Уравнения и неравенства · урок 8 из 25

Система нелинейных уравнений с параметром

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-048

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 8/25, единица R03.8 «Система нелинейных уравнений с параметром». Тип урока — Н. Прошлые уроки: ALG9U-046 (графический метод), ALG9U-047 (система как модель); следующий ALG9U-049 — неравенства с двумя переменными.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (что значит решить, схема) 2 · 5 (пример учителя: парабола и семейство прямых) 2 · 7 (касание прямой и окружности) 2 · 9 (параметр при x²) 2 · 11 (симметрия: необходимое условие и проверка) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 13) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Картинка на титуле: окружность и три прямые x + y = a; яркая — касательная (одно решение).
Если не успеваете: задание 3 сл. 13 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сводить систему к уравнению

и считать решения по знаку $D$ в зависимости от параметра (ПР-10)

Не терять особые случаи

старший коэффициент $= 0$ ; корень даёт две точки или ни одной (ПР-7, ПР-10)

Видеть задачу на графике

касание, сдвиг и поворот прямой, «раздувание» окружности (ПР-14)

Искать единственное решение

через симметрию: необходимое условие + проверка (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-10 (ФРП дословно): «Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-7: «Решать несложные квадратные уравнения с параметром» — опора.
Вид деятельности ФРП по строке: «Исследовать системы нелинейных уравнений с параметром», «Приводить графическую интерпретацию решения… систем уравнений с двумя переменными». Кодификатора у курса нет.

разминка · R03.5–R03.6

Разминка · устно

Дискриминант, подстановка, графики

x^{2} - 6 x + a = 0

один корень при

a =

?

9

x^{2} + 4 x - a = 0

D_{1} =

?

4 + a

k x^{2} + 2 x + 1 = 0

корень при

k = 0

- 0, 5

x^{2} + y^{2} = 9

центр и радиус

O (0; 0), 3

{x^{2} + y^{2} = 5 y = x + 1

уравнение для

x

x^{2} + x - 2 = 0

та же система

её решения

(1; 2), (- 2; - 1)

y = x^{2}

и

y = - 1

общих точек?

0

(2; 1)

— решение

x^{2} + y^{2} = 5

ещё решение?

(- 2; 1)

R03.8

Новый материал · что значит «решить систему с параметром»

Для каждого значения $a$ указать, сколько решений и какие

1

Выразить переменную из одного уравнения, подставить в другое

2

Коэффициент при $x^{2}$ зависит от $a$ ? Отдельно случай, когда он $= 0$

3

Число корней — по знаку $D$ (или $D_{1}$ )

4

Перевести корни уравнения в решения системы (пары $(x; y)$ )

Алгебраически: решения системы ↔ корни уравнения, если по корню однозначно находится вторая переменная

Графически: решения ↔ общие точки кривых; параметр сдвигает, поворачивает или «раздувает» одну из них

R03.8

Новый материал · пример учителя

Сколько решений у системы ${y = x^{2} y = 2 x + a$ ?

$x^{2} - 2 x - a = 0$ подставили $y$

$D_{1} = 1 + a$ $k = - 1$

$a > - 1$ : два решения

$a = - 1$ : одно, $(1; 1)$ — касание

$a < - 1$ : решений нет

Каждому корню

x

— ровно одна точка:

y = x^{2}

R03.8

Образец → сам · подстановка и дискриминант

Парабола и прямая

Образец

Сколько решений у ${y = x^{2} - 3 x y = x + a$ при каждом $a$ ?

$x^{2} - 4 x - a = 0$ приравняли $y$

$D_{1} = 4 + a$ $k = - 2$

$a > - 4$ : два; $a = - 4$ : одно $(2; - 2)$

$a < - 4$ : нет решений

Сам

база ${y = x^{2} + 2 y = 2 x + a$ — ровно одно решение? Найдите его. $a = 1; (1; 3)$
база ${y = - x^{2} + 4 x y = a$ — два решения? $a < 4$
повыш. ${y = x^{2} y = k x - 1$ — ровно одно решение? $k = \pm 2$

R03.8

Новый материал · окружность и прямая

${x^{2} + y^{2} = 8 x + y = a$ : касание $\Leftrightarrow D = 0$

$x^{2} + (a - x)^{2} = 8$ $y = a - x$

$2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 8 = 0$

$D_{1} = a^{2} - 2 (a^{2} - 8) = 16 - a^{2}$

$∣ a ∣ < 4$ : два · $a = \pm 4$ : одно · $∣ a ∣ > 4$ : нет

Проверка геометрией: расстояние от

O

до прямой

\frac{∣ a ∣}{2} = r = 22

,

∣ a ∣ = 4

R03.8

Образец → сам · окружность и прямая

Касание, пересечение, нет общих точек

Образец

При каких $a$ система ${x^{2} + y^{2} = 5 y = 2 x + a$ имеет ровно одно решение?

$5 x^{2} + 4 a x + a^{2} - 5 = 0$

$D_{1} = 4 a^{2} - 5 (a^{2} - 5) = 25 - a^{2}$

$D_{1} = 0$ : $a = \pm 5$ ответ

Сам

база ${x^{2} + y^{2} = 2 x + y = a$ — ровно одно решение? $a = \pm 2$
база ${x^{2} + y^{2} = 10 y = 3 x + a$ — нет решений? $a < - 10$ или $a > 10$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = r^{2} x + y = 4$ , $r > 0$ — два решения? $r > 22$

R03.8 · ПР-7

Новый материал · параметр при x²

${y = a x^{2} y = 4 x - 3$ : $a x^{2} - 4 x + 3 = 0$ — не всегда квадратное

случай	уравнение	решений системы
$a = 0$	$- 4 x + 3 = 0$ , $x = 0, 75$	одно: $(0, 75; 0)$
$a \neq = 0$	$D_{1} = 4 - 3 a$	—
$a < \frac{4}{3}, a \neq = 0$	$D_{1} > 0$	два
$a = \frac{4}{3}$	$D_{1} = 0$ , $x = 1, 5$	одно: $(1, 5; 3)$
$a > \frac{4}{3}$	$D_{1} < 0$	нет

2 мин · теория
При a = 0 первое уравнение задаёт прямую y = 0 (ось x), она пересекает y = 4x − 3 в одной точке (0,75; 0). Формула D здесь не применима — уравнение линейное.
a = 4/3: x = 4/(2·4/3) = 1,5, y = 4·1,5 − 3 = 3; проверка: (4/3)·2,25 = 3 ✓. На рисунке a = 1 (две точки (1; 1), (3; 9)), a = 4/3 (касание), a = 2 (нет точек), a = 0 (ось x).
Итог: ровно одно решение при a = 0 и при a = 4/3. Если в условии сказано «квадратное уравнение» — тогда a ≠ 0 по условию; у нас система, вырожденный случай разбираем обязательно.

R03.8 · ПР-7

Образец → сам · старший коэффициент с параметром

Два случая: коэффициент при $x^{2}$ равен $0$ и не равен

Образец

При каких $a$ система ${y = a x^{2} + x y = 3 x - 1$ имеет ровно одно решение?

$a x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$a = 0$ : $x = 0, 5$ — одно ✓

$a \neq = 0$ : $D_{1} = 1 - a = 0$ , $a = 1$

Ответ: $a = 0$ или $a = 1$

Сам

база ${y = (a - 1) x^{2} y = 2 x - 1$ — ровно одно решение? $a = 1$ или $a = 2$
повыш. ${y = a x^{2} y = x + 2$ — нет решений? $a < - \frac{1}{8}$
повыш. ${y = a x^{2} + 3 x y = x - 1$ — два решения? $a < 1, a \neq = 0$

R03.8 · ПР-14

Новый материал · симметрия решений

${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + a$ : когда решение единственное?

$(x_{0}; y_{0})$ — решение $\Rightarrow$ $(- x_{0}; y_{0})$ — тоже

Единственное $\Rightarrow$ $x_{0} = 0$ , $y_{0} = a$ , $a^{2} = 4$

$a = \pm 2$ необходимое условие

$a = 2$ : $y^{2} + y - 6 = 0$ , $y = 2$ или $y = - 3$ $x^{2} = y - 2$

только $(0; 2)$ ✓

$a = - 2$ : $(0; - 2), (\pm 3; 1)$ — три ✗

Ответ: $a = 2$

R03.8 · ПР-14

Образец → сам · единственное решение и симметрия

Кандидаты из $x = 0$ , потом проверка

Образец

При каких $a$ система ${x^{2} + y^{2} = 1 y = ∣ x ∣ + a$ имеет единственное решение?

$x = 0$ : $y = a$ , $a^{2} = 1$ , $a = \pm 1$

$a = 1$ : $y \geq 1$ и $y \leq 1$ ⇒ $(0; 1)$ ✓

$a = - 1$ : $2 x^{2} - 2∣ x ∣ = 0$ — три ✗

Ответ: $a = 1$

Сам

база ${y = x^{2} + a y = - x^{2} + 4$ — единственное решение? $a = 4$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 4 y = a - x^{2}$ — единственное решение? $a = - 2$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 1 y = a x^{2}$ — единственное решение? ни при каких $a$

3 мин · практика
Образец: a = 1 — из окружности |y| ≤ 1, а y = |x| + 1 ≥ 1, значит y = 1, x = 0. a = −1: x² + (|x| − 1)² = 1 ⇒ 2x² − 2|x| = 0 ⇒ |x| = 0 или 1: точки (0; −1), (1; 0), (−1; 0) — три.
1) x = 0: a = 4. Проверка: x² + 4 = −x² + 4 ⇒ x = 0 — одно решение (0; 4) ✓. Ответ a = 4.
2) x = 0: y = a, a² = 4, a = ±2. a = −2: y = −2 − x² ≤ −2, из окружности y ≥ −2 ⇒ только (0; −2) ✓. a = 2: x² = 2 − y ⇒ y² − y − 2 = 0 ⇒ y = 2 (x = 0) или y = −1 (x = ±√3) — три ✗. Ответ a = −2.
3) x = 0 ⇒ y = 0, но (0; 0) не лежит на окружности. Значит, у всех решений x ≠ 0, они идут парами — единственного решения не бывает ни при каком a (при любом a решений ровно два).

R03.8 · ПР-14

Образец → сам · графический метод

Прямая $y = k x + 1$ вращается вокруг точки $(0; 1)$

Образец: число решений ${y = ∣ x ∣ y = k x + 1$

$∣ k ∣ < 1$ : два · $∣ k ∣ \geq 1$ : одно · нет — никогда

Сам

база ${y = ∣ x ∣ y = a$ — два решения? $a > 0$
повыш. ${y = ∣ x ∣ y = x + a$ — сколько решений? $a > 0$ : одно; $a = 0$ : бесконечно много;
$a < 0$ : нет
повыш. ${y = ∣ x ∣ y = k x - 1$ — нет решений? $- 1 \leq k \leq 1$

2 мин · практика
Образец алгебраически: x ≥ 0: x = kx + 1 ⇒ x = 1/(1 − k) ≥ 0 при k < 1; x < 0: −x = kx + 1 ⇒ x = −1/(1 + k) < 0 при k > −1. На рисунке k = 0 (две точки (±1; 1)), k = 1 (параллельна правому лучу, одна точка (−0,5; 0,5)), k = −2 (одна точка (1/3; 1/3)).
1) a > 0 — две точки (±a; a); a = 0 — одна (0; 0); a < 0 — нет.
2) При x ≥ 0: x = x + a ⇒ a = 0, и тогда подходят все x ≥ 0 — бесконечно много решений. При x < 0: −x = x + a ⇒ x = −a/2 < 0 при a > 0. Итог: a > 0 — одно; a = 0 — бесконечно много; a < 0 — нет.
3) x ≥ 0: x = −1/(1 − k) ≥ 0 при k > 1; x < 0: x = 1/(1 + k) < 0 при k < −1. Нет решений при −1 ≤ k ≤ 1. Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R03.8

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли $a = 0$

${y = a x^{2} y = 2 x - 1$ : одно решение при $a = 1$

$a = 0$ или $a = 1$

при $a = 0$ : $x = 0, 5$ — тоже одно

Потеряли знак

$x + y = a$ касается $x^{2} + y^{2} = 8$ : $16 - a^{2} = 0$ , $a = 4$

$a = 4$ или $a = - 4$

$a^{2} = 16$ — два корня, две касательные

Нет проверки

Симметрия: $x = 0$ , $a^{2} = 4$ ⇒ ответ $a = \pm 2$

только $a = 2$

при $a = - 2$ решений три (сл. 11)

R03.8

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Одно решение: ${x^{2} + y^{2} = 5 x - 2 y = a$

$x = a + 2 y$ : $5 y^{2} + 4 a y + a^{2} - 5 = 0$

$D_{1} = 4 a^{2} - 5 (a^{2} - 5) = - a^{2} - 25 < 0$

Ответ: ни при каких $a$

Ошибка в знаке: $- 5 \cdot (- 5) = + 25$ , $D_{1} = 25 - a^{2}$

Ответ: $a = \pm 5$

2. Сколько решений: ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} - 3$

$x^{2} = y + 3$ : $y^{2} + y - 6 = 0$

$y = 2$ , $y = - 3$ ⇒ два решения

Ошибка: корней $y$ два, а точек больше

$y = 2$ : $x = \pm 5$ ; $y = - 3$ : $x = 0$

Ответ: три решения

R03.8

Задания с самопроверкой · база

При каких значениях параметра…

${y = x^{2} + 1 y = a$ — два решения? $a > 1$
${y = x^{2} y = 4 x + a$ — одно решение? $a = - 4$
${x^{2} + y^{2} = 18 x + y = a$ — нет решений? $∣ a ∣ > 6$

${x y = 4 x + y = a$ — одно решение? $a = \pm 4$
${y = x^{2} y = k x - 4$ — одно решение? $k = \pm 4$
${x^{2} + y^{2} = 4 y = x + a$ — два решения? $∣ a ∣ < 22$

R03.8 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Особые случаи и количество точек

повыш. ${y = a x^{2} + 2 x + 1 y = x$ — есть хотя бы одно решение? $a \leq \frac{1}{4}$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = a^{2} x + y = 2$ — ровно одно решение? $a = \pm 2$

повыш. ${y = x^{2} y = ∣ x ∣ + a$ — ровно два решения? $a > 0$ или $a = - \frac{1}{4}$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} + a$ — единственное решение? $a = 4$

2 мин · практика
1) ax² + x + 1 = 0. a = 0: x = −1 — решение есть. a ≠ 0: D = 1 − 4a ≥ 0 ⇒ a ≤ 1/4. Ответ: a ≤ 1/4 (a = 0 входит).
2) 2x² − 4x + 4 − a² = 0, D₁ = 4 − 2(4 − a²) = 2a² − 4 = 0 ⇒ a = ±√2; касание в (1; 1). (a = 0 — окружность вырождается в точку (0; 0), она не лежит на прямой.)
3) Замена t = |x| ≥ 0: t² − t − a = 0. Каждому t > 0 — две точки, t = 0 — одна. a > 0: корни разных знаков — одна положительная t ⇒ 2 решения. a = 0: t = 0 и t = 1 ⇒ 3. −1/4 < a < 0: два положительных t ⇒ 4. a = −1/4: t = 1/2 ⇒ 2. a < −1/4: нет. Ответ: a > 0 или a = −1/4.
4) Симметрия: x = 0, a² = 16, a = ±4. a = 4: y² + y − 20 = 0, y = 4 (x = 0) или y = −5 (x² = −9) — одно ✓. a = −4: y² + y − 12 = 0, y = −4 (x = 0), y = 3 (x = ±√7) — три ✗. Ответ a = 4. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.

R03.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки?

$x \geq 0$ : $y = (x - 2)^{2} - 1$

$x < 0$ : $y = (x + 2)^{2} - 1$

три точки: $m = 3$ ответ $3$

А ровно две?

m = - 1

или

m > 3

R03.8 · R03.7

Задача из жизни

Огород площадью $24$ м² огораживают забором длиной $P$ м

⎩ ⎨ ⎧ x y = 24 x + y = \frac{P}{2}

практикаРазмеры при $P = 20$ м? $4$ и $6$ м
практикаПри каких $P$ участок существует? $P \geq 86 \approx 19, 6$
практикаКакой он при наименьшем $P$ ? квадрат $\approx 4, 9$ м

R03.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

${y = x^{2} + 3 y = a$ — два решения? $a > 3$
${y = x^{2} y = 2 x + a$ — нет решений? $a < - 1$
${x^{2} + y^{2} = 8 x - y = a$ — одно решение? $a = \pm 4$
${y = a x^{2} y = 2 x - 1$ — ровно одно решение? $a = 0$ или $a = 1$

Вариант 2

${y = - x^{2} + 5 y = a$ — два решения? $a < 5$
${y = x^{2} y = 4 x + a$ — два решения? $a > - 4$
${x^{2} + y^{2} = 2 x + y = a$ — нет решений? $∣ a ∣ > 2$
${y = a x^{2} y = 2 x + 3$ — ровно одно решение? $a = 0$ или $a = - \frac{1}{3}$

4 мин · практика
3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x² = a − 3 > 0 ⇒ a > 3. 2) x² − 2x − a = 0, D₁ = 1 + a < 0 ⇒ a < −1. 3) x = y + a: 2y² + 2ay + a² − 8 = 0, D₁ = 16 − a² = 0 ⇒ a = ±4 (точки (2; −2), (−2; 2)). 4) ax² − 2x + 1 = 0: a = 0 ⇒ x = 0,5 (одно); a ≠ 0 ⇒ D₁ = 1 − a = 0, a = 1. Ответ: 0 или 1.
В-2. 1) x² = 5 − a > 0 ⇒ a < 5. 2) x² − 4x − a = 0, D₁ = 4 + a > 0 ⇒ a > −4. 3) 2x² − 2ax + a² − 2 = 0, D₁ = 4 − a² < 0 ⇒ a < −2 или a > 2. 4) ax² − 2x − 3 = 0: a = 0 ⇒ x = −1,5 (одно); a ≠ 0 ⇒ D₁ = 1 + 3a = 0, a = −1/3 (точка (−3; −3)). Ответ: 0 или −1/3.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задание 4 — проверка главного: не потерян ли случай a = 0.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по $D$ узнать, касается ли прямая кривой?
Когда корень уравнения даёт две точки?
Почему после симметрии нужна проверка?

Домашнее задание

Число решений ${y = x^{2} - 2 x y = 2 x + a$ при каждом $a$
Одно решение: ${x^{2} + y^{2} = 20 y = 2 x + a$
* Единственное решение: ${x^{2} + y^{2} = 9 y = ∣ x ∣ + a$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-048 · Система нелинейных уравнений с параметром

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 9 класс
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 8/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.8 «Система нелинейных уравнений с параметром» → 2, 4–21 · опора R03.5–R03.6 → 3 · модель реальной ситуации R03.7 → 19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12–21)
Результаты	ПР-10 (системы нелинейных уравнений с параметром) → 2, 4–17, 20 · ПР-14 (исследование систем, графические представления) → 5, 7, 11–13, 17, 18 · ПР-7 (квадратные уравнения с параметром) → 9, 10 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	неравенства с двумя переменными — ALG9U-049; формула расстояния от точки до прямой — только как проверка (сл. 7)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Система нелинейных уравнений с параметром

Сегодня вы научитесь

Сводить систему к уравнению

Не терять особые случаи

Видеть задачу на графике

Искать единственное решение

Дискриминант, подстановка, графики

Для каждого значения a указать, сколько решений и какие

Сколько решений у системы {y=x2y=2x+a​ ?

Парабола и прямая

Образец

Сам

{x2+y2=8x+y=a​: касание ⇔D=0

Касание, пересечение, нет общих точек

Образец

Сам

{y=ax2y=4x−3​: ax2−4x+3=0 — не всегда квадратное

Два случая: коэффициент при x2 равен 0 и не равен

Образец

Сам

{x2+y2=4y=x2+a​: когда решение единственное?

Кандидаты из x=0, потом проверка

Образец

Сам

Прямая y=kx+1 вращается вокруг точки (0;1)

Образец: число решений {y=∣x∣y=kx+1​

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Забыли a=0

Потеряли знак

Нет проверки

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Одно решение: {x2+y2=5x−2y=a​

2. Сколько решений: {x2+y2=9y=x2−3​

При каких значениях параметра…

Особые случаи и количество точек

Постройте график y=x2−4∣x∣+3. При каких m прямая y=m имеет с ним ровно три общие точки?

Огород площадью 24 м² огораживают забором длиной P м

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-048 · Система нелинейных уравнений с параметром

Для каждого значения $a$ указать, сколько решений и какие

Сколько решений у системы ${y = x^{2} y = 2 x + a$ ?

${x^{2} + y^{2} = 8 x + y = a$ : касание $\Leftrightarrow D = 0$

${y = a x^{2} y = 4 x - 3$ : $a x^{2} - 4 x + 3 = 0$ — не всегда квадратное

Два случая: коэффициент при $x^{2}$ равен $0$ и не равен

${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + a$ : когда решение единственное?

Кандидаты из $x = 0$ , потом проверка

Прямая $y = k x + 1$ вращается вокруг точки $(0; 1)$

Образец: число решений ${y = ∣ x ∣ y = k x + 1$

Забыли $a = 0$

1. Одно решение: ${x^{2} + y^{2} = 5 x - 2 y = a$

2. Сколько решений: ${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} - 3$

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки?

Огород площадью $24$ м² огораживают забором длиной $P$ м