Уравнения и неравенства · урок 15 из 25 · практикум

Практикум:
графический метод
решения систем

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-055

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 15/25, единица R03.6 «Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными». Тип урока — П (практикум). Новый материал — ALG9U-046; прошлый урок ALG9U-054 — практикум по простейшим нелинейным системам (подстановка, сложение); следующий ALG9U-056 — система как модель реальной ситуации.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (графики уравнений) 3 · 5 (алгоритм) 2 · 8 (окружность общего вида) 2 · 11 (точно или приближённо) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 2 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.
Все чертежи построены по вычисленным координатам (масштаб — клетка = 1); точки пересечения проверены решением систем (sympy).

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать графики уравнений

прямая, парабола, гипербола, окружность, «квадрат» $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$ (ПР-17)

Решать систему по графикам

точки пересечения — решения; координаты проверять подстановкой (ПР-9)

Считать число решений

не решая систему, по взаимному расположению графиков (ПР-14)

Двигать график с параметром

при каких значениях параметра решений 0, 1, 2, … (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-10: «Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром» — сегодня только графическая сторона; подробно — ALG9U-057. ПР-17: графики (парабола, гипербола) — опора.
Вид деятельности ФРП: «Строить графики уравнений, в том числе используя цифровые ресурсы… Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными».

разминка · R03.5, R03.6

Разминка · устно

Что за график? Лежит ли точка на нём?

x^{2} + y^{2} = 25

что за линия?

окружность,

R = 5

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

центр и радиус

(2; - 1)

,

R = 3

x y = 6

в каких четвертях?

I и III

y = x^{2} - 4

вершина параболы

(0; - 4)

(3; 4)

на

x^{2} + y^{2} = 25

?

да

(- 2; 3)

на

x y = 6

?

нет

x^{2} + y^{2} = 0

график?

точка

(0; 0)

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1

точки на осях

(\pm 1; 0)

,

(0; \pm 1)

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Окружность с центром (0; 0), R = √25 = 5. 2) Центр (2; −1) — знаки меняются, R = √9 = 3 (не 9!). 3) xy = 6 > 0 — x и y одного знака: I и III четверти. 4) Вершина (0; −4).
5) 9 + 16 = 25 — да. 6) (−2) · 3 = −6 ≠ 6 — нет. 7) Сумма квадратов равна 0 только при x = y = 0 — одна точка. 8) При y = 0: |x| = 1; при x = 0: |y| = 1 — это вершины «квадрата» (сл. 4).
Карточки 2 и 7 — к сл. 8 (окружность общего вида), 5–6 — к проверке подстановкой, 8 — к сл. 10.

R03.6 · опора R01

Сводка · графики уравнений

Уравнение с двумя переменными — линия на плоскости

y = k x + b

прямая

y = a x^{2} + b x + c

парабола

x y = k (y = \frac{k}{x})

гипербола: две ветви

x^{2} + y^{2} = R^{2}

окружность, центр

(0; 0)

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

центр

(a; b)

, радиус

R

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a, a > 0

квадрат, вершины

(\pm a; 0)

,

(0; \pm a)

3 мин · теория
График уравнения с двумя переменными — множество точек (x; y), координаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Окружность: расстояние от (x; y) до центра (a; b) равно R ⇔ √((x − a)² + (y − b)²) = R ⇔ (x − a)² + (y − b)² = R². При R² = 0 — точка, при правой части < 0 — пустое множество.
|x| + |y| = a: в I четверти x + y = a — отрезок от (a; 0) до (0; a); остальные четверти — симметрия относительно осей. Получается квадрат, повёрнутый на 45°, с диагоналями 2a.
Вопрос классу: почему у xy = k две ветви и обе нужно рисовать? (x и y одного знака при k > 0 — I и III четверти.) Пропущенная ветвь = потерянное решение (сл. 13).

R03.6

Сводка · графический метод

Решения системы — общие точки графиков

Постройте график каждого уравнения в одной системе координат
Найдите точки пересечения: число точек = число решений
Прочитайте координаты и проверьте подстановкой в оба уравнения

{x^{2} + y^{2} = 25 y = x + 1

ответ:

(3; 4)

,

(- 4; - 3)

R03.6

Образец → сам · точки по сетке

Решите систему графически

Образец

${x y = 6 x + y = 5$

$y = \frac{6}{x}$ , $y = 5 - x$ гипербола и прямая

$(2; 3)$ , $(3; 2)$ две общие точки

$2 \cdot 3 = 6$ , $2 + 3 = 5$ проверка (и для $(3; 2)$ )

Сам

база ${y = x^{2} y = x + 2$ $(- 1; 1)$ , $(2; 4)$
база ${x^{2} + y^{2} = 10 y = 3 x$ $(1; 3)$ , $(- 1; - 3)$
повыш. ${x y = 6 y = x + 1$ $(2; 3)$ , $(- 3; - 2)$

R03.6 · ПР-14

Образец → сам · число решений

Сколько решений у системы? (не решая её)

Образец

${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} - 3$

окружность $R = 2$ центр $(0; 0)$

вершина $(0; - 3)$ ниже окружности

ветви пересекают окружность дважды каждая — по 2 точки

4 решения

Сам: сколько решений?

база ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} + 3$ 1
база ${x^{2} + y^{2} = 1 y = x^{2} - 2$ 0
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 4 y = ∣ x ∣ - 2$ 3

3 мин · практика
Образец, проверка алгеброй: x² = y + 3, y + 3 + y² = 4 ⇔ y² + y − 1 = 0, y = (−1 ± √5)/2 ≈ 0,62 и −1,62; оба ≥ −3 и |y| < 2, каждому y — два x = ±√(y + 3). Итого 4.
1) Вершина (0; 3) лежит на окружности, парабола уходит вверх (наружу) — 1 решение (0; 3). Алгебра: y² + y − 12 = 0, y = 3 или −4; при y = −4 x² = −7 — нет.
2) Вершина (0; −2) ниже окружности R = 1, ветви расходятся наружу: x² = y + 2, y² + y + 1 = 0, D < 0 — 0 решений.
3) «Уголок» с вершиной (0; −2) на окружности, лучи y = x − 2 и y = −x − 2 пересекают её ещё в (2; 0) и (−2; 0) — 3 решения: (0; −2), (2; 0), (−2; 0).

R03.6

Сводка · окружность общего вида

Выделите полные квадраты — увидите центр и радиус

$x^{2} - 4 x + y^{2} + 2 y = 4$

$(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 2 y + 1) = 4 + 4 + 1$

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ центр $(2; - 1)$ , $R = 3$

С прямой

x = 2

(через центр):

(y + 1)^{2} = 9

, точки

(2; 2)

и

(2; - 4)

Справа

0

— точка; справа число

< 0

— пустое множество

R03.6

Образец → сам · полный квадрат

Сначала узнайте окружность

Образец

${x^{2} + y^{2} - 6 x = 0 y = x$

$(x - 3)^{2} + y^{2} = 9$ центр $(3; 0)$ , $R = 3$

$(0; 0)$ , $(3; 3)$ общие точки с $y = x$

$9 + 9 - 18 = 0$ проверка $(3; 3)$

Сам

базаЦентр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 y = 5$ $(0; - 2)$ , $R = 3$
базаЦентр и радиус: $x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y + 6 = 0$ $(1; - 3)$ , $R = 2$
повыш. ${x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 y = 2$ одно решение $(2; 2)$

R03.6

Образец → сам · модуль

Квадрат $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$ и окружность

Образец

Сколько решений: ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2 x^{2} + y^{2} = 4$

вершины $(\pm 2; 0)$ , $(0; \pm 2)$ квадрат

вершины на окружности $2^{2} + 0^{2} = 4$

стороны — внутри круга квадрат вписан

4 решения

Сам: сколько решений?

база ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2 y = x^{2}$ 2: $(\pm 1; 1)$
повыш. ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2 x^{2} + y^{2} = 1$ 0
повыш. ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2 x^{2} + y^{2} = 2$ 4: $(\pm 1; \pm 1)$

2 мин · практика
Образец: квадрат вписан в окружность R = 2 — общие точки только вершины: (2; 0), (0; 2), (−2; 0), (0; −2).
1) y = x² ≥ 0, значит работаем в I и II четвертях: x + x² = 2 при x ≥ 0 — x = 1; по симметрии (−1; 1). Ответ 2.
2) Расстояние от центра до стороны x + y = 2 равно 2/√2 = √2 ≈ 1,41 > 1 — окружность внутри квадрата, 0 решений.
3) R = √2 равен этому расстоянию — окружность касается каждой стороны в её середине (±1; ±1): 4 решения. Проверено перебором по четвертям (sympy).

R03.6

Сводка · точно или приближённо

Не по сетке — график даёт только прикидку

${y = x^{2} y = x + 1$

по графику: $x \approx - 0, 6$ и $x \approx 1, 6$

$x^{2} - x - 1 = 0, x = \frac{1 \pm 5}{2}$ точно

График — число решений и прикидка; ответ — алгеброй или проверкой подстановкой

R03.6 · ПР-10

Образец → сам · параметр

Двигаем прямую: сколько решений при разных $b$ ?

Образец: ${x^{2} + y^{2} = 8 x + y = b$

$R = 22$ прямые $y = - x + b$ параллельны

$b = \pm 4$ касание в $(2; 2)$ и $(- 2; - 2)$

$∣ b ∣ < 4$ : 2 решения $b = 0$

$∣ b ∣ = 4$ : 1 решение $b = 4$

$∣ b ∣ > 4$ : нет решений $b = 6$

Сам

база $y = x^{2}$ , $y = a$ : число решений при разных $a$ $a > 0$ : 2; $a = 0$ : 1; $a < 0$ : 0
повыш. $x y = 4$ , $x + y = b$ : при каких $b$ одно решение? $b = \pm 4$
повыш. $x^{2} + y^{2} = 4$ , $y = ∣ x ∣ + a$ : при каких $a$ ровно 3 решения? $a = - 2$

3 мин · практика
Образец: точка касания лежит на прямой y = x (перпендикуляр из центра), x² + x² = 8, x = 2 → (2; 2), b = 4; симметрично (−2; −2), b = −4. Алгебра: 2x² − 2bx + b² − 8 = 0, D/4 = b² − 2(b² − 8) = 16 − b²: > 0 при |b| < 4.
1) x² = a: два корня при a > 0, один (x = 0) при a = 0, нет при a < 0.
2) x(b − x) = 4 ⇔ x² − bx + 4 = 0, D = b² − 16 = 0 ⇔ b = ±4 (касание в (2; 2) или (−2; −2)). Проверка: при |b| = 5 — 2 решения, при b = 0 — 0.
3) Вершина «уголка» (0; a). При a = −2 вершина на окружности, лучи пересекают её в (±2; 0) — 3 решения. Граничные значения: a = 2 — 1 решение; −2 < a < 2 — 2; −2√2 < a < −2 — 4; a = −2√2 — 2 (касание); a < −2√2 — 0. Проверено sympy.

R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки графического метода

Потеряли ветвь

${x y = 6 y = x + 1$ : только $(2; 3)$

ещё $(- 3; - 2)$ — на ветви в III четверти

у гиперболы две ветви, у $y = ∣ x ∣$ — два луча

Центр и радиус

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ : центр $(- 2; 1)$ , $R = 9$

центр $(2; - 1)$ , $R = 3$

знаки меняются, справа $R^{2}$

Координаты «на глаз»

${y = x^{2} y = x + 1$ : ответ $(1, 6; 2, 6)$

$x = \frac{1 \pm 5}{2}$ — точно алгеброй

не в узле сетки — проверьте подстановкой

R03.6

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сколько решений?

${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} - 4$

«Вершина $(0; - 4)$ лежит на окружности, парабола касается её — 1 решение»

Ошибка: ветви выходят из круга и пересекают окружность ещё раз

$y^{2} + y - 12 = 0$ : $y = - 4$ или $y = 3$ , $x = \pm 7$ — 3 решения

Задача 2. Решите систему

${x^{2} + y^{2} - 6 y = 0 y = x$

« $x^{2} + (y + 3)^{2} = 9$ , центр $(0; - 3)$ ; ответ $(0; 0)$ , $(- 3; - 3)$ »

Ошибка: $y^{2} - 6 y = (y - 3)^{2} - 9$ , центр $(0; 3)$

Ответ: $(0; 0)$ , $(3; 3)$

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Решите систему графически (проверьте подстановкой)

${y = x^{2} y = 4$ $(\pm 2; 4)$
${x^{2} + y^{2} = 25 y = x - 1$ $(4; 3)$ , $(- 3; - 4)$
${x y = - 6 y = x - 5$ $(2; - 3)$ , $(3; - 2)$

${y = x^{2} - 1 y = 1 - x^{2}$ $(\pm 1; 0)$
${y = ∣ x ∣ y = x^{2} - 2$ $(\pm 2; 2)$
Сколько решений: ${x^{2} + y^{2} = 4 x y = 1$ 4

R03.6 · ПР-10, ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Окружность, модуль, параметр

повыш.Решите: ${x^{2} + y^{2} = 10 x y = 3$ $(1; 3)$ , $(3; 1)$ , $(- 1; - 3)$ , $(- 3; - 1)$
повыш.Решите: ${x^{2} - 4 x + y^{2} = 0 y = x - 4$ $(2; - 2)$ , $(4; 0)$
повыш.Сколько решений: ${∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3 x^{2} + y^{2} = 5$ 8
повыш.При каких $a$ система ${x^{2} + y^{2} = 1 y = x^{2} + a$ имеет ровно одно решение? $a = 1$

2 мин · практика
1) Окружность R = √10 и гипербола xy = 3 симметричны относительно y = x: (x + y)² = 16, x + y = ±4 → (1; 3), (3; 1), (−1; −3), (−3; −1).
2) (x − 2)² + y² = 4; прямая проходит через (4; 0) — точку окружности: 2x² − 12x + 16 = 0 ⇔ x² − 6x + 8 = 0, x = 2, 4.
3) R = √5 ≈ 2,24 больше расстояния до сторон 3/√2 ≈ 2,12 и меньше расстояния до вершин 3 — каждая сторона пересекается дважды: 4 · 2 = 8 точек (1; 2), (2; 1) и симметричные.
4) Вершина (0; a). При a = 1 вершина — верхняя точка окружности, парабола уходит вверх — 1 решение. Граничные: a = −1 — 3 решения; a = −5/4 — 2 (касание); −1 < a < 1 — 2; a > 1 или a < −5/4 — 0. Проверено sympy. Если не успеваете — 3 и 4 в ДЗ.

R03.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график и найдите, при каких $m$ прямая $y = m$ …

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : ровно три общие точки? $m = 3$
ровно две? $m = - 1$ или $m > 3$
$y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$ : ровно одна общая точка? $m \in {- 6, 25; - 4; 6}$

Система

y = f (x)

,

y = m

: решений столько, сколько общих точек

3 мин · практика
1) При x ≥ 0: y = (x − 2)² − 1, при x < 0 — симметрично (график чётной функции, «буква W»). Вершины (±2; −1), точка (0; 3). m = 3: x = 0, ±4 — три точки. m = −1: x = ±2 — две; m > 3 — две; −1 < m < 3 — четыре; m < −1 — ни одной.
2) x⁴ − 13x² + 36 = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3), y = (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6 при x ≠ 3, x ≠ −2. Выколотые точки (3; 6) и (−2; −4), вершина (−0,5; −6,25). Одна общая точка: m = −6,25 (вершина), m = −4 (вторая точка x = 1), m = 6 (вторая точка x = −4).
На ОГЭ задание 22 — 2 балла: нужен верный график (с выколотыми точками) и ответ. Типичная потеря — забыть, что прямая через выколотую точку теряет одно пересечение.

R03.6 · R03.7

Задача из жизни

Вышка в $(0; 0)$ ловит на $5$ км, дорога $x + y = 7$

практикаВ каких точках машина входит в зону связи и выходит из неё? $(3; 4)$ и $(4; 3)$
практикаСколько километров дороги в зоне связи? $2 \approx 1, 4$ км
повыш.При каком радиусе дорога только касается зоны? $\frac{7 2}{2} \approx 4, 95$ км

R03.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаРешите графически: $y = x^{2}$ , $y = x + 2$ $(- 1; 1)$ , $(2; 4)$
базаРешите: $x y = 8$ , $y = x + 2$ $(2; 4)$ , $(- 4; - 2)$
базаСколько решений: $x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$ ? 3
повыш.При каких $b$ система $x^{2} + y^{2} = 2$ , $x + y = b$ имеет одно решение? $b = \pm 2$

Вариант 2

базаРешите графически: $y = x^{2}$ , $y = 6 - x$ $(2; 4)$ , $(- 3; 9)$
базаРешите: $x y = - 3$ , $y = x - 4$ $(1; - 3)$ , $(3; - 1)$
базаСколько решений: $x^{2} + y^{2} = 4$ , $y = x^{2} - 2$ ? 3
повыш.При каких $b$ система $x^{2} + y^{2} = 8$ , $x - y = b$ имеет одно решение? $b = \pm 4$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x² − x − 2 = 0: x = −1, 2. 2) x(x + 2) = 8 ⇔ x² + 2x − 8 = 0: x = 2, −4. 3) x² = y + 3: y² + y − 6 = 0, y = 2 (x = ±√5) или y = −3 (x = 0) — 3. 4) Расстояние |b|/√2 = √2 ⇔ |b| = 2 (касание в (1; 1) или (−1; −1)).
В-2. 1) x² + x − 6 = 0: x = 2, −3. 2) x(x − 4) = −3 ⇔ x² − 4x + 3 = 0: x = 1, 3. 3) x² = y + 2: y² + y − 2 = 0, y = 1 (x = ±√3) или y = −2 (x = 0) — 3. 4) |b|/√2 = 2√2 ⇔ |b| = 4 (касание в (2; −2) или (−2; 2)).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены sympy.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что даёт график системы, а что — только алгебра?
Как найти центр и радиус окружности $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ ?
Как меняется число решений, когда двигаем прямую?

Домашнее задание

Решите: $x^{2} + y^{2} = 13$ , $x y = 6$
Решите: $y = ∣ x ∣ + 1$ , $x^{2} + y^{2} = 25$
При каких $a$ система $x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} + a$ имеет ровно 3 решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-055 · Практикум: Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 15/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.6 «Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R03.5 → 3 · мостик к R03.7 → 18 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-9 (системы, одно уравнение нелинейное) → 5, 6, 9, 15, 19 · ПР-14 (исследование, сколько решений, графические представления) → 7, 10, 15, 16, 19 · ПР-10 (несложные системы с параметром) → 12, 16, 17, 19 · ПР-17 (графики) → 3, 4, 8 · кодификатора у курса нет
Вне урока	система как модель реальной ситуации — ALG9U-056; системы с параметром подробно — ALG9U-057; неравенства с двумя переменными — ALG9U-058
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:графический методрешения систем

Сегодня вы научитесь

Узнавать графики уравнений

Решать систему по графикам

Считать число решений

Двигать график с параметром

Что за график? Лежит ли точка на нём?

Уравнение с двумя переменными — линия на плоскости

Решения системы — общие точки графиков

Решите систему графически

Образец

Сам

Сколько решений у системы? (не решая её)

Образец

Сам: сколько решений?

Выделите полные квадраты — увидите центр и радиус

Сначала узнайте окружность

Образец

Сам

Квадрат ∣x∣+∣y∣=a и окружность

Образец

Сам: сколько решений?

Не по сетке — график даёт только прикидку

Двигаем прямую: сколько решений при разных b?

Образец: {x2+y2=8x+y=b​

Сам

Три ошибки графического метода

Потеряли ветвь

Центр и радиус

Координаты «на глаз»

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сколько решений?

Задача 2. Решите систему

Решите систему графически (проверьте подстановкой)

Окружность, модуль, параметр

Постройте график и найдите, при каких m прямая y=m…

Вышка в (0;0) ловит на 5 км, дорога x+y=7

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-055 · Практикум: Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Практикум:
графический метод
решения систем

Квадрат $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$ и окружность

Двигаем прямую: сколько решений при разных $b$ ?

Образец: ${x^{2} + y^{2} = 8 x + y = b$

Постройте график и найдите, при каких $m$ прямая $y = m$ …

Вышка в $(0; 0)$ ловит на $5$ км, дорога $x + y = 7$