Уравнения и неравенства · урок 12 из 25 · практикум

Практикум:
дробно-рациональные
уравнения и неравенства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-052

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 12/25, единица R03.3 «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств». Тип урока — П (практикум). Новый материал по единице дан на уроке ALG9U-043; прошлый урок ALG9U-051 — уравнения 3-й и 4-й степеней (равносильные преобразования, замена, графический метод); следующий ALG9U-053 — системы уравнений с двумя переменными.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: уравнения) 3 · 8 (сводка: метод интервалов) 3 · 11 (параметр: как рассуждать) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 7, 9, 10, 12) 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать дробные уравнения

ОДЗ, общий знаменатель, $\frac{A}{B} = 0$ , отбор корней (ПР-6)

Применять замену

уравнения вида $t + \frac{k}{t} = m$ — через новую переменную (ПР-6, ПР-13)

Решать дробные неравенства

методом интервалов, не умножая на знаменатель (ПР-8)

Исследовать с параметром

сколько корней у дробного уравнения в зависимости от параметра (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-6 (ФРП дословно): «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-8: «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями…». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать дробно-рациональные уравнения и неравенства».

разминка · R03.2

Разминка · устно

Дроби, нули и знаки

\frac{3}{x - 2}

не имеет смысла при

x = 2

\frac{x ^{2} - 9}{x + 3}

сократите

x - 3

\frac{x - 4}{x + 1} = 0

корень

4

\frac{x - 3}{x + 1}

знак при

x = 0

-

\frac{1}{x - 1}, \frac{1}{x + 1}

общий знаменатель

x^{2} - 1

x^{2} - 5 x + 6

= (x - 2) (\dots)

x - 3

x^{3} - 4 x = 0

корни

0; \pm 2

\frac{1}{x} = x

корни

\pm 1

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Знаменатель x − 2 = 0 при x = 2. 2) (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3 при x ≠ −3 (оговорку проговорить!). 3) Числитель 0 при x = 4, знаменатель 5 ≠ 0. 4) (0 − 3)/(0 + 1) = −3 < 0 — минус.
5) (x − 1)(x + 1) = x² − 1. 6) Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6. 7) Прошлый урок: x(x − 2)(x + 2) = 0 — 0, 2, −2. 8) x² = 1 при x ≠ 0: ±1.
Карточки 1, 3, 8 — к ОДЗ и условию A/B = 0 (сл. 4–5); 4 — к знакам в методе интервалов (сл. 8); 5 — к общему знаменателю (сл. 6); 2, 6 — к сокращению (сл. 16).

R03.3

Сводка · дробно-рациональные уравнения

Дробь равна нулю, когда числитель $0$ , а знаменатель — нет

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0, B \neq = 0

Умножение на знаменатель может дать посторонний корень — тот, где

B = 0

Повторяющийся блок (

x^{2} + x

,

\frac{x}{x - 1}

) — сделайте замену

t

1ОДЗ: все знаменатели

\neq = 0

2Всё — в одну часть или умножить на общий знаменатель

3Решить целое уравнение (квадратное, разложение)

4Отбор: выбросить корни вне ОДЗ, записать ответ

3 мин · теория
Почему возникает посторонний корень: при умножении обеих частей на выражение, которое может обращаться в 0, получаем следствие, а не равносильное уравнение. Корни, обнуляющие знаменатель, исходному уравнению не принадлежат.
Пример в одну строку: x²/(x − 1) = 1/(x − 1) ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1, но x = 1 вне ОДЗ; ответ −1 (разберём на сл. 14).
Вопрос классу: можно ли проверить корень подстановкой вместо ОДЗ? (Да, подстановка в исходное уравнение — тоже отбор; ОДЗ удобнее, когда корни иррациональные.)
Замена — тот же приём, что на прошлом уроке для уравнений 4-й степени.

R03.3

Образец → сам · дробь равна нулю

Решите уравнение

Образец

$\frac{x ^{2} - x - 6}{x + 2} = 0$

$x^{2} - x - 6 = 0$ числитель $= 0$

$x_{1} = 3, x_{2} = - 2$ Виета

$x = - 2$ : знаменатель $0$ не подходит

Ответ: $3$ $\frac{0}{5} = 0$

Сам

база $\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = 0$ $- 4$
база $\frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = 0$ $0$
повыш. $\frac{2 x ^{2} - x - 1}{x ^{2} - 1} = 0$ $- \frac{1}{2}$

R03.3

Образец → сам · общий знаменатель

Решите уравнение

Образец

$\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 1$

$x \neq = \pm 1$ ОДЗ

$2 (x + 1) + 3 (x - 1) = x^{2} - 1$ $\cdot (x^{2} - 1)$

$x^{2} - 5 x = 0$ $5 x - 1 = x^{2} - 1$

$x = 0$ или $x = 5$ оба в ОДЗ

Сам

база $\frac{3}{x - 2} - 1 = \frac{1}{x - 2}$ $4$
база $\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{x + 3} = \frac{6}{x ^{2} - 9} + 1$ $0, 6$
повыш. $\frac{x}{x + 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4} = 1$ корней нет

R03.3 · R03.2

Образец → сам · замена переменной

Найдите повторяющийся блок

Образец

$\frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x - 1} = \frac{5}{2}$

$t = \frac{x - 1}{x}$ : $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ замена

$2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ : $t = 2, t = \frac{1}{2}$ $\cdot 2 t$

$\frac{x - 1}{x} = 2 \Rightarrow x = - 1$ обратная замена

$\frac{x - 1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2$ ОДЗ: $x \neq = 0; 1$

Сам

база $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} - 6 = 0$ $\frac{1}{3}; - \frac{1}{2}$
повыш. $\frac{2 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = 3$ $1$
повыш. $x^{2} - 2 x + \frac{8}{x ^{2} - 2 x} = 6$ $1 \pm 3; 1 \pm 5$

R03.3 · опора R02

Сводка · дробно-рациональные неравенства

Знак дроби = знак произведения: метод интервалов

\frac{A}{B} > 0 \Leftrightarrow A \cdot B > 0

1) Всё в одну часть: справа

0

. На знаменатель не умножать!

2) Нули числителя при

\geq, \leq

— закрашенные точки

3) Нули знаменателя — всегда выколотые

3 мин · теория
Почему нельзя умножать на знаменатель: его знак неизвестен; при отрицательном знаменателе знак неравенства меняется. Переход A/B > 0 ⇔ A·B > 0 равносилен, потому что знак частного и произведения одинаков (B ≠ 0).
Демонстрация: нули числителя 3 (закрашена — неравенство нестрогое), нуль знаменателя −1 (выколота всегда). Знак справа: при x = 10 дробь 7/11 > 0 — «+», далее чередование (все множители в первой степени).
Если множитель в чётной степени, например (x − 2)², знак при переходе через его нуль не меняется (сл. 9, задание 3).

R03.3

Образец → сам · метод интервалов

Решите неравенство

Образец

$\frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 5} \leq 0$

Нули: $- 3, 2$ (•); $5$ (∘) числитель / знаменатель

Знаки: $- + - +$ справа «+», чередуем

$x \in (- \infty; - 3] \cup [2; 5)$ берём «−»

Сам

база $\frac{x + 4}{x - 1} < 0$ $(- 4; 1)$
база $\frac{x ^{2} - 9}{x + 1} \geq 0$ $[- 3; - 1) \cup [3; + \infty)$
повыш. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x + 1} \leq 0$ $(- \infty; - 1) \cup {2}$

R03.3

Образец → сам · сначала справа ноль

Решите неравенство

Образец

$\frac{2 x - 1}{x + 2} \geq 1$

$\frac{2 x - 1 - ( x + 2 )}{x + 2} \geq 0$ всё влево

$\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$ $3$ (•), $- 2$ (∘)

$x \in (- \infty; - 2) \cup [3; + \infty)$ знаки $+ - +$

Сам

база $\frac{3}{x - 1} < 1$ $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$
повыш. $\frac{1}{x} \leq x$ $[- 1; 0) \cup [1; + \infty)$
повыш. $\frac{2}{x - 1} \geq \frac{1}{x + 1}$ $[- 3; - 1) \cup (1; + \infty)$

R03.3 · ПР-14

Сводка · дробное уравнение с параметром

Сколько корней у $\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 3} = 0$ ?

Кандидаты: $x = 2$ и $x = a$

Кандидат подходит, только если он

\neq = 3

Особые

a

: кандидаты совпали или кандидат попал в нуль знаменателя

2 мин · теория
Демонстрация учителя. Это уравнение (не «квадратное»): числитель раскладывается, корни-кандидаты 2 и a; знаменатель запрещает x = 3.
a = 2: кандидаты совпали, корень один (2). a = 3: кандидат 3 выпадает, корень один (2). Остальные a: корни 2 и a — два корня. Итог: ровно один корень при a ∈ {2; 3}, два корня при a ≠ 2, a ≠ 3. Перебор a от −4 до 5 проверен sympy.
Ключевая мысль урока углублённого уровня: «запрещённая точка» знаменателя — второй источник особых значений параметра.

R03.3 · ПР-14

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра уравнение…

Образец

… $\frac{x ^{2} - 4}{x - a} = 0$ имеет ровно один корень?

Кандидаты: $x = \pm 2$ числитель

Один выпадает, если $a = 2$ или $a = - 2$ $x \neq = a$

Ответ: $a = \pm 2$ иначе два корня

Сам

база… $\frac{x - a}{x - 5} = 0$ не имеет корней? $a = 5$
повыш.… $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 2} = 0$ имеет ровно один корень? $a \in {- 2; 0; 2}$
повыш.… $\frac{x ^{2} - ( a + 1 ) x + a}{x + 2} = 0$ имеет ровно два корня? $a \neq = 1, a \neq = - 2$

3 мин · практика
Образец: при a = 2 остаётся корень −2; при a = −2 — корень 2. Граничные значения проверены: a = 0 — корни ±2 (два), a = 2 — один (−2).
1) Кандидат x = a, запрещено x = 5. Корней нет ⇔ a = 5.
2) Кандидаты ±a. Один корень: a = 0 (кандидаты совпали, x = 0) или a = ±2 (один из кандидатов равен 2 и выпадает, остаётся −2). Ответ a ∈ {−2; 0; 2}.
3) Числитель (x − 1)(x − a): кандидаты 1 и a, запрещено x = −2. Два корня ⇔ a ≠ 1 (иначе совпадение) и a ≠ −2 (иначе выпадает). Проверка граничных: a = 1 — один корень 1; a = −2 — один корень 1. Всё проверено sympy.

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на знаменатель

$\frac{1}{x} < 1 \Rightarrow 1 < x$

$\frac{1 - x}{x} < 0$ : $x < 0$ или $x > 1$

знак $x$ неизвестен — знак неравенства мог смениться

Не сверили с ОДЗ

$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0$ : $x = \pm 2$

Ответ: $- 2$

при $x = 2$ знаменатель $0$

Закрасили нуль знаменателя

$\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ : $(- \infty; - 2] \cup [1; + \infty)$

$(- \infty; - 2) \cup [1; + \infty)$

нуль знаменателя всегда выколот

R03.3

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите уравнение

$\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

$x^{2} = 1$ , $x = \pm 1$

Ответ: $- 1; 1$

Ошибка: нет ОДЗ, $x \neq = 1$

Ответ: $- 1$

Задача 2. Решите неравенство

$\frac{x + 2}{3 - x} \geq 0$

Нули: $- 2$ и $3$ ; знаки $+ - +$

Ответ: $(- \infty; - 2] \cup [3; + \infty)$

Ошибка 1: при $x > 3$ знак «−» (множитель $3 - x$ )

Ошибка 2: $3$ — нуль знаменателя, выколот. Ответ: $[- 2; 3)$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите уравнение или неравенство

$\frac{x - 5}{x + 2} = 0$ $5$
$\frac{x ^{2} - 4 x}{x - 4} = 0$ $0$
$\frac{6}{x} = x - 1$ $- 2; 3$

$\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}$ $3$
$\frac{x + 1}{x - 3} > 0$ $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$
$\frac{x - 4}{x + 5} \leq 0$ $(- 5; 4]$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Ловушки: посторонние корни, сокращение, чётные степени

повыш. $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$ корней нет
повыш. $\frac{x}{x + 1} \geq 2$ $[- 2; - 1)$
повыш. $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9} \leq 0$ $(- 3; 2]$
повыш. $\frac{1}{x - 1} \leq \frac{1}{x + 1}$ $(- 1; 1)$
повыш.Сколько целых решений у $\frac{( x + 2 ) ( x - 4 )}{( x - 1 ) ^{2}} \leq 0$ ? $6$

R03.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение или неравенство с полной записью

$\frac{1}{x ^{2}} + \frac{3}{x} - 10 = 0$ $- 0, 2; 0, 5$
$\frac{- 11}{( x - 2 ) ^{2} - 3} \geq 0$ $(2 - 3; 2 + 3)$
$\frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{2}{x - 1} - 3 = 0$ $0; \frac{4}{3}$

1:

t = \frac{1}{x}

2: числитель

< 0

⇒ знаменатель

< 0

3:

t = \frac{1}{x - 1}

, затем ОДЗ

x \neq = 1

R03.3 · ПР-15

Задача из жизни

Лодка: $11$ км/ч в стоячей воде, $112$ км вверх по реке и обратно

практикаОбратный путь занял на $6$ ч меньше. Найдите скорость течения. $3$ км/ч
практикаСколько часов заняла вся поездка? $22$ ч
повыш.При какой скорости течения $v$ путь против течения дольше $16$ ч? $4 < v < 11$

2 мин · практика
1) 112/(11 − v) − 112/(11 + v) = 6, 0 < v < 11. Умножаем на 121 − v² > 0: 224v = 6(121 − v²) ⇒ 3v² + 112v − 363 = 0; D = 12544 + 4356 = 16900 = 130²; v = (−112 + 130)/6 = 3 (второй корень отрицательный). Проверено sympy.
2) 112/8 + 112/14 = 14 + 8 = 22 ч.
3) 112/(11 − v) > 16 при 0 < v < 11 (знаменатель положителен, здесь умножать можно — знак известен!): 112 > 16(11 − v) ⇒ 11 − v < 7 ⇒ v > 4. Ответ 4 < v < 11 (при v ≥ 11 лодка не идёт против течения).
Акцент: умножать неравенство на знаменатель можно только когда его знак известен из условия.

R03.3

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $\frac{x ^{2} - 25}{x + 5} = 0$ $5$
база $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = 1$ $0; 3$
база $\frac{x + 3}{x - 2} \leq 0$ $[- 3; 2)$
повыш. $\frac{2 x + 1}{x - 1} \geq 1$ $(- \infty; - 2] \cup (1; + \infty)$

Вариант 2

база $\frac{x ^{2} - 36}{x - 6} = 0$ $- 6$
база $\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} = 1$ $0; 4$
база $\frac{x - 4}{x + 1} \geq 0$ $(- \infty; - 1) \cup [4; + \infty)$
повыш. $\frac{3 x - 2}{x + 2} \leq 2$ $(- 2; 6]$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда берутся посторонние корни?
Почему в неравенстве нельзя умножать на знаменатель?
Какие точки на прямой всегда выколоты?

Домашнее задание

$\frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$
$\frac{x ^{2} - 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$
При каких $a$ уравнение $\frac{( x - a ) ( x + 1 )}{x - 4} = 0$ имеет ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-052 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 12/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.3 «Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств» → 2, 4–20 · опора R03.2 (замена переменной) → 3, 7, 17 · опора R02 (метод интервалов) → 8 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 8, 11, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5–7, 9, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 4–7, 14, 15, 17, 19 · ПР-8 (метод интервалов) → 8–10, 13–16, 19 · ПР-13 → 7, 16 · ПР-14 (исследование уравнений) → 11, 12 · ПР-15 (текстовые задачи) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	системы уравнений с двумя переменными — ALG9U-053; системы с параметром — ALG9U-057
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:дробно-рациональныеуравнения и неравенства

Сегодня вы научитесь

Решать дробные уравнения

Применять замену

Решать дробные неравенства

Исследовать с параметром

Дроби, нули и знаки

Дробь равна нулю, когда числитель 0, а знаменатель — нет

Решите уравнение

Образец

Сам

Решите уравнение

Образец

Сам

Найдите повторяющийся блок

Образец

Сам

Знак дроби = знак произведения: метод интервалов

Решите неравенство

Образец

Сам

Решите неравенство

Образец

Сам

Сколько корней у x−3(x−2)(x−a)​=0?

При каких значениях параметра уравнение…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на знаменатель

Не сверили с ОДЗ

Закрасили нуль знаменателя

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите уравнение

Задача 2. Решите неравенство

Решите уравнение или неравенство

Ловушки: посторонние корни, сокращение, чётные степени

Решите уравнение или неравенство с полной записью

Лодка: 11 км/ч в стоячей воде, 112 км вверх по реке и обратно

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-052 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств

Практикум:
дробно-рациональные
уравнения и неравенства

Дробь равна нулю, когда числитель $0$ , а знаменатель — нет

Сколько корней у $\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 3} = 0$ ?

Лодка: $11$ км/ч в стоячей воде, $112$ км вверх по реке и обратно