Уравнения и неравенства · урок 13 из 25 · практикум

Практикум:
системы уравнений
с двумя переменными

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-053

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 13/25, единица R03.4 «Решение систем уравнений с двумя переменными». Тип урока — П (практикум). Новый материал по единице — ALG9U-044; прошлый урок ALG9U-052 — практикум по дробно-рациональным уравнениям и неравенствам; следующий ALG9U-054 — практикум по простейшим системам нелинейных уравнений.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: выбор способа) 3 · 7 (сводка: замена переменных) 2 · 10 (число решений и параметр) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Отличие от урока 044: там способы вводились на простых системах; здесь — дробные коэффициенты, замена с выражениями $\frac{1}{x \pm y}$ , $\frac{1}{x - 1}$ , системы с кубами, исследование с проверкой отношения свободных членов, системы формата ОГЭ.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать способ

подстановка, сложение, упрощение — по виду системы (ПР-9)

Применять замену

повторяющиеся выражения $\frac{1}{x + y}$ , $\frac{1}{x - y}$ — новые переменные (ПР-9, ПР-13)

Исследовать систему

число решений по коэффициентам, параметр (ПР-10, ПР-14)

Оформлять как на ОГЭ

линия 20 и задача-модель — полная запись решения (ПР-15, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-10: «Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром» — здесь только линейная система с параметром. ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-15, ПР-16 — текстовые задачи и модели.
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать простейшие системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными. Приводить графическую интерпретацию решения… систем уравнений с двумя переменными. Решать текстовые задачи алгебраическим способом».

разминка · R03.3, R03.4

Разминка · устно

То, что сегодня понадобится

{x + y = 1 x - y = 3

(2; - 1)

— решение?

да

3 x - y = 5

выразите

y

y = 3 x - 5

{x + y = 7 x - y = 3

найдите

x

5

\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1

умножьте на

6

2 x - 3 y = 6

\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x}

ОДЗ

x \neq = 0, x \neq = 2

\frac{1}{x} = 0, 2

найдите

x

5

{y = 2 x + 1 y = 2 x - 3

сколько решений?

нет

x + y = 5, x y = 6

x

и

y

= ?

2

и

3

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) 2 + (−1) = 1, 2 − (−1) = 3 — да. 2) y = 3x − 5. 3) Сложим: 2x = 10, x = 5 (y = 2). 4) 6 · x/3 = 2x, 6 · y/2 = 3y, 6 · 1 = 6: 2x − 3y = 6 (правую часть тоже умножаем!).
5) Знаменатели ≠ 0: x ≠ 2, x ≠ 0 (прошлый урок, R03.3). 6) x = 1/0,2 = 5. 7) Угловые коэффициенты равны (2 и 2), свободные члены разные — прямые параллельны, решений нет. 8) По Виета: 2 и 3 (или 3 и 2 — две пары!).
Карточки 2, 3 — к подстановке и сложению (сл. 5); 4 — к упрощению (сл. 6); 5, 6 — к замене (сл. 7–8); 7 — к числу решений (сл. 10); 8 — к нелинейным системам (сл. 9).

R03.4

Сводка · выбор способа

Посмотрите на систему — и выберите способ

Признак	Способ	Пример
коэффициент $\pm 1$ при переменной	подстановка: выразить и подставить	$3 x - y = 7$ $y = 3 x - 7$
коэффициенты легко уравнять	сложение: умножить уравнения на числа	$5 x - 3 y = 19 ∣ \cdot 2$ $3 x + 2 y = 0 ∣ \cdot 3$
дроби, скобки	сначала упростить: общий знаменатель, раскрыть скобки	$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = - 1 ∣ \cdot 6$
повторяются выражения	замена переменных	$u = \frac{1}{x + y},$ $v = \frac{1}{x - y}$
одно уравнение нелинейное	подстановка из линейного	$y = 2 x - 1$ в $x^{2} - x y + y^{2} = 7$

3 мин · теория
Сводка способов урока ALG9U-044. Решение системы — пара чисел (x; y), обращающая каждое уравнение в верное равенство; ответ записываем парами, проверка — подстановкой в оба уравнения.
Любой способ даёт один и тот же ответ (преобразования равносильные); выбор способа экономит время и уменьшает число вычислительных ошибок.
Строки 2–5 — темы образцов: сложение (сл. 5), упрощение (сл. 6), замена (сл. 7–8), нелинейное уравнение (сл. 9).
Вопрос классу: какой способ для системы x + y = 8, x − y = 2? (Сложение: 2x = 10 — устно.)

R03.4

Образец → сам · способ сложения

Уравняйте коэффициенты и сложите

Образец

${5 x - 3 y = 19 3 x + 2 y = 0$

$10 x - 6 y = 38, 9 x + 6 y = 0$ $\cdot 2$ и $\cdot 3$

$19 x = 38, x = 2$ сложили

$6 + 2 y = 0, y = - 3$ во второе

$(2; - 3)$ проверка: $10 + 9 = 19$

Сам

база ${3 x + 5 y = 1 2 x - 3 y = 7$ $(2; - 1)$
база ${4 x + 3 y = 1 6 x - 5 y = 30$ $(2, 5; - 3)$
повыш. ${0, 2 x + 0, 3 y = 1, 2 0, 5 x - 0, 4 y = 0, 7$ $(3; 2)$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски (учитель), затем 2 мин самостоятельно в тетради. Коэффициенты при y: −3 и 2, НОК = 6, знаки разные — складываем.
1) ·2 и ·3: 6x + 10y = 2, 6x − 9y = 21; вычтем: 19y = −19, y = −1; 3x = 1 + 5 = 6, x = 2. Проверка: 4 + 3 = 7 ✓.
2) ·3 и ·2: 12x + 9y = 3, 12x − 10y = 60; вычтем: 19y = −57, y = −3; 4x = 1 + 9 = 10, x = 2,5. Проверка: 15 + 15 = 30 ✓.
3) ·10: 2x + 3y = 12, 5x − 4y = 7; ·4 и ·3: 8x + 12y = 48, 15x − 12y = 21; 23x = 69, x = 3, y = 2. Проверка: 0,6 + 0,6 = 1,2 ✓; 1,5 − 0,8 = 0,7 ✓.
Ошибка: умножают левую часть, а правую забывают (см. сл. 12).

R03.4

Образец → сам · сначала упростить

Дроби и скобки — к виду $a x + b y = c$

Образец

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = - 1 2 (x + y) - 3 (x - y) = 17$

$2 x - 3 y = - 6$ $\cdot 6$

$- x + 5 y = 17$ раскрыли скобки

$x = 5 y - 17, 7 y = 28$ подстановка

$y = 4, x = 3$ ; $(3; 4)$ проверка: $1 - 2 = - 1$

Сам

база $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 4 x - y = 1$ $(6; 5)$
база ${3 (x - 1) = 2 (y + 3) 4 x - 5 (y - 1) = 10$ $(5; 3)$
повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x - y}{3} + \frac{x + y}{2} = 5 \frac{x + 2 y}{4} - \frac{x - y}{2} = 1$ $(4; 2)$

R03.4

Сводка · замена переменных

Повторяющиеся выражения — новые переменные

⎩ ⎨ ⎧ \frac{6}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 3 \frac{12}{x + y} - \frac{2}{x - y} = 1

1. ОДЗ: $x + y \neq = 0, x - y \neq = 0$

2. Замена: $u = \frac{1}{x + y}, v = \frac{1}{x - y}$

3. Линейная система по $u, v$ — сложением

4. Обратно: $x + y = \frac{1}{u}, x - y = \frac{1}{v}$

2 мин · теория
Новые переменные выбираем так, чтобы система стала линейной: 6u + 4v = 3, 12u − 2v = 1. Решение по u, v — ещё не ответ: по ним находим x + y и x − y, затем x и y (снова простая линейная система).
Замена u = 1/(x + y) возможна только при x + y ≠ 0, поэтому ОДЗ — первый шаг. Значения u = 0 или v = 0 не дают x и y — такие решения отбрасываем.
Вопрос классу: какую замену выбрать в системе (x + y)/2 − (x − y)/3 = 6, (x + y)/4 + (x − y)/6 = 1? (u = x + y, v = x − y.) Эту систему решаем на сл. 8.

R03.4

Образец → сам · замена переменных

Решите систему с помощью замены

Образец (система сл. 7)

$6 u + 4 v = 3, 12 u - 2 v = 1$ замена

$30 u = 5$ : $u = \frac{1}{6}, v = \frac{1}{2}$ $\cdot 2$ , сложили

$x + y = 6, x - y = 2$ обратно

$(4; 2)$ ОДЗ: $6 \neq = 0, 2 \neq = 0$

Сам

база $⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \frac{6}{x} - \frac{2}{y} = 1$ $(3; 2)$
база $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{y + 2} = 2 \frac{4}{x - 1} - \frac{3}{y + 2} = 1$ $(3; 1)$
повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{10}{x + 2 y} - \frac{5}{2 x - y} = 1 \frac{5}{x + 2 y} + \frac{10}{2 x - y} = 3$ $(3; 1)$

3 мин · практика
Образец: второе уравнение ·2: 24u − 4v = 2; сложим с первым: 30u = 5, u = 1/6; 4v = 3 − 1 = 2, v = 1/2. x + y = 6, x − y = 2 ⇒ x = 4, y = 2. Проверка: 1 + 2 = 3 ✓; 2 − 1 = 1 ✓.
1) u = 1/x, v = 1/y: 3u + 2v = 2, 6u − 2v = 1; 9u = 3, u = 1/3, x = 3; 2v = 2 − 1 = 1, v = 1/2, y = 2. Проверка: 1 + 1 = 2 ✓; 2 − 1 = 1 ✓.
2) u = 1/(x − 1), v = 1/(y + 2): 6u = 3, u = 1/2 ⇒ x − 1 = 2, x = 3; 3v = 2 − 1 = 1, v = 1/3 ⇒ y + 2 = 3, y = 1. ОДЗ: x ≠ 1, y ≠ −2 ✓.
3) u = 1/(x + 2y), v = 1/(2x − y): 10u − 5v = 1, 5u + 10v = 3; первое ·2 и сложить: 25u = 5, u = 1/5; v = (10 · 1/5 − 1)/5 = 1/5. x + 2y = 5, 2x − y = 5 ⇒ x = 3, y = 1. Проверка: 2 − 1 = 1 ✓; 1 + 2 = 3 ✓.
Если время есть — устно систему из вопроса к сл. 7: u = x + y, v = x − y: 3u − 2v = 36, 3u + 2v = 12 ⇒ u = 8, v = −6 ⇒ x = 1, y = 7.

R03.4 · опора R03.5

Образец → сам · одно уравнение нелинейное

Выразите из линейного — подставьте в нелинейное

Образец

${2 x - y = 1 x^{2} - x y + y^{2} = 7$

$y = 2 x - 1$ из линейного

$3 x^{2} - 3 x + 1 = 7$ подставили

$x^{2} - x - 2 = 0$ : $x = 2$ или $x = - 1$ Виета

$(2; 3), (- 1; - 3)$ $y = 2 x - 1$

Сам

база ${x - y = 3 x y = 10$ $(5; 2), (- 2; - 5)$
база ${x + 2 y = 5 x^{2} + 2 y^{2} = 11$ $(3; 1), (\frac{1}{3}; \frac{7}{3})$
повыш. ${x + y = 4 x^{3} + y^{3} = 28$ $(1; 3), (3; 1)$

3 мин · практика
Образец: x² − x(2x − 1) + (2x − 1)² = x² − 2x² + x + 4x² − 4x + 1 = 3x² − 3x + 1 = 7 ⇒ x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1. Проверка: 4 − 6 + 9 = 7 ✓; 1 − 3 + 9 = 7 ✓.
1) x = y + 3: y² + 3y − 10 = 0, y = 2 или y = −5 ⇒ (5; 2), (−2; −5).
2) x = 5 − 2y: 25 − 20y + 6y² = 11 ⇒ 3y² − 10y + 7 = 0 (a + b + c = 0): y = 1 или y = 7/3 ⇒ (3; 1), (1/3; 7/3). Проверка: 1/9 + 2 · 49/9 = 99/9 = 11 ✓.
3) x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 64 − 12xy = 28 ⇒ xy = 3; x, y — корни t² − 4t + 3 = 0: (1; 3), (3; 1). Подстановкой y = 4 − x тоже выходит: 12x² − 48x + 64 = 28.
Главная ошибка: найти x и забыть y или записать одну пару из двух (сл. 13). Подробно нелинейные системы — на уроке 054.

R03.4 · ПР-14

Сводка · число решений

Система $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ — это две прямые

Параметр: из

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}}

найдите его, затем подставьте каждое значение и сравните

\frac{c _{1}}{c _{2}}

. Нуль в знаменателе — проверьте систему отдельно.

3 мин · теория
Каждое уравнение (a и b не равны нулю одновременно) задаёт прямую; решение системы — общая точка прямых. Пересекаются — одна точка; параллельны — общих точек нет; совпадают — все точки общие.
Равенство a₁/a₂ = b₁/b₂ (то же: a₁b₂ = a₂b₁) означает одинаковый наклон. Тогда прямые параллельны или совпадают — решает отношение свободных членов.
Демонстрация учителя: x + ay = 2, ax + 4y = 4. 1/a = a/4 ⇒ a = ±2. При a = 2: x + 2y = 2 и 2x + 4y = 4 — одно и то же уравнение, бесконечно много решений. При a = −2: x − 2y = 2 и x − 2y = −2 — нет решений. Вывод: одного равенства a² = 4 мало, нужна проверка (ошибка на сл. 12).
Если коэффициент обращается в 0 (например, a = 0 во втором уравнении), отношение не определено — подставляем значение и решаем систему: при a = 0 — x = 2, y = 1, одно решение.

R03.4 · ПР-10, ПР-14

Образец → сам · параметр

Исследуйте систему, не решая её

Образец

При каких $a$ система ${2 x + a y = 4 a x + 8 y = a + 6$ не имеет решений?

$\frac{2}{a} = \frac{a}{8}$ : $a^{2} = 16, a = \pm 4$ наклоны равны

$a = 4$ : $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq = \frac{4}{10}$ нет решений

$a = - 4$ : $- \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \neq = 2$ нет решений

Ответ: $a = \pm 4$

Сам

базаПри каком $b$ система ${x + 3 y = 5 2 x + b y = 7$ не имеет решений? $b = 6$
повыш.При каких $k$ и $c$ у системы ${k x + 2 y = 3 3 x + 6 y = c$ бесконечно много решений? $k = 1, c = 9$
повыш.При каких $a$ у системы ${a x + y = 2 x + a y = 2$ ровно одно решение? $a \neq = \pm 1$

3 мин · практика
Образец: a = 4: 2x + 4y = 4 и 4x + 8y = 10, т. е. x + 2y = 2 и x + 2y = 2,5 — параллельны. a = −4: 2x − 4y = 4 и −4x + 8y = 2, т. е. x − 2y = 2 и x − 2y = −0,5 — параллельны. При a = 0 система 2x = 4, 8y = 6 имеет одно решение — в ответ не входит. Проверено решением систем в python.
1) 1/2 = 3/b ⇒ b = 6; 5/7 ≠ 1/2 ⇒ нет решений. Ответ b = 6.
2) k/3 = 2/6 ⇒ k = 1; 3/c = 1/3 ⇒ c = 9 (второе уравнение — первое, умноженное на 3).
3) Одно решение ⇔ a/1 ≠ 1/a ⇔ a² ≠ 1. Граничные значения: a = 1 — x + y = 2 дважды, бесконечно много; a = −1 — y − x = 2 и x − y = 2, нет решений. Ответ: a ≠ ±1 (при a = 0 — x = 2, y = 2, одно решение ✓).

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили только левую часть

$2 x + 3 y = 8 ∣ \cdot 2$ : $4 x + 6 y = 8$

$4 x + 6 y = 16$

на число умножаем обе части уравнения

Замена — не до конца

$u = \frac{1}{x} = \frac{1}{2}, v = \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ ; ответ $(\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

$x = 2, y = 3$ : ответ $(2; 3)$

$u, v$ — вспомогательные, ответ — в $x, y$

Параметр без проверки

${x + a y = 2 a x + 4 y = 4$ нет решений при $a = \pm 2$

только $a = - 2$

при $a = 2$ уравнения совпадают — решений бесконечно много

2 мин · теория
1) Ошибка встречается при способе сложения: «уравняли» коэффициенты, а правую часть оставили прежней. Ответ получается неверным, проверка подстановкой ловит её сразу.
2) Система 1/x + 1/y = 5/6, 1/x − 1/y = 1/6: u = 1/2, v = 1/3 — это значения 1/x и 1/y, а не x и y. Проверка (2; 3): 1/2 + 1/3 = 5/6 ✓; 1/2 − 1/3 = 1/6 ✓.
3) Система из демонстрации сл. 10. 1/a = a/4 ⇒ a = ±2 — это только «наклоны равны». a = 2: x + 2y = 2, 2x + 4y = 4 — одно уравнение; a = −2: x − 2y = 2 и −2x + 4y = 4 ⇔ x − 2y = −2 — параллельны.

R03.4

Найди ошибку

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1

${3 x + 2 y = 7 5 x - 2 y = 9$

$8 x = 16, x = 2$

$2 y = 7 + 6 = 13, y = 6, 5$

Ошибка: $2 y = 7 - 3 x = 7 - 6 = 1$

$y = 0, 5$ ; ответ $(2; 0, 5)$

Система 2

${x - y = 1 x y = 6$

$x = y + 1, y^{2} + y - 6 = 0$

$y = 2, y = - 3$ ; $x = 3$ . Ответ: $(3; 2)$

Ошибка: потеряна пара для $y = - 3$

$x = - 2$ ; ответ $(3; 2), (- 2; - 3)$

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите систему удобным способом

${x + y = 8 x - y = 2$ $(5; 3)$
${3 x - y = 7 2 x + 3 y = 1$ $(2; - 1)$
${5 x + 4 y = 3 3 x - 4 y = 13$ $(2; - 1, 75)$

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0$ $(4; 6)$
${y = x - 1 x^{2} - y = 3$ $(2; 1), (- 1; - 2)$
Сколько решений: ${4 x - 6 y = 2 6 x - 9 y = 3$ ? бесконечно много

R03.4 · ПР-10, ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена, нелинейные системы, параметр

повыш. $⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \frac{6}{x} + \frac{1}{y} = 5$ $(1, 5; 1)$
повыш. ${x + y = 3 x^{2} + y^{2} = 29$ $(5; - 2), (- 2; 5)$
повыш. ${x + y + x y = 5 x + y - x y = 1$ $(1; 2), (2; 1)$

повыш.При каких $a$ и $b$ у системы ${a x - 2 y = 1 6 x - 4 y = b$ бесконечно много решений? $a = 3, b = 2$
повыш.Парабола $y = x^{2} + p x + q$ проходит через $(1; 0)$ и $(3; 4)$ . Найдите $p$ и $q$ . $p = - 2, q = 1$

R03.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите систему уравнений — с полной записью

${4 x^{2} + y = 9 8 x^{2} - y = 3$ $(1; 5), (- 1; 5)$
${3 x^{2} + 2 y^{2} = 50 12 x^{2} + 8 y^{2} = 50 x$ $(4; 1), (4; - 1)$
${(2 x + 3)^{2} = 5 y (3 x + 2)^{2} = 5 y$ $(1; 5), (- 1; 0, 2)$

1: сложите —

y

исчезнет

2: первое

\cdot 4

— левые части равны

3:

A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow A = \pm B

R03.4 · ПР-15, ПР-16

Задача из жизни

Две покупки в канцелярском магазине

Покупка	тетради	ручки	заплатили
1	$3$	$2$	$210$ ₽
2	$2$	$5$	$250$ ₽

практикаСоставьте систему ${3 x + 2 y = 210 2 x + 5 y = 250$
практикаСколько стоят тетрадь и ручка? $50$ и $30$ ₽
повыш.Сколько стоят $5$ тетрадей и $7$ ручек? Ответьте, не решая систему. $460$ ₽

R03.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база ${x + 2 y = 8 3 x - 2 y = 8$ $(4; 2)$
база $⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{x} + \frac{4}{y} = 2 \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 1$ $(2; 4)$
база ${y - x = 1 x^{2} + y^{2} = 13$ $(2; 3), (- 3; - 2)$
повыш.При каком $b$ система ${2 x + b y = 3 4 x + 6 y = 5$ не имеет решений? $b = 3$

Вариант 2

база ${3 x + y = 7 5 x - y = 9$ $(2; 1)$
база $⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \frac{6}{x} - \frac{4}{y} = 0$ $(3; 2)$
база ${x + y = 1 x^{2} + y^{2} = 13$ $(3; - 2), (- 2; 3)$
повыш.При каком $a$ система ${a x + 3 y = 4 2 x + 6 y = 9$ не имеет решений? $a = 1$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) 4x = 16, x = 4, y = 2. 2) u = 1/x, v = 1/y: 2u + 4v = 2, 4u − 4v = 1; 6u = 3, u = 1/2, x = 2; 4v = 1, v = 1/4, y = 4. 3) y = x + 1: 2x² + 2x − 12 = 0, x² + x − 6 = 0: x = 2 (y = 3), x = −3 (y = −2). 4) 2/4 = b/6 ⇒ b = 3; 3/5 ≠ 1/2 ✓.
В-2. 1) 8x = 16, x = 2, y = 1. 2) 3u + 2v = 2, 6u − 4v = 0; первое ·2 и сложить: 12u = 4, u = 1/3, x = 3; 4v = 6u = 2, v = 1/2, y = 2. 3) xy = (1 − 13)/2 = −6; t² − t − 6 = 0: 3 и −2. 4) a/2 = 3/6 ⇒ a = 1; 4/9 ≠ 1/2 ✓.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». В заданиях 3 решение засчитывается только с обеими парами.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

По каким признакам выбрать способ решения?
Что делать после того, как нашли $u$ и $v$ ?
Почему равенства $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ мало, чтобы сказать «нет решений»?

Домашнее задание

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{x + y} - \frac{1}{x - y} = 0 \frac{8}{x + y} + \frac{3}{x - y} = 5$
При каких $a$ система $(a - 1) x + 2 y = 3$ , $3 x + (a + 4) y = 6$ не имеет решений?
$x + y = 5$ , $x^{3} + y^{3} = 35$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) u = 1/(x + y), v = 1/(x − y): 4u − v = 0, 8u + 3v = 5 ⇒ v = 4u, 20u = 5, u = 1/4, v = 1; x + y = 4, x − y = 1 ⇒ (2,5; 1,5).
2) Наклоны равны: (a − 1)/3 = 2/(a + 4) ⇒ (a − 1)(a + 4) = 6 ⇒ a² + 3a − 10 = 0: a = 2 или a = −5. a = 2: x + 2y = 3 и 3x + 6y = 6 (x + 2y = 2) — нет решений. a = −5: −6x + 2y = 3 и 3x − y = 6 (−6x + 2y = −12) — нет решений. Ответ: a = 2, a = −5 (при a = −4 знаменатель 0: −5x + 2y = 3, 3x = 6 — одно решение).
3) 125 − 15xy = 35 ⇒ xy = 6 ⇒ (2; 3), (3; 2).
Следующий урок ALG9U-054 — практикум по простейшим системам нелинейных уравнений: подстановка, сложение и замена из сегодняшнего урока — главные инструменты.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-053 · Практикум: Решение систем уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 13/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.4 «Решение систем уравнений с двумя переменными» → 2, 4–19 · опора R03.3 → 3 · опора R03.5 → 9 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13–19)
Результаты	ПР-9 (системы линейных и с одним нелинейным уравнением) → 2–9, 12–18 · ПР-10, ПР-14 (параметр, исследование) → 10, 11, 15, 18 · ПР-13 (системы с ограничениями — ОДЗ) → 7, 8 · ПР-15, ПР-16 (модель) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	простейшие нелинейные системы, симметричные системы — ALG9U-054; графический метод — ALG9U-055; системы как модели — ALG9U-056
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:системы уравненийс двумя переменными

Сегодня вы научитесь

Выбирать способ

Применять замену

Исследовать систему

Оформлять как на ОГЭ

То, что сегодня понадобится

Посмотрите на систему — и выберите способ

Уравняйте коэффициенты и сложите

Образец

Сам

Дроби и скобки — к виду ax+by=c

Образец

Сам

Повторяющиеся выражения — новые переменные

Решите систему с помощью замены

Образец (система сл. 7)

Сам

Выразите из линейного — подставьте в нелинейное

Образец

Сам

Система a1​x+b1​y=c1​, a2​x+b2​y=c2​ — это две прямые

Исследуйте систему, не решая её

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили только левую часть

Замена — не до конца

Параметр без проверки

Ученик решил две системы. Где ошибки?

Система 1

Система 2

Решите систему удобным способом

Замена, нелинейные системы, параметр

Решите систему уравнений — с полной записью

Две покупки в канцелярском магазине

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-053 · Практикум: Решение систем уравнений с двумя переменными

Практикум:
системы уравнений
с двумя переменными

Дроби и скобки — к виду $a x + b y = c$

Система $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ — это две прямые