб»

Решите уравнение — с полной записью

Коробка с квадратным дном: сторона дна на 2 см больше высоты, объём 75 см³

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-060 · Практикум: Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней

Практикум:
уравнения 3-й
и 4-й степени

Цель всегда одна — уравнения степени $\leq 2$

Нашли корень $x_{0}$ — делим на $x - x_{0}$ в таблице

Одинаковые свободные члены — замена $t = x + \frac{c}{x}$

Все слагаемые одной степени по $u$ и $v$

Найдите «кирпичи» $u$ и $v$

Разделите на $x$ — и сравните параболу с гиперболой

Образец: $x^{3} + 2 x - 3 = 0$

Делили на $v^{2}$ , не проверив $v = 0$

Ответ в $t$

1) $x^{3} - 7 x + 6 = 0$

2) $(x - 1)^{4} + (x - 3)^{4} = 82$

Коробка с квадратным дном: сторона дна на $2$ см больше высоты, объём $75$ см³