Уравнения и неравенства · урок 18 из 25 · практикум

Практикум:
неравенства с двумя
переменными и их системы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-058

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 18/25, единица R03.9 «Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы». Тип урока — П (практикум). Новый материал по единице — ALG9U-049 (полуплоскость, круг, область над параболой, система — пересечение, целые точки); сегодня — новые типы: модуль, произведение (метод областей), система по рисунку, площадь, параметр. Прошлый урок ALG9U-057 — практикум «Система нелинейных уравнений с параметром»; следующий ALG9U-059 — практикум «Биквадратные уравнения».
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: области и границы) 3 · 6 (произведение, смена знака) 2 · 9 (сводка: площадь, целые точки, параметр) 3 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11, 12) 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и вопрос в) сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Нужны: тетрадь в клетку, карандаш, линейка, циркуль.

R03.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Изображать сложные области

неравенства с модулем и произведением, системы (ПР-13)

Читать рисунок

по заштрихованной области записывать систему неравенств (ПР-14)

Считать на области

площадь фигуры и число целых решений системы (ПР-13)

Исследовать с параметром

когда у системы есть решения, когда решение одно (ПР-14, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-13 (ФРП дословно): «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать простейшие неравенства с двумя переменными и их системы»; «Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными».

разминка · R03.9 · R03.3

Разминка · устно

Точки, области, числа

(2; 1)

и

y > 2 x - 4

решение?

да

x^{2} + y^{2} - 6 y \leq 0

центр и радиус

(0; 3)

,

r = 3

∣ y ∣ \leq 3

какая область?

полоса

x - y

в точке

(1; 4)

знак?

минус

(1; 3)

и

y \geq x^{2}

решение?

да

круг,

r = 3

площадь

9 π

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

решите

[- 1; 3]

- 2 < x \leq 2

сколько целых?

4

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2·2 − 4 = 0; 1 > 0 — да. 2) x² + (y − 3)² ≤ 9: центр (0; 3), r = 3. 3) −3 ≤ y ≤ 3 — горизонтальная полоса между прямыми y = −3 и y = 3, границы входят. 4) 1 − 4 = −3 — минус.
5) 3 ≥ 1 — да, точка внутри «чаши». 6) S = π·3² = 9π. 7) Корни −1 и 3 (a − b + c = 0), ветви вверх: −1 ≤ x ≤ 3. 8) −1, 0, 1, 2 — четыре.
Карточки 3, 4 — к модулю и произведению (сл. 5–7); 6 — к площади (сл. 10); 7 — к параметру (сл. 12); 8 — к целым точкам (сл. 11).

R03.9

Сводка · области на плоскости

Граница — график, знак решает, входит ли она

Неравенство	Множество решений	Граница
$y > f (x)$ / $y < f (x)$	выше / ниже графика	пунктир
$y \geq f (x)$ / $y \leq f (x)$	то же вместе с графиком	сплошная
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq r^{2}$	круг, центр $(a; b)$	сплошная
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}$	вне круга	пунктир
система	пересечение областей	—
совокупность	объединение областей	—

3 мин · теория
Повторяем ALG9U-049 одной таблицей. Правило «выше/ниже графика» верно для любой функции y = f(x); если y выразить нельзя (круг), берём пробную точку, не лежащую на границе.
Рисунок — демонстрация учителя: система x² + y² ≤ 9, y > x. Круг радиуса 3 (окружность сплошная), прямая y = x — пунктир (знак строгий). Пересечение — полукруг выше прямой; точки диаметра на прямой y = x не входят. Пробная точка (−1; 1): 2 ≤ 9 ✓, 1 > −1 ✓.
Совокупность «или» понадобится сегодня для произведения (сл. 6–7).

R03.9

Образец → сам · неравенство с модулем

Раскройте модуль двойным неравенством

Образец

${∣ y ∣ \leq x x \leq 3$ — область и её площадь

$- x \leq y \leq x$ $∣ y ∣ \leq a \Leftrightarrow - a \leq y \leq a$

ниже $y = x$ , выше $y = - x$ пересечение двух полуплоскостей

угол $9 0^{\circ}$ , отрезан $x \leq 3$ треугольник $(0; 0), (3; 3), (3; - 3)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ основание $6$ , высота $3$

Сам

базаИзобразите $∣ y - 1∣ \leq 2$ полоса $- 1 \leq y \leq 3$
базаПлощадь: ${y \leq 2 - ∣ x ∣ y \geq 0$ $S = 4$
повыш.Площадь: $∣ x - 2∣ \leq y \leq 4$ $S = 16$

R03.9

Сводка · произведение и метод областей

Через границу знак множителя меняется

(x - y) (x + y) > 0

${x - y > 0 x + y > 0$ или ${x - y < 0 x + y < 0$

Граница — прямые

y = x

и

y = - x

. Знак в каждой части — по пробной точке; через границу он меняется.

Ответ: левый и правый углы, т. е.

∣ y ∣ < ∣ x ∣

2 мин · теория (пример решает учитель)
Произведение положительно, если множители одного знака — это совокупность двух систем. Объединяем углы, а не пересекаем.
Метод областей: границы (нули множителей) делят плоскость на части; в каждой части знак произведения постоянный. Пробная точка (2; 0): (2)(2) = 4 > 0 — «+»; (0; 2): (−2)(2) = −4 — «−». Если граница — простой множитель, через неё знак меняется (как в методе интервалов).
Проверка: (x − y)(x + y) = x² − y² > 0 ⇔ y² < x² ⇔ |y| < |x|. Границы пунктиром (знак строгий), точка O не входит.

R03.9

Образец → сам · метод областей

Изобразите множество решений

Образец

$(y - x^{2}) (x + y - 2) \leq 0$

границы: $y = x^{2}$ , $y = 2 - x$ пересекаются в $(1; 1)$ и $(- 2; 4)$

$(0; 1)$ : $1 \cdot (- 1) \leq 0$ ✓ часть между графиками входит

соседние части «−», дальние «+» знак меняется через каждую границу

границы входят знак нестрогий

Сам

база $(x - 1) (y + 2) < 0$ $x > 1, y < - 2$ или $x < 1, y > - 2$
база $(y - x) (x + y - 2) < 0$ левый и правый углы при $(1; 1)$
повыш. $y (y - x^{2}) \leq 0$ между $O x$ и $y = x^{2}$

3 мин · практика
Образец: x² = 2 − x ⇔ x² + x − 2 = 0: x = 1, x = −2 (точки (1; 1), (−2; 4)). Границы делят плоскость на 4 части. Пробная (0; 1): (1 − 0)(0 + 1 − 2) = −1 ≤ 0 — входит. Через каждую границу знак меняется: части справа (x > 1, между прямой и параболой) и слева (x < −2) тоже «−», а часть над обоими графиками и часть под обоими — «+». Проверка: (3; 1): (1 − 9)(2) = −16 ✓; (0; 5): (5)(3) = 15 — не входит ✓; (0; −1): (−1)(−3) = 3 — не входит ✓.
1) Произведение отрицательно — множители разных знаков: {x > 1, y < −2} или {x < 1, y > −2}; прямые x = 1 и y = −2 пунктиром.
2) Прямые y = x и y = 2 − x пересекаются в (1; 1). Пробная (0; 1): (1)(−1) = −1 < 0 — левый угол; противоположный — правый, (2; 1): (−1)(1) < 0 ✓. Границы пунктиром.
3) {y ≥ 0, y ≤ x²} или {y ≤ 0, y ≥ x²}; вторая система даёт только O (y ≤ 0 ≤ x² ≤ y). Ответ: точки между осью Ox и параболой (ниже параболы, выше оси), границы входят.

R03.9

Образец → сам · система по рисунку

Запишите систему неравенств

Образец

Область на рисунке, границы входят

парабола: вершина $O$ , через $(2; 4)$ $y = x^{2}$

прямая через $(- 1; 1)$ , $(2; 4)$ $k = 1, b = 2$ : $y = x + 2$

${y \geq x^{2} y \leq x + 2$ над параболой, под прямой

$(0; 1)$ : $1 \geq 0$ , $1 \leq 2$ ✓ проверка точкой внутри

Сам

базаКольцо: центр $O$ , радиусы $1$ и $3$ ; внешняя граница входит, внутренняя — нет $1 < x^{2} + y^{2} \leq 9$
базаЛевая половина круга $r = 2$ , центр $O$ , с границей $x^{2} + y^{2} \leq 4, x \leq 0$
повыш.Квадрат $(\pm 1; 0)$ , $(0; \pm 1)$ без границы $∣ x ∣ + ∣ y ∣ < 1$

R03.9 · R03.8

Сводка · что спрашивают про область

Площадь, целые точки, параметр

Площадь

Вершины — из систем уравнений границ. Фигуру — на треугольники и части круга.

S_{сект} = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} π r^{2}

Целые решения

Перебор по $x$ : для каждого целого $x$ — промежуток для $y$ .

x^{2} - 3 < y \leq 0

Строгий знак — конец не берём.

Параметр

Исключите $y$ : решения есть ⇔ есть $x$ с

f (x) \leq g (x)

Граничное значение — касание: решение одно.

3 мин · теория
Площадь: четверть круга — α = 90°, половина — 180°. Части многоугольника считаем по клеткам или по координатам вершин (основание на оси — удобно).
Целые точки: пример из ALG9U-049 — x² − 3 < y ≤ 0: x = 0 — y = −2, −1, 0; x = ±1 — y = −1, 0; x = ±2 — нет; итого 7. Рисунок помогает не пропустить столбцы, но считаем всегда неравенствами.
Параметр: система {y ≥ f(x), y ≤ g(x)} имеет решение ⇔ найдётся x с f(x) ≤ g(x) (тогда годится, например, y = f(x)). Если f(x) ≤ g(x) — квадратное неравенство, решения есть ⇔ D ≥ 0 (при старшем коэффициенте > 0). При D = 0 — одна точка касания. Связь с ALG9U-048/057: касание прямой и параболы — тот же дискриминант.

R03.9

Образец → сам · площадь фигуры

Найдите площадь фигуры, заданной системой

Образец

${x^{2} + y^{2} \leq 4 y \geq ∣ x ∣$

круг: центр $O$ , $r = 2$

$y \geq ∣ x ∣$ — угол над $y = \pm x$ между лучами $9 0^{\circ}$

сектор $9 0^{\circ}$ — четверть круга

$S = \frac{1}{4} π \cdot 2^{2} = π$

Сам

база ${x^{2} + y^{2} \leq 9 x \geq 0, y \leq 0$ $\frac{9 π}{4}$
база ${y \geq ∣ x ∣ - 3 y \leq 0$ $9$
повыш. ${4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 16 y \geq 0$ $6 π$

R03.9

Образец → сам · целые решения

Сколько пар целых чисел — решений системы?

Образец

${y \geq x^{2} - 2 x y \leq 3$

$x^{2} - 2 x \leq 3 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 3$ иначе промежуток для $y$ пуст

$x = - 1, 3$ : $y = 3$ по $1$

$x = 0, 2$ : $0 \leq y \leq 3$ по $4$

$x = 1$ : $- 1 \leq y \leq 3$ ; итого $15$ $1 + 4 + 5 + 4 + 1$

Сам

база ${x^{2} + y^{2} \leq 4 y > 0$ $4$
база ${x \geq 0, y \geq 0 2 x + y < 6$ $12$
повыш. ${y > x^{2} - 4 y < 4 - x^{2}$ $17$

R03.9 · R03.8

Образец → сам · система с параметром

При каких значениях параметра у системы есть решения?

Образец

${y \geq x^{2} y \leq 2 x + b$

нужно $x^{2} \leq y \leq 2 x + b$ есть $x$ : $x^{2} \leq 2 x + b$

$x^{2} - 2 x - b \leq 0$ квадратное неравенство, ветви вверх

$D_{1} = 1 + b \geq 0$ иначе трёхчлен всегда $> 0$

$b \geq - 1$ ; при $b = - 1$ — одно: $(1; 1)$ касание

Сам

база ${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \geq m$ $m \leq 3$
база ${y \geq x^{2} + c y \leq - x^{2}$ $c \leq 0$
повыш. ${y \geq x^{2} x + y \leq a$ $a \geq - \frac{1}{4}$

3 мин · практика
Образец: если x² ≤ 2x + b для некоторого x, то пара (x; x²) — решение системы. Неравенство x² − 2x − b ≤ 0 имеет решение ⇔ D₁ = 1 + b ≥ 0. Граница b = −1: (x − 1)² ≤ 0 ⇔ x = 1, y = 1 — прямая y = 2x − 1 касается параболы. При b = 1 — область между прямой и параболой (рис., бирюзовая прямая), при b = −3 прямая ниже параболы — решений нет.
1) Круг радиуса 3: y меняется от −3 до 3. Решения есть ⇔ m ≤ 3; при m = 3 — одно решение (0; 3). Проверка m = 3,1: y ≥ 3,1 — вне круга.
2) x² + c ≤ −x² ⇔ 2x² ≤ −c — есть x ⇔ c ≤ 0 (при c = 0 одно решение (0; 0)).
3) x² ≤ a − x ⇔ x² + x − a ≤ 0: D = 1 + 4a ≥ 0 ⇔ a ≥ −¼. При a = −¼ одно решение (−½; ¼). Проверено подстановкой.

R03.9

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Модуль «сняли»

$∣ y ∣ \leq x$ ⇒ $y \leq x$ — полуплоскость

$- x \leq y \leq x$ — угол, $x \geq 0$

модуль даёт две границы

Произведение → система

$(x - y) (x + y) > 0$ ⇒ $x - y > 0, x + y > 0$

ещё и $x - y < 0, x + y < 0$

минус на минус — тоже плюс

Потеряли касание

${y \geq x^{2} y \leq 2 x + b$ : $b > - 1$

$b \geq - 1$

при $D = 0$ решение одно, но есть

R03.9

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Площадь фигуры ${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \geq ∣ x ∣$

$y \geq ∣ x ∣$ — над осью $O x$ , это половина круга.

$S = \frac{1}{2} π \cdot 9 = \frac{9 π}{2}$

Ошибка: $y \geq ∣ x ∣$ — угол $9 0^{\circ}$ , а не полуплоскость

$S = \frac{1}{4} π \cdot 9 = \frac{9 π}{4}$

Задача 2. Целые решения ${y \geq x^{2} y < 2$

$x = 0$ : $y = 0, 1, 2$ ; $x = \pm 1$ : $y = 1, 2$

Итого $3 + 4 = 7$ .

Ошибка: знак строгий, $y = 2$ не входит

$x = 0$ : $0, 1$ ; $x = \pm 1$ : $1$ . Итого $4$

R03.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$(- 1; 3)$ — решение $y \geq ∣ x - 2∣$ ? да: $3 \geq 3$
Какая область $∣ x ∣ \leq 2$ ? полоса $- 2 \leq x \leq 2$
$(1; 1)$ — решение $(x - y) (x + y - 3) < 0$ ? нет: $0 < 0$ неверно

Вне круга: центр $(2; 0)$ , $r = 3$ , без границы $(x - 2)^{2} + y^{2} > 9$
Площадь: $x \geq 0, y \geq 0, x + 2 y \leq 6$ $9$
Целых решений у $∣ x ∣ \leq 1, ∣ y ∣ \leq 1$ $9$

R03.9 · R03.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Площадь фигуры ${x^{2} + y^{2} \leq 16 ∣ y ∣ \leq x$ $4 π$
повыш.Площадь фигуры $∣ x ∣ - 1 \leq y \leq 1 - ∣ x ∣$ $2$
повыш.Сколько целых решений у системы $y > x^{2}, y < 4$ ? $7$
повыш.При каких $a$ система ${x^{2} + y^{2} \leq 1 y \geq x^{2} + a$ имеет решения? $a \leq 1$
повыш.Система для части кольца $2 \leq r \leq 3$ (центр $O$ ) в I четверти и её площадь $4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 9, x \geq 0, y \geq 0$ ; $\frac{5 π}{4}$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. 4–5 при нехватке времени — в ДЗ.
1) |y| ≤ x — прямой угол вдоль положительной полуоси Ox; четверть круга радиуса 4: ¼ · 16π = 4π.
2) Квадрат с вершинами (±1; 0), (0; ±1), диагонали по 2: S = ½ · 2 · 2 = 2.
3) x = 0: y = 1, 2, 3; x = ±1: y = 2, 3; x = ±2: y > 4 и y < 4 — нет. 3 + 4 = 7.
4) Нужна точка круга с y − x² ≥ a. Наибольшее y − x² в круге — в точке (0; 1): y − x² ≤ y ≤ 1, равенство при (0; 1). Значит a ≤ 1; при a = 1 решение одно (0; 1). Проверено численно.
5) S = ¼ · (9π − 4π) = 5π/4.

R03.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Множество решений системы и прямая $y = m$

{y \geq x^{2} - 4 x + 3 y \leq x - 1

Изобразите множество решений. рисунок
При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно одну общую точку? $m = - 1$ ; $m = 3$
Сколько в нём точек с целыми координатами? $8$

3 мин · практика
а) Парабола y = (x − 1)(x − 3), вершина (2; −1); прямая y = x − 1. Пересечение: x² − 4x + 3 = x − 1 ⇔ x² − 5x + 4 = 0: x = 1, x = 4 — точки (1; 0), (4; 3). Область — между прямой (сверху) и параболой (снизу) при 1 ≤ x ≤ 4, границы входят.
б) Самая низкая точка фигуры — вершина (2; −1), самая высокая — (4; 3). Прямая y = m пересекает фигуру при −1 ≤ m ≤ 3; при m = −1 — одна точка (2; −1); при m = 3: y ≤ x − 1 ⇒ x ≥ 4, x² − 4x + 3 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4 — одна точка (4; 3); при −1 < m < 3 — отрезок. Ответ: m = −1, m = 3.
в) x = 1: y = 0 (1); x = 2: −1 ≤ y ≤ 1 (3); x = 3: 0 ≤ y ≤ 2 (3); x = 4: y = 3 (1). Итого 8 (проверено перебором).
Это задание «по мотивам» линии 22 (2 балла): рассуждение о прямой y = m то же, что для графика функции. На экзамене — полный рисунок с подписями и обоснование крайних значений.

R03.9 · R03.7

Задача из жизни · выпечка к ярмарке

Мука — 12 кг, духовка — 10 часов

Партия печенья: $2$ кг муки, $2$ ч, $400$ ₽. Партия кексов: $3$ кг, $1$ ч, $500$ ₽.

практикаЗапишите систему для $x$ партий печенья и $y$ кексов $2 x + 3 y \leq 12, 2 x + y \leq 10, x, y \geq 0$
практикаХватит ли на $4$ партии печенья и $2$ кексов? нет: $14 > 12$ кг
повыш.Наибольшая выручка при целых $x, y$ $2200$ ₽: $(3; 2)$

2 мин · практика
1) Мука: 2x + 3y ≤ 12; время: 2x + y ≤ 10; x ≥ 0, y ≥ 0, x и y целые. Область — четырёхугольник (0; 0), (5; 0), (4,5; 1), (0; 4).
2) 2·4 + 3·2 = 14 > 12 — муки не хватит (по времени 10 ≤ 10 хватило бы).
3) Выручка 400x + 500y. Целые точки области у границы: (5; 0) — 2000, (4; 1) — 2100, (3; 2) — 2200, (0; 4) — 2000, (1; 3) — 1900. Максимум 2200 ₽ при x = 3, y = 2 (проверено перебором всех целых точек). Вершина (4,5; 1) — нецелая: «округлить» до (5; 1) нельзя, точка вне области.
Это начало «линейного программирования»: наибольшее значение линейной выручки ищут на области, заданной системой неравенств.

R03.9

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $(2; - 1)$ — решение $x^{2} + y^{2} < 2 x + 3$ ? да
базаПлощадь фигуры $∣ x ∣ \leq y \leq 4$ $16$
базаЧисло целых решений $x^{2} + y^{2} < 4$ $9$
повыш.При каких $b$ система $y \geq x^{2},$ $y \leq 4 x + b$ имеет решения? $b \geq - 4$

Вариант 2

база $(- 1; 2)$ — решение $x^{2} + y^{2} > 4 x + 6$ ? да
базаПлощадь фигуры $0 \leq y \leq 3 - ∣ x ∣$ $9$
базаЧисло целых решений $x^{2} + y^{2} \leq 2$ $9$
повыш.При каких $b$ система $y \leq - x^{2},$ $y \geq 2 x + b$ имеет решения? $b \leq 1$

4 мин · практика
3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 4 + 1 = 5 < 4 + 3 = 7 — да. 2) Треугольник (0; 0), (−4; 4), (4; 4): S = ½ · 8 · 4 = 16. 3) x, y ∈ {−1, 0, 1}, все 9 пар: x² + y² ≤ 2 < 4; (0; ±2), (±2; 0) не входят (4 < 4 ложно) — 9. 4) x² − 4x − b ≤ 0: D₁ = 4 + b ≥ 0, b ≥ −4 (при b = −4 одно решение (2; 4)).
В-2. 1) 1 + 4 = 5 > −4 + 6 = 2 — да. 2) Треугольник (−3; 0), (3; 0), (0; 3): S = ½ · 6 · 3 = 9. 3) x, y ∈ {−1, 0, 1}: 9 пар (1 + 1 = 2 ≤ 2 ✓). 4) −x² ≥ 2x + b ⇔ x² + 2x + b ≤ 0: D₁ = 1 − b ≥ 0, b ≤ 1 (при b = 1 одно решение (−1; −1)).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем отличается область системы от области совокупности?
Как найти знак произведения в части плоскости?
Почему граничное значение параметра надо проверять отдельно?

Домашнее задание

Изобразите $(y - ∣ x ∣) (y - 2) \leq 0$
Число целых решений ${y \geq x^{2} - 2 y \leq 2 - x^{2}$
При каких $a$ система $x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq a - x^{2}$ имеет решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) Совокупность {y ≥ |x|, y ≤ 2} или {y ≤ |x|, y ≥ 2}: треугольник (0; 0), (−2; 2), (2; 2) вместе с двумя областями выше прямой y = 2 и ниже «галочки» y = |x| (при |x| ≥ 2); все границы входят.
2) x = 0: −2 ≤ y ≤ 2 (5); x = ±1: −1 ≤ y ≤ 1 (по 3); x = ±2: нет. Итого 11.
3) Нужна точка круга с y + x² ≥ a. В круге x² ≤ 4 − y², так что y + x² ≤ 4 + y − y² ≤ 4¼ (при y = ½, x² = 3¾). Ответ: a ≤ 17/4 (проверено численно).
Следующий урок ALG9U-059 — практикум «Биквадратные уравнения»; урок ALG9U-065 — обобщение по всей строке R03, сегодняшние области там будут.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-058 · Практикум: Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 18/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.9 «Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы» → 2, 4–20 · опора R03.3 (квадратные неравенства) → 3, 11, 12 · R03.8 (параметр) → 9, 12, 16 · R03.7 (модель) → 18 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10–12, 14–20)
Результаты	ПР-13 (неравенства и их системы, в целых числах) → 2–8, 10, 11, 13–16, 19 · ПР-14 (исследования с графическими представлениями) → 6, 9, 12, 16, 17 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	линейное программирование как метод — только пример на сл. 18; биквадратные уравнения — ALG9U-059; обобщение строки — ALG9U-065
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:неравенства с двумяпеременными и их системы

Сегодня вы научитесь

Изображать сложные области

Читать рисунок

Считать на области

Исследовать с параметром

Точки, области, числа

Граница — график, знак решает, входит ли она

Раскройте модуль двойным неравенством

Образец

Сам

Через границу знак множителя меняется

Изобразите множество решений

Образец

Сам

Запишите систему неравенств

Образец

Сам

Площадь, целые точки, параметр

Площадь

Целые решения

Параметр

Найдите площадь фигуры, заданной системой

Образец

Сам

Сколько пар целых чисел — решений системы?

Образец

Сам

При каких значениях параметра у системы есть решения?

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Модуль «сняли»

Произведение → система

Потеряли касание

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Площадь фигуры {x2+y2≤9y≥∣x∣​

Задача 2. Целые решения {y≥x2y<2​

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Множество решений системы и прямая y=m

Мука — 12 кг, духовка — 10 часов

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-058 · Практикум: Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы

Практикум:
неравенства с двумя
переменными и их системы

Задача 1. Площадь фигуры ${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \geq ∣ x ∣$

Задача 2. Целые решения ${y \geq x^{2} y < 2$

Множество решений системы и прямая $y = m$