Уравнения и неравенства · урок 14 из 25 · практикум

Практикум:
простейшие системы
нелинейных уравнений

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-054

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 14/25, единица R03.5 «Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными». Тип урока — П (практикум). Прошлый урок ALG9U-053 — системы уравнений с двумя переменными (подстановка и сложение); следующий ALG9U-055 — графический метод решения систем.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (что значит решить систему) 2 · 5 (выбор способа) 2 · 8 (разложение на множители) 2 · 10 (симметричные системы) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать способ

подстановка, сложение, разложение на множители, замена (ПР-9)

Не терять решения

записывать ответ парами $(x; y)$ и проверять каждую ветку (ПР-9)

Решать симметричные системы

через $u = x + y$ , $v = x y$ и теорему Виета (ПР-6, ПР-9)

Оформлять задачу ОГЭ

полное решение системы (линия 20) и модель из жизни (ПР-15)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-6: «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать простейшие системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными». Графическую интерпретацию показываем только как иллюстрацию — метод целиком на ALG9U-055.

разминка · R03.4

Разминка · устно

Подстановка, Виета, формулы

(2; 1)

решение

x^{2} + y^{2} = 5

?

да

2 x + y = 5

выразите

y

y = 5 - 2 x

x y = 6, x = - 2

y = ?

- 3

x^{2} - 4 y^{2}

разложите

(x - 2 y) (x + 2 y)

x + y = 5, x y = 6

x^{2} + y^{2} = ?

13

сумма

7

, произв.

12

что за числа?

3

и

4

t^{2} - 5 t + 6 = 0

корни

2; 3

x^{2} = 9, y^{2} = 4

сколько пар

(x; y)

?

4

R03.5

Сводка · решение системы

Решение системы — пара $(x; y)$ , верная в обоих уравнениях

{x^{2} + y^{2} = 25 x + y = 7

Ответ:

(3; 4), (4; 3)

— две пары, а не «

x = 3, y = 4

»

Нелинейная система может иметь

0, 1, 2, 3, 4

и более решений

2 мин · теория
Решить систему — найти все пары (x; y), удовлетворяющие обоим уравнениям, или доказать, что их нет. На плоскости это общие точки графиков: окружности x² + y² = 25 (центр O, радиус 5) и прямой x + y = 7. Чертёж точный: 30 px на единицу.
Сегодня решаем аналитически; графический метод — следующий урок (ALG9U-055). Картинка нужна, чтобы понимать, почему решений может быть несколько.
Вопрос классу: сколько общих точек может быть у окружности и прямой? (0, 1, 2.) У окружности и параболы? (до 4.)

R03.5

Схема · выбор способа

Сначала посмотрите на уравнения

Признак	Способ	Пример
одно уравнение линейное	подстановка: выразить $x$ или $y$	$x + y = 7,$ $x^{2} + y^{2} = 25$
одинаковые «блоки» $x^{2}, y^{2}$	сложение / вычитание уравнений	$x^{2} + y^{2} = 13,$ $x^{2} - y^{2} = 5$
одно уравнение $= 0$ раскладывается	разложение: система распадается на две	$x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0,$ $x y = 8$
не меняется при $x \leftrightarrow y$	замена $u = x + y, v = x y$	$x + y + x y = 11,$ $x^{2} y + x y^{2} = 30$
повторяется выражение	замена этого выражения	$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}$

R03.5

Образец → сам · подстановка

Решите систему

Образец

${x + y = 7 x^{2} + y^{2} = 25$

$y = 7 - x$ из линейного

$x^{2} + (7 - x)^{2} = 25$ подстановка

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ : $x = 3; 4$ Виета

$(3; 4), (4; 3)$ $y = 7 - x$ для каждого

Сам

база $x - y = 1, x y = 6$ $(3; 2), (- 2; - 3)$
база $y = x^{2} - 3, x + y = 3$ $(2; 1), (- 3; 6)$
повыш. $2 x + y = 5, x^{2} - x y = - 2$ $(1; 3), (\frac{2}{3}; \frac{11}{3})$

R03.5

Образец → сам · сложение и вычитание

Сложите или вычтите уравнения

Образец

${x^{2} + y^{2} = 13 x^{2} - y^{2} = 5$

$2 x^{2} = 18, x^{2} = 9$ сложили

$2 y^{2} = 8, y^{2} = 4$ вычли

$x = \pm 3, y = \pm 2$ любое сочетание

$(3; 2), (3; - 2), (- 3; 2), (- 3; - 2)$

Сам

база $x^{2} + y^{2} = 10, x^{2} - y^{2} = 8$ $(\pm 3; \pm 1)$ — 4 пары
база $x^{2} + y = 5, x^{2} - 2 y = - 1$ $(\pm 3; 2)$
повыш. $x^{2} + x y = 12, y^{2} + x y = 4$ $(3; 1), (- 3; - 1)$

R03.5

Сводка · разложение на множители

Произведение равно нулю — система распадается на две

x^{2} - x y - 2 y^{2} = (x - 2 y) (x + y)

Однородное: все слагаемые второй степени — делим на

y^{2}

или раскладываем как трёхчлен относительно

x

Решаем каждую систему и объединяем ответы; ветка без решений — нормально

R03.5

Образец → сам · разложение на множители

Разложите — и решите две системы

Образец

${x y = 3 x x^{2} + y^{2} = 25$

$x (y - 3) = 0$ не делим на $x$ !

$x = 0$ : $y^{2} = 25$ , $(0; \pm 5)$ ветка 1

$y = 3$ : $x^{2} = 16$ , $(\pm 4; 3)$ ветка 2

Ответ: $4$ пары объединили

Сам

база $(x - 1) (y + 2) = 0, x^{2} + y^{2} = 5$ $(1; 2), (1; - 2), (- 1; - 2)$
база $x^{2} - 4 y^{2} = 0, x + y = 3$ $(2; 1), (6; - 3)$
повыш. $x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0, x - y = 4$ $(8; 4), (6; 2)$

R03.5

Сводка · симметричные системы

Не меняется при замене $x \leftrightarrow y$ — вводим $u$ и $v$

u = x + y, v = x y

Выражаем через $u$ и $v$

$x^{2} + y^{2} = u^{2} - 2 v$

$x^{3} + y^{3} = u^{3} - 3 uv$

$x^{2} y + x y^{2} = uv, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{u}{v}$

Обратный ход — Виета

$x$ и $y$ — корни уравнения

$t^{2} - u t + v = 0$

Нашли

x = 2, y = 3

— в ответе и

(2; 3)

, и

(3; 2)

. Если

D < 0

— эта пара

(u; v)

решений не даёт

R03.5

Образец → сам · симметричная система

Замена $u = x + y, v = x y$

Образец

${x + y + x y = 11 x^{2} y + x y^{2} = 30$

$u + v = 11, uv = 30$ замена

$(u; v) = (5; 6)$ или $(6; 5)$ Виета

$t^{2} - 5 t + 6$ : $(2; 3), (3; 2)$ $u = 5$

$t^{2} - 6 t + 5$ : $(1; 5), (5; 1)$ $u = 6$

Сам

база $x + y = 5, x y = 6$ $(2; 3), (3; 2)$
база $x^{2} + y^{2} = 10, x y = 3$ $(1; 3), (3; 1), (- 1; - 3), (- 3; - 1)$
повыш. $x^{3} + y^{3} = 9, x + y = 3$ $(1; 2), (2; 1)$

R03.5

Образец → сам · замена выражения

Повторяется выражение — заменяем его

Образец

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x^{2} - y^{2} = 3$

$t = \frac{x}{y}$ : $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ , $t = 2; \frac{1}{2}$ $x, y \neq = 0$

$x = 2 y$ : $3 y^{2} = 3$ , $(2; 1), (- 2; - 1)$

$y = 2 x$ : $- 3 x^{2} = 3$ — нет решений

Сам

база $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}, x y = 8$ $(2; 4), (4; 2)$
повыш. $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3}, x + y = 8$ $(6; 2), (2; 6)$
повыш. $(x + y)^{2} - 4 (x + y) = 5,$ $x - y = 1$ $(3; 2), (0; - 1)$

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, из-за которых теряют решения

Деление на переменную

$x y = 3 x \Rightarrow y = 3$

$x (y - 3) = 0$ : ещё $x = 0$

делить можно только на то, что заведомо $\neq = 0$

Знаки не перебрали

$x^{2} = 9, y^{2} = 4$ : $(3; 2), (- 3; - 2)$

ещё $(3; - 2), (- 3; 2)$

знаки $x$ и $y$ независимы

Симметрия забыта

$x + y = 7, x y = 12$ : $(3; 4)$

и $(4; 3)$

$x$ и $y$ можно поменять местами

R03.5

Найди ошибку

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Задача 1. $x^{2} + y^{2} = 17, x + y = 5$

$y = 5 - x, 2 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , $x = 1$ или $x = 4$

Ответ: $(1; 4)$

Ошибка: для $x = 4$ пару не нашли: $y = 1$

Ответ: $(1; 4), (4; 1)$

Задача 2. $x^{2} - y^{2} = 16, x - y = 2$

$(x - y) (x + y) = 16$

$x + y = 16 - 2 = 14$

$x = 8, y = 6$

Ошибка: $2 (x + y) = 16$ — делить, а не вычитать

$x + y = 8$ : ответ $(5; 3)$

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите систему (выберите способ)

$x + y = 6, x y = 8$ $(2; 4), (4; 2)$
$y = x^{2}, y = 2 x + 3$ $(3; 9), (- 1; 1)$
$x - y = 2, x^{2} + y^{2} = 10$ $(3; 1), (- 1; - 3)$

$x^{2} + y^{2} = 5, x^{2} - y^{2} = 3$ $(\pm 2; \pm 1)$
$x y = - 6, x + y = 1$ $(3; - 2), (- 2; 3)$
$x^{2} + y = 7, x - y = - 1$ $(2; 3), (- 3; - 2)$

R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена, разложение, симметрия

повыш. $x^{2} + x y + y^{2} = 7, x + y = 3$ $(1; 2), (2; 1)$
повыш. $x^{2} - 4 x y + 3 y^{2} = 0, x + y = 4$ $(2; 2), (3; 1)$
повыш. $x^{2} + y^{2} = 25, x y = 12$ $(\pm 3; \pm 4), (\pm 4; \pm 3)$ , знаки одинаковые
повыш. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, x + y = 9$ $(3; 6), (6; 3)$
повыш. $x^{3} - y^{3} = 7, x - y = 1$ $(2; 1), (- 1; - 2)$

R03.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему уравнений

${4 x^{2} + y = 9 8 x^{2} - y = 3$ $(- 1; 5), (1; 5)$
$⎩ ⎨ ⎧ (x - 6) (y - 7) = 0 \frac{y - 4}{x + y - 10} = 2$ $(4, 5; 7)$
${2 x^{2} + 3 y^{2} = 11 4 x^{2} + 6 y^{2} = 11 x$ $(2; 1), (2; - 1)$

1: сложите уравнения

2: две ветки и ОДЗ

x + y \neq = 10

3: второе

= 2 \cdot

первое

R03.5 · опора R03.7

Задача из жизни

Участок-прямоугольник: площадь $60$ м², диагональ $13$ м

практикаСоставьте систему для сторон $x$ и $y$ $x y = 60, x^{2} + y^{2} = 169$
практикаНайдите стороны участка $12$ м и $5$ м
практикаСколько метров забора нужно? $34$ м

R03.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x + y = 7, x y = 10$ $(2; 5), (5; 2)$
база $y = x^{2} - 2, y = x$ $(2; 2), (- 1; - 1)$
база $x^{2} + y^{2} = 20, x^{2} - y^{2} = 12$ $(\pm 4; \pm 2)$ — 4 пары
повыш. $x^{2} - x y - 6 y^{2} = 0, x + y = 6$ $(4, 5; 1, 5), (12; - 6)$

Вариант 2

база $x - y = 3, x y = 10$ $(5; 2), (- 2; - 5)$
база $y = x^{2} + 1, y = x + 3$ $(2; 5), (- 1; 2)$
база $x^{2} + y^{2} = 34, x^{2} - y^{2} = 16$ $(\pm 5; \pm 3)$ — 4 пары
повыш. $x^{2} + x y - 2 y^{2} = 0, x - y = 3$ $(2; - 1)$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) t² − 7t + 10 = 0: 2 и 5. 2) x² − x − 2 = 0: x = 2, −1; y = x. 3) x² = 16, y² = 4. 4) (x − 3y)(x + 2y) = 0: x = 3y ⇒ 4y = 6, y = 1,5, x = 4,5; x = −2y ⇒ −y = 6, y = −6, x = 12.
В-2. 1) x = y + 3: y² + 3y − 10 = 0, y = 2 или −5 ⇒ (5; 2), (−2; −5). 2) x² − x − 2 = 0: (2; 5), (−1; 2). 3) x² = 25, y² = 9. 4) (x − y)(x + 2y) = 0: x = y даёт 0 = 3 — нет решений; x = −2y ⇒ −3y = 3, y = −1, x = 2.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Ответ не парами или потерянная пара — задание не засчитывается.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой способ, если одно уравнение линейное?
Почему нельзя делить на $x$ в $x y = 3 x$ ?
Как по $u = x + y$ , $v = x y$ найти $x$ и $y$ ?

Домашнее задание

$x^{2} + y^{2} = 13, x y = 6$
$x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} = 10$
$x + y = 5, x^{3} + y^{3} = 35$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-054 · Практикум: Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 14/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.5 «Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными» → 2, 4–20 · опора R03.4 → 3 · применение R03.7 → 18 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-9 (системы, в которых одно уравнение не линейное) → 2, 4–20 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 6, 10–12, 17 · ПР-15 (текстовые задачи с помощью систем) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	графический метод — ALG9U-055; системы как модель реальной ситуации — ALG9U-056; системы с параметром — R03.8, следующие уроки
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:простейшие системынелинейных уравнений

Сегодня вы научитесь

Выбирать способ

Не терять решения

Решать симметричные системы

Оформлять задачу ОГЭ

Подстановка, Виета, формулы

Решение системы — пара (x; y), верная в обоих уравнениях

Сначала посмотрите на уравнения

Решите систему

Образец

Сам

Сложите или вычтите уравнения

Образец

Сам

Произведение равно нулю — система распадается на две

Разложите — и решите две системы

Образец

Сам

Не меняется при замене x↔y — вводим u и v

Выражаем через u и v

Обратный ход — Виета

Замена u=x+y, v=xy

Образец

Сам

Повторяется выражение — заменяем его

Образец

Сам

Три ошибки, из-за которых теряют решения

Деление на переменную

Знаки не перебрали

Симметрия забыта

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Задача 1. x2+y2=17, x+y=5

Задача 2. x2−y2=16, x−y=2

Решите систему (выберите способ)

Замена, разложение, симметрия

Решите систему уравнений

Участок-прямоугольник: площадь 60 м², диагональ 13 м

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-054 · Практикум: Решение простейших систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Практикум:
простейшие системы
нелинейных уравнений

Решение системы — пара $(x; y)$ , верная в обоих уравнениях

Не меняется при замене $x \leftrightarrow y$ — вводим $u$ и $v$

Выражаем через $u$ и $v$

Замена $u = x + y, v = x y$

Задача 1. $x^{2} + y^{2} = 17, x + y = 5$

Задача 2. $x^{2} - y^{2} = 16, x - y = 2$

Участок-прямоугольник: площадь $60$ м², диагональ $13$ м