Уравнения, неравенства и их системы · урок 11 из 25 · практикум

Практикум:
уравнения 3-й
и 4-й степеней

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-051

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 11/25, единица R03.2 «Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней». Тип урока — П (практикум). Новый материал был на ALG9U-042; прошлый урок ALG9U-050 — практикум по биквадратным уравнениям; следующий ALG9U-052 — дробно-рациональные уравнения и неравенства.
Чем этот практикум отличается от ALG9U-042: дробный корень многочлена, скрытая замена (выделение квадрата), возвратные уравнения и деление на $x^{2}$ , графический подсчёт числа корней уравнения 4-й степени с параметром.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка методов) 3 · 6 (дробный корень) 2 · 8 (виды замен) 2 · 11 (графический метод) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на множители

группировкой, формулами и подбором корня — в том числе дробного (ПР-11)

Видеть замену

повторяющееся выражение, скрытый квадрат, возвратное уравнение (ПР-11)

Считать корни по графикам

сколько корней у уравнения и как это зависит от параметра (ПР-14)

Оформлять задание 20 ОГЭ

полная запись без потери корней (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-11 (ФРП дословно): «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней».
ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-6: «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения».
Кодификатора у курса нет (codes пусты) — цели только из результатов.

разминка · R03.1

Разминка · устно

Корни, множители, замена

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

корни

\pm 1; \pm 2

x^{4} = 16

корни

\pm 2

x^{3} - 27

разложите

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

x^{3} - 4 x

разложите

x (x - 2) (x + 2)

x^{3} - 2 x^{2} - x + 2

назовите целый корень

1

(ещё

- 1

,

2

)

(x^{2} + x)^{2} - 4 (x^{2} + x)

t = x^{2} + x

t^{2} - 4 t

x^{2} = - 9

корни

нет

x + \frac{1}{x} = t

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?

t^{2} - 2

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Прошлый урок: t = x², t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или 4; x = ±1, ±2. 2) x² = 4 (x² = −4 корней не даёт): ±2. 3) Разность кубов. 4) x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2).
5) Сумма коэффициентов 1 − 2 − 1 + 2 = 0, значит, x = 1 — корень. Полностью: x²(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x − 1)(x + 1): 1, −1, 2. 6) t² − 4t. 7) Квадрат не бывает отрицательным — корней нет.
8) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x², отсюда x² + 1/x² = t² − 2. Эта формула понадобится для возвратных уравнений (сл. 10).

R03.2

Сводка · три метода

Уравнение 3-й или 4-й степени сводим к уравнениям степени $\leq 2$

Метод	Когда	Первый шаг
Равносильные преобразования	есть общий множитель, группы, формулы	всё в левую часть, разложить: $A \cdot B = 0$ ⇔ $A = 0$ или $B = 0$
Подбор корня	группы не видны	корень $x_{0}$ — делитель свободного члена; выделить множитель $x - x_{0}$
Замена переменной	повторяется выражение или коэффициенты симметричны	$t = x^{2} + p x$ , $t = x + \frac{c}{x}$ ; решить по $t$ и вернуться к $x$
Графический	нужно число корней или подобрать нельзя	$f (x) = g (x)$ : построить графики, сосчитать точки пересечения

3 мин · теория
Это повторение схемы урока ALG9U-042. Общей школьной формулы корней кубического уравнения нет, поэтому уравнение сводят к линейным и квадратным.
Равносильные преобразования не меняют множество корней: перенос слагаемых, умножение на число ≠ 0, разложение на множители. Деление обеих частей на выражение с x — неравносильно (теряются корни, сл. 13).
Методы сочетаются: подбор → выделение множителя → квадратное уравнение; замена → квадратное уравнение → возврат к x.
Вопрос классу: какой метод для x⁴ + 2x³ + x² = 36? (Скрытый квадрат: (x² + x)² = 36 — сл. 9.)

R03.2

Образец → сам · группировка и формулы

Решите уравнение разложением на множители

Образец

$x^{4} - 2 x^{3} - 8 x + 16 = 0$

$x^{3} (x - 2) - 8 (x - 2) = 0$ группировка

$(x - 2) (x^{3} - 8) = 0$ общий множитель

$(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ разность кубов

$x = 2$ $x^{2} + 2 x + 4$ : $D < 0$

Сам

база $x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 20 = 0$ $- 5; \pm 2$
база $(x^{2} + 2 x)^{2} = (x + 2)^{2}$ $- 2; \pm 1$
повыш. $x^{4} - 4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ $1; - 1 \pm 2$

3 мин · практика
Образец — 1 мин (класс подсказывает шаги), затем 2 мин самостоятельно. Корень 2 двукратный, в ответ пишем один раз. Проверка: 16 − 16 − 16 + 16 = 0 ✓.
1) x²(x + 5) − 4(x + 5) = (x + 5)(x − 2)(x + 2): −5, 2, −2. Проверка x = −5: −125 + 125 + 20 − 20 = 0 ✓.
2) Разность квадратов: (x² + 2x − x − 2)(x² + 2x + x + 2) = (x² + x − 2)(x² + 3x + 2) = (x + 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2) = 0: −2, 1, −1. Ошибка — «извлечь корень» и написать только x² + 2x = x + 2 (теряется x = −1).
3) x⁴ − (4x² − 4x + 1) = x⁴ − (2x − 1)² = (x² − 2x + 1)(x² + 2x − 1) = (x − 1)²(x² + 2x − 1): 1 и −1 ± √2. Подсказка сильным: «увидьте квадрат в трёх последних слагаемых».

R03.2

Сводка · подбор дробного корня

Старший коэффициент не $1$ — корень может быть дробью

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0, x_{0} = \frac{p}{q}

p

— делитель свободного члена

d

,

q

— делитель старшего коэффициента

a

сумма коэффициентов

= 0

⇒

x_{0} = 1

;

a - b + c - d = 0

⇒

x_{0} = - 1

Пример: $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$

кандидаты: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

$x = \pm 1$ : $3$ и $- 3$ — не корни

$x = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ ✓

$(2 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ , $x = \frac{1}{2}$

2 мин · теория
Почему так (демонстрация учителя): пусть несократимая дробь p/q — корень. Умножим a(p/q)³ + b(p/q)² + c(p/q) + d = 0 на q³: ap³ + bp²q + cpq² + dq³ = 0. Тогда dq³ делится на p, а p и q взаимно просты — значит, d делится на p. Аналогично ap³ делится на q, значит, a делится на q.
При a = 1 получаем правило прошлого урока: целый корень — делитель свободного члена.
Пример: 2x³ + x² + x − 1 = 2x³ − x² + 2x² − x + 2x − 1 = x²(2x − 1) + x(2x − 1) + (2x − 1). У x² + x + 1 D = 1 − 4 < 0 — единственный корень 1/2.
Признак x₀ = −1: подставим −1 в ax³ + bx² + cx + d: −a + b − c + d = 0, т. е. a − b + c − d = 0.

R03.2

Образец → сам · подбор корня

Подберите корень и выделите множитель

Образец

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

$x = - 1$ : $- 2 - 3 + 3 + 2 = 0$ подбор

$(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2) = 0$ множитель $x + 1$

$D = 25 - 16 = 9$ , $x = \frac{5 \pm 3}{4}$ квадратное

$x = - 1; \frac{1}{2}; 2$ ответ

Сам

база $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8 = 0$ $- 2; 1; 4$
база $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ $- 2; \frac{1}{3}; 1$
повыш. $2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2 = 0$ $- \frac{1}{2}; 1; 2$

R03.2

Сводка · виды замены

Узнайте вид — и замена готова

Вид уравнения	Замена
$(x^{2} + p x)^{2} + m (x^{2} + p x) + n = 0$	$t = x^{2} + p x$
скрытый квадрат: $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} = (x^{2} + x)^{2}$ , $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$	выделить квадрат, $t = \dots$
$(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m$ , $a + d = b + c$	пары скобок, $t = x^{2} + (a + d) x$
возвратное: $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$	$: x^{2}$ , $t = x + \frac{1}{x}$
$(x^{2} + p x + c) (x^{2} + q x + c) = k x^{2}$	$: x^{2}$ , $t = x + \frac{c}{x}$

2 мин · теория
Строки 1 и 3 — повторение ALG9U-042. Новое сегодня: скрытый квадрат (сл. 9) и деление на x² (сл. 10).
Почему можно делить на x² в строках 4–5: x = 0 не корень (подставим: a ≠ 0 в строке 4; c² ≠ 0 в строке 5), поэтому деление на x² ≠ 0 — равносильное преобразование. Об этом надо написать в решении.
После деления: x² + 1/x² = t² − 2 (разминка). Для t = x + c/x: x² + c²/x² = t² − 2c.
Вопрос: почему при t = x² пишем t ≥ 0, а при t = x + 1/x ограничения не пишем? (Лишние t просто не дадут корней — уравнение x + 1/x = t при |t| < 2 корней не имеет; удобно проверять D.)

R03.2

Образец → сам · скрытая замена

Найдите повторяющееся выражение

Образец

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x - 1)^{2} = 1$

$x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ выделили квадрат

$t = (x - 1)^{2} \geq 0$ : $(t - 1)^{2} - 2 t = 1$ замена

$t^{2} - 4 t = 0$ , $t = 0$ или $t = 4$ по $t$

$x - 1 = 0$ или $x - 1 = \pm 2$ : $x = 1; 3; - 1$

Сам

база $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 2) = 12$ $- 2; 1$
база $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} = 36$ $- 3; 2$
повыш. $(x^{2} - 3 x)^{2} - 2 x^{2} + 6 x = 8$ $- 1; 1; 2; 4$

R03.2

Образец → сам · возвратное уравнение

Разделите на $x^{2}$ и сделайте замену

Образец

$x^{4} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

$x \neq = 0$ ; $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 4 (x + \frac{1}{x}) - 10 = 0$ $: x^{2}$

$t = x + \frac{1}{x}$ : $t^{2} + 4 t - 12 = 0$ $t = 2; - 6$

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$ или $x^{2} + 6 x + 1 = 0$ к $x$

$x = 1; - 3 \pm 22$ ответ

Сам

база $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ $1$
повыш. $(x^{2} + x + 2) (x^{2} - x + 2) = 8 x^{2}$ $\pm 1; \pm 2$
повыш. $2 x^{4} + 3 x^{3} - 16 x^{2} + 3 x + 2 = 0$ $\frac{1}{2}; 2; - 2 \pm 3$

2 мин · практика
Образец: x = 0 не корень (1 ≠ 0). t² + 4t − 12 = 0: t = 2, t = −6. x + 1/x = 2 ⇒ (x − 1)² = 0, x = 1; x + 1/x = −6 ⇒ x² + 6x + 1 = 0, D₁ = 9 − 1 = 8, x = −3 ± 2√2. Проверено в python.
1) t² − 2 − 3t + 4 = t² − 3t + 2 = 0: t = 1 или 2. x + 1/x = 1 ⇒ x² − x + 1 = 0, D < 0; x + 1/x = 2 ⇒ x = 1.
2) x = 0 не корень (4 ≠ 0). Делим каждую скобку на x: (t + 1)(t − 1) = 8, где t = x + 2/x; t² = 9, t = ±3. x² − 3x + 2 = 0: 1, 2; x² + 3x + 2 = 0: −1, −2. Другой путь: (x² + 2)² − x² = 8x², (x² + 2)² = 9x².
3) 2(t² − 2) + 3t − 16 = 0, 2t² + 3t − 20 = 0, D = 9 + 160 = 169, t = 2,5 или −4. 2x² − 5x + 2 = 0: 2, 1/2; x² + 4x + 1 = 0: −2 ± √3. Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R03.2 · ПР-14

Метод 3 · графический: сколько корней

$x^{4} - 2 x^{2} = a$ : число корней зависит от $a$

y = x^{4} - 2 x^{2}

= (x^{2} - 1)^{2} - 1

наименьшее значение

- 1

при

x = \pm 1

;

y (0) = 0

корни — абсциссы точек пересечения с прямой

y = a

2 мин · теория
Демонстрация учителя. График y = (x² − 1)² − 1 строим по точкам или через t = x²: y = t² − 2t, t ≥ 0. Значения: y(0) = 0, y(±1) = −1, y(±√2) = 0, y(±1,5) ≈ 0,56.
Ответ: a < −1 — нет корней; a = −1 — 2 корня (±1); −1 < a < 0 — 4 корня; a = 0 — 3 корня (0, ±√2); a > 0 — 2 корня. Проверено в python для a = −1,5; −1; −0,5; 0; 2.
Алгебраическая сверка: t² − 2t − a = 0, t = x² ≥ 0; два положительных t (−1 < a < 0) — 4 корня x, один положительный t — 2 корня.
Чертёж точный: 120 px на единицу по оси x, 70 px — по оси y; прямые y = 2, y = −0,5, y = −1.

R03.2 · ПР-14

Образец → сам · графический метод

Сколько корней — и какие?

Образец

$x^{3} = x^{2} + 4$

$x \leq 0$ : $x^{3} \leq 0 < x^{2} + 4$ нет корней

$x = 2$ : $8 = 8$ подбор

$(x - 2) (x^{2} + x + 2) = 0$ , $D < 0$ других нет

один корень: $x = 2$ ответ

Сам

база $x^{3} = 12 - 2 x$ $2$ (один корень)
базаСколько корней у $x^{4} - 2 x^{2} = - \frac{1}{2}$ ? $4$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - 2 x^{2} = a$ имеет ровно два корня? $a = - 1$ или $a > 0$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые теряют корни

$A^{2} = B^{2}$ ⇒ только $A = B$

$(x^{2} - 5)^{2} = (4 x)^{2}$ ⇒ $x^{2} - 5 = 4 x$ : $5; - 1$

ещё $x^{2} - 5 = - 4 x$ : $\pm 1; \pm 5$

$A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow A = B$ или $A = - B$

Деление на выражение с $x$

$x (x^{2} - 1) = 3 (x^{2} - 1)$ ⇒ $x = 3$

$(x^{2} - 1) (x - 3) = 0$ : $\pm 1; 3$

делить на $x^{2} - 1$ можно, только если $x^{2} - 1 \neq = 0$

Ответ по $t$ , а не по $x$

$(x^{2} + x)^{2} = 4$ , $t = x^{2} + x$ : ответ $\pm 2$

$x^{2} + x = 2$ : $- 2; 1$ ; $x^{2} + x = - 2$ : нет

после замены вернитесь к $x$

R03.2

Найди ошибку

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

1. $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$

$x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x^{2} - 4) = 0$

$x = - 1$ или $x = 2$

Ошибка: $x^{2} = 4$ ⇒ $x = \pm 2$

Ответ: $- 2; - 1; 2$

2. $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$: x^{2}$ : $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 (x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

$t = x + \frac{1}{x}$ : $t^{2} - 2 t - 1 = 0$

Ошибка: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$

Верно: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ , $t = 3$ или $t = - 1$

$x = \frac{3 \pm 5}{2}$ ; при $t = - 1$ корней нет

2 мин · практика
Сначала видны только решения ученика; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
1) Потерян корень −2: x² = 4 имеет два корня. Проверка x = −2: −8 + 4 + 8 − 4 = 0 ✓.
2) x = 0 не корень (1 ≠ 0), деление верно. Ошибка в замене: (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². t² − 2 − 2t − 1 = t² − 2t − 3 = 0: t = 3 или −1. x + 1/x = 3 ⇒ x² − 3x + 1 = 0, x = (3 ± √5)/2; x + 1/x = −1 ⇒ x² + x + 1 = 0, D < 0. Проверено в python.
У ученика t² − 2t − 1 = 0 дало бы t = 1 ± √2 и «лишние» корни — проверка подстановкой их отсекает.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите уравнение (назовите метод)

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$ $- 2; 2; 3$
$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
$x^{3} + x^{2} - 2 = 0$ $1$

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) = 3$ $- 1; 1; 3$
$x^{4} = (x + 6)^{2}$ $- 2; 3$
$2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = 0$ $\pm 1; \frac{1}{2}$

R03.2 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замены посложнее, параметр, число корней

повыш. $x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$ $- 3; - 2; 1; 2$
повыш. $x^{3} + 2 x = 3$ $1$
повыш. $(x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4 x^{2}$ $- 6; - 4; \frac{- 15 \pm 129}{2}$
повыш.При каких $a$ уравнение $(x - 1) (x^{2} - 4 x + a) = 0$ имеет ровно два различных корня? $a = 3$ или $a = 4$

2 мин · практика
1) Скрытая замена: x⁴ + 2x³ + x² − 8x² − 8x + 12 = (x² + x)² − 8(x² + x) + 12; t = 2 или 6. x² + x − 2 = 0: 1, −2; x² + x − 6 = 0: 2, −3.
2) y = x³ + 2x возрастает — не более одного корня; x = 1: 1 + 2 = 3 ✓. Алгебраически (x − 1)(x² + x + 3), D < 0.
3) Пары (x + 2)(x + 12) = x² + 14x + 24, (x + 3)(x + 8) = x² + 11x + 24; x = 0 не корень (576 ≠ 0); делим на x², t = x + 24/x: (t + 14)(t + 11) = 4, t² + 25t + 150 = 0, t = −10 или −15. x² + 10x + 24 = 0: −4, −6; x² + 15x + 24 = 0: D = 129, x = (−15 ± √129)/2.
4) Это уравнение (старший коэффициент 1 при любом a). Корень x = 1 есть всегда. Ровно два различных корня: а) квадратный множитель имеет двойной корень ≠ 1: D/4 = 4 − a = 0, a = 4, корень 2 ⇒ {1; 2}; б) 1 — корень квадратного множителя: 1 − 4 + a = 0, a = 3, корни 1 и 3 ⇒ {1; 3}. Граничные значения: a > 4 — один корень; a < 4, a ≠ 3 — три корня. Проверено в python для a = 0…7.

R03.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — с полной записью

$x^{3} + 4 x^{2} = 9 x + 36$ $- 4; \pm 3$
$(x^{2} - 9)^{2} + (x^{2} - 2 x - 3)^{2} = 0$ $3$
$(x - 1) (x^{2} + 6 x + 9) = 5 (x + 3)$ $- 4; - 3; 2$

1: группировка, не делите на

x + 4

2: сумма квадратов

= 0

⇔ оба

= 0

3:

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

— вынесите

x + 3

R03.2 · ПР-16

Задача из жизни

Коробка: рёбра — три последовательных целых числа (см)

практикаОбъём $210$ см³. Составьте уравнение. $x (x + 1) (x + 2) = 210$
практикаНайдите рёбра. $5, 6, 7$ см
повыш.Сколько положительных корней у $x (x + 1) (x + 2) = 100$ ? Между какими целыми? один, между $3$ и $4$

2 мин · практика
1) Меньшее ребро x см, x > 0: x(x + 1)(x + 2) = 210 ⇔ x³ + 3x² + 2x − 210 = 0.
2) Подбор среди делителей 210: x = 5: 5 · 6 · 7 = 210 ✓. (x − 5)(x² + 8x + 42) = 0, D = 64 − 168 < 0 — других корней нет. Рёбра 5, 6, 7 см. Можно и прикидкой: ∛210 ≈ 5,9 — среднее ребро около 6.
3) При x > 0 функция V = x(x + 1)(x + 2) возрастает (все множители растут) — не более одного корня. V(3) = 60 < 100 < V(4) = 120 — корень между 3 и 4 (≈ 3,6; проверено в python). Целых рёбер с объёмом 100 нет.
Рисунок схематичный, не в масштабе.

R03.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ $2; \pm 3$
база $(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$ $- 3; - 2; 1; 2$
база $2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2 = 0$ $- \frac{1}{2}; 1; 2$
повыш. $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ $1; \frac{3 \pm 5}{2}$

Вариант 2

база $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$ $- 3; \pm 2$
база $(x^{2} - 3 x)^{2} - 14 (x^{2} - 3 x) + 40 = 0$ $- 2; - 1; 4; 5$
база $3 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ $- 1; \frac{1}{3}; 2$
повыш. $x^{4} + 5 x^{3} + 8 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ $- 1; \frac{- 3 \pm 5}{2}$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) (x − 2)(x − 3)(x + 3): 2, ±3. 2) t = x² + x: t = 2; 6 ⇒ 1, −2; 2, −3. 3) x = 1 (сумма 0); (x − 1)(2x² − 3x − 2): 2, −1/2. 4) Возвратное, x ≠ 0: t² − 2 − 5t + 8 = t² − 5t + 6 = 0, t = 2 ⇒ x = 1; t = 3 ⇒ x² − 3x + 1 = 0, x = (3 ± √5)/2.
В-2. 1) (x + 3)(x − 2)(x + 2): −3, ±2. 2) t = x² − 3x: t = 4; 10 ⇒ x² − 3x − 4 = 0: 4, −1; x² − 3x − 10 = 0: 5, −2. 3) x = −1 (a − b + c − d = 3 + 4 − 5 − 2 = 0); (x + 1)(3x² − 7x + 2): 2, 1/3. 4) t² − 2 + 5t + 8 = t² + 5t + 6 = 0, t = −2 ⇒ x = −1; t = −3 ⇒ x² + 3x + 1 = 0, x = (−3 ± √5)/2.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены в python.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где искать дробный корень многочлена?
Почему в возвратном уравнении можно делить на $x^{2}$ ?
Как по графику узнать число корней?

Домашнее задание

$x^{3} - 7 x^{2} + 7 x + 15 = 0$
$(x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5) = 40$
$(x^{2} + 4 x)^{2} - 2 (x + 2)^{2} = 16$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) x = −1 (a − b + c − d = 1 + 7 + 7 − 15 = 0); (x + 1)(x² − 8x + 15): −1, 3, 5. 2) Пары (x + 1)(x + 5) = x² + 6x + 5, (x + 2)(x + 4) = x² + 6x + 8; t = x² + 6x: (t + 5)(t + 8) = 40, t(t + 13) = 0; t = 0: 0, −6; t = −13: D < 0. Ответ −6; 0. 3) t = (x + 2)² ≥ 0, x² + 4x = t − 4: (t − 4)² − 2t = 16, t² − 10t = 0, t = 0 или 10: x = −2; −2 ± √10. Все проверены в python.
Следующий урок ALG9U-052 — дробно-рациональные уравнения и неравенства: после приведения к общему знаменателю часто получаются уравнения 3-й и 4-й степеней — сегодняшние методы там понадобятся.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-051 · Практикум: Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 11/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 → 2, 4–20 · опора R03.1 (биквадратные) → 3 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-11 (методы для уравнений 3-й и 4-й степеней) → 2–20 · ПР-14 (исследование числа корней, графические представления) → 11, 12, 16, 18 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 17 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	дробно-рациональные уравнения — ALG9U-052; деление многочленов «уголком» и схема Горнера — не требуются (достаточно группировки)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:уравнения 3-йи 4-й степеней

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на множители

Видеть замену

Считать корни по графикам

Оформлять задание 20 ОГЭ

Корни, множители, замена

Уравнение 3-й или 4-й степени сводим к уравнениям степени ≤2

Решите уравнение разложением на множители

Образец

Сам

Старший коэффициент не 1 — корень может быть дробью

Пример: 2x3+x2+x−1=0

Подберите корень и выделите множитель

Образец

Сам

Узнайте вид — и замена готова

Найдите повторяющееся выражение

Образец

Сам

Разделите на x2 и сделайте замену

Образец

Сам

x4−2x2=a: число корней зависит от a

Сколько корней — и какие?

Образец

Сам

Три ошибки, которые теряют корни

A2=B2 ⇒ только A=B

Деление на выражение с x

Ответ по t, а не по x

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

1. x3+x2−4x−4=0

2. x4−2x3−x2−2x+1=0

Решите уравнение (назовите метод)

Замены посложнее, параметр, число корней

Решите уравнение — с полной записью

Коробка: рёбра — три последовательных целых числа (см)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-051 · Практикум: Примеры применений методов равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней

Практикум:
уравнения 3-й
и 4-й степеней

Уравнение 3-й или 4-й степени сводим к уравнениям степени $\leq 2$

Старший коэффициент не $1$ — корень может быть дробью

Пример: $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$

Разделите на $x^{2}$ и сделайте замену

$x^{4} - 2 x^{2} = a$ : число корней зависит от $a$

$A^{2} = B^{2}$ ⇒ только $A = B$

Деление на выражение с $x$

Ответ по $t$ , а не по $x$

1. $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$

2. $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = 0$