Уравнения и неравенства · урок 10 из 25 · практикум

Практикум:
биквадратные
уравнения

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-050

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 10/25, единица R03.1 «Биквадратные уравнения». Тип урока — П (практикум, первый из двух по теме; второй — ALG9U-059). Новое понятие вводилось на ALG9U-041; прошлый урок ALG9U-049 — неравенства с двумя переменными; следующий ALG9U-051 — практикум по уравнениям 3-й и 4-й степеней (замена, графический метод).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: замена и отбор) 3 · 7 (что сводится к биквадратному) 2 · 10 (свойства корней) 2 · 12 (параметр графически) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 13) 3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Числа на титуле: $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ — корни $\pm 1, \pm 2$ (график в масштабе).
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать без потерь

замена $x^{2} = t$ , отбор $t \geq 0$ , полная запись ответа (ПР-6, ПР-11)

Узнавать скрытые

скобки, дроби, сдвиг $(x - 1)^{4}$ — сводить к биквадратному (ПР-6, ПР-11)

Считать по коэффициентам

сумма, произведение, сумма квадратов всех корней (ПР-4)

Исследовать с параметром

сколько корней — по $t$ и по графику (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-6 (ФРП дословно): «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-11: «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней».
ПР-4: «Оперировать понятием квадратного трехчлена, находить корни квадратного трехчлена» — опора для свойств корней. ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать биквадратные уравнения».

разминка · R03.1 · R03.9

Разминка · устно

Квадраты, корни и замена

x^{2} = 9

корни

\pm 3

x^{2} = - 4

корни

нет

x^{2} = 7

корни

\pm 7

x^{4} = 16

корни

\pm 2

t^{2} - 5 t + 4 = 0

корни

1; 4

t^{2} + t - 6 = 0

корни

2; - 3

x^{4} - 3 x^{2}

при

x = - 2

4

(1; 2)

и

y > x^{2}

точка подходит?

да

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) $x = \pm 3$ (часто называют только 3 — сразу поправить). 2) Квадрат не бывает отрицательным — корней нет. 3) $\pm 7$ — иррациональные корни есть. 4) $x^{4} = 16 \Rightarrow x^{2} = 4$ ( $x^{2} = - 4$ не подходит), $x = \pm 2$ .
5) Виета: $1$ и $4$ . 6) Виета: $2$ и $- 3$ . 7) $16 - 12 = 4$ ; значение чётное по $x$ : при $x = 2$ то же самое. 8) Повтор прошлого урока ALG9U-049: $2 > 1^{2}$ — точка лежит выше параболы, подходит.
Карточки 1–4 — это «обратный ход» $x^{2} = t$ ; 5–6 — уравнение для $t$ ; 7 — чётность (корни биквадратного симметричны).

R03.1

Сводка · замена и отбор

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0, a \neq = 0$ : обозначим $x^{2} = t$

a t^{2} + b t + c = 0, t \geq 0

корень $t$	корни $x$
$t > 0$	$x = \pm t$ — два
$t = 0$	$x = 0$ — один
$t < 0$	нет корней

Ответ — значения

x

, а не

t

; корней не больше четырёх

3 мин · теория
Напоминание с урока ALG9U-041: после замены $x^{2} = t$ уравнение становится квадратным относительно $t$ . Ограничение $t \geq 0$ возникает потому, что $t = x^{2}$ .
График: корни уравнения $x^{2} = t$ — абсциссы точек пересечения параболы $y = x^{2}$ с прямой $y = t$ . При $t = 4$ — две точки $\pm 2$ (масштаб 60 px на единицу по $x$ , 25 px по $y$ ), при $t = 0$ — вершина, при $t = - 2$ — прямая ниже параболы.
Вопрос классу: сколько корней может быть у биквадратного уравнения? (0, 1, 2, 3 или 4: например, $x^{4} - 9 x^{2} = 0$ — три корня $0; \pm 3$ .)

R03.1

Образец → сам · иррациональные корни

Решите уравнение — ответ в полном виде

Образец

$2 x^{4} - 7 x^{2} + 3 = 0$

$2 t^{2} - 7 t + 3 = 0, t \geq 0$ $x^{2} = t$

$D = 49 - 24 = 25$ $b^{2} - 4 a c$

$t = 3, t = \frac{1}{2}$ $\frac{7 \pm 5}{4}$ , оба $> 0$

$x = \pm 3, x = \pm \frac{2}{2}$ $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$

Сам

база $x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0$ $\pm 2; \pm 3$
база $9 x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ $\pm 1; \pm \frac{1}{3}$
повыш. $x^{4} - 6 x^{2} + 7 = 0$ $\pm 3 \pm 2$

R03.1

Образец → сам · отбор корней

Не каждое $t$ даёт корни $x$

Образец

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

$t^{2} + 5 t - 36 = 0$ $x^{2} = t \geq 0$

$t = 4, t = - 9$ Виета: $4 \cdot (- 9) = - 36$

$t = - 9 < 0$ — не подходит $x^{2} \geq 0$

$x^{2} = 4, x = \pm 2$ ответ

Сам

база $x^{4} - 3 x^{2} = 0$ $0; \pm 3$
база $3 x^{4} + 2 x^{2} - 1 = 0$ $\pm \frac{3}{3}$
база $x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0$ нет корней

R03.1 · R03.3

Сводка · что сводится к биквадратному

Сначала приведите уравнение к виду $a t^{2} + b t + c = 0$

Вид уравнения	Действие	Что получится
$(x^{2} + 1) (x^{2} - 4) = 6$	раскрыть скобки, всё влево	$x^{4} - 3 x^{2} - 10 = 0$
$x^{2} - \frac{36}{x ^{2}} = 5$	$x \neq = 0$ , умножить на $x^{2}$	$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$
$(x - 1)^{4} - 5 (x - 1)^{2} + 4 = 0$	$y = x - 1$	$y^{4} - 5 y^{2} + 4 = 0$
$(x^{2} - 2)^{2} - 3 (x^{2} - 2) - 4 = 0$	$t = x^{2} - 2, t \geq - 2$	$t^{2} - 3 t - 4 = 0$

R03.1

Образец → сам · сводится к биквадратному

Раскройте скобки или сделайте замену

Образец

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 4) = 6$

$x^{4} - 3 x^{2} - 10 = 0$ раскрыли, перенесли

$t = 5, t = - 2$ Виета для $t = x^{2}$

$x^{2} = 5$ $t = - 2$ не подходит

$x = \pm 5$ ответ

Сам

база $x^{2} (x^{2} + 3) = 4$ $\pm 1$
база $(x^{2} - 5) (x^{2} + 5) = 24 x^{2}$ $\pm 5$
повыш. $(x - 1)^{4} - 5 (x - 1)^{2} + 4 = 0$ $- 1; 0; 2; 3$

R03.1 · R03.3

Образец → сам · дробное уравнение

ОДЗ — до умножения на знаменатель

Образец

$x^{2} - \frac{36}{x ^{2}} = 5$

$x \neq = 0$ ОДЗ

$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$ умножили на $x^{2} \neq = 0$

$t = 9, t = - 4$ $t = - 4$ не подходит

$x = \pm 3$ $x \neq = 0$ — верно

Сам

база $x^{2} - \frac{4}{x ^{2}} = 3$ $\pm 2$
база $\frac{8}{x ^{2} - 1} = x^{2} + 1$ $\pm 3$
повыш. $\frac{x ^{4} - 10 x ^{2} + 9}{x ^{2} - 9} = 0$ $\pm 1$

R03.1 · опора R01.5

Сводка · свойства корней

Корни парные: если $x_{0}$ — корень, то и $- x_{0}$

x^{2} = t_{1}

или

x^{2} = t_{2}

t_{1} + t_{2} = - \frac{b}{a}, t_{1} t_{2} = \frac{c}{a}

Четыре корня

⟺

D > 0, \frac{c}{a} > 0, - \frac{b}{a} > 0

Если корней четыре: $\pm t_{1}, \pm t_{2}$

сумма корней $= 0$

произведение $= t_{1} t_{2} = \frac{c}{a}$

сумма квадратов $= 2 (t_{1} + t_{2}) = - \frac{2 b}{a}$

R03.1

Образец → сам · обратная задача

По корням — уравнение, по корню — коэффициент

Образец

Биквадратное уравнение с корнями $\pm 2, \pm 3$

$t_{1} = 2, t_{2} = 9$ $t = x^{2}$

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 9) = 0$ по корням $t$

$x^{4} - 11 x^{2} + 18 = 0$ раскрыли

Сам

база $2$ — корень $x^{4} + b x^{2} - 20 = 0$ . Найдите $b$ и остальные корни. $b = 1$ ; другой корень $- 2$
повыш. $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ : сумма квадратов всех корней $26$
повыш. $x^{4} - 7 x^{2} + 5 = 0$ : произведение всех корней $5$

R03.1 · ПР-14

Сводка · параметр и график

Сколько корней у $x^{4} - 6 x^{2} = a$ ?

$y = x^{4} - 6 x^{2}$ — «буква W»

минимум: $x^{2} = 3, y = - 9$

Корни — точки пересечения с прямой

y = a

R03.1 · ПР-14

Образец → сам · параметр

При каких значениях параметра…

Образец

…уравнение $x^{4} - 6 x^{2} = a$ имеет ровно $2$ корня?

$t^{2} - 6 t - a = 0$ нужен ровно один $t > 0$

$a > 0$ : $t_{1} t_{2} = - a < 0$ один $t > 0$

$a = - 9$ : $t = 3$ — двойной $D_{1} = 0$

$a > 0$ или $a = - 9$ ответ

Сам

база… $x^{4} - 6 x^{2} = a$ имеет ровно $4$ корня? $- 9 < a < 0$
база… $x^{4} - 6 x^{2} = a$ имеет ровно $3$ корня? $a = 0$
повыш.…уравнение $x^{4} + b x^{2} + 4 = 0$ имеет ровно $2$ корня? $b = - 4$

3 мин · практика
Образец двумя способами: по графику сл. 12 и через $t$ . При $a > 0$ корни $t$ разных знаков — подходит один; при $a = - 9$ $t = 3$ , $x = \pm 3$ ; при $a = 0$ $t = 0$ и $6$ — три корня, не подходит.
1) Оба $t$ положительны и различны: $D_{1} = 9 + a > 0$ , $t_{1} t_{2} = - a > 0$ , сумма $6 > 0$ : $- 9 < a < 0$ . 2) Один $t = 0$ : $a = 0$ , второй $t = 6$ ; корни $0, \pm 6$ .
3) $t^{2} + b t + 4 = 0$ : произведение $4 > 0$ , поэтому $t$ одного знака и $t \neq = 0$ . Ровно два корня $x$ — только если $t$ двойной и положительный: $b^{2} - 16 = 0$ , $t = - \frac{b}{2} > 0$ , $b = - 4$ ( $t = 2$ , $x = \pm 2$ ). При $b = 4$ $t = - 2$ — корней нет. Проверено перебором в python.

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Ответ — значения $t$

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ : ответ $4; 9$

$x = \pm 2, \pm 3$

после $t$ вернуться к $x^{2} = t$

Корень из минуса

$x^{2} = - 9$ : $x = \pm 3$

корней нет

$(\pm 3)^{2} = 9 \neq = - 9$

Разделили на $x^{2}$

$x^{4} = 9 x^{2} \Rightarrow x^{2} = 9$ , $x = \pm 3$

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ : $0; \pm 3$

при делении потерян корень $0$

R03.1

Найди ошибку

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

Уравнение 1

$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

$t^{2} - 5 t - 36 = 0$ : $t = 9, t = - 4$

Ответ: $x = \pm 3, x = \pm 2$

Ошибка: $x^{2} = - 4$ корней не даёт

Ответ: $\pm 3$

Уравнение 2

$(x^{2} - 2)^{2} - 3 (x^{2} - 2) - 4 = 0$

$t = x^{2} - 2$ : $t = 4, t = - 1$

$t = - 1 < 0$ — не подходит; $x = \pm 2$

Ошибка 1: $t \geq - 2$ , значит $t = - 1$ подходит: $x^{2} = 1$

Ошибка 2: $x^{2} = t + 2 = 6$ . Ответ: $\pm 1; \pm 6$

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите уравнение

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ $\pm 2$
$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ $\pm 1; \pm \frac{1}{2}$

$x^{4} + 7 x^{2} + 10 = 0$ нет корней
$x^{4} - 5 x^{2} = 0$ $0; \pm 5$
$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$ $\pm 2$

R03.1 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена, свойства корней, параметр

повыш. $2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$ $\pm 2; \pm \frac{2}{2}$
повыш. $(x^{2} - 1)^{2} = 2 x^{2} + 1$ $0; \pm 2$
повыш. $(x + 2)^{4} - 10 (x + 2)^{2} + 9 = 0$ $- 5; - 3; - 1; 1$
повыш. $x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ : сумма квадратов всех корней $24$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - 2 a x^{2} + 9 = 0$ имеет $4$ корня? $a > 3$

R03.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение (полное оформление — 2 балла)

$x^{4} = (x - 6)^{2}$ $- 3; 2$
$(x^{2} - 4)^{2} + (x^{2} - 3 x - 10)^{2} = 0$ $- 2$
$\frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{x ^{2} + x - 6} = 0$ $- 2; 3$

1:

A^{2} = B^{2} ⟺ A = \pm B

2: сумма квадратов

= 0

— оба равны

0

3: знаменатель

\neq = 0

R03.1 · R03.7

Задача из жизни

Грядка — прямоугольный треугольник: гипотенуза $13$ м, площадь $30$ м²

практикаСоставьте уравнение для катета $a$ $a^{4} - 169 a^{2} + 3600 = 0$
практикаНайдите катеты $5$ и $12$ м
повыш.Сколько метров бордюра нужно на всю грядку? $30$ м

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ $\pm 1; \pm 4$
база $x^{4} + 3 x^{2} - 28 = 0$ $\pm 2$
база $x^{2} - \frac{18}{x ^{2}} = 7$ $\pm 3$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - 4 x^{2} = a$ имеет ровно $2$ корня? $a > 0$ или $a = - 4$

Вариант 2

база $x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$ $\pm 2; \pm 5$
база $x^{4} + 2 x^{2} - 15 = 0$ $\pm 3$
база $x^{2} - \frac{20}{x ^{2}} = 1$ $\pm 5$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - 8 x^{2} = a$ имеет ровно $2$ корня? $a > 0$ или $a = - 16$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие $t$ отбрасываем и почему?
Сколько корней может быть у биквадратного уравнения?
Чему равна сумма всех его корней?

Домашнее задание

$x^{4} - 50 x^{2} + 49 = 0$
$(x^{2} + 3) (x^{2} - 6) = - 14$
При каких $a$ уравнение $x^{4} - a x^{2} + 4 = 0$ имеет ровно $4$ корня?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-050 · Практикум: Биквадратные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 10/25 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Биквадратные уравнения» → 2, 4–21 · опора R03.3 (дробно-рациональные) → 7, 9 · R03.9 → 3 · применение R03.7 → 19 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные) → 4–9, 14–18, 20 · ПР-11 (замена переменной) → 4, 7, 8, 15, 17 · ПР-4 (корни квадратного трёхчлена, Виета) → 10, 11 · ПР-14 (исследование, графический метод) → 12, 13, 17, 20 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	уравнения 3-й и 4-й степени общего вида, возвратные уравнения — ALG9U-051; второй практикум по теме — ALG9U-059
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:биквадратныеуравнения

Сегодня вы научитесь

Решать без потерь

Узнавать скрытые

Считать по коэффициентам

Исследовать с параметром

Квадраты, корни и замена

ax4+bx2+c=0, a=0: обозначим x2=t

Решите уравнение — ответ в полном виде

Образец

Сам

Не каждое t даёт корни x

Образец

Сам

Сначала приведите уравнение к виду at2+bt+c=0

Раскройте скобки или сделайте замену

Образец

Сам

ОДЗ — до умножения на знаменатель

Образец

Сам

Корни парные: если x0​ — корень, то и −x0​

Если корней четыре: ±t1​​, ±t2​​

По корням — уравнение, по корню — коэффициент

Образец

Сам

Сколько корней у x4−6x2=a?

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Ответ — значения t

Корень из минуса

Разделили на x2

Ученик решил два уравнения. Где ошибки?

Уравнение 1

Уравнение 2

Решите уравнение

Замена, свойства корней, параметр

Решите уравнение (полное оформление — 2 балла)

Грядка — прямоугольный треугольник: гипотенуза 13 м, площадь 30 м²

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-050 · Практикум: Биквадратные уравнения

Практикум:
биквадратные
уравнения

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0, a \neq = 0$ : обозначим $x^{2} = t$

Не каждое $t$ даёт корни $x$

Сначала приведите уравнение к виду $a t^{2} + b t + c = 0$

Корни парные: если $x_{0}$ — корень, то и $- x_{0}$

Если корней четыре: $\pm t_{1}, \pm t_{2}$

Сколько корней у $x^{4} - 6 x^{2} = a$ ?

Ответ — значения $t$

Разделили на $x^{2}$

Грядка — прямоугольный треугольник: гипотенуза $13$ м, площадь $30$ м²