Уравнения и неравенства · урок 9 из 25

Неравенства
с двумя переменными
и их системы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-049

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 9/25, единица R03.9 «Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-048 — система нелинейных уравнений с параметром (графики уравнений с двумя переменными: прямая, окружность, парабола); следующий ALG9U-050 — практикум «Биквадратные уравнения».
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (решение неравенства, множество решений) 2 · 6 (полуплоскость, граница, пробная точка) 3 · 8 (круг, внешность круга, область над параболой) 2 · 10 (система — пересечение, пример учителя) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) 2 + 3 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1 · найди ошибку (сл. 14) 2 · база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и второй вопрос сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.
Нужны: тетрадь в клетку, карандаш, линейка, циркуль (круги на сл. 8–11).

R03.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять решения

является ли пара $(x; y)$ решением неравенства или системы (ПР-13)

Изображать множество решений

полуплоскость, круг, часть плоскости над параболой (ПР-14)

Решать системы неравенств

пересечение областей, площадь фигуры, целые решения (ПР-13)

Строить модели

неравенство с двумя переменными в задаче из жизни (ПР-16)

1 мин · теория
ПР-13 (ФРП дословно): «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте».
Вид деятельности ФРП по строке: «Решать простейшие неравенства с двумя переменными и их системы»; «Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем…».

разминка · R03.5–R03.8

Разминка · устно

Графики уравнений с двумя переменными

3 x + 2 y = 4

(2; - 1)

— решение?

да

y = 2 x - 3

точка на оси

O y

(0; - 3)

2 x + y = 4

точка на оси

O x

(2; 0)

- 2 y > 6

решите

y < - 3

x^{2} + y^{2} = 25

центр, радиус

(0; 0)

,

5

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

центр, радиус

(1; - 2)

,

3

y = x^{2} - 4

вершина параболы

(0; - 4)

x^{2} + y^{2} = 25

(3; 4)

лежит на ней?

да

R03.9

Новый материал · решение неравенства с двумя переменными

Решение — пара чисел, множество решений — область

Решение неравенства с переменными $x$ и $y$ — пара чисел $(x; y)$ , при которой неравенство верно.

Пример: $2 x - y > 1$

$(3; 2)$ : $6 - 2 = 4 > 1$ — решение

$(0; 0)$ : $0 > 1$ — неверно

Все решения на плоскости образуют область; её граница — график уравнения

2 x - y = 1

.

2 мин · теория
Неравенство с двумя переменными: f(x; y) > g(x; y) (или <, ≥, ≤). Решение — упорядоченная пара; (3; 2) и (2; 3) — разные пары: для (2; 3) 4 − 3 = 1 > 1 — неверно.
Вопрос: сколько решений у неравенства 2x − y > 1? (Бесконечно много; их нельзя перечислить — их изображают.) Отличие от уравнения: у уравнения 2x − y = 1 решения — точки прямой, у неравенства — точки по одну сторону от неё.
2x − y > 1 ⇔ y < 2x − 1: область ниже прямой y = 2x − 1, граница не входит (знак строгий) — поэтому пунктир. Проверка: (3; 2) — 2 < 5 ✓, точка ниже прямой; (0; 0) — 0 < −1 неверно, точка выше.

R03.9

Образец → сам · является ли пара решением

Подставьте пару и проверьте неравенство

Образец

Является ли $(- 1; 2)$ решением
$x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 6$ ?

слева: $(- 1)^{2} + 2^{2} = 5$

справа: $- 2 + 6 = 4$

$5 \leq 4$ — неверно

Ответ: не является

Сам

база $(2; - 3)$ и $3 x - 2 y > 10$ да: $12 > 10$
база $(1; 1)$ и $y \geq x^{2} + x - 1$ да: $1 \geq 1$ (знак нестрогий)
повыш.При каких $a$ пара $(a; 3)$ — решение неравенства $y > x^{2} - 1$ ? $- 2 < a < 2$

R03.9

Новый материал · линейное неравенство

Прямая делит плоскость на две полуплоскости

неравенство	множество решений
$y > k x + b$	выше прямой $y = k x + b$
$y < k x + b$	ниже прямой
$x > a$	правее прямой $x = a$

знак	граница
$>$ , $<$	не входит — пунктир
$\geq$ , $\leq$	входит — сплошная

Пробная точка: подставьте

(0; 0)

— верно? штрихуйте сторону с ней.

3 мин · теория
Почему выше: возьмём любое x₀. На прямой y = kx₀ + b; точки той же вертикали с большим y лежат выше прямой и удовлетворяют y > kx₀ + b. Так для каждого x₀ — получаем полуплоскость.
На рисунке прямая y = ½x + 1: выше — y > ½x + 1 (фиолетовая), ниже — y < ½x + 1 (розовая). Прямая нарисована сплошной: она — граница обеих областей при нестрогих знаках.
Алгоритм для ax + by > c: 1) граница ax + by = c — по двум точкам; 2) пунктир или сплошная по знаку; 3) пробная точка (0; 0), если прямая через неё не проходит (иначе — (1; 0)); 4) штрихуем сторону, где неравенство верно. Другой путь — выразить y; при делении на отрицательное число знак меняется.
Вопрос: какая область у x ≤ −1? (Левее вертикальной прямой x = −1, граница входит.) У y > 2? (Выше горизонтальной прямой y = 2.)

R03.9

Образец → сам · полуплоскость

Изобразите множество решений

Образец: $2 x - 3 y \leq 6$

граница $2 x - 3 y = 6$ : $(3; 0)$ , $(0; - 2)$

знак $\leq$ — линия сплошная

$(0; 0)$ : $0 \leq 6$ — верно

штрихуем сторону с $O$ — выше прямой

Сам: где область, какая граница?

база $y < - x + 2$ ниже прямой, пунктир
база $3 x + y \geq 3$ выше $y = - 3 x + 3$ , сплошная
база $x \leq - 1$ левее $x = - 1$ , сплошная
повыш. $- 2 y > 4 x - 6$ $y < - 2 x + 3$ : ниже, пунктир

3 мин · практика
Образец: точки границы: x = 0 → −3y = 6, y = −2; y = 0 → 2x = 6, x = 3. Пробная (0; 0): 2·0 − 3·0 = 0 ≤ 6 — верно, штрихуем полуплоскость с началом координат. Проверка выражением y: −3y ≤ 6 − 2x ⇔ y ≥ ⅔x − 2 (поделили на −3, знак сменили) — выше прямой ✓.
1) Граница y = −x + 2 через (0; 2) и (2; 0); знак строгий — пунктир; «y <» — ниже.
2) y ≥ −3x + 3, граница через (0; 3) и (1; 0), сплошная; (0; 0): 0 ≥ 3 неверно — O не входит, область выше прямой.
3) Вертикальная прямая x = −1, сплошная, область слева от неё.
4) Делим на −2 и меняем знак: y < −2x + 3; граница через (0; 3) и (1,5; 0), пунктир; область ниже (O входит: 0 > −6 ✓). Ученики, ответившие «выше», не сменили знак — разберём на сл. 13.
Каждый ученик делает эскиз в тетради; у доски — 1–2 рисунка.

R03.9

Новый материал · круг и область над параболой

Граница — окружность или парабола

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq r^{2}$
круг: центр $(a; b)$ , радиус $r$

$y > f (x)$ — выше графика
$y < f (x)$ — ниже графика

2 мин · теория
Почему круг: x² + y² — квадрат расстояния от точки (x; y) до начала координат. x² + y² ≤ 4 ⇔ расстояние ≤ 2 — точки круга радиуса 2 вместе с окружностью. x² + y² > 4 — точки дальше 2 от O, окружность не входит (пунктир).
Для (x − a)² + (y − b)² — расстояние до центра (a; b). Ловушка: у (x + 1)² центр по x равен −1.
y ≥ x² − 1: для каждого x берём точки не ниже параболы — внутренняя часть «чаши» с самой параболой. Правило «выше/ниже графика» верно для любой функции y = f(x), в том числе для прямой (сл. 6).
Пробная точка тоже работает: (0; 0) в x² + y² ≤ 4: 0 ≤ 4 ✓ — внутри.

R03.9

Образец → сам · обратная задача

Запишите неравенство по описанию области

Образец: какое неравенство?

центр $(2; 1)$ , $r = 2$

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$

внутри — « $<$ », пунктир — строго

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} < 4$

Сам

базаВне круга: центр $(0; 3)$ , $r = 1$ , граница входит $x^{2} + (y - 3)^{2} \geq 1$
базаВыше параболы $y = x^{2} - 2 x$ , граница не входит $y > x^{2} - 2 x$
повыш.Изобразите $x^{2} + y^{2} - 4 x \leq 0$ $(x - 2)^{2} + y^{2} \leq 4$ : круг

3 мин · практика
Образец: центр по клеткам (2; 1), радиус до точки (4; 1) — 2. Окружность (x − 2)² + (y − 1)² = 4. Заштрихована внутренность, окружность пунктирная — неравенство строгое «<». Проверка центром: 0 < 4 ✓.
1) Внешность круга с границей: x² + (y − 3)² ≥ 1. Проверка O: 0 + 9 = 9 ≥ 1 ✓ — O снаружи круга, верно.
2) y > x² − 2x (строго — граница пунктиром). Вершина параболы (1; −1).
3) Выделяем полный квадрат: x² − 4x + 4 + y² ≤ 4 ⇔ (x − 2)² + y² ≤ 4: круг с центром (2; 0), радиусом 2, граница входит; проходит через O.

R03.9

Новый материал · система неравенств

Решения системы — пересечение областей

Пример: $⎩ ⎨ ⎧ y \leq - x + 4 y \geq x x \geq 0$

1) ниже прямой $y = - x + 4$

2) выше прямой $y = x$

3) правее оси $O y$

общая часть — треугольник

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$

3 мин · теория (пример решает учитель у доски)
Определение: решение системы неравенств с двумя переменными — пара, верная для каждого неравенства системы. Множество решений — пересечение (общая часть) областей. (Совокупность «или» — объединение; здесь не нужна.)
Каждую границу строим по двум точкам: y = −x + 4 — (0; 4), (4; 0); y = x — (0; 0), (2; 2); x = 0 — ось Oy. Все знаки нестрогие — границы сплошные.
Вершины: y = x и y = −x + 4 ⇒ x = −x + 4, x = 2, (2; 2); x = 0 с прямыми — (0; 0) и (0; 4). Площадь: основание на оси Oy длиной 4, высота — расстояние от (2; 2) до оси Oy, равно 2; S = ½·4·2 = 4.
Проверка точкой внутри: (1; 2): 2 ≤ 3 ✓; 2 ≥ 1 ✓; 1 ≥ 0 ✓.

R03.9

Образец → сам · система и площадь

Изобразите множество решений и найдите площадь

Образец: ${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \geq 0$

круг $r = 3$ и верхняя полуплоскость

полукруг: $S = \frac{1}{2} π \cdot 3^{2} = 4, 5 π$

Сам

база ${x \geq 0, y \geq 0 x + y \leq 3$ треугольник, $S = 4, 5$
база ${x^{2} + y^{2} \leq 4 y \geq x$ полукруг, $S = 2 π$
повыш. ${∣ x ∣ \leq 2 ∣ y ∣ \leq 1$ прямоугольник $4 \times 2$ , $S = 8$

3 мин · практика
Образец: x² + y² ≤ 9 — круг с центром O, r = 3, граница входит; y ≥ 0 — верхняя полуплоскость с осью Ox. Общая часть — верхний полукруг. S = ½·π·9 = 4,5π.
1) Прямоугольный треугольник с вершинами (0; 0), (3; 0), (0; 3): S = ½·3·3 = 4,5.
2) Прямая y = x проходит через центр круга и делит его пополам; y ≥ x — половина выше прямой. S = ½·π·4 = 2π.
3) |x| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 — вертикальная полоса; |y| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 — горизонтальная полоса. Пересечение — прямоугольник 4 × 2, S = 8.
Ответ оставляем с π (в ОГЭ так и пишут, если не сказано иначе).

R03.9

Образец → сам · целые решения

Сколько пар целых чисел — решений системы?

Образец: ${y > x^{2} - 3 y < 1$

$y$ целое, $y < 1$ ⇒ $y \leq 0$

$x = 0$ : $y = - 2; - 1; 0$ — 3

$x = \pm 1$ : $y = - 1; 0$ — 4

$x = \pm 2$ : $y > 1$ — нет

Ответ: 7

Сам

база ${x \geq 0, y \geq 0 x + y \leq 3$ $10$
повыш. $x^{2} + y^{2} < 5$ $13$
повыш. ${y \geq ∣ x ∣ y \leq 2$ $9$

2 мин · практика
Образец: перебор по x. Условие x² − 3 < y ≤ 0. x = 0: −3 < y ≤ 0 — y = −2, −1, 0 (3 пары). x = ±1: −2 < y ≤ 0 — y = −1, 0 (по 2, всего 4). x = ±2: 1 < y ≤ 0 — нет. Итого 7 (пересчитано перебором в python). На рисунке точки открываются по клику.
1) Перебор по y: y = 0 — x = 0…3 (4); y = 1 — 3; y = 2 — 2; y = 3 — 1. Всего 10.
2) |x|, |y| ≤ 2. x = 0: y = 0, ±1, ±2 (5); x = ±1: y = 0, ±1 (по 3, всего 6); x = ±2: y = 0 (2). Всего 13. Точки (±1; ±2), (±2; ±1) не подходят: 1 + 4 = 5, неравенство строгое.
3) y = 0 — x = 0 (1); y = 1 — x = −1, 0, 1 (3); y = 2 — x = −2…2 (5). Всего 9.

R03.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$- 2 y > 4 x - 6 \Rightarrow y > - 2 x + 3$	делили на отрицательное число	$y < - 2 x + 3$
$y < x^{2}$ : парабола сплошной линией	знак строгий — граница не входит	парабола пунктиром
$x^{2} + y^{2} \leq 9$ : радиус $9$	справа стоит $r^{2}$	$r = 3$
система — все заштрихованные части	нужны пары, верные для каждого неравенства	только общая часть

R03.9

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $(0; 0)$ — решение системы ${2 x + y \leq 4 x - y > 1$ ?

1) $x - y > 1 \Rightarrow y > x - 1$ — выше прямой

2) $2 \cdot 0 + 0 \leq 4$ — значит, $(0; 0)$ — решение

1) $- y > 1 - x \Rightarrow y < x - 1$ — ниже

2) $0 - 0 > 1$ неверно ⇒ не решение

б) Изобразите $x^{2} + y^{2} - 6 x < 0$

$(x + 3)^{2} + y^{2} < 9$

круг: центр $(- 3; 0)$ , $r = 3$ , граница сплошная

$(x - 3)^{2} + y^{2} < 9$ : центр $(3; 0)$

знак строгий — окружность пунктиром

2 мин · практика
Сначала видны только красные строки «решения ученика»; 1 минута в парах — найти ошибки, затем открывать исправления.
а) Две ошибки. Шаг 1: перенос x и деление на −1 без смены знака; верно: y < x − 1. Шаг 2: проверено только первое неравенство; для системы нужно оба. Второе: 0 − 0 = 0 > 1 — ложь, (0; 0) не решение. Пример решения системы: (3; 0): 6 ≤ 4? нет; (2; 0): 4 ≤ 4 ✓, 2 > 1 ✓ — решение.
б) x² − 6x = (x − 3)² − 9, поэтому (x − 3)² + y² < 9: центр (3; 0), r = 3. Ошибка в знаке центра и в типе границы (знак < — пунктир). Круг касается оси Oy в точке O, сама O не входит: 0 < 0 неверно.

R03.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$(- 2; 1)$ — решение $3 x + 4 y < - 1$ ? да: $- 2 < - 1$
$(1; - 2)$ — решение $x^{2} + y^{2} > 5$ ? нет: $5 > 5$ неверно
Где область $y \geq 3 x - 2$ и какая граница? выше прямой, сплошная

Входит ли $O$ в область $x + 2 y > 4$ ? нет: $0 > 4$ неверно
Центр и радиус круга $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} \leq 16$ $(- 1; 2)$ , $r = 4$
Какой системой задана первая четверть без осей? $x > 0, y > 0$

R03.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите площадь фигуры ${x^{2} + y^{2} \leq 16 x \leq 0, y \geq 0$ $4 π$
повыш.При каких $b$ точка $(2; b)$ лежит внутри круга $x^{2} + y^{2} < 13$ ? $- 3 < b < 3$
повыш.Запишите систему для треугольника с вершинами $(0; 0)$ , $(4; 0)$ , $(0; 2)$ $x \geq 0, y \geq 0, x + 2 y \leq 4$
повыш.Найдите площадь фигуры $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ $8$
повыш.В каких четвертях лежат решения неравенства $x y > 0$ ? I и III

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. 4–5 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Четверть круга радиуса 4 во второй четверти: S = ¼·π·16 = 4π.
2) 4 + b² < 13 ⇔ b² < 9 ⇔ −3 < b < 3. Граничное b = 3: 4 + 9 = 13 < 13 — неверно, концы не входят.
3) Гипотенуза через (4; 0) и (0; 2): x/4 + y/2 = 1 ⇔ x + 2y = 4; O под ней: 0 ≤ 4 ✓. Система: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 4.
4) В первой четверти x + y ≤ 2 — треугольник с площадью 2; симметрия относительно осей — 4 таких треугольника, квадрат с вершинами (±2; 0), (0; ±2), диагонали по 4: S = ½·4·4 = 8.
5) Произведение положительно, когда x и y одного знака: I и III четверти (оси не входят).

R03.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Множество точек и прямая $y = m$

Изобразите множество точек, заданное системой ${y \geq x^{2} - 4 y \leq 0$

а) При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно одну общую точку? $m = - 4$

б) При каких $m$ общая часть — отрезок длины $2$ ? $m = - 3$

В ответе ОГЭ — рисунок, обоснование и ответ; граничные значения

m

проверяют отдельно.

3 мин · практика
Фигура: часть плоскости над параболой y = x² − 4 (вершина (0; −4), нули ±2) и под осью Ox — «сегмент» с основанием [−2; 2] на оси Ox и нижней точкой (0; −4). Границы входят (знаки нестрогие).
а) Прямая y = m пересекает фигуру при −4 ≤ m ≤ 0. При m = −4 — одна точка (вершина); при −4 < m ≤ 0 — отрезок (бесконечно много точек); при m < −4 или m > 0 — нет общих точек. Ответ: m = −4.
б) При −4 ≤ m ≤ 0: x² − 4 ≤ m ⇔ |x| ≤ √(m + 4), длина отрезка 2√(m + 4) = 2 ⇒ m + 4 = 1, m = −3 (отрезок от (−1; −3) до (1; −3)). Проверено вычислением.
Это задание «по мотивам» линии 22: там фигура — график функции, здесь — множество решений системы; рассуждение о прямой y = m то же.

R03.9 · модель

Задача из жизни · модель неравенством

300 ₽ на тетради и ручки

Тетрадь — 40 ₽ ( $x$ шт.), ручка — 30 ₽ ( $y$ шт.).

Модель: $40 x + 30 y \leq 300$ , $x, y \geq 0$ , целые

Хватит ли на 4 тетради и 5 ручек? нет: $310 > 300$
А на 3 тетради и 6 ручек? да: ровно $300$
Сколько предметов можно купить больше всего, если нужно хотя бы 2 тетради? $9$ : 2 + 7 или 3 + 6

R03.9

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$(3; - 1)$ — решение $2 x - 5 y > 10$ ? да: $11 > 10$
Изобразите $y \leq - 2 x + 4$ ниже, сплошная: $(0; 4)$ , $(2; 0)$
Площадь фигуры $x^{2} + y^{2} \leq 9, y \leq 0$ $4, 5 π$
Число целых решений: $y \geq x^{2} - 2, y \leq 0$ $7$

Вариант 2

$(- 2; 3)$ — решение $4 x - y > - 10$ ? нет: $- 11 > - 10$ неверно
Изобразите $y > 3 x - 3$ выше, пунктир: $(0; - 3)$ , $(1; 0)$
Площадь фигуры $x^{2} + y^{2} \leq 16, x \geq 0$ $8 π$
Число целых решений: $y \leq 3 - x^{2}, y \geq 0$ $10$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) 6 + 5 = 11 > 10 — да. 2) Граница y = −2x + 4 через (0; 4) и (2; 0), сплошная; ниже прямой (O входит: 0 ≤ 4). 3) Нижний полукруг r = 3: S = ½·9π = 4,5π. 4) Условие x² − 2 ≤ y ≤ 0: y = −2 — x = 0 (1); y = −1 — x² ≤ 1: 3; y = 0 — x² ≤ 2: 3. Всего 7.
Вариант 2: 1) −8 − 3 = −11 > −10 — ложь, нет. 2) Граница y = 3x − 3 через (0; −3) и (1; 0), пунктир; выше прямой (O входит: 0 > −3). 3) Правый полукруг r = 4: S = ½·16π = 8π. 4) 0 ≤ y ≤ 3 − x²: y = 0 — x² ≤ 3: 3; y = 1 — x² ≤ 2: 3; y = 2 — x² ≤ 1: 3; y = 3 — x = 0: 1. Всего 10.
Все числа пересчитаны перебором в python. Взаимопроверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по знаку понять, входит ли граница?
Как проверить сторону пробной точкой?
Что такое множество решений системы?

Домашнее задание

Изобразите: $x - 2 y \geq 4$ ; $(x + 2)^{2} + y^{2} < 4$
Площадь фигуры $y \geq ∣ x ∣, y \leq 3$
* Число целых решений $x^{2} + y^{2} \leq 5$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) y ≤ ½x − 2 — ниже сплошной прямой через (0; −2) и (4; 0) (O не входит: 0 ≥ 4 неверно); круг с центром (−2; 0), r = 2, граница пунктиром (касается Oy в O). 2) Треугольник с вершинами (0; 0), (−3; 3), (3; 3): S = ½·6·3 = 9. 3) 21 пара: 13 точек с x² + y² < 5 и ещё 8 точек (±1; ±2), (±2; ±1) на окружности (проверено перебором).
Вне урока: неравенства с параметром и графический метод с параметром — 10–11 класс; совокупности неравенств — не включены. Следующий урок ALG9U-050 — практикум «Биквадратные уравнения».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-049 · Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 9/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.9 «Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы» → 2, 4–20 · повторение R03.5–R03.8 (графики уравнений с двумя переменными) → 3
Результаты	ПР-13 (неравенства и системы, в том числе в целых числах) → 4–7, 10–12, 15, 16, 19 · ПР-14 (исследование с графическими представлениями) → 6–11, 17 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18
Вне урока	практикум «Биквадратные уравнения» — ALG9U-050; неравенства с параметром на плоскости — не включены; совокупности — не включены
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неравенствас двумя переменнымии их системы

Сегодня вы научитесь

Проверять решения

Изображать множество решений

Решать системы неравенств

Строить модели

Графики уравнений с двумя переменными

Решение — пара чисел, множество решений — область

Подставьте пару и проверьте неравенство

Образец

Сам

Прямая делит плоскость на две полуплоскости

Изобразите множество решений

Образец: 2x−3y≤6

Сам: где область, какая граница?

Граница — окружность или парабола

Запишите неравенство по описанию области

Образец: какое неравенство?

Сам

Решения системы — пересечение областей

Изобразите множество решений и найдите площадь

Образец: {x2+y2≤9y≥0​

Сам

Сколько пар целых чисел — решений системы?

Образец: {y>x2−3y<1​

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) (0;0) — решение системы {2x+y≤4x−y>1​?

б) Изобразите x2+y2−6x<0

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Множество точек и прямая y=m

300 ₽ на тетради и ручки

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-049 · Простейшие неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенства
с двумя переменными
и их системы

Образец: $2 x - 3 y \leq 6$

Образец: ${x^{2} + y^{2} \leq 9 y \geq 0$

Образец: ${y > x^{2} - 3 y < 1$

а) $(0; 0)$ — решение системы ${2 x + y \leq 4 x - y > 1$ ?

б) Изобразите $x^{2} + y^{2} - 6 x < 0$

Множество точек и прямая $y = m$