Уравнения и неравенства · урок 6 из 25

Графический метод
решения систем
нелинейных уравнений

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG9U-046

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы» (25 ч), урок 6/25, единица R03.6 «Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными». Тип урока — Н. Прошлый урок ALG9U-045 — простейшие нелинейные системы (подстановка, сложение); следующий ALG9U-047 — система как модель реальной ситуации.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (графики уравнений) 2 · 5 (идея метода) 2 · 6 (алгоритм) 2 · 8 (число решений без решения) 2 · 11 (окружность со сдвигом центра) 2 · 13 (прямая движется: параметр) 2.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 9, 10, 12, 14) 3 + 2 + 3 + 2 + 3 · осторожно (сл. 15) 1 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Рисунок на титуле: окружность x² + y² = 25 и прямая y = x + 1, общие точки (3; 4) и (−4; −3) — задача сл. 5.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 18 и задание 3 сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать графики уравнений

прямая, парабола, окружность, гипербола — по уравнению с двумя переменными (ПР-17)

Решать систему графически

общие точки графиков → координаты → проверка подстановкой (ПР-9)

Считать решения по рисунку

сколько решений у системы — без вычисления самих решений (ПР-14)

Двигать график с параметром

при каких значениях параметра решений два, одно, три (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-17: «Оперировать понятиями: … парабола, гипербола …». ПР-10: «Решать несложные системы нелинейных уравнений с параметром» — сегодня только графический взгляд, подробно — ALG9U-048.
Вид деятельности ФРП по строке: «Приводить графическую интерпретацию решения уравнения с двумя переменными и систем уравнений с двумя переменными».

разминка · R03.4–R03.5

Разминка · устно

Графики и точки

x^{2} + y^{2} = 25

что за график?

окружность,

r = 5

точка

(3; 4)

лежит на этой окружности?

да

x y = 6

что за график?

гипербола

y = x^{2} - 4

вершина параболы

(0; - 4)

x^{2} = x + 2

корни уравнения

- 1; 2

{y = 2 x + 1 y = - x + 4

общая точка прямых

(1; 3)

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

центр и радиус

(1; - 2)

,

r = 3

x^{2} + y^{2} \geq 2 x y

почему?

(x - y)^{2} \geq 0

R03.6 · опора R01

Графики уравнений с двумя переменными

График уравнения — все точки $(x; y)$ , координаты которых ему удовлетворяют

прямая

a x + b y = c

$2 x + 3 y = 6$

парабола

y = a x^{2} + b x + c

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 3$

окружность

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

центр $(1; 1)$ , $r = 2, 5$

гипербола

x y = k, k \neq = 0

$x y = 4$ , т. е. $y = \frac{4}{x}$

2 мин · теория
Уравнение с двумя переменными задаёт на плоскости множество точек — его график. Чтобы узнать график, уравнение приводят к одному из «узнаваемых» видов: выражают y через x или выделяют полные квадраты.
Прямая: ax + by = c (a и b не равны нулю одновременно); 2x + 3y = 6 проходит через (3; 0) и (0; 2). Парабола: y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Окружность: (x − a)² + (y − b)² = r², центр (a; b), r > 0 — это расстояние от точки (x; y) до центра, равное r (формула расстояния из геометрии). Гипербола: xy = k ⇔ y = k/x.
Вопрос классу: какой график у уравнения x² + y² = 0? (одна точка (0; 0)) А у x² + y² = −4? (пустое множество). Ещё знакомые графики: y = |x|, y = √x (8 класс).

R03.6

Идея · решение системы на чертеже

Решение системы — общая точка двух графиков

{x^{2} + y^{2} = 25 y = x + 1

Пара

(x; y)

— решение системы ⇔ точка лежит на обоих графиках

общие точки: $(3; 4)$ и $(- 4; - 3)$

проверка: $9 + 16 = 25$ , $4 = 3 + 1$ ✓

$16 + 9 = 25$ , $- 3 = - 4 + 1$ ✓

2 мин · теория
Демонстрация учителя. Строим в одной системе координат окружность (центр (0; 0), r = 5) и прямую через (0; 1) и (−1; 0). Каждая общая точка — пара чисел, которая обращает в верное равенство оба уравнения, т. е. решение системы. Других решений нет — других общих точек нет.
Первый клик открывает точки на чертеже, затем — проверку подстановкой. Аналитически: x² + (x + 1)² = 25 ⇔ x² + x − 12 = 0, x = 3 или x = −4 — совпало.
Вопрос классу: сколько решений может иметь система «окружность + прямая»? (0, 1 или 2.)

R03.6

Алгоритм · графический метод

Четыре шага графического метода

1

Узнать графики

выразить $y$ или выделить полные квадраты

2

Построить

оба графика в одной системе координат, аккуратно, по клеткам

3

Найти общие точки

их число = число решений; координаты — по чертежу

4

Проверить

подставить в оба уравнения; ответ — пары $(x; y)$

Чертёж даёт координаты приближённо. Не сошлась проверка — точные значения находим подстановкой

Число решений чертёж даёт надёжно, если графики построены точно (вершины, центр, радиус)

2 мин · теория
Сильная сторона метода — наглядность: сразу видно, сколько решений и где они примерно лежат. Слабая — точность: по клеткам видны целые и «хорошие» координаты, а иррациональные — только приближённо (пример на сл. 15).
Поэтому на углублённом уровне графический метод сочетаем с аналитическим: рисунок — число решений и план, подстановка — точные значения.
Вопрос классу: почему проверка нужна в обоих уравнениях? (точка может лежать на одном графике и рядом с другим.)

R03.6

Образец → сам · парабола и прямая

Решите систему графически

Образец

${y = x^{2} y = x + 2$

парабола и прямая шаги 1–2 алгоритма

$A (- 1; 1)$ , $B (2; 4)$ по чертежу

$1 = (- 1)^{2}$ , $1 = - 1 + 2$ ✓

$4 = 2^{2}$ , $4 = 2 + 2$ ✓

Ответ: $(- 1; 1), (2; 4)$

Сам

база ${x y = 4 y = x$ $(2; 2), (- 2; - 2)$
база ${y = x^{2} - 2 y = x$ $(- 1; - 1), (2; 2)$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 10 y = 3 x$ $(1; 3), (- 1; - 3)$

3 мин · практика
Образец 1 мин (учитель у доски): парабола по точкам (0; 0), (±1; 1), (±2; 4); прямая через (0; 2) и (−2; 0). Клик 1 — точки на чертеже; дальше проверка и ответ. Аналитически: x² = x + 2, x = −1 или 2.
Сам (2 мин, в тетради с клетками). 1) Гипербола y = 4/x и прямая y = x: x² = 4, точки (2; 2) и (−2; −2).
2) Парабола с вершиной (0; −2) и прямая y = x: x² − x − 2 = 0, x = −1 или 2; точки (−1; −1), (2; 2).
3) Окружность r = √10 ≈ 3,16 проходит через точки (1; 3), (3; 1) и т. п.; прямая y = 3x: 10x² = 10, x = ±1. Точки (1; 3), (−1; −3). Ошибка: ответ «x = ±1» без y.

R03.6 · ПР-14

Свойство · число решений без вычислений

Сколько решений у системы $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , $x y = 6$ ?

x^{2} + y^{2} \geq 2∣ x y ∣

на гиперболе $∣ x y ∣ = 6$ , значит, $x^{2} + y^{2} \geq 12$

Ближе всего к началу координат — точки

(6; 6)

и

(- 6; - 6)

2 мин · теория
Неравенство: x² + y² − 2|xy| = (|x| − |y|)² ≥ 0, равенство при |x| = |y|. Для точек гиперболы xy = 6 получаем x² + y² ≥ 12, т. е. все точки гиперболы не ближе √12 к началу координат.
По кликам: r = 3 (r² = 9 < 12) — окружность внутри «просвета» гиперболы, решений нет; r² = 12 — касание в точках (√6; √6), (−√6; −√6), 2 решения; r = 4 (r² = 16 > 12) — 4 общие точки.
Проверено: при r² = 16 x² + 36/x² = 16 ⇔ x⁴ − 16x² + 36 = 0, x² = 8 ± 2√7 — четыре значения x, каждому соответствует y = 6/x.
Вывод (симметрия): графики симметричны относительно y = x и относительно начала координат, поэтому решения идут «парами» и «четвёрками».

R03.6 · ПР-14

Образец → сам · сколько решений

Определите число решений системы

Образец

${x^{2} + y^{2} = 9 y = x^{2} - 3$

окружность $r = 3$ , парабола с вершиной $(0; - 3)$

3 общие точки по чертежу

$x^{2} = y + 3$ : $y^{2} + y - 6 = 0$ проверка

$y = - 3$ : $x = 0$ ; $y = 2$ : $x = \pm 5$

Ответ: 3 решения

Сам: сколько решений?

база ${x^{2} + y^{2} = 4 y = x^{2} + 2$ одно: $(0; 2)$
база ${x y = 2 x + y = 1$ нет решений
повыш. ${y = ∣ x ∣ x^{2} + y^{2} = 8$ два: $(\pm 2; 2)$

2 мин · практика
Образец: вершина параболы (0; −3) лежит на окружности; ветви пересекают окружность ещё в двух точках. Проверка: x² = y + 3 подставляем в первое: y + 3 + y² = 9, y² + y − 6 = 0, y = 2 или y = −3. Решения (0; −3), (√5; 2), (−√5; 2).
1) Вершина (0; 2) на окружности, остальная парабола выше y = 2 — касание. y² + y − 6 = 0: y = 2 (x = 0), y = −3 (x² = −5, нет). Одно решение.
2) Прямая y = 1 − x проходит между ветвями гиперболы y = 2/x: x(1 − x) = 2 ⇔ x² − x + 2 = 0, D = −7 < 0 — решений нет.
3) Лучи y = |x| пересекают окружность r = 2√2 по разу: 2x² = 8, точки (2; 2), (−2; 2).

R03.6

Образец → сам · парабола общего вида

Постройте графики и решите систему

Образец

${y = x^{2} - 4 x + 3 y = x - 1$

вершина $(2; - 1)$ : $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

$(1; 0)$ и $(4; 3)$ по чертежу

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $x = 1; 4$ проверка

Ответ: $(1; 0), (4; 3)$

Сам

база ${y = - x^{2} + 4 y = x + 2$ $(- 2; 0), (1; 3)$
база ${y = (x - 1)^{2} y = 3 - x$ $(- 1; 4), (2; 1)$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 25 x y = 12$ $(3; 4), (4; 3),$
$(- 3; - 4), (- 4; - 3)$

R03.6

Правило · окружность: выделяем полные квадраты

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 4$ — это окружность

$(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 2 y + 1) = 4 + 4 + 1$

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$

центр $(2; - 1)$ , радиус $r = 3$

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

: центр

(a; b)

— знаки противоположны знакам в скобках

Справа после выделения

\leq 0

? Это точка или пустое множество

R03.6

Образец → сам · окружность со сдвигом

Решите систему графически

Образец

${x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 4 x - y = 6$

центр $(2; - 1)$ , $r = 3$ ; прямая $y = x - 6$

$(2; - 4)$ и $(5; - 1)$ по чертежу

$0 + 9 = 9$ , $2 + 4 = 6$ ✓

$9 + 0 = 9$ , $5 + 1 = 6$ ✓

Ответ: $(2; - 4), (5; - 1)$

Сам

база ${x^{2} + y^{2} - 6 x = 0 y = x$ $(0; 0), (3; 3)$
база ${x^{2} + y^{2} + 4 y = 0 x + y = 0$ $(0; 0), (2; - 2)$
повыш.Сколько решений? ${(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 x^{2} + y^{2} = 9$ одно (касание)

2 мин · практика
Образец: окружность со сл. 11; прямая через (6; 0) и (0; −6). Проверка в форме (x − 2)² + (y + 1)² = 9: для (2; −4): 0 + 9; для (5; −1): 9 + 0. Аналитически: y + 1 = x − 5, (x − 2)² + (x − 5)² = 9 ⇔ x² − 7x + 10 = 0, x = 2 или 5.
1) (x − 3)² + y² = 9: центр (3; 0), r = 3; 2x² − 6x = 0, x = 0 или 3: (0; 0), (3; 3).
2) x² + (y + 2)² = 4: центр (0; −2), r = 2; y = −x: 2x² − 4x = 0, x = 0 или 2: (0; 0), (2; −2).
3) Центры (3; 4) и (0; 0), расстояние 5 = 3 + 2 — окружности касаются внешним образом, одна общая точка (9/5; 12/5). Проверено вычислением.

R03.6 · ПР-10

Идея · график движется вместе с параметром

Система $x^{2} + y^{2} = 4$ , $y = x + b$ : сколько решений?

$y = x + b$ — прямые, параллельные $y = x$

Касание:

x^{2} + (x + b)^{2} = 4

имеет один корень

$\frac{D}{4} = 8 - b^{2} = 0$ , $b = \pm 22$

2 мин · теория
Демонстрация учителя. При изменении b прямая сдвигается вверх-вниз, оставаясь параллельной y = x. По кликам: b = 0 — 2 точки (±√2; ±√2); b = 2√2 — касание в точке (−√2; √2); b = 4 — общих точек нет.
Граничное значение: 2x² + 2bx + b² − 4 = 0, D/4 = b² − 2(b² − 4) = 8 − b². Итог: |b| < 2√2 — 2 решения; |b| = 2√2 — 1; |b| > 2√2 — нет. Иначе: расстояние от центра до прямой |b|/√2 сравниваем с радиусом 2.
Это первый шаг к урокам о системах с параметром (ALG9U-048): рисунок подсказывает, какие значения параметра граничные, вычисление их уточняет.

R03.6 · ПР-10

Образец → сам · параметр

При каком $a$ система имеет ровно три решения?

Образец

${x^{2} + y^{2} = 1 y = x^{2} + a$

$(x; y)$ — решение ⇒ $(- x; y)$ тоже симметрия

нечётное число ⇒ есть $x = 0$ : $a = \pm 1$

$a = 1$ : только $(0; 1)$ не подходит

$a = - 1$ : $y^{2} + y = 0$ , три точки

Ответ: $a = - 1$

Сам

базаПри каких $a$ у системы $x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = a$ два решения? $- 3 < a < 3$
повыш.При каком $a$ у системы $y = x^{2}$ , $y = x + a$ одно решение? $a = - \frac{1}{4}$
повыш.При каком $a$ у системы $x^{2} + y^{2} = 25$ , $y = x^{2} + a$ ровно три решения? $a = - 5$

3 мин · практика
Образец: оба уравнения не меняются при замене x на −x, поэтому решения с x ≠ 0 идут парами. Три — нечётно, значит, есть решение с x = 0: y = a и a² = 1. При a = 1: x² = y − 1, y² + y − 2 = 0, y = 1 (x = 0) или y = −2 (нет) — одно решение (пунктир на чертеже). При a = −1: x² = y + 1, y² + y = 0, y = 0 (x = ±1) или y = −1 (x = 0) — три решения.
1) Прямая y = a пересекает окружность r = 3 в двух точках при −3 < a < 3; при a = ±3 касание.
2) x² − x − a = 0, D = 1 + 4a = 0, a = −1/4: прямая касается параболы в точке (1/2; 1/4).
3) Как в образце: a = ±5. a = 5: y² + y − 30 = 0, y = 5 (x = 0) или y = −6 (нет) — 1 решение. a = −5: y² + y − 20 = 0, y = −5 (x = 0) или y = 4 (x = ±3) — 3 решения. Ответ a = −5. Проверено вычислением.

R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки графического метода

В ответе только $x$

$y = x^{2}$ , $y = x + 2$ : « $x = - 1$ , $x = 2$ »

$(- 1; 1), (2; 4)$

решение системы — пара чисел

Координаты «с чертежа»

$y = x^{2}$ , $y = 2 x + 1$ : « $(2, 4; 5, 8)$ »

$x = 1 \pm 2$ , $y = 3 \pm 22$

проверка не сошлась — считаем точно

Центр и радиус

$(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ : «центр $(2; - 1)$ , $r = 9$ »

центр $(- 2; 1)$ , $r = 3$

знаки противоположны, $r = 9$

R03.6

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $x^{2} + y^{2} = 10$ , $y = x + 2$

«Окружность с центром $(0; 0)$ , радиус $10$ .»

« $x^{2} + (x + 2)^{2} = 10$ , $x = 1$ или $x = - 3$ .»

«Ответ: $(1; 3), (- 3; 1)$ .»

Радиус $10 \approx 3, 16$ , а не $10$

При $x = - 3$ : $y = - 1$ . Ответ: $(1; 3), (- 3; - 1)$

Задача 2. Сколько решений: $x y = 1$ , $x^{2} + y^{2} = 1$ ?

«На рисунке гипербола касается окружности в двух точках — 2 решения.»

$x^{2} + y^{2} \geq 2∣ x y ∣ = 2 > 1$ — общих точек нет

Ближайшая к $O$ точка гиперболы $(1; 1)$ на расстоянии $2 > 1$ . Ответ: решений нет

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) x² + (x + 2)² = 10 ⇔ 2x² + 4x − 6 = 0 ⇔ x² + 2x − 3 = 0, x = 1 или −3 — верно. Ошибки: радиус √10 (на чертеже окружность получилась бы огромной, и пересечения «не видны»); y = x + 2 = −1 при x = −3. Проверка (−3; 1) во втором уравнении: 1 ≠ −1 — ловит ошибку. Верный ответ (1; 3), (−3; −1).
2) Небрежный рисунок «показывает» касание. Неравенство со сл. 8: x² + y² ≥ 2|xy| = 2 > 1. Решений нет. Вывод: число решений по рисунку надёжно, только если рисунок точный; спорные случаи — проверять вычислением.

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Решите систему графически и проверьте подстановкой

${y = x^{2} y = 4$ $(- 2; 4), (2; 4)$
${y = x^{2} y = - x$ $(0; 0), (- 1; 1)$
${x y = - 6 y = x - 5$ $(2; - 3), (3; - 2)$

${x^{2} + y^{2} = 25 y = - 4$ $(- 3; - 4), (3; - 4)$
${x^{2} + y^{2} = 1 y = x^{2} - 1$ $(0; - 1), (\pm 1; 0)$
${y = x y = x$ $(0; 0), (1; 1)$

R03.6 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Исследуйте систему по графикам

Сколько решений?

повыш. ${x^{2} + y^{2} = 9 x y = 4$ 4
повыш. ${y = ∣ x ∣ - 2 x^{2} + y^{2} = 4$ 3
повыш. ${(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 y = x$ 2

При каком значении параметра…

повыш.…ровно два решения ( $r > 0$ )? ${x^{2} + y^{2} = r^{2} x y = 8$ $r = 4$
повыш.…одно решение? ${y = x^{2} - 6 x + 5 y = a$ $a = - 4$

2 мин · практика
1) 9 > 2 · 4 = 8 — окружность пересекает каждую ветвь гиперболы дважды: 4 решения (проверено вычислением). 2) Уголок с вершиной (0; −2) на окружности, лучи проходят через (±2; 0) — тоже на окружности: (0; −2), (2; 0), (−2; 0).
3) Расстояние от центра (3; 2) до прямой y = x равно |3 − 2|/√2 ≈ 0,71 < 2 — две точки ((5 ± √7)/2; (5 ± √7)/2)).
4) x² + y² ≥ 2|xy| = 16, касание при r² = 16: точки (2√2; 2√2), (−2√2; −2√2). 5) Вершина (3; −4): прямая y = a касается параболы при a = −4.
Если не успеваете — задания 4 и 5 в ДЗ.

R03.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Общие точки графика и прямой — решения системы

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно три общие точки? $m = 3$
Постройте график $y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$ . При каких $c$ прямая $y = c$ имеет с ним ровно одну общую точку? $c = - 6, 25; - 4; 6$

2 мин · практика
1) При x ≥ 0: y = (x − 2)² − 1, при x < 0: y = (x + 2)² − 1 — «две параболы», вершины (±2; −1), общая точка (0; 3). Ровно три общие точки — прямая через (0; 3): m = 3 (x = 0, ±4). Проверка: при m = −1 — две точки, при 0 — четыре.
2) x⁴ − 13x² + 36 = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3), после сокращения y = x² + x − 6 при x ≠ 3, x ≠ −2 (на чертеже выколотые точки (3; 6) и (−2; −4)). Одна общая точка: через вершину (−0,5; −6,25) или через выколотые точки: c = −4 (остаётся x = 1), c = 6 (остаётся x = −4). Ответ: −6,25; −4; 6.
На ОГЭ задание 22 — 2 балла: график с выколотыми точками и обоснование каждого значения. Типичная потеря — забытое c, проходящее через выколотую точку.

R03.6 · R03.7

Задача из жизни

Экран: диагональ $13$ см, площадь $60$ см². Стороны?

практикаСоставьте систему для сторон $a$ и $b$ . $a^{2} + b^{2} = 169, ab = 60$
практикаНайдите стороны по графикам и проверьте. $5$ и $12$ см
повыш.Какую наибольшую площадь может иметь экран с диагональю $13$ см? $84, 5$ см²

2 мин · практика
1) По теореме Пифагора a² + b² = 13² = 169; площадь ab = 60. По смыслу a > 0, b > 0 — рисуем только первую четверть.
2) Точки (5; 12) и (12; 5): 25 + 144 = 169, 5 · 12 = 60 ✓. Обе точки — один и тот же экран (стороны 5 и 12 см). Решения в III четверти по смыслу не подходят.
3) ab ≤ (a² + b²)/2 = 84,5; равенство при a = b = 13/√2 ≈ 9,19 — квадрат. На чертеже — гипербола ab = 84,5 касается окружности (пунктир).
Это мостик к следующему уроку ALG9U-047: система как модель реальной ситуации.

R03.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаРешите графически: $y = x^{2}$ , $y = x + 6$ $(- 2; 4), (3; 9)$
базаСколько решений: $x^{2} + y^{2} = 10$ , $x y = 3$ ? 4
базаСколько решений: $x^{2} + y^{2} = 4$ , $y = x^{2} - 2$ ? 3
повыш.При каких $b$ у системы $x^{2} + y^{2} = 8$ , $y = x + b$ одно решение? $b = \pm 4$

Вариант 2

базаРешите графически: $y = x^{2}$ , $y = 2 - x$ $(- 2; 4), (1; 1)$
базаСколько решений: $x^{2} + y^{2} = 20$ , $x y = 8$ ? 4
базаСколько решений: $x^{2} + y^{2} = 16$ , $y = x^{2} - 4$ ? 3
повыш.При каких $b$ у системы $x^{2} + y^{2} = 18$ , $y = - x + b$ одно решение? $b = \pm 6$

4 мин · практика
3,5 мин работы, 0,5 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x² − x − 6 = 0: x = 3, −2; (3; 9), (−2; 4). 2) 10 > 2 · 3 — 4 решения: (1; 3), (3; 1), (−1; −3), (−3; −1). 3) x² = y + 2: y² + y − 2 = 0, y = 1 (x = ±√3), y = −2 (x = 0) — 3. 4) Касание: 2x² + 2bx + b² − 8 = 0, D/4 = 16 − b² = 0, b = ±4 (точки (−2; 2) и (2; −2)).
В-2. 1) x² + x − 2 = 0: x = 1, −2; (1; 1), (−2; 4). 2) 20 > 16 — 4 решения: (2; 4), (4; 2), (−2; −4), (−4; −2). 3) x² = y + 4: y² + y − 12 = 0, y = 3 (x = ±√7), y = −4 (x = 0) — 3. 4) 2x² − 2bx + b² − 18 = 0, D/4 = 36 − b² = 0, b = ±6 (точки (3; 3) и (−3; −3)).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены вычислением.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что на чертеже соответствует решению системы?
Зачем проверять точки подстановкой?
Как по уравнению найти центр и радиус окружности?

Домашнее задание

Решите графически: $y = x^{2} - 2 x$ , $y = x$
Сколько решений: $x^{2} + y^{2} = 16$ , $y = ∣ x ∣ + 4$ ?
При каких $b$ у системы $x^{2} + y^{2} = 2$ , $y = x + b$ два решения?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-046 · Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: уравнения, неравенства и их системы», 25 ч · урок 6/25 · тип Н
Единицы → слайды	R03.6 «Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными» → 2, 4–22 · опора R03.4–R03.5 → 3 · мостик к R03.7 → 20 · теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 11, 13) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 7, 9, 10, 12, 14–22)
Результаты	ПР-9 (системы, одно уравнение нелинейное) → 5–7, 9, 10, 12, 15–17, 21 · ПР-14 (исследование систем с графическими представлениями) → 8, 9, 13, 14, 16, 18, 21 · ПР-17 (парабола, гипербола) → 3, 4 · ПР-10 (системы с параметром) → 13, 14, 18, 21 · кодификатора у курса нет
Вне урока	система как модель реальной ситуации — ALG9U-047; системы с параметром подробно — ALG9U-048; неравенства с двумя переменными — R03.9
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графический методрешения системнелинейных уравнений

Сегодня вы научитесь

Узнавать графики уравнений

Решать систему графически

Считать решения по рисунку

Двигать график с параметром

Графики и точки

График уравнения — все точки (x;y), координаты которых ему удовлетворяют

прямая

парабола

окружность

гипербола

Решение системы — общая точка двух графиков

Четыре шага графического метода

Узнать графики

Построить

Найти общие точки

Проверить

Решите систему графически

Образец

Сам

Сколько решений у системы x2+y2=r2, xy=6?

Определите число решений системы

Образец

Сам: сколько решений?

Постройте графики и решите систему

Образец

Сам

x2+y2−4x+2y=4 — это окружность

Решите систему графически

Образец

Сам

Система x2+y2=4, y=x+b: сколько решений?

При каком a система имеет ровно три решения?

Образец

Сам

Три ошибки графического метода

В ответе только x

Координаты «с чертежа»

Центр и радиус

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. x2+y2=10, y=x+2

Задача 2. Сколько решений: xy=1, x2+y2=1?

Решите систему графически и проверьте подстановкой

Исследуйте систему по графикам

Сколько решений?

При каком значении параметра…

Общие точки графика и прямой — решения системы

Экран: диагональ 13 см, площадь 60 см². Стороны?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-046 · Графический метод решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Графический метод
решения систем
нелинейных уравнений

График уравнения — все точки $(x; y)$ , координаты которых ему удовлетворяют

Сколько решений у системы $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , $x y = 6$ ?

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 4$ — это окружность

Система $x^{2} + y^{2} = 4$ , $y = x + b$ : сколько решений?

При каком $a$ система имеет ровно три решения?

В ответе только $x$

Задача 1. $x^{2} + y^{2} = 10$ , $y = x + 2$

Задача 2. Сколько решений: $x y = 1$ , $x^{2} + y^{2} = 1$ ?

Экран: диагональ $13$ см, площадь $60$ см². Стороны?