Уравнения и неравенства · урок 17 из 25 · практикум

Практикум:
система нелинейных
уравнений с параметром

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-057

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 17/25, единица R03.8 «Система нелинейных уравнений с параметром». Тип — П (практикум). Новый материал по теме был на уроке ALG9U-048 (подстановка и D, окружность и прямая, параметр при x², симметрия x ↔ −x). Сегодня новые типы: прямая вращается, симметричные системы (x + y, xy), «корень → сколько точек», выколотые точки. Прошлый урок ALG9U-056 — системы как модели; следующий ALG9U-058 — неравенства с двумя переменными.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка приёмов) 3 · 6 (симметричные системы) 2 · 8 (корень → точки) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 15 и вопрос 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать приём

подстановка и $D$ , замена $x + y$ , $x y$ , график — по виду системы (ПР-10)

Считать точки, а не корни

один корень уравнения — это две точки, одна или ни одной (ПР-10, ПР-14)

Не терять особые случаи

старший коэффициент $= 0$ , выколотая точка, переставленная пара (ПР-7, ПР-10)

Решать задачу 22 ОГЭ

сколько общих точек у графика и прямой — с полным оформлением (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-10 (ФРП дословно): «Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром».
Вид деятельности ФРП по строке: «Исследовать системы нелинейных уравнений с параметром».

разминка · R03.5–R03.8

Разминка · устно

Дискриминант, Виета, точки

x^{2} - 4 x + a = 0

один корень при

a =

?

4

x^{2} + k x + 9 = 0

D = 0

при

k =

?

\pm 6

x + y = 5, x y = 6

все пары

(x; y)

(2; 3), (3; 2)

x^{2} + y^{2} = 10, x y = 3

(x + y)^{2} =

?

16

x^{2} = y - 1

x

при

y = 1

0

— одна точка

x^{2} = y - 1

x

при

y = 5

\pm 2

— две

y = k x

через

(2; 6)

k =

?

3

a x^{2} + 2 x - 1 = 0

корень при

a = 0

0, 5

R03.8

Сводка · четыре приёма

Посмотрите на систему — выберите приём

Вид системы	Приём	Что считаем
прямая и парабола (окружность)	подстановка → квадратное уравнение	знак $D$ ; при $x^{2}$ параметр — случай $0$ отдельно
симметричная: $x + y$ , $x y$ , $x^{2} + y^{2}$	Виета или $(x \pm y)^{2}$	пары $(t_{1}; t_{2})$ и $(t_{2}; t_{1})$ — разные
есть $x^{2}$ и $y$ : $x^{2} = y - a$	уравнение для $y$	$y > a$ — две точки, $y = a$ — одна
прямая $y = k x + b$ и «готовый» график	график: касание, проход через точку	касание и выколотые точки

R03.8

Образец → сам · прямая вращается

Прямая $y = k x + b$ проходит через фиксированную точку

Образец

Сколько решений у ${y = x^{2} + 1 y = k x$ при каждом $k$ ?

$x^{2} - k x + 1 = 0$ приравняли $y$

$D = k^{2} - 4$ каждому $x$ — одна точка

$∣ k ∣ > 2$ : два; $k = \pm 2$ : одно касание

$∣ k ∣ < 2$ : решений нет

Сам

база ${y = x^{2} + 4 y = k x$ — ровно одно решение? Найдите его. $k = 4$ : $(2; 8)$ ; $k = - 4$ : $(- 2; 8)$
база ${y = x^{2} y = k (x - 1)$ — два решения? $k < 0$ или $k > 4$
повыш. ${y = - x^{2} + 2 x y = k x - 1$ — сколько решений? два при любом $k$

3 мин · практика
Образец 1 мин (учитель): все прямые y = kx проходят через O(0; 0), при изменении k прямая вращается. Касание при k = ±2 — точки (1; 2) и (−1; 2).
1) x² − kx + 4 = 0, D = k² − 16 = 0, k = ±4; x = k/2: при k = 4 x = 2, y = 8; при k = −4 x = −2, y = 8.
2) Прямая через (1; 0). x² − kx + k = 0, D = k² − 4k = k(k − 4) > 0 ⇔ k < 0 или k > 4. (k = 0 и k = 4 — касание: по одной точке.)
3) Прямая через (0; −1), а эта точка внутри «чаши» вниз: x² + (k − 2)x − 1 = 0, D = (k − 2)² + 4 > 0 всегда — два решения при любом k. Графически: точка (0; −1) ниже вершины параболы, ветви вниз — любая невертикальная прямая пересекает дважды.
Все ответы проверены подсчётом решений систем (sympy) при значениях k по обе стороны от границ.

R03.8

Сводка · симметричные системы

Поменяли $x$ и $y$ — система не изменилась

{x + y = u x y = v \Rightarrow t^{2} - u t + v = 0

корни

t_{1} \neq = t_{2}

дают две пары:

(t_{1}; t_{2})

и

(t_{2}; t_{1})

;

t_{1} = t_{2}

— одну

{x^{2} + y^{2} = c x y = a \Rightarrow {(x + y)^{2} = c + 2 a (x - y)^{2} = c - 2 a

Оба $> 0$ : четыре решения · один $= 0$ : два · один $< 0$ : нет

2 мин · теория
Первая схема: по обратной теореме Виета x и y — корни t² − ut + v = 0. Решения есть ⇔ u² − 4v ≥ 0. При D > 0 пар две (переставленные), при D = 0 — одна (x = y = u/2).
Вторая схема: сложить первое и удвоенное второе, затем вычесть. Если c + 2a = p² > 0 и c − 2a = q² > 0, то x + y = ±p, x − y = ±q — четыре независимых комбинации знаков, четыре разные пары. Если, например, c − 2a = 0, то x = y и пар две.
Вопрос классу: почему у второй схемы решений не бывает три? (Знаки выбираются независимо: 2 · 2, 2 · 1 или 0.)

R03.8

Образец → сам · симметричная система

Сколько решений — по двум квадратам

Образец

Сколько решений у ${x^{2} + y^{2} = 8 x y = a$ при каждом $a$ ?

$(x + y)^{2} = 8 + 2 a$ сложили

$(x - y)^{2} = 8 - 2 a$ вычли

$∣ a ∣ < 4$ : четыре оба $> 0$

$a = \pm 4$ : два; $∣ a ∣ > 4$ : нет

Сам

база ${x + y = 2 x y = a$ — сколько решений при каждом $a$ ? $a < 1$ : два; $a = 1$ : одно; $a > 1$ : нет
база ${x^{2} + y^{2} = 2 x y = a$ — ровно два решения? $a = \pm 1$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = a$ — ровно четыре решения? $∣ a ∣ < 12, 5$

3 мин · практика
Образец: при a = 4 — (x − y)² = 0, x + y = ±4: решения (2; 2), (−2; −2). При a = 0 — четыре точки (0; ±2√2), (±2√2; 0): граница не там, где «a = 0».
1) t² − 2t + a = 0, D₁ = 1 − a. a < 1 — два решения (t₁; t₂) и (t₂; t₁); a = 1 — одно (1; 1); a > 1 — нет.
2) (x + y)² = 2 + 2a, (x − y)² = 2 − 2a. Два решения, когда один из квадратов равен 0, а другой положителен: a = ±1. Решения при a = 1: (1; 1), (−1; −1).
3) 25 + 2a > 0 и 25 − 2a > 0 ⇔ −12,5 < a < 12,5. Ошибка: «a > 0» — при a = 0 тоже четыре решения (0; ±5), (±5; 0).
Проверено подсчётом решений (sympy) при a = 0, ±4, ±5 (образец), a = 1/2, 1, 2 (задание 2) и a = 12, 12,5, 13 (задание 3).

R03.8 · ПР-14

Сводка · корень → сколько точек

${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + a$ : парабола движется вверх-вниз

$x^{2} = y - a$ : $y^{2} + y - a - 4 = 0$

корень

y > a

— две точки,

y = a

— одна,

y < a

— ни одной

$a = 2$ : одна точка $(0; 2)$

$a = - 2$ : три точки

$a = - \frac{17}{4}$ : две — касание

3 мин · теория
Демонстрация учителя. Подставляем x² = y − a во второе уравнение: y² + y − a − 4 = 0. Ограничение y ≥ a (так как x² ≥ 0). Каждый корень y > a даёт x = ±√(y − a) — две точки; корень y = a — одну точку x = 0.
a = 2: корни y = 2 и y = −3; y = 2 = a — одна точка (0; 2), y = −3 < a — нет. Итого одно решение (вершина касается окружности сверху).
a = −2: корни y = −2 (= a, точка (0; −2)) и y = 1 (> a, точки (±√3; 1)). Три решения.
a = −17/4: D = 1 + 4(a + 4) = 4a + 17 = 0, y = −1/2 > a — две точки (±√15/2; −1/2). Касание в двух точках — «одно D = 0» дало два решения!
Полная картина: a < −17/4 — 0; a = −17/4 — 2; −17/4 < a < −2 — 4; a = −2 — 3; −2 < a < 2 — 2; a = 2 — 1; a > 2 — 0. Проверено подсчётом решений (sympy) при a = −5; −17/4; −3; −2; 0; 2; 3. Чертёж точный: 55 px на единицу.

R03.8 · ПР-14

Образец → сам · парабола и окружность

Считаем точки по корням $y$

Образец

При каких $a$ у ${x^{2} + y^{2} = 1 y = x^{2} + a$ ровно два решения?

$y^{2} + y - a - 1 = 0, y \geq a$ $x^{2} = y - a$

$D = 0$ : $a = - \frac{5}{4}$ , $y = - \frac{1}{2} > a$ две точки

$- 1 < a < 1$ : один корень $y > a$ две точки

Ответ: $a = - \frac{5}{4}$ или $- 1 < a < 1$

Сам: ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} + a$

базаровно одно решение? $a = 3$
базаровно три решения? $a = - 3$
повыш.ровно четыре решения? $- \frac{37}{4} < a < - 3$

3 мин · практика
Образец (как на сл. 8, радиус 1). D = 1 + 4(a + 1) = 4a + 5. Значение f(y) = y² + y − a − 1 в точке y = a: f(a) = a² − 1. При |a| < 1 f(a) < 0 — a между корнями, ровно один корень больше a → две точки. При a = 1 — одна точка (0; 1); при a = −1 — три (0; −1), (±1; 0); при −5/4 < a < −1 — оба корня больше a → четыре.
Сам: y² + y − a − 9 = 0, f(a) = a² − 9, D = 4a + 37. 1) a = 3: корни 3 (= a) и −4 — одна точка (0; 3). 2) a = −3: корни −3 (= a) и 2 (> a) — 1 + 2 = 3 точки. 3) Оба корня > a: D > 0 и f(a) > 0 и a < −1/2 (вершина правее a): −37/4 < a < −3.
Проверено подсчётом решений (sympy) при a = −10; −37/4; −9; −4; −3; 0; 3 и для образца при a = −5/4; −1/2; 0; 0,9; 1.

R03.8 · ПР-7

Образец → сам · старший коэффициент с параметром

Уравнение может оказаться линейным

Образец

Сколько решений у ${y = a x^{2} + 2 x y = x - a$ при каждом $a$ ?

$a x^{2} + x + a = 0$ уравнение

$a = 0$ : $x = 0$ , одно $(0; 0)$

$a \neq = 0$ : $D = 1 - 4 a^{2}$

одно: $a = 0; \pm \frac{1}{2}$ · два: $∣ a ∣ < \frac{1}{2}, a \neq = 0$ · нет: $∣ a ∣ > \frac{1}{2}$

Сам

база ${y = (a - 2) x^{2} + 3 y = 2 x + a$ — ровно одно решение? $a = 2$
база ${y = a x^{2} + 4 x y = 2 x - 1$ — нет решений? $a > 1$
повыш. ${y = a x^{2} + 2 x + 3 y = 4 x + a$ — есть решения? $a \leq \frac{3 - 5}{2}$ или $a \geq \frac{3 + 5}{2}$

3 мин · практика
Образец: здесь «уравнение», а не «квадратное уравнение» — вырожденный случай a = 0 разбираем. a = ±1/2: x = ∓1, одно решение. Граница a = 0 выколота из «двух решений», но входит в «одно».
1) (a − 2)x² − 2x + 3 − a = 0. a = 2: −2x + 1 = 0, x = 1/2 — одно. a ≠ 2: D₁ = 1 + (a − 2)(a − 3) = a² − 5a + 7 > 0 всегда (его дискриминант 25 − 28 < 0) — два. Ответ a = 2.
2) ax² + 2x + 1 = 0. a = 0: x = −1/2 — решение есть. a ≠ 0: D₁ = 1 − a < 0 ⇔ a > 1. Граница a = 1: x = −1, одно решение — не входит.
3) ax² − 2x + 3 − a = 0. a = 0: x = 3/2 — есть. a ≠ 0: D₁ = a² − 3a + 1 ≥ 0 ⇔ a ≤ (3 − √5)/2 ≈ 0,38 или a ≥ (3 + √5)/2 ≈ 2,62. Точка a = 0 уже входит в первый промежуток. Проверено при a = 0; 0,38…; 0,5; 1; 2,62…; 3 (sympy).

R03.8 · ПР-14

Образец → сам · выколотая точка

Сократили дробь — запомните, какую точку выкололи

Образец

При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком $y = \frac{( x ^{2} + 1 ) ( x - 2 )}{2 - x}$ ровно одну общую точку?

$y = - x^{2} - 1, x \neq = 2$ точка $(2; - 5)$ выколота

$x^{2} + k x + 1 = 0$ , $D = 0$ : $k = \pm 2$ $x = \mp 1$

через $(2; - 5)$ : $k = - 2, 5$ остался $x = 0, 5$

Ответ: $- 2, 5; - 2; 2$

Сам

база $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ и $y = k x$ — нет общих точек? $k = 1$ или $k = 2$
база $y = \frac{x ^{4} - 1}{x ^{2} - 1}$ и $y = m$ — ровно две общие точки? $m > 1, m \neq = 2$
повыш. $y = \frac{( x ^{2} + 4 ) ( x + 1 )}{- 1 - x}$ и $y = k x$ — ровно одна общая точка? $- 4; 4; 5$

3 мин · практика
Образец: (x − 2)/(2 − x) = −1 при x ≠ 2, график — парабола y = −x² − 1 без точки (2; −5). Касание: k = 2 — x = −1, k = −2 — x = 1; обе точки не выколоты. Прямая через выколотую точку: −5 = 2k, k = −2,5; x² − 2,5x + 1 = 0 — корни 2 (выколот) и 0,5 — остаётся одна точка.
1) y = x + 2, x ≠ 2 (выколота (2; 4)). k = 1 — параллельна, общих точек нет; k = 2 — проходит через выколотую точку, единственная общая точка пропала. Ответ: 1; 2.
2) y = x² + 1, x ≠ ±1 (выколоты (±1; 2)). y = m: две точки при m > 1, но при m = 2 обе точки выколоты — ноль. Ответ: m > 1, m ≠ 2.
3) y = −x² − 4, x ≠ −1 (выколота (−1; −5)). x² + kx + 4 = 0, D = k² − 16 = 0: k = ±4, касание при x = ∓2 ≠ −1 ✓. Через (−1; −5): k = 5, x² + 5x + 4 = 0 — корни −1 (выколот) и −4 — одна точка. Ответ: −4; 4; 5.
Все ответы проверены подсчётом общих точек с исключением выколотых (sympy).

R03.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли пару

$x + y = 5, x y = 6$ : одно решение $(2; 3)$

два: $(2; 3)$ и $(3; 2)$

решение — упорядоченная пара

Забыли выколотую точку

$y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ и $y = m$ : всегда одна точка

при $m = 6$ — ни одной

$y = x + 3$ , точка $(3; 6)$ выколота

Забыли $a = 0$

$a x^{2} + x + a = 0$ : одно решение при $a = \pm \frac{1}{2}$

ещё $a = 0$ : $x = 0$

при $a = 0$ уравнение линейное

R03.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. При каких $a$ у ${x^{2} + y^{2} = 2 x y = a$ есть решения?

$(x + y)^{2} = 2 + 2 a \geq 0$

Ответ: $a \geq - 1$

Ошибка: забыли $(x - y)^{2} = 2 - 2 a \geq 0$

Ответ: $- 1 \leq a \leq 1$

2. При каких $a$ у ${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} + a$ ровно одно решение?

$y^{2} + y - a - 16 = 0$ , $D = 65 + 4 a = 0$

Ответ: $a = - \frac{65}{4}$

Ошибка: корень $y = - \frac{1}{2} > a$ даёт две точки

Ответ: $a = 4$ , точка $(0; 4)$

R03.8

Задания с самопроверкой · база

При каких значениях параметра…

${y = x^{2} - 2 y = a$ — одно решение? $a = - 2$
${y = x^{2} y = k x - 9$ — одно решение? $k = \pm 6$
${x + y = 8 x y = a$ — есть решения? $a \leq 16$

${x^{2} + y^{2} = 50 x y = a$ — ровно два? $a = \pm 25$
${y = a x^{2} + x y = 4 x - 2$ — ровно одно? $a = 0$ или $a = \frac{9}{8}$
$y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ и $y = m$ — нет общих точек? $m = 2$

R03.8 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Точки, пары, касания

повыш. ${x^{2} + y^{2} = 4 y = a - x^{2}$ — ровно три решения? $a = 2$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = a x y = 2$ — ровно два решения? $a = 4$

повыш. ${y = x^{2} + 1 y = k (x + 1)$ — ровно одно решение? $k = - 2 \pm 22$
повыш. ${y = ∣ x ∣ y = x^{2} + a$ — ровно три решения? $a = 0$

2 мин · практика
1) Парабола ветвями вниз, вершина (0; a). x² = a − y: y² − y + a − 4 = 0. Три точки — один корень y = a: a² − a + a − 4 = 0, a = ±2. a = 2: корни 2 (= a) и −1 (< a, две точки) — три ✓; a = −2: корни −2 и 3 (> a, точек нет) — одна ✗. Ответ a = 2.
2) (x + y)² = a + 4, (x − y)² = a − 4: два решения при a = 4 ((√2; √2), (−√2; −√2)); a > 4 — четыре; a < 4 — нет.
3) Прямая через (−1; 0): x² − kx + 1 − k = 0, D = k² + 4k − 4 = 0, k = −2 ± 2√2.
4) При x ≥ 0: x² − x + a = 0, при x < 0 — симметрично. a = 0: x = 0, ±1 — три. 0 < a < 1/4 — четыре, a = 1/4 — две, a < 0 — две. Ответ a = 0. Все — проверено (sympy и численно).
Если не успеваете — 3 и 4 в ДЗ.

R03.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

$y = x ∣ x ∣ + 2∣ x ∣ - 3 x$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно две общие точки?

$x \geq 0$ : $y = x^{2} - x$ вершина $(0, 5; - 0, 25)$

$x < 0$ : $y = - x^{2} - 5 x$ вершина $(- 2, 5; 6, 25)$

две точки: $m = - 0, 25$ или $m = 6, 25$ через вершины

А ровно три?

- 0, 25 < m < 6, 25

3 мин · практика
Раскрываем модуль. x ≥ 0: x² + 2x − 3x = x² − x (вершина (0,5; −0,25), нули 0 и 1). x < 0: −x² − 2x − 3x = −x² − 5x (вершина (−2,5; 6,25), нули −5 и 0).
Число точек с y = m: m < −0,25 — 1; m = −0,25 — 2; −0,25 < m < 6,25 — 3 (при m = 0 — точки −5, 0, 1); m = 6,25 — 2; m > 6,25 — 1. Ответ: m = −0,25; m = 6,25. Проверено численно.
Оформление на ОГЭ (2 балла): раскрытие модуля на промежутках, построение двух кусков парабол с вершинами, вывод по чертежу с объяснением. Типичная потеря: не отмечены вершины, ответ «m = 6,25» без второго значения.
Чертёж точный: 60 px на единицу по x, 45 px по y (масштабы осей разные, сетка — через 1).

R03.8 · R03.7

Задача из жизни

Прямоугольный экран: диагональ $10$ дм, площадь $S$ дм²

${x^{2} + y^{2} = 100 x y = S$ , $x, y > 0$

практикаРазмеры при $S = 48$ ? $6$ и $8$ дм
практикаПри каких $S$ экран существует? $0 < S \leq 50$
повыш.Какой он при $S = 50$ ? квадрат $52 \approx 7, 1$ дм

2 мин · практика
1) (x + y)² = 100 + 96 = 196, x + y = 14; (x − y)² = 4, |x − y| = 2: стороны 6 и 8 (проверка 36 + 64 = 100, 6 · 8 = 48).
2) Нужно (x − y)² = 100 − 2S ≥ 0 ⇒ S ≤ 50; по смыслу S > 0. При S > 50 систем решений нет (проверено при S = 51).
3) S = 50: x − y = 0, x + y = 10√2 ⇒ x = y = 5√2 ≈ 7,07 дм. Вывод: из всех прямоугольников с данной диагональю наибольшая площадь у квадрата.
Связь с R03.7 (система как модель): параметр S — проектное значение, исследование системы отвечает «при каких условиях задача имеет смысл». Чертёж — экран 8 × 6 в масштабе.

R03.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база ${y = x^{2} + 2 y = k x$ — одно решение? $k = \pm 22$
база ${x + y = 4 x y = a$ — два решения? $a < 4$
база ${y = a x^{2} - x y = 3 x - 2$ — ровно одно? $a = 0$ или $a = 2$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 36 y = x^{2} + a$ — ровно одно? $a = 6$

Вариант 2

база ${y = x^{2} + 3 y = k x$ — нет решений? $∣ k ∣ < 23$
база ${x + y = 6 x y = a$ — одно решение? $a = 9$
база ${y = a x^{2} + x y = 5 x - 3$ — ровно одно? $a = 0$ или $a = \frac{4}{3}$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 25 y = x^{2} + a$ — ровно три? $a = - 5$

4 мин · практика
3,5 мин работы, остальное — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x² − kx + 2 = 0, k² − 8 = 0, k = ±2√2. 2) t² − 4t + a = 0, D₁ = 4 − a > 0. 3) ax² − 4x + 2 = 0: a = 0 → x = 1/2; D₁ = 4 − 2a = 0 → a = 2. 4) y² + y − a − 36 = 0, корень y = a: a² = 36; a = 6 — корни 6 и −7, одна точка (0; 6) ✓; a = −6 — три точки ✗.
В-2. 1) x² − kx + 3 = 0, k² − 12 < 0. 2) t² − 6t + a = 0, D₁ = 9 − a = 0, решение (3; 3). 3) ax² − 4x + 3 = 0: a = 0 → x = 3/4; D₁ = 4 − 3a = 0 → a = 4/3. 4) Корень y = a: a² = 25; a = −5 — корни −5 (одна точка) и 4 (две) — три ✓; a = 5 — одна ✗.
Все ответы проверены подсчётом решений (sympy). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько точек даёт один корень $y$ ?
Почему пар у симметричной системы обычно две?
Что делать с выколотой точкой графика?

Домашнее задание

Число решений ${y = x^{2} - 2 x y = k x - 4$ при каждом $k$
То же для ${x^{2} + y^{2} = 10 x y = a$
* ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} + a$ — ровно два решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-057 · Практикум: Система нелинейных уравнений с параметром

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 17/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.8 «Система нелинейных уравнений с параметром» → 2, 4–19 · опора R03.5–R03.6 → 3 · модель реальной ситуации R03.7 → 17 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9–11, 13–19)
Результаты	ПР-10 (системы нелинейных уравнений с параметром) → 2–19 · ПР-14 (исследование систем, графические представления) → 8, 9, 11, 15, 16 · ПР-7 (квадратные уравнения с параметром) → 10, 12 · кодификатора у курса нет
Вне урока	неравенства с двумя переменными и их системы — ALG9U-058; решение систем с параметром методом областей — 10–11 кл.
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:система нелинейныхуравнений с параметром

Сегодня вы научитесь

Выбирать приём

Считать точки, а не корни

Не терять особые случаи

Решать задачу 22 ОГЭ

Дискриминант, Виета, точки

Посмотрите на систему — выберите приём

Прямая y=kx+b проходит через фиксированную точку

Образец

Сам

Поменяли x и y — система не изменилась

Сколько решений — по двум квадратам

Образец

Сам

{x2+y2=4y=x2+a​: парабола движется вверх-вниз

Считаем точки по корням y

Образец

Сам: {x2+y2=9y=x2+a​

Уравнение может оказаться линейным

Образец

Сам

Сократили дробь — запомните, какую точку выкололи

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли пару

Забыли выколотую точку

Забыли a=0

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. При каких a у {x2+y2=2xy=a​ есть решения?

2. При каких a у {x2+y2=16y=x2+a​ ровно одно решение?

При каких значениях параметра…

Точки, пары, касания

y=x∣x∣+2∣x∣−3x. При каких m прямая y=m имеет ровно две общие точки?

Прямоугольный экран: диагональ 10 дм, площадь S дм²

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-057 · Практикум: Система нелинейных уравнений с параметром

Практикум:
система нелинейных
уравнений с параметром

Прямая $y = k x + b$ проходит через фиксированную точку

Поменяли $x$ и $y$ — система не изменилась

${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + a$ : парабола движется вверх-вниз

Считаем точки по корням $y$

Сам: ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} + a$

Забыли $a = 0$

1. При каких $a$ у ${x^{2} + y^{2} = 2 x y = a$ есть решения?

2. При каких $a$ у ${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} + a$ ровно одно решение?

$y = x ∣ x ∣ + 2∣ x ∣ - 3 x$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно две общие точки?

Прямоугольный экран: диагональ $10$ дм, площадь $S$ дм²