Уравнения и неравенства · урок 16 из 25 · практикум

Практикум:
система уравнений
как модель

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-056

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 16/25, единица R03.7 «Система двух нелинейных уравнений с двумя переменными как модель реальной ситуации». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-055 — графический метод решения систем; следующий ALG9U-057 — система нелинейных уравнений с параметром.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (этапы моделирования) 2,5 · 5 (типовые связи величин) 2,5 · 6 (приём «сумма и произведение») 2 · 11 (отбор решений по смыслу) 2 · 13 (типичные ошибки) 2,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 9, 10, 12) 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2,5 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Составлять модель

переводить условие задачи в систему двух уравнений (ПР-15, ПР-16)

Решать систему

подстановкой, приёмом «сумма и произведение», заменой переменных (ПР-9)

Отбирать решения

оставлять только те, что подходят по смыслу задачи (ПР-16)

Оформлять как на ОГЭ

полная запись решения текстовой задачи, линия 21 (ПР-15)

1 мин · теория
ПР-15 (ФРП дословно): «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте». ПР-9: «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом».

разминка · R03.5

Разминка · устно

Запишите величину через переменные

стороны

x

и

y

периметр

2 (x + y)

катеты

x

и

y

квадрат гипотенузы

x^{2} + y^{2}

60

км, скорость

v

время в пути

\frac{60}{v}

ч

цифры

a

и

b

число

\overline{ab}

10 a + b

вся работа за

x

ч

часть за

1

ч

\frac{1}{x}

20

мин

в часах

\frac{1}{3}

ч

x + y = 7, x y = 12

x, y

= ?

3

и

4

x + y = 5, x y = 6

x^{2} + y^{2}

= ?

13

R03.7

Сводка · этапы моделирования

От ситуации к ответу — четыре шага

1

Переменные

что обозначаем $x$ и $y$ , в каких единицах

2

Модель

два условия → два уравнения → система

3

Решение

подстановка, сложение, «сумма и произведение», замена

4

Интерпретация

отбор по смыслу и ответ на вопрос задачи

Две неизвестные величины — два независимых условия. Не хватает условия — задача имеет много решений.

2,5 мин · теория
Математическая модель — описание ситуации на языке уравнений. Система удобнее одного уравнения, когда в задаче две неизвестные величины: каждое условие переводится в своё уравнение, без выражения одной величины через другую «в уме».
Шаг 4 — то, что отличает задачу от упражнения: решение системы — это ещё не ответ. Отбрасываем решения, которые не подходят по смыслу (отрицательная скорость, цифра 0 в старшем разряде), и отвечаем именно на вопрос задачи.
Вопрос классу: почему одно условие «периметр 34 см» не определяет прямоугольник? (Подходит 1 × 16, 5 × 12, 8 × 9 и т. д. — бесконечно много.)

R03.7

Сводка · словарь модели

Как условие переводится в уравнение

Ситуация	Связь величин	Пример условия → уравнение
Прямоугольник	$P = 2 (x + y), S = x y$	диагональ $13$ → $x^{2} + y^{2} = 169$
Числа, цифры	$\overline{ab} = 10 a + b$	после перестановки цифр меньше на $27$ → $9 (a - b) = 27$
Движение	$s = v t, t = \frac{s}{v}$	на $5$ км/ч быстрее, на $1$ ч меньше → $(v + 5) (t - 1) = s$
Работа	за час: $\frac{1}{x}$ работы	вместе за $6$ ч → $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
Течение реки	по течению $v + u$ , против $v - u$	$30$ км по течению за $2$ ч → $2 (v + u) = 30$

R03.7 · R03.6

Сводка · сумма и произведение

Знаем $x + y$ и $x y$ — числа находит теорема Виета

{x + y = s x y = p \Rightarrow t^{2} - s t + p = 0

x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p

Пример:

s = 17

,

s^{2} - 2 p = 169 \Rightarrow p = 60

;

t^{2} - 17 t + 60 = 0

: числа

5

и

12

R03.7

Образец → сам · геометрия

Найдите стороны

Образец

Периметр прямоугольника $34$ см, диагональ $13$ см.

$x + y = 17, x^{2} + y^{2} = 169$ $P$ и Пифагор

$x y = \frac{1 7 ^{2} - 169}{2} = 60$ $(x + y)^{2} - 2 x y$

$t^{2} - 17 t + 60 = 0$ : $5; 12$ Виета

Ответ: $5$ см и $12$ см $25 + 144 = 169$

Сам

базаПериметр прямоугольника $28$ см, площадь $48$ см². $6$ см и $8$ см
базаПериметр прямоугольника $46$ см, диагональ $17$ см. $8$ см и $15$ см
повыш.Площадь прямоугольного треугольника $24$ см², гипотенуза $10$ см. Найдите катеты. $6$ см и $8$ см

R03.7

Образец → сам · числа и цифры

Найдите числа

Образец

Двузначное число в $4$ раза больше суммы своих цифр и в $3$ раза больше их произведения.

$10 a + b = 4 (a + b) \Rightarrow b = 2 a$ первое условие

$12 a = 3 a \cdot 2 a \Rightarrow a (a - 2) = 0$ второе условие

$a \neq = 0$ : $a = 2, b = 4$ отбор: число двузначное

Ответ: $24$ $4 \cdot 6 = 3 \cdot 8 = 24$

Сам

базаПроизведение двух положительных чисел $96$ , разность $4$ . $8$ и $12$
базаСумма квадратов цифр двузначного числа $45$ ; при перестановке цифр число уменьшается на $27$ . $63$
повыш.Сумма двух чисел $13$ , сумма обратных к ним $\frac{13}{36}$ . $4$ и $9$

R03.7

Образец → сам · движение

Скорость и время — две неизвестные

Образец

Велосипедист проехал $60$ км. Будь скорость на $5$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ ч меньше. Найдите скорость.

$v t = 60, (v + 5) (t - 1) = 60$ $s = v t$

$- v + 5 t - 5 = 0 \Rightarrow v = 5 t - 5$ вычли

$t^{2} - t - 12 = 0$ : $t = 4$ $t = - 3 < 0$ — нет

Ответ: $15$ км/ч $15 \cdot 4 = 20 \cdot 3$

Сам

базаПоезд прошёл $300$ км. Будь скорость на $10$ км/ч больше, путь занял бы на $1$ ч меньше. Скорость поезда? $50$ км/ч
повыш.Из двух пунктов, расстояние между которыми $60$ км, навстречу выехали два велосипедиста и встретились через $2$ ч. Первый проезжает весь путь на $3$ ч дольше второго. Скорости? $10$ и $20$ км/ч

R03.7

Образец → сам · совместная работа

Вся работа — $1$ , за час — $\frac{1}{x}$ работы

Образец

Две трубы вместе наполняют бассейн за $6$ ч. Первая одна — на $5$ ч дольше второй. За сколько часов наполняет каждая?

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, x - y = 5$ модель

$6 (2 y + 5) = y (y + 5)$ $x = y + 5$

$y^{2} - 7 y - 30 = 0$ : $y = 10$ $y = - 3$ — нет

Ответ: $15$ ч и $10$ ч $\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{1}{6}$

Сам

базаДвое рабочих вместе выполняют заказ за $12$ дней, первый один — на $10$ дней быстрее второго. За сколько дней каждый? $20$ и $30$ дней
повыш.Две бригады вместе выполнят работу за $6$ дней. Если первая сделает половину, а затем вторая — остаток, уйдёт $12, 5$ дня. За сколько дней каждая? $10$ и $15$ дней

R03.7 · ПР-16

Сводка · интерпретация результата

Решение системы — ещё не ответ задачи

Что проверить	Пример
Величина положительна (длина, время, скорость)	$t = - 3$ , $y = - 3$ — отбросить
Величина целая или из набора (цифра, число людей)	$a = 0$ в старшем разряде — не двузначное число
Ограничения ситуации	скорость лодки больше скорости течения: $v > u$
Ответ на вопрос задачи	нашли $t$ , а спросили $v$ — досчитать
Оба решения подходят?	записать оба: участок $30 \times 20$ или $40 \times 15$

R03.7 · R03.4

Образец → сам · замена переменных

Обозначьте дроби — система станет линейной

Образец

Лодка проходит $60$ км по течению и $24$ км против за $5$ ч, а $40$ км по течению и $36$ км против — тоже за $5$ ч. Найдите скорость лодки и течения.

$a = \frac{1}{v + u}, b = \frac{1}{v - u}$ замена

$60 a + 24 b = 5, 40 a + 36 b = 5$ линейная

$a = \frac{1}{20}, b = \frac{1}{12}$ $20 a = 12 b$

$v + u = 20, v - u = 12$ : $16$ и $4$ км/ч

Сам

базаКатер проходит $36$ км по течению и $24$ км против за $4$ ч, а $54$ км по течению и $12$ км против — тоже за $4$ ч. Скорости катера и течения? $15$ и $3$ км/ч
повыш.За $2$ ч работы первого и $3$ ч второго сделано $\frac{7}{12}$ работы, за $4$ ч первого и $1$ ч второго — $\frac{3}{4}$ . За сколько часов каждый сделает всю работу? $6$ ч и $12$ ч

R03.7

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Минуты вместо часов

на $20$ мин меньше: $(v + 2) (t - 20)$

$(v + 2) (t - \frac{1}{3})$

скорость в км/ч — время в часах

Не отобрали решения

$t = 4$ или $t = - 3$ ; ответ: $15$ и $- 20$ км/ч

$t > 0$ : только $15$ км/ч

отрицательное время не имеет смысла

Ответ не на тот вопрос

спросили скорость, ответ: $t = 4$

$v = \frac{60}{4} = 15$ км/ч

перечитать вопрос перед ответом

R03.7

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. $48$ км; на $2$ км/ч быстрее — на $20$ мин меньше. Скорость?

$v t = 48, (v + 2) (t - 20) = 48$

$- 20 v + 2 t - 40 = 0, t = 10 v + 20$

$v (10 v + 20) = 48$ … корни «некрасивые»

Ошибка: $20$ мин $= \frac{1}{3}$ ч: $(v + 2) (t - \frac{1}{3}) = 48$

$v = 6 t - 2$ , $3 t^{2} - t - 24 = 0$ : $t = 3$ , $v = 16$ км/ч

2. Две трубы вместе — за $6$ ч, первая одна — на $5$ ч быстрее второй

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$

$x^{2} - 7 x - 30 = 0$ : $x = 10, x = - 3$

Ответ: $10$ ч и $15$ ч или $- 3$ ч и $2$ ч

Ошибка: время $x > 0$ , значит, $x = - 3$ не подходит

Ответ: $10$ ч и $15$ ч

R03.7

Задания с самопроверкой · база

Составьте систему и решите

Сумма двух чисел $20$ , произведение $96$ . $8$ и $12$
Периметр прямоугольника $30$ , площадь $56$ . Стороны? $7$ и $8$
Гипотенуза $25$ , сумма катетов $31$ . Катеты? $7$ и $24$

Разность двух положительных чисел $3$ , произведение $108$ . $9$ и $12$
Сумма цифр двузначного числа $9$ , произведение $14$ . $27$ или $72$
Пешеход прошёл $12$ км. На $1$ км/ч быстрее — на $1$ ч меньше. Скорость? $3$ км/ч

R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Модель сложнее — приёмы те же

повыш.Два тракториста вместе вспашут поле за $4$ дня, первый один — на $6$ дней дольше второго. За сколько дней каждый? $12$ и $6$
повыш.Скорость первого автомобиля на $20$ км/ч больше, и $240$ км он проезжает на $1$ ч быстрее второго. Скорости? $80$ и $60$ км/ч
повыш.Диагональ прямоугольника $10$ . Если каждую сторону увеличить на $2$ , площадь вырастет на $32$ . Стороны? $6$ и $8$
повыш.Сумма двух чисел $5$ , сумма их кубов $35$ . $2$ и $3$
повыш.Лодка проходит $30$ км по течению и обратно за $8$ ч, а $5$ км по течению — за то же время, что $3$ км против. Скорости лодки и течения? $8$ и $2$ км/ч

R03.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовая задача с полной записью решения

Два велосипедиста одновременно стартовали в пробеге на $120$ км. Первый ехал на $2$ км/ч быстрее и финишировал на $2$ ч раньше. Найдите скорость второго. $10$ км/ч
Первая труба пропускает на $5$ л в минуту меньше второй. Резервуар на $200$ л она заполняет на $2$ мин дольше второй. Сколько литров в минуту пропускает первая? $20$
Лодка прошла $45$ км по течению и вернулась, затратив на весь путь $8$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость лодки. $12$ км/ч

1. Пусть … (единицы)

2. Система или уравнение

3. Решение

4. Отбор по смыслу

5. Ответ на вопрос

2,5 мин · практика
1) v − u = 2, 120/u − 120/v = 2 ⇒ 120 · 2 = 2uv ⇒ uv = 120; u(u + 2) = 120, u² + 2u − 120 = 0, u = 10 (−12 — нет). Второй (медленный) — 10 км/ч. Проверка: 12 ч − 10 ч = 2 ч ✓.
2) Первая x л/мин, вторая x + 5: 200/x − 200/(x + 5) = 2 ⇒ x² + 5x − 500 = 0, D = 2025, x = 20 (−25 — нет). Проверка: 10 мин − 8 мин = 2 мин ✓.
3) 45/(v + 3) + 45/(v − 3) = 8 ⇒ 4v² − 45v − 36 = 0, D = 2601 = 51², v = 12 (v = −0,75 — нет; кроме того, нужно v > 3). Проверка: 3 + 5 = 8 ✓.
На ОГЭ задание 21 — 2 балла: нужны обозначения, уравнение (система), решение, отбор и ответ. Числа в задачах составлены по образцу банка ФИПИ, не копия.

R03.7 · ПР-16

Задача из жизни

Огород $600$ м² у стены дома, забор по трём сторонам — $70$ м

практикаНайдите размеры участка. $30 \times 20$ или $40 \times 15$ м
практикаСтена дома — $35$ м. Какой вариант возможен? $30 \times 20$ м
повыш.При какой наименьшей длине забора $L$ можно огородить $600$ м²? $403 \approx 69, 3$ м

2 мин · практика
1) x = 70 − 2y, (70 − 2y)y = 600 ⇒ y² − 35y + 300 = 0, D = 25, y = 20 или 15; x = 30 или 40. Оба решения подходят по смыслу — в ответе оба.
2) Сторона x вдоль стены не длиннее стены: 40 > 35 — второй вариант невозможен. Это и есть интерпретация в контексте (ПР-16).
3) y(L − 2y) = 600 ⇒ 2y² − Ly + 600 = 0 имеет корень при D = L² − 4800 ≥ 0, L ≥ √4800 = 40√3 ≈ 69,3 м (тогда y = 10√3 ≈ 17,3 м, x = 20√3 ≈ 34,6 м). Мост к следующему уроку — системы с параметром.
Рисунок схематичный (пропорции примерно 30 × 20).

R03.7

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаСумма двух чисел $17$ , произведение $72$ . $8$ и $9$
базаПлощадь прямоугольника $40$ см², периметр $26$ см. Стороны? $5$ и $8$ см
базаГипотенуза $17$ см, сумма катетов $23$ см. Катеты? $8$ и $15$ см
повыш.Велосипедист проехал $36$ км. На $3$ км/ч быстрее — на $1$ ч меньше. Скорость? $9$ км/ч

Вариант 2

базаСумма двух чисел $15$ , произведение $56$ . $7$ и $8$
базаПлощадь прямоугольника $42$ см², периметр $26$ см. Стороны? $6$ и $7$ см
базаГипотенуза $13$ см, сумма катетов $17$ см. Катеты? $5$ и $12$ см
повыш.Турист прошёл $20$ км. На $1$ км/ч быстрее — на $1$ ч меньше. Скорость? $4$ км/ч

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) t² − 17t + 72 = 0: 8 и 9. 2) x + y = 13, xy = 40: 5 и 8. 3) xy = (529 − 289)/2 = 120, t² − 23t + 120 = 0: 8 и 15. 4) vt = 36, (v + 3)(t − 1) = 36 ⇒ v = 3t − 3, t² − t − 12 = 0, t = 4, v = 9 км/ч.
В-2. 1) t² − 15t + 56 = 0: 7 и 8. 2) x + y = 13, xy = 42: 6 и 7. 3) xy = (289 − 169)/2 = 60: 5 и 12. 4) vt = 20, (v + 1)(t − 1) = 20 ⇒ v = t − 1, t² − t − 20 = 0, t = 5, v = 4 км/ч.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 4 без отбора отрицательного корня — не засчитывать.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько условий нужно для двух неизвестных?
Как решить систему, если известны $x + y$ и $x y$ ?
Что делать с решением $t = - 3$ ?

Домашнее задание

Периметр прямоугольника $70$ см, диагональ $25$ см. Стороны?
Две трубы вместе — за $8$ ч, первая одна — на $12$ ч дольше второй. За сколько часов каждая?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-056 · Практикум: Система двух нелинейных уравнений с двумя переменными как модель реальной ситуации

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 16/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.7 «Система двух нелинейных уравнений с двумя переменными как модель реальной ситуации» → 2, 4–20 · опора R03.5 → 3, R03.6 → 6, R03.4 → 12 · теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 11, 13) · практика 31,5 мин, 70 % (сл. 3, 7–10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-15 (текстовые задачи с помощью систем) → 2, 4, 5, 7–10, 12, 15–17, 19 · ПР-16 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 4, 11, 13, 14, 18 · ПР-9 (системы, одно уравнение нелинейное) → 6–10, 15, 16 · кодификатора у курса нет
Вне урока	системы нелинейных уравнений с параметром — ALG9U-057; неравенства с двумя переменными — ALG9U-058
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:система уравненийкак модель

Сегодня вы научитесь

Составлять модель

Решать систему

Отбирать решения

Оформлять как на ОГЭ

Запишите величину через переменные

От ситуации к ответу — четыре шага

Переменные

Модель

Решение

Интерпретация

Как условие переводится в уравнение

Знаем x+y и xy — числа находит теорема Виета

Найдите стороны

Образец

Сам

Найдите числа

Образец

Сам

Скорость и время — две неизвестные

Образец

Сам

Вся работа — 1, за час — x1​ работы

Образец

Сам

Решение системы — ещё не ответ задачи

Обозначьте дроби — система станет линейной

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Минуты вместо часов

Не отобрали решения

Ответ не на тот вопрос

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. 48 км; на 2 км/ч быстрее — на 20 мин меньше. Скорость?

2. Две трубы вместе — за 6 ч, первая одна — на 5 ч быстрее второй

Составьте систему и решите

Модель сложнее — приёмы те же

Текстовая задача с полной записью решения

Огород 600 м² у стены дома, забор по трём сторонам — 70 м

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-056 · Практикум: Система двух нелинейных уравнений с двумя переменными как модель реальной ситуации

Практикум:
система уравнений
как модель

Знаем $x + y$ и $x y$ — числа находит теорема Виета

Вся работа — $1$ , за час — $\frac{1}{x}$ работы

1. $48$ км; на $2$ км/ч быстрее — на $20$ мин меньше. Скорость?

2. Две трубы вместе — за $6$ ч, первая одна — на $5$ ч быстрее второй

Огород $600$ м² у стены дома, забор по трём сторонам — $70$ м